巧用等积法解题
巧用等积法解高考立体几何试题
．
若 以 ｉ， Ｊ为基 底 ，则
Ｏ ｃｓ ・＋ ｉｆ ＿，…③ Ｃ＝ ｏｆ ｉ ｓ ｌ ， ｌ ｎ ・ 将②代人③得 ，
经检 验 ， 时点 Ⅳ在线 段 Ｂ 此 Ｃ上 ． 以 Ｆ ＝ ． 所 Ｍ
Ｏ［ ｃ＋ ｃ 十・ —ｃ ｏｓ。 詈 Ｃ 。 ｓｉ ｓ ） ＝ｓ ａｎ （ ］
所成 （Ｉ）异 面 直线 Ｂ 与 Ｄ
题 ３ （０ １年 高考 安徽 卷 ・ ｌ （ １ ） ２１ 理 ７ 文 ９） 如 图 ３ Ａ Ｅ Ｃ为 多面 体 ，平 面 Ａ Ｅ ， Ｂ ＤＦ Ｂ Ｄ与 平 面
Ａ Ｆ 垂 直 ，点 Ｄ在 线 段 ＣＤ
—
＋ ￣ Ｓ ｓｎａ ＋ｓｎ Ｏ ｉ ｉ
ｎ
（ ． ＋ ． ④
ｃ ＋＝ ａｉ。＋ 。 ｃｃ＋ ｃ ｓ ）ｓｓｓ ｓ ） （ 。ｏ ｎ （
例 ５ （０ ９ ２ ０ 年高考浙江卷 ・ ｌ）如图， 理 ７ 在长 方形 Ａ Ｃ 中，Ａ ＢＤ Ｂ＝２， Ｂ Ｃ＝１ 为 ＤＣ的 中点 ， ， 为线段 Ｅ （ Ｃ 端点除外）上一动点．现将 Ａ Ｆ Ａ Ｄ沿 Ａ Ｆ折起 ， 使平面 Ａ Ｄ上平面 Ａ Ｃ．在平面 Ａ Ｄ内 Ｂ Ｂ Ｂ 过 点 Ｄ 作 Ｄ 上Ａ ， Ｋ 为垂足 ．设 Ａ Ｋ Ｂ Ｋ＝ｔ ，则 ｆ 的 取 值 范围是 ．
种 方法 可 以 回避 寻 找 垂足 点 难度 ，省去许多作图和论证过程 ，而将问题
２ １ 年第 ６期 ０２
福建中学数 学
４ ７
结合 ２ １ ０ 部 分 省 市 高考 立 几 试 题 展示 相 应 解法 １年 （ 下各题 均 只给 出最 后一 小题 的解 法 ） 以 ，供 参考 ．
化 得ｆ １，， ． 筒 ＝ ｌ １ ∈・ Ｉ １ 、
巧用面积法妙解几何题
论，并说明理由。
A
分析：此题的条件虽然发生了变化，
但是思路、方法不变，还是应用面
积法。连结PA、PB、PC，根据
S△ABC=S△ABP+S△ACP－S△BCP， 由AB=BC=AC，可得正确结论：
D B
EH
F C
PD+PF－PE=AH
P
• 证角相等
例3.点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在 AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接BD、 AE交于O点，再连接OC，求证：∠AOC=∠BOC.
∴BD=CE
C
用面积 法好简 单哟！
变式训练
1.已知：等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC
的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、
F.求证：DE=DF.
A
分析：此题用三角形全等可完成，
但题中出现两条“垂线段”，可考
虑面积法，连接AD，则S△ABD=S△ACD， 由AB=AC，可得DE=DF.
D
C
第4题
※5.设E是△ABC的角平分线AD上一点，连接 EB、EC，过C作CF∥BE交AB的延长线于F， 过B作BG∥EC交AC的延长线于G，求证： BF=CG.（提示：S△BEF=S△BEC=S△CEG）
A
E
B
C D
第5题
F G
※6.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，求证： AB︰AC=BD︰CD.
分析：要证∠AOC=∠BOC，可证点
E
C到AO、BO的距离相等，如此就要 过C点作CP⊥AE于P，CQ⊥BD于Q， 证CP=CQ，可考虑面积法，证
DO Q
P
△ACE≌△DCB,则有 S△ACE =S△DCB
等积法的运用
1．已知三棱锥S
ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（ ） A ．34 B ．54 C ．74 D ．34
2、如图，在正三棱柱
111ABC A B C -中，所有棱长均为1，则点1B 到平面1ABC 的距离为 。
3．如图，在正三棱柱
111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60，则点C 到平面
1ABC 的距离为______________。
4、如图（同上图），在正三棱柱
111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60，则点1C 到直线AB 的距离为 。
5．已知正四棱椎的体积为12，底面的对角线为2
6，则侧面与底面所成的二面角为____________。
6．如图，已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA ⊥底面ABC ，SA ＝3，那么直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为________．。
面积——等面积法
面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。
利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数〞的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。
运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明〞的效果。
有关面积的公式〔1〕矩形的面积公式：S=长⨯宽〔2〕三角形的面积公式：ah S 21=〔3〕平行四边形面积公式: S=底⨯高〔4〕梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高〔5〕对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半〔如正方形、菱形等〕 有关面积的公理和定理 1、面积公理〔1〕全等形的面积相等；〔2〕一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理〔1〕等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD〔2〕等底等高的平行四边形、梯形〔梯形等底应理解为两底的和相等〕的面积相等；〔3〕等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；〔4〕相似三角形的面积的比等于相似比的平方；〔5〕在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；〔6〕等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。
问：长方形的面积是__________平方厘米。
等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。
如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△92cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。
求平面几何阴影部分面积的三种方法
