动态几何
第5讲全等三角形动态几何
第五讲全等三角形动态几何一、知识梳理所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线，上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题.此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查.动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。
解动态几何题一.般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系(如等量关系、变量关系)、图形位置关系(如图形的特殊状态、图形间的特殊关系)等进行研究考察.抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
二、典型例题例1、如图，已知AB ＝12米，MA ⊥AB 于点A ，MA ＝6米，射线BD ⊥AB 于点B ，点P 从点B 出发沿BA 方向往点A 运动，每秒走1米，点Q 从点B 出发沿BD 方向运动，每秒走2米，若点P 、Q 同时从点B 出发，出发t 秒后，在线段MA 上有一点C ，使由点C 、A 、P 组成的三角形与△PBQ 全等，则t 的值是_____．【答案】4秒例2、如图，有一个直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC 10=，BC 6=，线段PQ =AB ，点Q 在过点A 且垂直于AC 的射线AX 上来回运动，点P 从C 点出发，沿射线CA 以2/cm s 的速度运动，问P 点运动___________秒时(t 0)>，才能使ABC ≌QPA 全等．【答案】2或8例3、图，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝100，E ，F 分别为线段AB 和射线BD 上的一点，若点E从点B 出发向点A 运动，同时点F 从点B 出发向点D 运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC 上取一点G ，使△AEG 与△BEF 全等，则AG 的长为40或75．【分析】设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，使△AEG 与△BEF 全等，由∠A ＝∠B ＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，列方程解得t ，可得AG ；情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，列方程解得t ，可得AG ．【解答】解：设BE ＝2t ，则BF ＝3t ，因为∠A ＝∠B ＝90°，使△AEG 与△BEF 全等，可分两种情况：情况一：当BE ＝AG ，BF ＝AE 时，∵BF ＝AE ，AB ＝100，∴3t ＝100﹣2t ，解得：t ＝20，∴AG ＝BE ＝2t ＝2×20＝40；情况二：当BE ＝AE ，BF ＝AG 时，∵BE ＝AE ，AB ＝100，∴2t ＝100﹣2t ，解得：t ＝25，∴AG ＝BF ＝3t ＝3×25＝75，综上所述，AG ＝40或AG ＝75．故答案为：40或75．例4、如图（1），AB ＝4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点P 在线段AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当t =1时，AP =BQ =1,BP =AC =3,又∠A =∠B =90°，在△ACP 和△BPQ 中，{AP BQA BAC BP=∠=∠=∴△ACP ≌△BPQ (SAS ).∴∠ACP =∠BPQ ,∴∠APC +∠BPQ =∠APC +∠ACP =90*.∴∠CPQ =90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)①若△ACP ≌△BPQ ，则AC =BP ，AP =BQ ，34t t xt=-⎧⎨=⎩解得11t x =⎧⎨=⎩;②若△ACP ≌△BQP ，则AC =BQ ，AP =BP ，34xt t t=⎧⎨=-⎩解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩综上所述,存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等.例5、如图，已知△ABC 中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒得速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD ≌△CQP ？（2）若点Q 以（1）②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？例6、如图（1）AB =8cm ，AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC =BD =6cm ，点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们的运动时间为t (s )．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t =1时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠= ”，其他条件不变，设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）当1t =时，2AP BQ ==，6BP AC ==，又∠A =∠B =90°，在ACP ∆与BPQ ∆中AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ (SAS )，ACP BPQ ∴∠=∠，90APC BPQ APC ACP ∴∠+∠=∠+∠= ，90CPQ ∴∠= ，即PC PQ ⊥；（2）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC BP =，A P B Q =，8262t t xt -=⎧⎨=⎩，解得12t x =⎧⎨=⎩；②若△ACP ≌△BQP ，则AC BQ =，AP BP =，6282xt t t =⎧⎨=-⎩，解得23t x =⎧⎨=⎩，综上所述，存在1223t t x x ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，使得ACP ∆与BPQ ∆全等.例7、在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AB 的中点，动点E 从A 点出发沿着AC 匀速运动到终点C ，动点F 从C 点出发沿着CB 匀速运动到终点B ，他们同时出发并同时到达终点，连结DE ，DF ，EF ，在运动过程中。
