差分方程

因为3龄鱼与4龄鱼捕捞强度系数比为0.42：1
故有 k3 0.42k4 0.42k
写成矩阵形式： X (t 1) PX (t)
其中,
0 0 m (c 0.42k) m (c k)
c 0 2 P
0
0
0 c
0
0
0 0 c 0.42k
c k
3. 取足够小的 , d 时结束算法。 4. 对每一个点，连接它在各时刻的位置,即得所求运动轨迹。
MATLAB程序如下：
v=1;
dt=0.05;
x=[0 0 10 10];
y=[0 10 10 0];
for i=1:4
plot(x(i),y(i),'.');hold on
end d=20;
解得二重根 x1 x2 2 ，所以
对应的齐次方程的通解为 an* c1 2n c2 n 2n
由所给非齐次差分方程的右端，可以设其特解为
an A n2 2n
将
an
代入原方程解得
A

1 2
，故非齐次差分方程的通解为
an c1 2n c2 n 2n n2 2n
解 将 an 按第一列展开得 an an1 an2 (n 3)
其中 a1 1, a2 0 ，由特征方程 x 2 x 1 0 解得
x1

1 2

3 2
i ， x2

1 2

3i 2
1
3
arctg 2 ，
13
2
an

c1
cos
n
3
c2
sin
这里只讨论问题2),即可持续捕获策略模型.
以一年为一个离散化的单位时间.
设年初鱼群为 X (t) (X1(t)
下一年的鱼群数为
X 2 (t)
X3 (t)
X 4 (t))T ，
X (t 1) (X1(t 1) X 2 (t 1) X3 (t 1) X 4 (t 1))T
显然， X i (t 1) 是 X i 1(t) 到年底存活下来的鱼群数
形如: an b1an1 b2an2 bk ank 0
(1)
的差分方程,称为an 的 k 阶常系数线性差分方程.
其中 bi 为常数, bk 0 , n k .
方程
x k b1x k1 bk 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程,其根称为特征根.
重数依次为 m1, m2 ,mt , m1 m2 mt k ,则差分方程的通解为
an

m1
c1 j n
j 1x1n

m2
c2 jn
j 1x2n

wk.baidu.com
mt

ctj
n
j
1xt
n
j 1
j 1
j 1
例 5 求解 a n an1 3an2 5an3 2an4 , n 4,5 解 特征方程 x 4 x3 3x 2 5x 2 0 .特征根为-1,-1,-1,2.
4
1
2
3
5
2
3
5
6
3
5
8
7
5
8
13
8
8
13
21
9
13
21
34
10
21
34
55
因第 n 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的成熟兔子，另一部分
为当月新生的，所以
Fn
F1
Fn1 Fn2 F2 1
Fn 定义为 Fibonacci 数列.
2 差分方程的解法
1 ) 常系数线性齐次差分方程的解法
共轭复根 x1 i, x2 i 和相异的 k-2 个根
x3 , x4 , xk ,则差分方程的通解为
an c1 n cosn c2 n sin n c3x3n ck xk n
其中 2 2 , arctg
例 3 二阶常系数线性差分方程 Fn Fn1 Fn2 ,变形为 Fn Fn1 Fn2 0 ,它的特征方程为 x2 x 1 0
定理 1(单根) 差分方程 an b1an1 b2an2 bk ank 0 ,
bk 0 的特征方程 x k b1x k1 bk 0 有 k 个相异的特征根 x1, x2 , , xk ,
数学建模与数学实验
差分方程
实验目的
1、直观了解差分方程基本内容。 2、掌握用数学软件求解差分方程问题。
实验内容
1、差分方程的基本理论。
2、用数学软件求解差分方程问题。 3、实验作业。
差分方程的基本理论
1 差分方程模型
对一数列{ an }，把数列中的 an 和前面的 ai （ 0 i n ）
To Matlab
while(d>0.1)
（ cx1.m ）
x(5)=x(1);y(5)=y(1);
for i=1:4
d=sqrt((x(i+1)-x(i))^2+(y(i+1)-y(i))^2);
x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i))/d;
y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i))/d;
2. 取时间间隔为 Δt,计算每一点在各个时刻的坐标。 设某点在 t 时刻的坐标为: (xi,yi) 则在 t+Δt 时刻的坐标为:(xi+vΔtcosα,yi+vΔtsinα) 其中
cos xi1 xi , sin yi1 yi , d
d
d
(xi1 xi )2 ( yi1 yi )2
的差分方程为 k 阶常系数线性非齐次差分方程.
常系数线性非齐次差分方程
an b1an1 b2an2 bk ank f (n) 对应的齐次差分方程 an b1an1 b2an2 bk ank 0
定理 4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解 加上非齐次方程的特解
X 4 (t 1) 中还包括 X 4 (t) 中存活数. X 0 (t) 指上一年由卵孵化而得到 1 龄鱼
建立如下差分方程：
X1(t

1)