思路探寻求平面几何阴影部分的面积问题是平面几何中的典型问题.大部分求平面几何阴影部分面积问题中的几何图形都是不规则的图形，对此，我们要学会灵活运用和差法、等积法、割补法来解题.一、和差法和差法就是把所求图形的面积问题转化为若干个图形的面积的和或差来进行计算的方法.而运用和差法解题的关键是弄清楚阴影部分的面积可以由哪些图形的面积的差或和构成.针对某些较为复杂图形的阴影面积问题，可以通过不改变图形的位置，将它的面积用几个规则图形的面积的和或差表示出来，再通过计算求得图形的面积.例1.如图1所示，B 是AC 上的一点，分别以AB ,BC ,AC 为直径作半圆，过B 作BD ⊥AC 与半圆交于点D .求证：图中阴影部分面积等于以BD 为直径的圆的面积.分析：通过观察图形可以发现，将大半圆的面积减去两个小半圆的面积，就可以得到阴影部分的面积，可用和差法来解答本题.证明：∵AC =AB +BC ，∴S 阴影=π2∙æèöøAC 22-π2∙æèöøAB 22-π2∙æèöøBC 22=π4AB ∙BC ，而以BD 为直径的圆的面积为S 圆=π∙æèöøBD 22=π4BD 2，∵BD ⊥AC ,∠ADC =90°，∴BD 2=AB ∙BC ，∴阴影部分面积等于以BD 为直径的圆的面积.二、等积法当图形的面积很难求出或者无法利用和差法来求解时，我们通常运用等积法，即将问题转化为求与其等面积的图形的面积来求解.运用等积法解题的关键是弄清楚哪两个图形的面积相等.可借助同底等高或等底同高的两个三角形、平行四边形面积相等的性质来解答有关问题.例2.如图2所示，⊙0的半径为1，C 是⊙0上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与⊙0相交于A ,B 两点，求图中阴影部分的面积.分析：我们无法直接求出本题中阴影部分的面积，可运用等积法来求解，连接分割线AB ，将问题转化为求两个弓形图形的面积.解：连接AB ，则S 阴影=2×S 弓形ACB ，∵OD =12OC =12，可得∠OAB =30°，从而∠AOB =120°∴S 弓形=120π360-12×3×12=π3，∴S 阴影=23π-.三、割补法割补法就是把图形割补成几个规则图形，使题目便于解答的方法.有些图形较为复杂，我们可以结合题意将图形割补为规则图形，如三角形、平行四边形、圆、扇形等，然后运用三角形、平行四边形、圆、扇形等的面积公式进行求解.例3.如图3所示，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为a ，b ，分别以每条边为直径向菱形内作半圆，求四条半圆弧围成的花瓣形面积，即图中阴影部分的面积.分析：所求阴影部分的面积是由几个图形叠加而成，我们需要运用割补法来求解.将阴影部分面积看作是四个半圆与菱形重叠之后的面积，割去重叠的部分，便可求出阴影部分的面积.解：设以BC 为直径的半圆面积为S 半圆，则S 半圆-S △OBC =14S 花瓣，S 花瓣=4S 半圆-S 菱形ABCD =4×12π2-ab 2=π()a 2+b 2-4ab 8.作差法、等积法和割补法都是求平面几何图形阴影部分面积的基本方法.无论运用哪种方法进行求解，我们都需要仔细观察阴影部分的图形，寻找它与规则图形之间的联系，将问题转化为求规则图形面积的问题.（作者单位：新疆特克斯县高级中学）朱家燕图2图1图3A B C D 53Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
等积法的两大应用
等积法的两大应用
刘亚平
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2003(000)005
【总页数】1页(P15)
【作者】刘亚平
【作者单位】江苏省睢宁县李集中学221221
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1."两大方法"在侵权责任法教学中的r综合应用 [J], 张峣
2.应用瞬态电流波形解析法评价积层型有机感光体（续）：积层型感光体... [J], 北村隆;横山正明
3."替代法"在初中物理两大测量性实验中的应用 [J], 王红标;许光曙
4.“替代法”在初中物理两大测量性实验中的应用 [J], 王红标;许光曙
5.应用现有国产器材进行超微量法检测红细胞比积的研究——在营养性贫血调查中的应用 [J], 张知今;王毅敏;郭金华;顾晓明;王宏伟;商书阳;乔延茹;蒋茨蕾;翟恩来;贾灏;崔淑清;朱虹娟;李桂菊;李忠训
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三步连环法 巧证等积式
，
例式
＝Ｏ Ｅ
，
￣ Ｏ 、Ｃ ０ ｉ Ａ Ｏ 、 三条线段都在同一条 ］
中学数 学杂志
２１ ０ ０年第 ２期
瑟。 ４ 铭露 霞 ＾
龋 乏 嚣受 ； 椤
为 Ｆ， Ａ Ｄ，Ｃ与 Ｂ Ｄ交 于点 Ｋ， 结 Ｃ ． 连 Ｄ
（） ２ 若点 Ａ， Ｂ分别在 反 比例 函数 Ｙ＝ 的图 象
套 ｒ Ｊ ， ）
Ｄ ： ’
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，
Ａ ｃ与 Ｂ Ｄ相交于 ０点 ， 过点 Ｂ作 Ｂ Ｅ∥ Ｃ Ｄ交 Ｃ Ａ的 延长线 于点 Ｅ 求证 ： Ｃ ＝Ｏ ・ Ｅ Ｏ Ａ Ｏ．
分 析 欲证等 积式 Ｏ ＝ Ｏ Ｄ 只需 证 比 Ｃ Ａ・ Ｅ，
竖找， Ｃ ＡＡ Ｅ在 图中并不 能构 成三角形 ， 直接 相似 不 可能 了．但 由（ ） １ 易知 Ｂ ＝Ｂ ＝Ａ 若将 Ａ Ｃ Ｅ Ｅ， Ｅ换 为
Ｂ 只需 证 Ｆ， ＝ ， 采用 可
．
替换 ， 寻找相似 三角形． 再
２ 在 ＡＡ Ｃ中 ，Ｂ ＝Ａ ， Ｂ Ａ Ｃ，
Ｂ
图２
Ｃ
横查 法 ， 数 线 上 方 有 、 分 ｃ、
、
例 ２ （０ ９肇 庆 ）如 图 ２０
四个 字母 ， 掉一 个 重 复 去
的字母 ， 剩下 三个 字母 Ｂ、 Ｃ、
＝３ 。线段 Ａ ６， Ｂ的垂直平 分线交 Ａ Ｂ于 Ｄ， Ｃ于 ， 交Ａ 图１
连结 Ｂ ． Ｅ
５１
Ｆ， 构成 三角形 ＡＢ Ｆ， 能 Ｃ 分数
￡ ｇ恐 ７ （ ） 证 ： Ｃ Ｅ ＝３ 。 １求 Ｂ ６； （ ） 证 ：Ｅ ２ 求 Ａ ＝Ａ Ｅ ． Ｃ・ Ｃ
2020中考复习——常用解题方法【等积变换法】(一)(有答案)
2020中考复习——常用解题方法【等积变换法】（一）知识点梳理：等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。
它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。
在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。
下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用：【例1】△ABC中，AB=10，CB=8，AC=6，则其内切圆半径为()A. 6B. 4.8C. 2D. 1【答案】C【解】：△ABC中，AB=10，CB=8，AC=6，满足AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；设内切圆的半径为r，则12(6+8+10)r=12×6×8，解得r=2；∴△ABC内切圆半径为2．【解题反思】本题考查了直角三角形的内切圆半径的计算问题，是基础题．根据勾股定理判断△ABC是直角三角形，利用等积法求出内切圆的半径r．【例2】如图AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB=14，AC=12，S△BDC=20，则EF的长为________．【答案】2【解】：过点E作EG⊥AC，∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB于F，∴EF=EG，设EF=EG= x，∵BD是中线，S△BDC=20，AD=12AC=6，∴△ABD的面积=20，即△ABE的面积+△ADE的面积=20，∴12×AB×EF+12×AD×EG=20，∴12×14×x+12×6×x=20，解得x=2，∴EF=2．