动态几何教案
动态几何教案引言：动态几何是计算机图形学的一个重要领域。
在此，我们将通过一张动态几何教案，介绍如何使用计算机技术和动态几何软件来帮助学生学习几何知识。
本教案被设计用来教授9-12年级初学者。
教案通过引导学生使用动态几何软件，帮助他们更好的理解几何概念的基础知识。
1.教学目标：本教案的主要教学目标包括：1.1 理解几何概念1.2 学会使用动态几何软件1.3 学习如何解决几何问题2.使用的软件：教师将使用如下动态几何软件CarMetal进行教学：2.1 CarMetal是一个免费的软件，用户可以在Windows、Mac OS X和Linux等操作系统上使用。
2.2 这个软件提供了一个友好的用户界面，可以方便地绘制几何图形和执行几何操作。
2.3 学生将使用CarMetal软件，来亲手制作和观察几何图形，并了解其中的几何概念和技巧。
3.教案内容：本教案包含五个部分：直线，圆，三角形，四边形和多边形。
3.1 直线：直线是几何的基本元件之一，学生将学习并理解直线的定义，如何用刻度尺绘制直线和如何使用CarMetal软件绘制直线。
学生还将学习如何测量和角度和距离，以及如何做平行和垂直线的构造。
3.2 圆：学生将学习并理解圆的基本定义，如何用圆规和直尺绘制圆形，如何测量圆的半径和直径，并使用CarMetal绘制和观察圆形的运动。
3.3 三角形：学生将学习并理解三角形的基本定义，如何用规和直尺绘制三角形，如何计算三角形的面积和周长，如何使用CarMetal绘制和观察三角形的运动。
3.4 四边形：学生将学习并理解四边形的基本定义，如何用直尺和角规绘制四边形，如何计算四边形的周长和面积，并使用CarMetal观察四边形的运动。
3.5 多边形：学生将学习并理解多边形的基本定义，如何用直尺、角规和圆规绘制多边形，如何计算多边形的周长和面积，并使用CarMetal观察多边形的运动。
4.实践操作：在理解和掌握了几何概念及其运算方法之后，学生将有机会运用所学知识完成一些实际操作和问题解答，例如计算圆的面积和周长、计算多边形的面积和周长等等。
动态几何问题分类解析PPT
• 动态几何问题概述 • 动态几何问题的分类 • 动态几何问题的解析方法 • 动态几何问题的应用实例 • 动态几何问题的挑战与展望
01
动态几何问题概述
定义与特点
定义
动态几何问题是指涉及图形在运动过 程中产生的变化和规律的问题。
特点
动态几何问题具有综合性、探索性和 应用性，需要学生掌握基本的几何知 识和逻辑推理能力，同时还需要具备 一定的数学建模和问题解决能力。
02
动态几何问题的分类
点动问题
点在几何图形中运动，引起图形变化的问题。
点动问题是动态几何问题中最基础的一种，主要研究点在运动过程中，与其相关 的图形性质和数量关系的变化。例如，点在圆上运动时，研究其与圆心、半径等 的关系。
线动问题
线在几何图形中运动，引起图形变化的问题。
线动问题涉及线的移动对图形形状、大小和位置的影响。这类问题通常涉及到线与线、线与点、线与面等之间的关系变化。 例如，研究直线在平面内平移时，与平面内其他线的关系。
动态变化的不确定性
在动态几何问题中，形状、大小和位置可能会随时间发生变化，这 种不确定性增加了解决问题的难度。
计算效率问题
由于动态几何问题的复杂性，使用传统的几何或数值方法可能无法 快速得到精确解，因此需要高效的算法和计算技术。
研究进展与趋势
算法改进
研究者们不断改进算法，以更有 效地解决动态几何问题。例如， 采用更高级的数值计算方法、引 入人工智能和机器学习技术等。
利用几何图形的性质和定理，通过图形 变换和构造来解决问题。
VS
详细描述
几何法是解决动态几何问题的另一种常用 方法。它利用几何图形的性质和定理，通 过图形的平移、旋转、对称等变换以及构 造辅助线等方式来解决问题。这种方法适 用于解决一些涉及图形位置和形状变化的 动态问题。
九年级数学动态几何知识点
九年级数学动态几何知识点动态几何是数学中一个非常重要的分支，它研究的是物体的运动和相对位置的变化。
在九年级数学中，我们需要掌握一些基本的动态几何知识点。
本文将结合实例，详细介绍这些知识点。
1. 平移平移是指物体在平面上沿着某个方向保持一定的距离进行移动。
平移可以改变物体的位置，但不改变物体的形状和大小。
我们可以使用向量表示平移的方向和距离。
例如，有一个三角形ABC，我们将它沿着向量→AB进行平移，得到三角形A'B'C'。
A'B'C'与ABC形状相同，只是位置改变了。
2. 旋转旋转是指物体绕某个固定点进行转动。
旋转可以改变物体的位置、形状和大小。
我们可以使用旋转角度和旋转中心来描述旋转。
例如，有一个矩形ABCD，我们以点O为旋转中心，逆时针旋转90度，得到矩形A'B'C'D'。
A'B'C'D'与ABCD形状相同，只是位置、形状和大小改变了。
3. 对称对称是指物体相对于某个中心对称轴进行镜像翻转。
对称可以改变物体的位置和形状，但不改变物体的大小。
例如，有一个正方形ABCD，以直线AC为对称轴进行对称，得到正方形A'B'C'D'。
A'B'C'D'与ABCD位置和形状相同，但位置翻转了。
4. 相似相似是指两个图形的形状相同，但大小不同。
相似关系可以用比例表示。
例如，有一个三角形ABC，与之相似的三角形是DEF。
两个三角形形状相同，但大小不同，可以表示为：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB/DE=BC/EF=AC/DF。
5. 共线共线是指三个或更多点在同一条直线上。
例如，有三个点A、B、C，如果三个点都在同一条直线上，那么我们可以说A、B、C是共线的。
6. 相交相交是指两个或多个图形有公共的点。
例如，有两条直线AB和CD，如果它们有一个公共的点O，那么我们可以说直线AB和CD相交于点O。
动态几何问题
动态几何问题
（2）当直线MN绕着点C顺时针旋转到 MN与AB相交于点F（AF＞BF）的位 置（如图2所示）时，请直接写出下列 问题的答案： ①请你判断△ADC和△CEB还具有 （1）中①的关系吗？ ②猜想DE、AD、BE三者之间具有怎 样的数量关系．
动态几何问题
训练题2
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4 √2， 另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合， 两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中 点． （1）求等腰梯形DEFG的面积；
②探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形 DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式.