[
m 2
(c

k3
)
X
3
(t)

m(c

k4
)
X
4
(t)]
X 2 (t 1) cX1(t)
X 3(t 1) cX 2 (t)
X 4 (t 1) (c k3)X 3(t)(c k4 )X 4 (t)
解：在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成
熟了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子。再过 一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有 三对小兔子。如此推算下去，我们便发现一个规律：
时间(月)
初生兔子(对) 成熟兔子(对) 兔子总数(对)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
1
2
仔细考察矩阵 P，当 4 龄鱼捕捞强度系数 k c 0.2 0.476 时， 0.42 0.42
不论上一年鱼群数目如何，下一年的鱼群将出现负数.这个结论显然是荒缪的. 事实上，只要 3 龄鱼和 4 龄鱼不被同时捕光，下一年 4 龄鱼存在存活， 即鱼群数不会出现负数.
例 6 计算 n 阶行列式
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 an 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
an an* an 其中 an*是对应齐次差分方程的通解， an 是非齐次差分方程的特解.
如何求非齐次差分方程的特解 an ，参照常微分非齐次方程的解法.
例 7 求非齐次差分方程 an 4an1 4an2 2n 的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程
x2 4x 4 0
plot(x(i),y(i),'.');hold on
end end
所得到得轨迹模拟图如图1
例8 最优捕鱼策略
生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求 最大经济效益.考虑具有4个年龄组：1龄鱼，...4龄鱼的某种鱼.该鱼类在每 年后4个月季节性集中产卵繁殖.而按规定，捕捞作业只允许在前8个月进 行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数 的比例称为捕捞强度系数.使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其 两个捕捞强度系数比为0.42：1.渔业上称这种方法式为固定努力量捕捞.
因而通解为
an (c1 c2 n c3 n2 )(1)n c4 2n
定理 3 差分方程 an b1an1 b2an2 bk ank 0 , bk 0 的特征方程 xk b1xk1 bk 0 的特征根出现一对
Fn1 Fn2 F1 F2 1
解 差分方程的特征方程: x 2 x 1 0
特征根为： x1
1 2
5 与x2
1 2
5
，
互异
所以，通解 Fn

c1
(1
2
5 )n

c2
(1
2
5 )n
由初始条件 F1 1, F2 1，得
c1
1 (
2
5
)

c2
1 (
关联起来的方程叫做差分方程，差分方程也叫递推关系.
例1
ana1
an1 1, a2
nan2 2
其中， a1 1, a2 2 叫初始值.
例 2 设第一月初有雌雄各一的一对小兔.假定两月后长成成兔，
同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，
新增小兔也按此规律繁殖.设第 n 月末共有 Fn 对兔子， 试建立关于 Fn 的差分方程.
n
3
将 a1 1,
a2 0 代入解出 c1 1, c2
1 3
故
an
cos n
3

1 sin n
33
2) 常系数线性非齐次差分方程的解法
定义 形如
an b1an1 b2an2 bk ank f (n) （ b1, bk为常数， bk 0, f (n) 0, n k)
该鱼本身有如下数据： 1、 各年龄组鱼的自然死亡率为 0.8（1/年）其平均重量
分别为 5.07,11.55,17.86,22.99(单位:克); 2、 1 龄鱼和 2 龄鱼不产卵,产卵期间,平均每条 4 龄鱼产卵量为
1.109 10 5 (个),3 龄鱼为其一半;
3、 卵孵化的成活率为1.22 1011/ (1.221011 n) (n 为产卵总量);
应用举例
A
例8 如图正方形ABCD的四个顶
点各有一人。在某一时刻，四人
同时出发以匀速v=1米/秒按顺时
针方向追逐下一人，如果他们始
终保持对准目标，则最终按螺旋
状曲线于中心点O.试求出这种情
况下每个人的行进轨迹。
D
B
O
C
图1
求解过程:
1. 建立平面直角坐标系:A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4)。
有如下问题需要解决: 1) 分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼 群不变)，并在此前提下得到最高收获量； 2) 合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到 太大的破坏,承包时各年龄组鱼群数量为122，29.7，10.1， 3.29(×109条),在固定努力量的捕捞方式下,问该公司应采取作怎样 的捕捞策略,才能使总收获量最高.
2
5 )
1
联立解出
c1
(1 2
5 )2

c2
(1
2
5 )2
1
c1 1 , c2 1
5
5
故
Fn
1 [(1 5 )n (1 5 )n ]
52
2
定理 2 (重根)差分方程 an b1an1 b2an2 bk ank 0 ,
bk 0 的特征方程 xk b1xk1 bk 0 的相异特征根 x1, x2 , , xt ,
则 an c1x1n c2 x2n ck xk n 是一个通解,其中 c1, c2 , , ck 为任意常数.
且由一组初始条件
a0 u0,a1 u1, , ak1 uk1
可确定一个满足初始条件的特解.
例4
求
Fibonacci
数的通项
Fn