故答案为：2【解题反思】先过点E作EG⊥AC，设EF=EG=x，根据△ABD的面积=20，得出△ABE的面积+△ADE的面积=20，即12×14×x+12×6×x=20，求得x的值即可．本题主要考查了三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据△ABD 的面积=20，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用．【例3】如图，正比例函数y =2x 的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A(m,2)，一次函数图象经过点B(−2,−1)与x 轴的交点为C ．(1)求一次函数的解析式；(2)求△AOC 的面积；(3)求点O 到直线AC 的距离．【解】：(1)∵正比例函数y =2x 的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A(m,2)， ∴2m =2，m =1．把(1,2)和(−2,−1)代入y =kx +b ，得{k +b =2−2k +b =−1， 解得{k =1b =1， 则一次函数解析式是y =x +1；(2)令y =0，则x +1=0，x =−1．所以点C 的坐标为(−1,0)，则△AOC 的面积=12×1×2=1；(3)过点O 作OD ⊥AC 与点D ，∵AC =√(1+1)2+22=2√2，S △AOC =12AC ·OD =12×2√2×OD =1， ∴OD =√22．【解题反思】此题综合考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法，关键是根据正比例函数解析式求得m 的值．(1)首先根据正比例函数解析式求得m 的值，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式；(2)根据(1)中的解析式，令y=0求得点C的坐标，从而求得三角形的面积；(3)把AC当作底边，点O到直线AC的距离就是AC边上的高，由三角形的面积即可求解．综合训练一、选择题1.如图，RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径画圆，要使圆与线段AB有两个公共点，则r的值不可能是()A. 135B. 145C. 3D. 1652.如图，△ABC中，AB=4，BC=6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F，若DE=2，则AF的长为()A. 3B. 103C. 72D. 1543.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于()A. 245B. 125C. 5D. 44.如图，ΔABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则ΔPBC的面积为()A. 0.4cm2B. 0.5cm2C. 0.6cm2D. 0.7cm25.如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R，则PQ+PR的值是()A. 2√2B. 2C. 2√3D. 836.如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(8,0)，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向运动，同时，点Q从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P、Q运动的时间为t(0<t<8)秒.以PQ为斜边，向第一象限内作等腰Rt△PBQ，连接OB.下列四个说法：①OP+OQ=8；②B点坐标为(4,4)；③四边形PBQO的面积为16；④PQ>OB.其中正确的说法个数有()A. 4B. 3C. 2D. 17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，若点M是线段EF的中点，则PM 的最小值为()A. 1.2B. 2.4C. 2.5D. 4.8二、填空题8.如图，圆的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，则阴影部分的面积是_______．9.如图，AC⊥BC，∠CDA与∠CDB相等且互补，则点C到AB的距离是线段________的长．若AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm，则CD=________．10.Rt△ABC中，∠A=90°，AD是斜边上的高．若AB=3，AC=4，BC=5，则AD=________．11.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，点P为AB上的动点(不与点A、B重合)，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为____．12.如图，等边△ABC中，P为三角形内一点，过P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，，那么△ABC的内切圆半径连结AP、BP、CP，如果S△APF+S△BPE+S△PCD=9√32为_________．三、解答题13.如图是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法一：____________________________________．方法二：____________________________________．(2)观察图2请你写出下列三个代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系．(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a−b=5，ab=−6，求(a+b)2的值；②已知：a>0，a−2a =1，求a+2a的值．14.如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．(1)过点B画直线AC的垂线，垂足为G；(2)比较BC与BG的大小：BC______BG，理由是______；(3)已知AC=5，求BG的长．15.如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，l是过点C的任意一条直线，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．(1)求证：△ADC≅△CEB;(2)如图(2)，延长BE至F，连接CF，以CF为直角边作等腰直角三角形FCG，∠FCG=90∘，连接AG交l于H，求证：BF=2CH;(3)在(2)的条件下，若AD=12，BF=15，BC=13，请直接写出点G到直线AC的距离．16.如图，AB是⊙O的直径，C是BD⏜的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．(1)求证：CF=BF;(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．17.