动态几何问题
参考提示：
1、△ABC是等腰直角三角形，BC=,4√2，BC上的高为 2√2，梯形的底DE=4√2，GF=2√2，高为√2.。梯形面积 （4√2+2√2）*√2/2=6。 2、函数的定义域为0≤x≤4√2， 函数式分两个区间分析。
动态几何问题
动态几何问题
动态几何问题
动态几何问题
动态几何问题
Байду номын сангаас
动态几何问题
动态几何问题
解：（1）∵G、F分别是AB、AC的中点， ∴GF=1/2 BC=1/2×4√2 =2√2 ， 过G点作GM⊥BC于M， ∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=4√2 ，G 为AB中点 ∴GM=√2 又∵G，F分别为AB，AC的中点 ∴GF=1/2 BC=2√2 ∴S梯形DEFG=1/2 （2√2 +4√2 ）×√2 =6， ∴等腰梯形DEFG的面积为6 .
动态几何问题
2）能为菱形
由BG∥DG′，GG′∥BC ∴四边形BDG′G是平行四边形 又AB=AC，∠BAC=90°，BC=4√2 ， ∴AB=AC=4， 当BD=BG=1 2 AB=2时，四边形BDG′G为 菱形 此时可求得x=2， ∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形
什么是动态几何
为什么要学习动态几何？ 日常的学习工具 课件制作的平台 实验探索的环境 创新思维的触媒 学术交流的手段 艺术欣赏的园地
日常的学习工具：作函数的动态图像
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课件制作的平台：变幅平摆线的生成
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实验探索的环境：蒲丰投针实验
艺术欣赏的园地
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学习哪些内容？
写 画 测 算 编 演 推 变
怎样学好动态几何？
动手动脑 学会自学 乐于交流 发现创造
谢谢大家
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实验探索的环境：蒲丰投针实验
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创新思维的触媒：梯子模型
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在基于动态几何的平台上，运用跟踪、轨迹、变 换和迭代等功能，容易创作美丽的图案和动态的 百变艺术作品。
一个看来简单的图象，观察者自己调整参数后， 可以产生无穷无尽的不同效果。
体验认识：什么是动态几何？
在计算机屏幕上作出的几何图形，如果在变化和 运动中能保持其几何关系不变,就叫做动态几何图 形。有关动态几何作图的理论和应用的学科，就 是《动态几何》。
动态几何图形有两个基本特点： (1)图中的某些对象可以用鼠标拖动或用参数的 变化来直接驱动； (2)其他对象会自动调整其位置，以保持图形原 来设定的几何性质。
动态几何初步
什么是动态几何
主讲：张景中
广州大学计算机科学与教育软件学院 广州市数学教育软件行业工程技术研究中心
本课提要
什么是动态几何？
动态几何问题的解题探究
２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀动态几何问题的解题探究◉广东珠海市凤凰中学㊀魏庆雪㊀㊀摘要:初中数学中动态几何问题是难点,不少学生面对动态几何问题,常常不知如何入手．为了帮助学生掌握动态几何问题的解题方法,教师根据动态几何问题的特点,对其解题方式进行归纳总结,结合典型例题,将解题方法展现出来,引导学生把握解题细节,能够做到学以致用㊁举一反三．关键词:中学数学;动态几何问题;解题㊀㊀对于动态几何问题,解题的思路比较多,如利用函数性质㊁图形性质㊁点的对称知识㊁图形关系以及数形结合等,解题时需要根据题目的特点选择合适的思路．点对称的动态几何问题是根据 将军饮马模型 转化的,图形关系则是根据图形的全等或者相似而来的．本文中结合具体实例,探究初中数学中动态几何问题的解题方法．１利用函数性质解决动态几何问题动态几何问题通常比较复杂,难度较大,特别是求解最值问题时,利用函数性质解题是常见的思路．在解题过程中,需要仔细审题,理解题意,明确线段㊁角之间的关系,设出相应的参数,表示出求解参数的表达式,之后根据一次函数㊁二次函数和反比例函数性质完成解答．在解题时,最值与自变量有着直接关系,需要根据题意,确定自变量的范围[１]．图１例１㊀如图１所示,矩形A B C D 中,A B ＝１０c m ,A D ＝６c m ,动点E 从点A 开始以１c m /s的速度沿着A D 向点D 移动,另有一个动点F 从点D 出发,以２c m /s 的速度沿着D C 向C 点移动,设移动的时间为t s ,当S әD E F ＋S әA B E 取最大值时,t 的值是(㊀㊀)．A．２㊀㊀㊀B ．３㊀㊀㊀C ．７２㊀㊀㊀D．１１２分析:此题创设的情境并不十分复杂,根据动点的运动速度,可以得出D F ＝２A E ,将点的运动变化转化成线段的长度关系．根据已知条件中的参数,设出A E 的长度,用A E 表示出三角形的面积和,将问题转化成二次函数的最值问题．解析:由题意得A E ＝t c m ,D F ＝２t c m ,所以S әA B E ＝１２ˑA B ˑA E ＝５t ,S әD E F ＝１２ˑD E ˑD F ＝(６－t )t ．故S әD E F ＋S әA B E ＝(６－t )t ＋５t ＝－t ２＋１１t(０＜t ＜５)．又－t ２＋１１t ＝－(t －１１２)２＋１２１４,所以当t ＝１１２时,S әD E F ＋S әA B E 的值最大．故正确答案是选项D ．点评:此题根据矩形和三角形的性质设计问题,结合点的变化对三角形面积的影响,引导学生联想一次函数㊁二次函数或者反比例函数,结合特点写出函数表达式,进而利用函数的性质解题．考查学生对函数性质的掌握和利用．２结合图形性质解决动态几何问题在求解动态几何问题时,利用图形性质是一种比较常见的思路．初中数学中图形比较多,如三角形㊁正方形㊁长方形㊁圆等,每种图形有其特有的性质．在求解问题时,通过分析题目中的图形,利用线段与角之间的关系,找出运动中的变量与不变量,明确解题突破点．例２㊀在平面直角坐标系x O y 中,点A 坐标是(１２,０),点B 坐标是(０,９),经过点O 作一个圆和A B相切,圆与x 轴㊁y 轴分别相交于点P ,Q ,则线段P Q 的最小值是(㊀㊀)．