我们知道，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，过三角形外心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“外似线”．【轻松作图】(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，D为斜边AB的中点，请过点D画出△ABC的所有“外似线”．【尝试证明】(2)如图2，已知一次函数y=x+1与反比例函数y=k交于A、B两点，C是点Bx关于y轴的对称点，连接BC、AC，若点A坐标为(1,2)，连接CO并延长交AB于点D，试说明CD是△ABC的“外似线”．【拓展运用】̂的中点，若半径R=5，BC=8，(3)如图3，已知⊙O为△ABC的外接圆，点A是CAB求△ABC的“外似线”的长．答案和解析1.D解：作CD⊥AB于D，如图所示：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5，∵△ABC的面积=12AB⋅CD=12AC⋅BC，∴CD=AC⋅BC AB =125，即圆心C到AB的距离d=125，∵AC<BC，∴以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是125<r≤3．2.B解：如图，过点D作DG⊥BC交BC于点G，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DG，又∵S△ABC=S△ABD+S△BDC，AF⊥BC，∴12×BC×AF=12×AB×DE+12×BC×DG，即12×6×AF=12×4×2+12×6×2，∴AF=103．3.A解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB=√32+42=5，∵S菱形ABCD=12AC×BD=AB×DH，∴12×8×6=5DH，∴DH=245，4.B解：延长AP交BC于E，如下图，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90∘，在ΔAPB和ΔEPB中，{∠APB=∠EPB BP=BP∠ABP=∠EBP,∴ΔAPB≅ΔEPB(ASA)，∴SΔAPB=SΔEPB，AP=PE，∴ΔAPC和ΔCPE等底同高，∴SΔAPC=SΔPCE，∴SΔPBC=SΔPBE+SΔPCE=12SΔABC=0.5cm2．5.A解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，则S△BCE=S△BCP+S△BEP，即12BE⋅ℎ=12BC⋅PQ+12BE⋅PR，∵BE=BC，∴ℎ=PQ+PR，∵正方形ABCD的边长为4，∴ℎ=4√2×12=2√2．6.B解：∵点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿x轴负半轴方向运动，∴AQ=OP，∴OP+OQ=AQ+OQ=OA，∵A点坐标为(8,0)，∴OP+OQ=OA=8．故①正确；连AB，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠BPQ=∠BQP=45°，∵∠BPO=∠BPQ+∠OPQ=45°+90°−∠OQP=135°−∠OQP，∠AQB=180°−∠BQP−∠OQP=135°−∠OQP，∴∠AQB=∠BPO，∵BP=BQ，OP=AQ，∴△BPO≌△BQA，∴BO=BA，∠PBO=∠QBA，∴∠OBA=∠PBQ=90°，∴△OBA是等腰直角三角形，作BH⊥OA于H点，则BH=OH=12OA=4，∴B点坐标为(4,4)．故②正确；∵△BPO≌△BQA，∴△BPO的面积=△BQA的面积，∴△BPO的面积+△OBQ的面积=△BQA的面积+△OBQ的面积，即四边形PBQO的面积=等腰直角三角形OBA的面积，∵等腰直角三角形OBA的面积=12OA·BH=12×8×4=16，∴四边形PBQO的面积为16．故③正确；当运动的时间为4秒时，OP=OQ=4，则由勾股定理得PQ=4√2，而OB=4√2，此时PQ=OB．故④错误．因此正确的说法有3个．7.B解：连接CP．∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2 =√62+82 =10，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，∠EPF=90°，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC= 12BC⋅AC=12 AB⋅CP，即12×8×6=12×10⋅CP，解得CP=4.8，即EF=CP=4.8，此时PM的值最小，最小值为PM=12EF=2.4．8.2π【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的对称性有关知识，根据C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．【解答】解：∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=−x2的图象，∴两函数图象关于x轴对称，∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为：12π×22=2π．9.CD；2.4cm解：根据点到直线的距离定义得出线段CD的长度是点C到直线AB的距离，∵∠ACB=90°，AC⊥BC，∴S△ABC=12AC·BC=12AB·CD∴CD=2.4cm．10.2.4解：根据题意可知，S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AD，即：12×3×4=12×5×AD，解得AD=2.4，∴AD=2.4．11.2.4解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CP，即12×3×4=12×5⋅CP，解得CP=2.4．12.√3解：过P点作正三角形的三边的平行线，即QM//AB交BC、AC于Q、M，RN//BC交AB、AC于R、N，SO//AC交AB、BC于S、O，∵△ABC是等边三角形，∴△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，∴MF=FN，DQ=DO，RE=SE，∴四边形ASPM，四边形NCOP，四边形PQBR是平行四边形，∴可知黑色部分的面积=白色部分的面积，∵S△AFP+S△PCD+S△BPE=9√32，∴S△ABC=9√3，设△ABC边AB的高为h，∠ABC=60°，∴sin∠ABC=sin60°=ℎBC，即ℎ=sin60°·BC，∵AB=BC，∴S△ABC=12AB2sin60°=9√3，∴AB=6，∴三角形ABC的高ℎ=3√3，∴S△ABC=12×r×3AB=12×AB×ℎ∴△ABC的内切圆半径r=13ℎ=√3．13.解：(1)(m−n)2；(m+n)2−4mn；(2)(m−n)2=(m+n)2−4mn；(3)①解：∵a−b=5，ab=−6，∴(a+b)2=(a−b)2+4ab=52+4×(−6)=25−24=1；②解：由已知得：(a+2a )2=(a−2a)2+4⋅a⋅2a=12+8=9，∵a>0，a+2a>0，∴a+2a=3．解：(1)方法1：(m−n)2；方法2：(m+n)2−4mn；(2)(m−n)2=(m+n)2−4mn；故答案为(m−n)2；(m+n)2−4mn；(m−n)2=(m+n)2−4mn；14.(1)如图所示，BG即为所求；(2)>；垂线段最短；(3)S△ABC=4×4−12×1×4−12×1×3−12×4×3=6.5，∵AC=√32+42=5，∴12×AC×BG=6.5，即12×5×BG=6.5，解得BG=2.6．