A．６２B ．１０C ．７．２D．６３分析:通过审题发掘题目中的隐藏信息．在圆运动的过程中,øQ O P ＝９０ʎ是不变的,圆和A B 相切是不变的．根据圆的性质分析,求解P Q 的最小值就是求解动圆直径的最小值．结合已知条件,当圆的直径是三角形A B O 中A B 边上的高时,圆的直径最小．图２解析:如图２所示,设F 是P Q 的中点,因为øQ O P ＝９０ʎ,所以F 是动圆的圆心．设圆与A B 的切点是D ,连接O F ,F D ,则F D ʅA B ．因为点A 坐标是(１２,０),点B 坐标是(０,９),所以A B ＝１５．因为øA O B ＝９０ʎ,所以F O ＋F D ＝P Q ,F O ＋F D ȡO D ,当F ,O ,D 三点共线时,P Q 取得最小值,此时P Q ＝O D ．因为S әA O B ＝１２O B O A ＝１２O D A B ,所５７解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀以O D ＝O A O BA B ＝７．２．故正确答案为选项C ．点评:此题将图形与坐标系结合,要求学生认真审题,根据圆的性质发掘隐含条件,如直径对应的圆周角为直角．通过这样的方式,对问题进行转化,完成题目的解答,考查学生对图形性质的掌握与应用．３利用点的对称解决动态几何问题在初中数学动态几何问题中,利用点的对称解题是一种有效的方式, 将军饮马模型 是具有代表性的问题．在动态几何问题的求解中,根据题目条件选择合适的点,找出对称的线段,根据图形性质确定对称点的问题,作出辅助线,构建相应的图形,利用图形性质和相关定理求解线段长度[２]．图３例３㊀如图３所示,在菱形A B C D 中,øD ＝１３５ʎ,A D ＝３２,C E ＝２,动点P ,F 分别在线段A C ,A B 上,则P E ＋P F 的最小值是(㊀㊀)．A．２２B ．３C ．２５D．１０分析:解答此题时,根据 将军饮马模型 ,找出点E 关于A C 的对称点,结合菱形的性质,可以确定对称点在C D 上,当对称点与P ,F 三点共线时,P E ＋P F 最小．作出辅助线,构建直角三角形,根据题目中的已知条件,求解出线段之和的最小值．解析:设点E 关于A C 的对称点为G ,因为四边形A B C D 是菱形,所以点G 在C D 上．连接P G ,B G ,过点B 作B H ʅC D ,垂足为H ．根据菱形的性质可以得出C E ＝C G ＝２,P E ＝P G ,要求P E ＋P F 的最小值,即求P G ＋P F 的最小值．因为点P ,F 是动点,所以当G ,P ,F 三点共线时,P G ＋P F 取最小值．因为øD ＝１３５ʎ,A D ＝３２,C E ＝２,所以øB C D ＝４５ʎ,得出B H ＝C H ＝３２c o s ４５ʎ＝３,H G ＝C H －C G ＝１．在直角三角形B H G 中,G B ＝B H ２＋H G ２＝１０,所以P E ＋P F 的最小值为１０．故正确答案是选项D ．点评:点对称的动态几何问题源自于 将军饮马模型 ．在解题时,根据 将军饮马模型 ,结合条件准确找出点的对称点,构建相应的图形,利用图形性质和相关定理解题．如,此题中构建直角三角形,利用勾股定理进行求解．４分析图形关系解决动态几何问题在解答一些初中动态几何问题时,可以根据图形关系分析等量关系与比例关系,运用平行线性质㊁三角形全等与相似等知识思考解题思路．解答此种类型题目时,可以采用逆向推理的方式,从需要求解的问题入手,分析需要的解题条件,作出相应的辅助线,找出问题与已知条件的联系,明确问题解答思路．例４㊀平面直角坐标系中,点A 坐标为(３,４),点C 坐标为(x ,０)且－２＜x ＜３,点B 是直线x ＝－２上的动点,且B C ʅA C ,连接A B ．设A B 与y 轴正半轴的夹角是α,当t a n α取最大值时,x 的值是(㊀㊀)．A．１２B ．３３２C ．１D．１３分析:根据题意,利用平行线的性质,将角转化到三角形中,表示出角的正切,将问题转化成求解线段B G 的最大值．根据题目已知条件,利用三角形相似的性质,找出线段之间的关系,完成问题的求解．图４解析:如图４,过点A 作A F 垂直于x 轴,垂足为F ,作AH 垂直于直线x ＝－２,垂足为H ．因为y 轴与直线x ＝－２平行,所以t a n α＝AHB H．又因为AH ＝５,所以t a n α＝５B H．当t a n α取最大值时,即B H 取最小值,此时B G 取最大值．因为B C ʅA C ,所以øB C O ＋øA C F ＝９０ʎ,又øB C O ＋øC B G ＝９０ʎ,所以øC B G ＝øA C F ,故әB G C ʐәC F A ．设B G ＝y ,又C F ＝３－x ,C G ＝x ＋２,则由B G C F ＝C G A F 得y ３－x＝x ＋２４,所以y ＝－１４(x －１２)２＋２５１６(－２＜x ＜３),因此当x ＝１２时,t a n α取最大值．故正确答案是选项A ．点评:解答此类问题时,需要对图形进行观察分析,利用辅助线构建图形,结合线段平行㊁三角形相似等知识,对问题进行分析解答．主要考查学生对知识的理解与综合利用．５结语对于初中数学动态几何问题的解题教学,教师应当结合具体例题,向学生展示解题思路与方法,借助图形的变化,让学生直观了解数量关系．同时,教师应当注重与学生的交流,创设良好的课堂环境,加深学生的课堂学习体验,帮助学生理解和掌握不同类型问题的解题方法,提高解题能力．参考文献:[１]陈伟宁．动中分析,静中求解 谈中考动态几何压轴题的解题策略[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０２０(４):４２Ｇ４５．[２]王涵．初中数学动态几何问题的解题方法[J ]．数理化解题研究,２０２２(２６):２Ｇ４．Z６７。
数学中的动态几何软件应用知识点
数学中的动态几何软件应用知识点在数学中，动态几何软件是一种非常有用和实践的工具。
它可以帮助学生更好地理解和应用几何知识，同时也提供了丰富的学习资源和交互性的学习体验。
本文将介绍数学中动态几何软件的应用知识点，以帮助读者更好地了解和使用这些工具。
一、动态几何软件的概述动态几何软件是一种可以进行几何图形构造、演示和分析的电脑程序。
它可以通过简单的操作，实时地改变几何图形的各种属性，如大小、形状等，从而使学生能够观察和研究几何现象。
常见的动态几何软件有GeoGebra、Cabri等。
二、动态几何软件的基本功能1. 几何图形的绘制与构造动态几何软件可以通过用户的操作，绘制和构造各种几何图形。
例如，可以通过指定点、线、圆等基本元素来构造各种复杂图形，如多边形、圆锥曲线等。
绘制过程可以实时显示，方便学生观察和学习。