解：(2)BC>BG，理由是垂线段最短，故答案为：>，垂线段最短．15.(1)证明：如图①中，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECBAC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS)；(2)如图②中，作AM//CG交EH于M，连接GM．∵∠MAC+∠ACG=180°，∠ACG+∠BCF=180°，∴∠MAC=∠BCF，∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACM=∠CBF，在△ACM和△CBF中，{∠MAC=∠BCFAC=BC∠ACM=∠CBF,∴△MAC≌△CBF，∴CM=BF，AM=CF=CG，∵AM//CG，∴四边形AMGC是平行四边形，∴MH=HC，∴BF=CM=2CH；(3)∵△MAC≌△CBF，∴CM=BF=15，∵AC=BC=13，∴S四边形AMCG=2⋅S△AMC=AC⋅ℎ(ℎ是点G到AC的距离)，∴2×12×15×12=13ℎ，∴ℎ=18013．16.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠A=90∘−∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90∘，∴∠ECB=90∘−∠ABC，∴∠ECB=∠A.又∵C是BD⏜的中点，∴CD⏜=CB⏜，∴∠CDB=∠CBD，又∵∠CDB=∠A，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF．(2)解：∵BC⏜=CD⏜，∴BC=CD=6，∵∠ACB=90∘，∴AB=√BC2+AC2=√36+64=10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AC，∴CE=BC⋅ACAB =6×810=245．17.解：(1)如图4，共有三条过点D的“外似线”，(2)如图5，由题可得：F(0,1)，反比例函数为y=2x，∴x+1=2x，解得x=−2，x=1，∴点B坐标为(−2,−1)，∵C是点B关于y轴的对称点，∴点C坐标为(2,−1)，E(0,−1)，∵OE是BC的垂直平分线，BE=FE=2，∴∠FBE=45°，∵OA=OC=√5，AC=√10，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OCA=45°，点O在AC的垂直平分线上，∴点O是△ABC的外心，∵∠ACD=∠ABC=45°，∠DAC=∠CAB，∴△ACD∽△ABC，∴CD是△ABC的“外似线”；(3)如图6，连接AO并延长交BC于点D，∵A为弧CAB中点，AD过圆心O，∴AD⊥BC，BD=CD=4∵OA=OB=5，∴OD=√52−42=3，∴AD=5+3=8，AB=AC=√42+82=4√5，①“外似线”EF交AB，AC两边，如图7，∵EF是外似线，∴△AEF∽△∴EFBC =AOAD=58，ABC，∴EF=5，②若“外似线”EF交AB，BC两边，则有两种情形：第一种情形：若△EBF∽△ABC时，解法一：如图8.1，则EF//AC，∴△EBF为等腰三角形，，∵∠EAO=∠CAO，∴∠EOA=∠EAO，∴EA=EO，过E作EG⊥OA，∴AG=OG=12AO=52，∵△AEG∽△ABD，∴AEAB =AGAD=528，∴AE=54√5，∴EF=BE=4√5−54√5=114√5，解法二：如图8.2，则EF//AC，∴∠OFD=∠ACB，，∴DF=32，∴BF=112，∵△EBF∽△ABC，∴EFAC =BFBC，∴EF=114√5，解法三：如图8.3，建立平面直角坐标系，则EF//AC，∴B(−4,0)，C(4,0)，A(0,8)，O(0,3)∴y AB=2x+8，y AC=−2x+8，∴yEF=−2x+3∴2x+8=−2x+3，解得x=−54，∴E(−54,112)∴EF=BE=√(−54+4)2+(112)2=114√5；第二种情形：当△BEF∽△BCA时，解法一：如图9.1，OG⊥AB，则EF=BF，由①知，AO=5,AG=2√5，∴OG=√5，在Rt△OEG中，tan B=tan∠OEG=OGEG=2，∴EG=√52，∴BE=5√52，∵△BEF∽△BCA，∴EFAC =BEBC，∴EF4√5=5√528，∴EF=254；解法二：如图9.2，过C作CM⊥AB，则由等积法可得：CM=BC•ADAB =4√5=165√5，∴在Rt△ACM中，AM=√(4√5)2−(165√5)2=125√5，∵∠OFE=∠CAB，∴如图9.3，在Rt△ODF中tan∠CAM=tan∠OFD=ODDF= 16√55 12√5 5=43，∴DF=94，∴BF=4+94=254，∴EF=BF=254；③若“外似线”EF交CA，CB两边，同②，EF=114√5，EF=254．综上：EF=5，EF=114√5，EF=254。
＂等积法＂在高考解题中的应用
Ｓ ＡＡ Ａ１ 曰 ． ・ ． ６ 脚 ｈ ＝ ａ Ａ 口 ＝ Ａ ｃ ＝ × ｓ “ ‘ Ａ Ａｌ 即三
Ｊ
２ 、 ／６
棱锥ｃ ． 一 Ａ Ｂ Ｂ 的体积 为 。
６
二 求 点 到 平 面 的 距 离
总之 ， 用等积法 的关键是找准问题 的角度 ， 注意 观察 ， 从不 同角度思考 ， 充分利用 同一几何体体积不 Ｂ
，
Ｂ
…
． ・ ．
１ ｘ ｄ ｘ ￣ ２
３
－ 三 棱锥Ｃ ， 肋 的体 积。
－－ ２
图 ３
分析： 利用 等体积代换求 出三棱锥的体积。
解 ： 在 三 棱 柱 Ｃ — １ 日 Ｃ中 ， 。 ． ’ Ｓ△ＡＢ Ｂ ＝
２ｋ Ｆ ６
．
＝
，
故 异 面 直 线４ Ｅ 和Ｇ ， 间 的距 离 为
知：
３ ×ｄ×ｓ ＝ １
× ×ｓ
三 、 求体 积
如图３ ， 正 三 棱 柱 Ａ 曰 ｃ —Ａ Ｂ Ｃ 的 底 面 边 长
Ａ Ｉ Ｂ ｊ ￣ Ｂ Ｉ Ｂ ＝ ÷ｘ ２ ｘ ２ ＝ ２ 。
由 Ａ Ｉ － Ｂ Ｉ Ｆ Ｃ ￣ －
为３ ， 侧锨 Ａ ＝
三 求 Ｂ
Ａ Ｉ Ｂ｝ Ｃｌ Ｄ｛ 中， ＡＡ １ ＝ ＡＢ＝ ２， ＡＤ＝
１ ， 点 Ｅ、 Ｆ 、 Ｇ 分 别是Ｄ Ｄ． 、 Ａ Ｂ、
Ｃ Ｃ 的 中点 ， 求 异面 直线Ａ Ｅ
和Ｇ Ｆ 的距 离 。
分析 ：把 异而直线 问的距离转化为直线与平 面
问的距离 ， 再转 化 为 点 １ ＢＦ ． ＢＤ ． ｓ ｉ ｎ Ｚ＿ Ｆ ＢＤ ： １
．
— 一
巧用等积法解立体几何试题
４ ２
三 角 换 元 ， 出 一 片 天 换
“ 元” 换 的思 想 在 整 个数 学 中都 是 很 重 要 的 ， 文 只对 三 角 换 元法 做 必 要 的 探 本 讨 ． 三 角换 元 法 多 用于 条 件 不 等 式 的证 明或 一 些 函数 值 的计 算 ， 可 用 于解 也 决 一 些 几 何 问题 ， 即把 某 些 代 数 问题 或 几 何 问题 转 化 为三 角 问题 ， 这就 是代
ＡＡＢ ￣ＡＢ Ｄ都 是 边 长 为２ 正 三 Ｄ－ Ｃ 的
Ｊ ｉ体积 ＝ ２
ｃ， ÷。 Ｄ 所以 ： １
１
柱 ， Ａ ＝ ．求 ： 高Ａ ２
（） 面直线Ｂ １异 Ｄ与 Ａ 所 成 的 Ｂ。
角形 ， 以ＡＣ ２ 所 ＝
，Ｄ＝ ． 等 腰 Ｂ ２在
直 角三 角形 ＡＢ ＨＤ 中 ， 得 Ｂ ＨＤ＝ 可 Ｈ＝
－ 辫 Ｅ “ 一 多Ｊ Ｓ Ｕ糕 一 ● ｘ霉 鱼 法 ｈ 》 夕 ， ＂
巧用等积法解立体 几何试题
。 福建 厦 ｆ第 一 中 学 ］
吴 享 平