2. 几何性质的研究与验证动态几何软件提供了验证几何性质的功能。
通过选择几何图形的各种属性，可以验证和研究几何性质，如线段的垂直、平行关系，角的大小关系等。
这使得学生可以在实践中巩固和应用所学的几何知识。
3. 几何变换的演示与观察动态几何软件可以进行各种几何变换的演示，如平移、旋转、缩放等。
学生可以通过操作几何图形，观察和研究几何变换对图形的影响，进而加深对几何变换的理解。
4. 几何关系的探究与实验动态几何软件提供了实验和探究几何关系的功能。
学生可以通过改变几何图形的各种属性，观察和探索几何关系的规律，如等腰三角形的性质、相似三角形的性质等。
这种实验和探究的方式有助于培养学生的发现和探索能力。
三、动态几何软件的应用知识点1. 图形的绘制和构造学生可以通过动态几何软件绘制和构造各种几何图形，如平行四边形、正五边形等。
在绘制时，可以选择不同的工具和方法，如使用直尺和指南针、利用几何关系等。
2. 几何性质的验证和研究学生可以利用动态几何软件验证和研究各种几何性质，如三角形的内角和为180°、垂直线段相交产生的对顶角相等等。
动态几何问题(课件)
THANK YOU
动态几何问题的实 际应用案例分析
实际应用案例的选择标准
代表性：案例应具有代表性，能够反映动态几何问题的普遍性和特殊性 实用性：案例应具有实用性，能够解决实际问题，具有实际应用价值 创新性：案例应具有创新性，能够展示动态几何问题的新方法和新思路 教育性：案例应具有教育性，能够帮助学生理解和掌握动态几何问题的基本概念和方法
动态几何问题的应 用
在数学竞赛中的应用
动态几何问题在数学竞赛中的 重要性
动态几何问题的解题技巧和方 法
动态几何问题在数学竞赛中的 常见题型和解题思路
动态几何问题在数学竞赛中的 创新应用和挑战
在实际生活中的应用
建筑设计：利 用动态几何问 题进行空间布 局和结构设计
机械制造：利 用动态几何问 题进行机械零 件设计和装配
力。
激发学习兴趣： 动态几何问题具 有趣味性和挑战 性，有助于激发 学生的学习兴趣， 提高学习积极性。
对学生思维发展的影响
提高空间思维能 力：通过动态几 何问题的解决， 学生可以更好地 理解和掌握空间 关系，提高空间
思维能力。
培养逻辑思维能 力：动态几何问 题的解决需要学 生运用逻辑推理 和数学思维，有 助于培养学生的 逻辑思维能力。
研究方法和成果
研究方法：动态几何问题的研究方法主要包括几何分析、代数方法、微 分几何等。
成果：动态几何问题的研究成果包括发现了许多新的几何结构、证明了 许多重要的几何定理、解决了许多重要的几何问题等。
动态几何的定值问题
动态几何的定值问题动态几何是指用运动的观点研究几何图形的位置、大小的相互关系.用动的观点看几何定理，常可把几个定理归为一类.几何图形按一定条件运动，有的几何量随着运动的变化而有规律变化，这就出现了轨迹和极值问题，而有的量却始终保持不变，这就是定值问题.解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是先探求定值.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.例1：如图1，设M 是△ABC 的重心，过M 的直线分别交边AB 、AC 于P 、Q 两点，且APPB =m,AQ QC =n ，则11m n+=_______.(第22届“希望杯”初三1试) 分析：因为题设11m n+是一个定值，并且这个值不会因PQ 位置的变化而变化，所以可把图形特殊化处理，即PQ ∥BC 时求出的值就是所求的值。
解：把PQ 看成与BC 平行，易知AP PB =AQ QC =2，所以11m n +=12+12=1。
例2：如图2，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为( )(A) 4.6.(B) 4.8.(C) 5.(D) 7.（第23届“希望杯”初二2试8题）分析：把点P 放在点D 上，这时PE=DG ，PF=0，得出PE+PF=DG ，从而可确定定值是等腰△AOD 其腰上的高，即等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于其腰上的高。
解：过点D 作DG ⊥AC 于G ．若点P 与点D 重合，则PF=0，PE=DG ，于是PE+PF=DG ． 在Rt △ACD 中，AD ·CD=AC ·DG ，所以8×6=10×DG ．于是DG=4810=4.8，即PE+PF=4.8.故选(B)． 注：该题解法还可参见本刊2011年第9期《一个定值定理的应用》一文。
动态几何问题
动态几何问题透视春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来．动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是： 1．动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系． 3．以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”． 【例题求解】【例1】 如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在定直线上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到A ″B ″C ″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A 运动到点A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是 ．思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割．Rt ΔABC 的两次转动，顶点A 所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l 所围成的面积不只是两个扇形面积之和．【例2】如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作AA ′⊥AB ，BB ′⊥AB ，且AA ′=AP ，BB ′=BP ，连结A ′B ′，当点P 从点A 移到点B 时，A ′B ′的中点的位置( )A ．在平分AB 的某直线上移动B ．在垂直AB 的某直线上移动C ．在AmB 上移动D ．保持固定不移动思路点拨 画图、操作、实验，从中发现规律．【例3】 如图，菱形OABC 的长⌒为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题：(1)当x=3时，y的值是多少?(2)就下列各种情形：①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．求y与x之间的函数关系式．(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y与x的关系．思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2 (秒)．(1)当t为何值时，线段EF与BC平行?(2)设1<t<2，当t为何值时，EF与半圆相切?(3)当1≤t<2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于t的方程；对于(3)，点P的位置是否AP是否为一定值．发生变化，只需看PC注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．【例5】 ⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点；如图(1)，连结O 2 O 1并延长交⊙O 1于P 点，连结PA 、PB 并分别延长交⊙O 2于C 、D 两点，连结C O 2并延长交⊙O 2于E 点．已知⊙O 2的半径为R ，设∠CAD=α．(1)求：CD 的长(用含R 、α的式子表示)；(2)试判断CD 与PO 1的位置关系，并说明理由； (3)设点P ′为⊙O 1上(⊙O 2外)的动点，连结P ′A 、P ′B 并分别延长交⊙O 2于C ′、D ′，请你探究∠C ′AD ′是否等于α? C ′D ′与P ′O l 的位置关系如何?并说明理由．思路点拨 对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P 点虽为OO l 上的一个动点，但⊙O 1、⊙O 2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来．学历训练1．如图， ΔABC 中，∠C=90°，AB=12cm ，∠ABC=60°，将ΔABC 以点B 为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB 延长线上的D 处，则AC 边扫过的图形的面积是 cm (π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字)．2．如图，在Rt Δ ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3 cm ，将ΔABC 绕点B 旋转至ΔA'BC'的位置，且使A 、B 、C'三点在同一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是 cm ．⌒3．一块等边三角形的木板，边长为l ，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束走过的路径长度为( ) A ．23π B ．34π C ．4 D ．232π+4．把ΔABC 沿AB 边平移到ΔA'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )A ．12- B ．22 C ．1 D ．215．如图，正三角形ABC 的边长为63厘米，⊙O 的半径为r 厘米，当圆心O 从点A 出发，沿着线路AB —BC —CA 运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的运动而移动． (1)若r=3厘米，求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长；(2)在O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r 的取值范围及相应的切点个数；(3)设O 在整个移动过程中，在ΔABC 内部，⊙O 未经过的部分的面积为S ，在S>0时，求关于r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围．6．已知：如图，⊙O 韵直径为10，弦AC=8，点B 在圆周上运动(与A 、C 两点不重合)，连结BC 、BA ，过点C 作CD ⊥AB 于D ．设CB 的长为x ，CD 的长为y ．(1)求y 关于x 的函数关系式；当以BC 为直径的圆与AC 相切时，求y 的值；(2)在点B 运动的过程中，以CD 为直径的圆与⊙O 有几种位置关系，并求出不同位置时y 的取值范围；(3)在点B 运动的过程中，如果过B 作BE ⊥AC 于E ，那么以BE 为直径的圆与⊙O 能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE 的长．7．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=x，ON= (y>x≥0)，ΔAOM的面积为S，若cosα、OA是方程0-z+z的两个根．2522=(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离；(2)求证：AN2=ON·MN；(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．8．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S 与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．9．已知：如图①，E 、F 、G 、H 按照AE=CG ，BF=DH ，BF ＝nAE(n 是正整数)的关系，分别在两邻边长a 、na 的矩形ABCD 各边上运动． 设AE=x ，四边形EFGH 的面积为S ．(1)当n=l 、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图④，求S 与x 之间的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)，探索S 随x 增大而变化的规律；猜想四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使ABCDS S矩形21 ；(3)当n=k (k ≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由．10．如图1，在直角坐标系中，点E 从O 点出发，以1个单位／秒的速度沿x 轴正方向运动，点F 从O 点出发，以2个单位／秒的速度沿y 轴正方向运动，B(4，2)，以BE 为直径作⊙O 1． (1)若点E 、F 同时出发，设线段EF 与线段OB 交于点G ，试判断点G 与⊙O 1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB ，几秒时FB 与⊙O 1相切?(3)如图2，若E 点提前2秒出发，点F 再出发，当点F 出发后，E 点在A 点左侧时，设BA ⊥x 轴于A 点，连结AF 交⊙O 1于点P ，试问PA ·FA 的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．参考答案。