在 立体 几何 中 ， 有些 求体 积 问题 可 以通 过等 积 变换 来完 成 ， 即将 求一个 几 何 体 的体 积 等 价 转 化 为求另 一 个几何 体 的体 积 （ 的几何 体 的体 积一 定是 好 求 的 ）求某 些 点到 到 平面 的距 新 ；
数 问题 或几何 问题 的三 角 解 法 ， 面 举例 说 明 ． 下
０ 云 南 德 宏 师 范高 等 专 科 学 校 数 学 系 管能 碧 ０ 江 西 宜 黄 县 第 一 中学 孙小 明
当 所 给 条 件 比 较 复 杂 ， 一 个 变 量 不 易 用 另 一 个 变 量 表 示 时 。 可 考
面积——等面积法
面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。
利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。
用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。
运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。
有关面积的公式（1）矩形的面积公式：S=长⨯宽 （2）三角形的面积公式：ah S 21=（3）平行四边形面积公式: S=底⨯高（4）梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高（5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等） 有关面积的公理和定理 1、面积公理（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。
问：长方形的面积是__________平方厘米。
等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。
如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△ 9 2cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。
等面积法(人教版)(含答案)
等面积法（人教版）
一、单选题(共5道，每道17分)
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=16cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，两直角边AC=5，BC=12，在三角形内有一点P，它到各边的距离相等，则这个距离是( )
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
4.如图所示，等边△ABC内一点P到三边距离分别为，且，其中，则△ABC的边BC上的高为( )
A.6
B.3
C.4
D.5
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
5.如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为点G，连接DG，则图中阴影部分的面积为( )
A.3
B.5
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之折叠问题
二、填空题(共1道，每道15分)
6.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN=____．
答案：
解题思路：
试题难度：知识点：勾股定理之等面积法。
巧用等积法解题(1)
68 4.810BC AC CD AB •⨯===知识讲解 〔难点突破〕 二、知识讲解：1、同一个图形的面积相等。
2、分割图形后各局部面积之和等于原图形的面积。
3、同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等。
作用：求线段的长或某图形面积 三、应用举例，难点突破：例1：如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC=6， BC=8。
CD 为斜边AB 边上的高，求CD 的长。
例2： △ABC 的内切圆半径 r= D, E, F 为切点, S △ABC = ,求△ABC 的周长。
例3：如图,A 是半径为2的⊙ 0外一点,AB 是⊙ 0的切线,B 为切点,且∠ 0AB=30 °,弦BC//0A,连接AC,求阴影局部的面积。
用几何画板给学生展示等积法概念的内涵和外延。
强化等积法的两种不同解释。
例题，师生共同分析问题，教师积极引导学生运用等积法去思考问题。
鼓励学生大胆去实践。
分析思路，在学生充分理解题意的根底上，借助几何画板为学生演示动态分析过程，有助于帮助学生更好地理解和运用等积法分析和解决问题。
1033课堂练习〔难点稳固〕四、课堂练习，难点稳固：1、：如图，菱形ABCD中两对角线AC、BD分别长10和24，BC边上的高是h，求h的值？2、如图，矩形ABCD中，AC、BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE=CF3、 [2021.南充中考]如图,在半径为6的⊙ 0中,点A,B,C都在⊙ 0上,四边形0ABC是平行四边形,那么图中阴影局部的面积为( )课堂练习，旨在为学生训练等积法的使用方法和技巧，因此教师不必讲太多只是点拨即可。
主要是让学生体会到用等积法解决实际问题的好处。
使学生明白当解题过程中如果思维受阻时我们可以用等积法来解决问题。
33Aππππ、6 B、3 C、2 D、24、如图,在△ ABC中,AB=AC,P为t算方 BC上一点,P E ⊥ AB于E,PF ⊥ AC 于F,求证:PE+ PF为定值。
例谈“面积法”在“三角形角平分线模型”中的巧用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０㊀例谈面积法三角形角平分线模型中的巧用例谈 面积法 在 三角形角平分线模型 中的巧用Һ徐乐乐㊀王玮玮㊀（深圳市龙华区外国语学校，广东㊀深圳㊀５１８０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 三角形角平分线模型 中蕴含 同高 等高的特点，巧用三角形的面积公式，可以直观㊁快速地建立起边角联系，突破难点．建构三角形角平分线模型，呈现三角形面积法在典型题中的一次㊁二次应用，结合角平分线的性质定理及逆定理可以破解难题；归纳模型的性质结论和应用题型，引导学生在解题中恰当运用三角形面积法，从而发展学生的数学思维和几何模型思想．ʌ关键词ɔ三角形面积法；角平分线的性质；几何模型一般而言，在平面几何题的求解过程中，运用三角形面积公式和由面积公式推出的相关结论来计算或者证明的方法，称之为面积法．但是，三角形面积法在日常教学中，往往容易被学生和教师忽视．在初中数学几何难题中，常会包含三角形的角平分线的有关问题，虽然用常规的方法可以解决，但是步骤烦琐㊁计算量大，有时辅助线的添加还不明了．本文通过分析 三角形角平分线模型 问题的特性，在解题时巧妙应用三角形面积法，最终收到良好的教学效果．一㊁三角形的角平分线模型在三角形的角平分线模型中，由角平分线的性质可知：角平分线上任意一点到角两边的距离相等．所以，学生能自然联想到原三角形被角平分线所分得的两个三角形的高相等，结合三角形面积法，就可以将同高（或等高）的两个三角形的面积比转化为底之比．图１㊀图２如图１，ＢＤ是әＡＢＣ的角平分线，则由定义可知，øＡＢＤ＝øＣＢＤ＝１２øＡＢＣ．