动态几何与函数问题
动态几何和函数问题是数学中两个不同的概念，但它们可以相互结合来解决一些有趣的问题。
动态几何是指在几何图形中，通过改变参数或条件，观察图形的变化情况。
它关注的是几何图形的性质随着条件的变化而变化的规律。
函数问题则是研究数学函数的性质、行为和应用。
函数是一种映射关系，将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。
函数问题可以涉及函数的连续性、可导性、极值、曲线的图像、函数的变换等方面。
将动态几何与函数问题结合起来，我们可以通过动态几何软件来观察函数图像的变化，从而更好地理解函数的性质。
例如，我们可以通过改变函数的系数或参数，观察函数图像的平移、缩放、翻转等变化；或者通过改变函数的定义域和值域，观察函数图像的截断、延伸等变化。
此外，我们还可以利用动态几何软件来解决一些与函数相关的几何问题。
例如，给定一个几何图形，我们可以通过动态几何软件构造函数来描述该图形的性质，并通过函数的分析和计算来解决与该图形相关的问题。
综上所述，动态几何和函数问题是两个独立但相互关联的数学概念，在解决数学问题时可以相互结合，帮助我们更好地理解和探索数学的奥妙。
动态几何解题方法与思考策略
动态几何解题方法与思考策略以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.一、动态几何问题涉及的几种情况动态几何问题就其运动对象而言，有：1、点动（有单动点型、多动点型）.2、线动（主要有线平移型、旋转型）。
线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动）二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法：动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点:1、把握运动变化的形式及过程；2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量；3、动中取静：（最重要的一点）要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量; 4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式;5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型；(某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。
在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解)6、是否分类讨论：将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决，7、确定变化分界点：若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。
高考数学立体几何中的动态问题方法总结
高考数学立体几何中的动态问题方法总结一、立体几何动态问题的概念立体几何中的动态问题呢，就是那种图形在动或者点啊线啊在动的问题。
就像是有个小虫子在立体的几何图形里爬来爬去，它每爬到一个新位置就会产生新的几何关系。
这种问题特别有趣，也特别考验咱们的空间想象能力和数学知识的综合运用。
二、常见的动态类型1. 动点问题比如说一个点在一条直线或者一个平面上动，那这个点的位置不同，它和其他几何元素的关系就会跟着变。
像在一个三棱柱里，有个点在棱上动，那这个点到各个面的距离就会随着它的移动而改变。
2. 动线问题线在动就更复杂一点啦。
想象一下，一条直线绕着一个点旋转，那它扫过的空间形状就是我们要研究的。
比如一条直线在一个圆锥里绕着圆锥的顶点旋转，它和圆锥底面圆周上的点连线的夹角就会一直在变。
3. 动面问题面动起来就像是一张纸在三维空间里飘来飘去。
一个平面在一个立体图形里平移或者旋转，那这个平面和其他平面或者直线的交线就会不断变化。
就像一个平面在正方体里平移，它和正方体各个面的交线就会有不同的情况。
三、解决动态问题的方法1. 建立空间直角坐标系这是一个很厉害的方法哦。
把立体几何图形放在空间直角坐标系里，就可以用坐标来表示点的位置。
这样不管是点动、线动还是面动，我们都可以通过坐标的变化来研究它们之间的关系。
比如说一个动点在一个长方体的棱上动，我们设这个点的坐标，然后根据它的运动轨迹来确定坐标的取值范围，再通过向量的方法来计算它和其他点、线、面的关系。
2. 利用向量法向量在解决动态问题里超级好用。
对于动的点、线、面，我们可以用向量来表示它们的方向和位置关系。
像计算两条动直线的夹角，我们就可以用向量的点积公式。
如果是一个动平面和一条直线的夹角，也可以用向量来计算。
而且向量的运算比较有规律，不像纯几何方法那样有时候要绞尽脑汁想辅助线。
3. 特殊位置法这个方法很巧妙呢。
我们可以先找到动元素的一些特殊位置，比如动点在棱的端点的时候，动线和某个平面平行的时候，动面垂直于某个坐标轴的时候。
第12讲动态几何
动态几何中的基 本定理可以用来 解决各种几何问 题，如计算面积、 周长、角度等。
动态几何的基本 定理是数学中非 常重要的基础定 理，对于理解几 何概念和解决几 何问题具有重要 意义。
动态几何的基本公式
动态几何是研究几何图形在运动中保持不 变的几何性质的数学分支。
动态几何的基本公式包括平移公式、旋转 公式和缩放公式等。
04
动态几何的实现技 术
动态几何的编程语言
Python：用于 动态几何计算的 常用编程语言， 具有简单易学、 易于调试的特点。
MATL AB：用 于数值计算和动 态几何建模的编 程语言，具有丰 富的数学函数库 和可视化工具。