如图２，过点Ｄ分别向边ＡＢ，ＢＣ作垂线ＤＥ，ＤＦ，则ＤＥ，ＤＦ分别是әＡＢＤ和әＣＢＤ的高，由角平分线的性质可知ＤＥ＝ＤＦ，则ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＢＢＣ．我们不妨把图２称为 三角形的角平分线模型 ，它完整地呈现了三角形的性质的推导过程；从 面积法 的角度看，它直观地呈现了被角平分线分得的两个三角形的底和高，并且是较为特别的 等高 三角形．当我们建立了这样的双视角几何模型，就能够在常规的 角相等 的基础上，发展出 边成比例 的结论．从而为含有角平分线的几何难题提供了新的解题思路 构造等（同）高，巧用面积法．二㊁角平分线模型的应用１．面积法在模型中的一次应用例１㊀如图３，әＡＢＣ中，ＡＤʅＢＣ交ＢＣ于Ｄ，ＡＥ平分øＢＡＣ交ＢＣ于Ｅ，Ｆ为ＢＣ的延长线上一点，ＦＧʅＡＥ交ＡＤ的延长线于Ｇ，ＡＣ的延长线交ＦＧ于Ｈ，连接ＢＧ，下列结论：①ＳәＡＥＢʒＳәＡＥＣ＝ＡＢʒＡＣ；②øＤＡＥ＝øＦ；③øＤＡＥ＝１２（øＡＢＤ－øＡＣＥ）；④øＡＧＨ＝øＢＡＥ＋øＡＣＢ．其中正确的结论是．图３㊀图４分析㊀这个题目是八年级数学期中考试的压轴题，这是一个几何图形综合题，难度很大，学生的正确率只有１０％．②③④都是关于角的结论，通过角的转化可以推导出三个结论都是正确的，此处省略．①就是典型的三角形的角平分线模型的直接应用．如图４，通过抽离出әＡＢＣ，并作出边ＡＢ，ＡＣ上的高，由于角平分线的性质，高相等，因此，面积比转化为底之比，①正确．例２㊀如图５，在直线ＡＢＣ的同一侧作两个等边三角形әＡＢＤ和әＢＣＥ，连接ＡＥ与ＣＤ，求证：（１）ＡＥ＝ＤＣ；（２）ＨＢ平分øＡＨＣ．图５㊀图６分析㊀很多老师和学生都对这个类型的题目非常熟悉，并且形象地称为 手拉手 模型，这个模型的图形特征是两个形状相同㊁大小不同的特殊图形（等边三角形㊁正方形等）绕着一个公共顶点旋转，在变化的过程中有着许多不变的结论，属于典型的动态变化过程中的不变性问题．例２中，әＡＢＤ和әＢＣＥ都是等边三角形，则存在对应相等的边和角，结合公共夹角构造出新的等角，从而证得㊀㊀㊀解题技巧与方法１６１㊀㊀әＡＢＥɸәＤＢＣ，故ＡＥ＝ＤＣ得证．第（２）问是关于角平分线的判定，此题如果采用常规的角相等去证明会十分烦琐，而采用角平分线的判定定理，如图６，作出两个全等三角形的高线，通过面积法证明就非常简便．教学中，学生常常会有强烈的顿悟感，感觉柳暗花明㊁十分巧妙．证明㊀过点Ｂ作ＢＭʅＡＥ，ＢＮʅＣＤ．（１）ȵәＡＢＤ，әＢＣＥ都是等边三角形，ʑＡＢ＝ＢＤ，ＢＥ＝ＢＣ，øＡＢＤ＝øＥＢＣ＝６０ʎ．ȵøＡＢＤ＋øＤＢＥ＝øＥＢＣ＋øＤＢＥ，ʑøＡＢＥ＝øＤＢＣ，ʑәＡＢＥɸәＤＢＣ（ＳＡＳ），ʑＡＥ＝ＤＣ．（２）由（１）知әＡＢＥɸәＤＢＣ，ʑＳәＡＢＥ＝ＳәＤＢＣ，即ＡＥ㊃ＢＭ２＝ＤＣ㊃ＢＮ２，ʑＢＭ＝ＢＮ．又ȵＢＭʅＡＥ，ＢＮʅＣＤ，ʑＨＢ平分øＡＨＣ．变式㊀如图７，将әＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转６０ʎ得到әＡＤＥ，ＤＥ与ＢＣ交于点Ｐ，求证：ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＥ．图７㊀图８分析㊀如图８，此题通过连接ＢＤ与ＣＥ就变成等边三角形 手拉手 模型．过点Ａ向两边作高线，构造三角形的角平分线模型．结合三角形面积法与角平分线的性质便可证得øＡＰＢ＝６０ʎ；在ＢＣ边上截取ＰＧ＝ＰＡ，连接ＡＧ，则әＡＰＧ为等边三角形，进而证明әＡＰＥɸәＡＧＣ，ＰＡ＋ＰＣ＝ＰＥ得证．２．面积法在模型中的二次应用例３㊀如图９，әＡＢＣ中，ＢＤ是øＡＢＣ的平分线，求证：ＡＢＢＣ＝ＡＤＤＣ．图９㊀图１０分析㊀此题求证的边之比相等是典型的相似三角形问题，常规方法就是构造相似三角形，利用边的转化求证．当换个思路 用三角形的面积法，会收到意想不到的效果．如图１０，过点Ｄ分别向边ＡＢ，ＢＣ作垂线，则ＤＥ，ＤＦ分别是әＡＢＤ和әＣＢＤ的高，由角平分线的性质可知，ＤＥ＝ＤＦ，则ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＢＢＣ．如图１１，过点Ｂ向边ＡＣ作垂线，ＢＧ是әＡＢＤ和әＣＢＤ的公共高，ＳәＡＢＤＳәＣＢＤ＝ＡＤＤＣ，所以ＡＢＢＣ＝ＡＤＤＣ．图１１例４㊀（２０１６年深圳中考２３题（１）（２）问）如图１２，抛物线ｙ＝ａｘ２＋２ｘ－３与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，且点Ｂ的坐标为（１，０）．（１）求抛物线的解析式和点Ａ的坐标；（２）如图１２，点Ｐ是直线ｙ＝ｘ上的动点，当直线ｙ＝ｘ平分øＡＰＢ时，求点Ｐ的坐标．图１２㊀㊀图１３分析㊀第（１）问为基础考查，易得点Ａ的坐标为（－３，０），抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３．对于第（２）问，将图形简化，如图１３，可以理解为ＰＯ平分øＡＰＢ，这就是三角形的角平分线模型，采取与例３的相同方法，二次应用三角形面积法得ＰＡＰＢ＝ＡＯＢＯ＝３，将点Ｐ的坐标设为（ｘ，ｘ），列方程（ｘ＋３）２＋ｘ２＝９（ｘ－１）２＋９ｘ２，解得ｘ＝３２（０舍去），故点Ｐ的坐标为３２，３２()．通过上述例题发现，在三角形的角平分线模型中巧妙使用三角形的面积法，会为解题带来极大的便利．无论是一次应用还是二次应用，其依据都是同高（等高）的两个三角形的面积之比等于底之比．理解并熟练掌握三角形的角平分线模型的特点与结论，便能在复杂的问题中快速想到解题思路，通过辅助线的添加构造模型．在教学过程中，要利用基本几何模型将复杂的问题简单化，透过问题看本质，从而提高探究问题的能力和数学核心素养．ʌ参考文献ɔ［１］黄孝培．浅谈三角形面积法在初中几何问题中的基本运用［Ｊ］．中国数学教育∙初中版，２０１９（７－８）：９０－９３．［２］祝林华．角平分线模型的构造及应用［Ｊ］．初中数学教与学，２０１５（０７）：２４－２６．［３］王霞，房文慧．最短路径与几何定值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０２０（０８）：４１－４６．。
一元一次方程的应用解题策略分析
一元一次方程的应用解题策略分析摘要:方程是一种描述现实世界的数学模型，而一元一次方程是最基本、最简单的代数方程，在实际中有着广泛的应用.《义务教育数学课程标准(2022年版)》中提出的十一个核心词中有八个（数感、符号意识、运算能力、推理能力、几何直观、模型思想、应用意识、创新意识）都在一元一次方程的应用中被涉及. 本文将一元一次方程的应用题分成10种问题类型，再给出9种解题策略，阐述不同题型所对应的首选解题策略，但解题策略和问题类型无一一对应的关系，只供解题者一个首要尝试的方向. 一元一次方程的应用题型千变万化，解题的根本是回归本质——找等量关系，本文主要阐述找等量关系的方法和策略，这为改善教师的教学方式和提高学生的解题能力具有一定的参考意义.关键词：方程，应用，解题策略，等量关系一、引言方程是一种重要的描述现实世界的数学模型。
一元一次方程的实际应用解题的一般步骤可用七个字概括：审—设—找—列—解—验—答.“审”就是首先得审清题意；“设”就是设未知数，一般来说怎么问就怎么设；“找”就是找出等量关系；“列”就是根据等量关系列出方程；“解”就是解所列出的方程；“验”就是检验所列方程的合理性；“答”就是回答题目中所提出的问题. 在这七个步骤中至关重要且最有难度的就是找等量关系.找等量关系的技巧如下：在题目中提取重要信息，一般提到两个（或以上）对象的句子就可以列出来一个等量关系. 如果题目中如果能都找出一个或多个等量关系，那么其中的一个或几个是用来表示未知数的，而另外一个是用来作为列方程的依据的.用来列方程的等量关系主要可以分成以下两个模型：类型之一，“总量等于各分量之和”模型，即“A＝B＋C＋D＋…”.“总量等于各分量之和”是一种基本相等关系. 解决这类问题一般先设其中一部分量为，用含有的式子表示其他各部分量，再根据总量等于各分量相加的相等关系列出所需方程.类型之二，“用不同式子表示同一量的相等关系”模型，即“A＝A”.“表示同一个量的两个式子相等”是一个基本的数量关系，一般是从不同方面或者不同途径出发，用两个不同的含有未知数的式子表示同一个量，再按照他们的相等关系来列方程.万变不离其宗，无论一元一次方程的应用中的题目所给条件多么错综复杂，方法都是将题目条件一步步分析、翻译，判断出题目符合哪种类型的等量关系，再按照上文的七个步骤来解答.找出等量关系便能列出方程，但“如何找”才是关键。
三角形等面积法在初中教学中的应用
三角形等面积法在初中教学中的应用摘要：关于三角形等面积法是近些年初中数学的一种常规解题思路，它的优势在于可以更加快速的找到解题关键，将一些晦涩难懂的知识点变得简单化。
本文将结合现有的一些典型例题，利用三角形等面积法解决相关问题，以此来培养学生的数学思维，提高学生的解题能力。
关键词：三角形等面积法；初中数学；具体应用前言：在现有的初中数学教学中，采用三角形等面积法是一个比较快捷实用的方法，结合几年的教学经验可以发现，即便部分几何题目的问题并没有涉及到三角形的面积计算，但是我们却可以按照图形进行数形结合，将其与实际问题相联系，进而解决这类问题一、分析三角形之间的相关联系，提升学生简单几何的能力在解决三角形的面积时，通常会利用到三角形的边长以及角度之间的关系。
尤其是在一些几何题目当中可能会让你求解一些与已知条件看似毫无关系的边长和角度，此时，很多同学就会将问题复杂化，但实际上如果你仔细观察就会发现，这道题很可能就是利用了三角形的等面积公式，将一个复杂的几何问题转变为一个解方程的题目，而这类题型的实际目的就是让学生发现图形中图形之间的关系，培养学生的数学几何能力，采用“以数解形”的思想，了解几何题背后的实际含义。
例题1如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°BC=4,AC=4，求CD的长度图1解：∵根据勾股定理可知，AB²=AC²＋BC²∴AB=4又∵S△ABC=AB*CD/2=AC*BC/2即4*CD/2=4*4/2∴CD=4二、熟悉三角形的基本属性，培养学生的空间想象能力在一些复杂的几何题目中，通常会将圆、平行四边形等图形与三角形结合起来，此时学生不仅要熟知三角形的一些基本定理，尤其是等腰三角形、等边三角形等特殊图形，要充分利用45°、60°等角度。
同时也要熟悉相关图形的定理，做到活学活用，最后看能否利用等面积法将几何问题转换为简单方程，进而更快速的求解题目。
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巧用等积法解题
(江苏省张家港市第一中学顾大权)
等积法是初中数学中常见的一种解题方法，利用这一方法解决某些问题，能化难为易，化繁为简．下面举例供参考．
一、求三角形的高
例1 （2014年贺州中考题）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sin A＝_________．
解析如图1，作AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，由勾股定理，得
点评本题要求∠A的正弦值，根据定义，即要求∠A对边与斜边的比，关键就是求对边CE的长，而CE不能通过网格直接求出，这就需要利用△ABC的面积构建相等关系才能得到CE的长，这是解决本题的关键．
二、求三角形内切圆的半径
例2 如图2，圆O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．又AB＝AC＝10，BC ＝12，求圆O的半径r．
解析连结AO，O是内切圆心，就是角平分线的交点，AO的延长线与BC的交点为E．
点评本题要求三角形内切圆的半径，而三角形内切圆的半径与三角形各边垂直，所
以想到利用三角形的面积构建相等关系，即大三角形的面积等于三个小三角形的面积之和，从而解决问题．这也是处理三角形内切圆问题的一种常见的方法．
三、求阴影部分的面积
例3（2014年钦州中考题）如图3，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD，交OB的延长线于点A，连结CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求弦BD的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
解析(1)(2)略．
点评本题中，直接计算阴影部分的面积比较麻烦，故连结OC、OD、OB，并证得OD∥BC，此时便可发现△DPC和△OBC同底等高，即△DBC的面积和△OBC的面积相等，因此阴影部分的面积可转化为扇形的面积求解．
四、探究线段之间的关系
例4（2014年漳州中考题）如图4，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F．
(1)对角线AC的长是_______，菱形ABCD的面积是_______；
(2)当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由；
(3)如图5，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由，若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．
解析(1)对角线AC的长是12，菱形ABCD的面积是96；
(2)OE＋OF的值不变．
如图4，连结AO．
(3)OE＋OF的值发生变化，
如图5，连结AO．
整理得OE－OF＝9.6．
∴OE、OF之间的数量关系为
OE－OF＝9.6．
点评本题中(2)要求OE＋OF的值是否发生变化，而OE、OF分别是AB、CD边上的两条高，由此可以想到通过△ABD的面积相等，即△ABD＝△AOB＋△AOD，就可以求出OE＋OF的值；本题中(3)在点O运动到BD的延长线时，探究OE、OF之间的数量关系，由于OE、OF依然是AB、CD的两条高，还是通过△ABD的面积相等，即△ABD ＝△AOB－△AOD．这样就可以找出OE－OF的值．
五、求函数的解析式
例5 （2014年上海中考题）在平面直角坐标系中（如图7），已知抛物线y＝2
3
x2＋
bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和点B，与y轴交于点C(0，－2)．
(1)求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；
(2)点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；
(3)点D为该抛物线的顶点，设点P(t，0)，且t>3，如果△BDP 和△CDP的面积相等，求t的值．
解析(1)，(2)略；
(3)由(1)和(2)题可得，点B(3，0)，点D(1，－8
3
)．若△BDP和△CDP的面积相等，
则DP∥BC，
∴直线BC的解析式为y＝2
3
x－2，
直线DP的解析式为y＝2
3
x－
10
3
，
则当y＝0时，x＝5，
∴t＝5．
点评第(3)题中，已知△BDP和△CDP的面积相等，可得△BDP和△CDP等底同高，即DP∥BC，根据待定系数法得到直线BC的解析式，再根据两条平行的直线k值相同可得直线DP的解析式，进而得到t的值．。