Processing： 一种基于Java 的编程语言，适 用于动态几何图 形和交互式艺术 的创作。
平移公式是将一个图形沿某一方向移动一 定的距离，其公式为(x,y)→(x+a,y+b)。
旋转公式是将一个图形绕某点旋转一 定的角度，其公式为(x,y)→(x*cosθy*sinθ,x*sinθ+y*cosθ)。
动态几何的基本方法
动态几何的基本概念：动态几何是研究几何形状在各种变换下保持不变性的数学分支，包括平 移、旋转、缩放等操作。
欧几里得几何阶段：以欧几里得几何为基础，主要研究平面和三维空间的图形 性质。
解析几何阶段：通过代数方法研究几何对象，将几何问题转化为代数问题，实现 了几何与代数的结合。
微分几何阶段：运用微积分的方法研究曲线、曲面等几何对象的变化规律，为 相对论等学科提供了数学基础。
计算机几何阶段：随着计算机技术的发展，计算机图形学成为动态几何的一个 重要分支，广泛应用于动画、游戏、电影等领域。
06
总结与展望
中考数学动态几何专题复习
中考数学动态几何专题复习图形的运动变化问题。
【典型例题】例1. 已知；⊙O 的半径为2,∠AOB ＝60°，M 为AB ⋂的中点，MC ⊥AO 于C,MD ⊥OB 于D ，求CD 的长。
分析：连接OM 交CD 于E ，∵∠AOB ＝60°，且M 为AB ⋂中点∴∠AOM ＝30°，又∵OM ＝OA ＝2 ∴OC =3∴CE CD ==323，例2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，⊙O 过AE 的中点D ，DC ⊥BC ，垂足为C 。
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可） （2）若∠ABC 为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。
（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）） 分析：（1）AB ＝BE DC ＝CE ∠A ＝∠E DC 为⊙O 切线（2）若∠ABC 为直角则∠A ＝∠E ＝45°，DC ＝BCDC ∥AB ，DC ＝CE ，BE 为⊙O 的切线DC AB BE ==1212例3. 在直径为AB 的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆上，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中DE 在AB 上，如图的设计方案是AC ＝8，BC ＝6。
（1）求△ABC 中AB 边上的高h ；（2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？分析：（1）∵AB 为半圆直径∴∠ACB ＝90°∵AC ＝8，BC ＝6 ∴AB ＝10∴△ABC 中AB 边上高h ＝4.8m （2）设DN ＝x ，CM ＝h ＝4.8 则MP ＝xNF AB CPCM =NF x104848=-..NF x=-102512 S ND NF =·=-=-+=--x x x x x x ()()102512251210251224522当x =125时，水池面积最大。
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动态几何
一、知识点睛
解决动态几何问题要注意分段和线段长表达． ①分段关键是找状态转折点或碰撞点．
②线段长表达要找准对应的速度和时间．尤其注意起始时刻不同、往返运动、运动过程中速度变化等情形．
二、精讲精练
1. 如图，已知一次函数7y x =-+与正比例函数4
3
y x =
的图象交于点A ，且与x 轴交于点B .
（1）求点A 和点B 的坐标．
（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，
以每秒1个单位长度的速度，沿O →C →A 的路线向点A
从点B 出发，以相同的速度向左平移，在平移过程中，直线l 交交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点
A 时，点P 动．在运动过程中，设动点P 的运动时间为t 秒． ①当t 为何值时，以A ，P ，R 为顶点的三角形的面积为8
？ ②是否存在以A ，P ，Q 值；若不存在，请说明理由．
2. 如图，在□OABC 中，点A 在x 轴正半轴上，∠AOC =60°，OC =4cm ，OA =8cm ．动
点P 从点O 出发，以1cm/s 的速度沿折线OA -AB 运动；动点Q 同时．．从点O 出发，以a cm/s 的速度沿折线OC -CB 运动，当其中一点到达终点B 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．
（1）当a =1时，设△OPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关 系式，并直接写出当t 为何值时，S 的值最大？
（2）当点P 在OA 边上，点Q 在CB 边上时，线段PQ 与对角 线OB 交于点M ．若以O ，M ，P 为顶点的三角形与△OAB 相 似，求a 与t 之间的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．
D
C
3. 如图1，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(8，3)，定点D 的坐标为(12，0)．动
点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴的正方向匀速运动；动点Q 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的负方向匀速运动，P ，Q 两点同时出发，相遇时停止．在运动过程中，以PQ 为斜边在x 轴上方作图1
4. 点A 出发，沿折线AD -DO -OC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与△ABD 重叠部分的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒．
（1）当点N 落在BD 上时，求t 的值；
（2）当点P 在折线AD -DO 上运动时，求S 与t 之间的函数关 系式；
（3）直接写出直线DN 平分△BCD 面积时t 的值．
N
M A (Q )D B
P
C
O
A D B
C
O
A D B
C
O。