圆第2学时圆的基本性质学案(无答案)-九年级数学复习
九年级数学《圆的基本性质》复习课教案
九年级数学《圆的基本性质》复习课教案教学目标:熟悉本章所有的定理。
教学重点:圆中有关的定理教学难点:圆中有关的定理的应用教学方法:谈话法教学辅助:多媒体教学过程:1、2、在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,以点O为圆心的圆,记作☉O,读作“圆O3、篮球是圆吗?–圆必须在一个平面内?以3cm为半径画圆,能画多少个??以点O为圆心画圆,能画多少个??由此,你发现半径和圆心分别有什么作用?–半径确定圆的大小;圆心确定圆的位置?圆是“圆周”还是“圆面”?–圆是一条封闭曲线?圆周上的点与圆心有什么关系?4、点与圆的位置关系?圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合。
?圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
?圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
?由此,你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢?5、圆的有关性质思考:确定一条直线的条件是什么?类比联想:是否也存在由几个点确定一个圆呢?讨论:经过一个点,能作出多少个圆?经过两个点,如何作圆,能作多少个?经过三个点,如何作圆,能作多少个?6、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内接三角形。
7、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
?如图,P为⊙O的弦BA延长线上一点,PA=AB=2,PO =5,求⊙O的半径。
?关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。
?圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。
8、(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
圆的两条平行弦所夹的弧相等9、圆的性质?圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴。
圆的基本性质复习教案
圆的基本性质复习教案一、教学目标:1. 知识与技能:(1)理解圆的定义及基本性质;(2)掌握圆的直径、半径、弧、弦等基本概念;(3)学会运用圆的性质解决实际问题。
2. 过程与方法:(1)通过观察、操作、思考、交流等活动,培养学生的空间观念和逻辑思维能力;(2)学会用圆的性质解释和解决几何问题。
3. 情感态度与价值观:(1)激发学生对圆的性质的兴趣,体验数学学习的乐趣;(2)培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
二、教学内容:1. 圆的定义及基本性质;2. 圆的直径、半径、弧、弦的概念及性质;3. 圆的周长和面积的计算公式;4. 圆的性质在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点:1. 教学重点:圆的基本性质、直径、半径、弧、弦的概念及性质。
2. 教学难点:圆的周长和面积的计算公式的应用。
四、教学准备:1. 教学用具:黑板、粉笔、圆规、直尺、多媒体课件。
2. 学习材料:教材、练习题。
五、教学过程:1. 导入新课:(1)复习已学过的圆的定义及基本性质;(2)引导学生回顾圆的直径、半径、弧、弦的概念及性质。
2. 知识讲解:(1)讲解圆的周长和面积的计算公式;(2)通过实例演示圆的性质在实际问题中的应用。
3. 课堂练习:(1)针对本节课的内容,设计一些练习题,让学生独立完成;(2)选取部分学生的作业进行点评,讲解正确答案及解题思路。
4. 小组讨论:(1)布置一道综合性的几何问题,要求学生分组讨论、合作解决;(2)邀请部分小组分享他们的解题过程和答案。
5. 总结与布置作业:(1)对本节课的内容进行总结,强调圆的性质的重要性;(2)布置一些有关圆的性质的练习题,要求学生课后完成。
六、教学策略:1. 采用问题驱动的教学方法,引导学生主动探究圆的性质;2. 利用多媒体课件展示圆的性质和实际应用问题,增强学生的空间观念;3. 设计具有梯度的练习题,让学生在实践中巩固圆的性质;4. 鼓励学生开展小组合作学习,提高学生的团队协作能力。
圆的基本性质复习课教案
圆的基本性质复习课教案seek; pursue; go/search/hanker after; crave; court; woo; go/run after第三章圆的性质1班级__________ 姓名___________复习内容:圆、圆的对称性、圆周角、确定圆的条件.复习要求:1.进一步理解圆及有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆的位置关系;2.探索圆的性质,了解圆心角与圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征.复习重点:圆的有关性质的应用复习过程:一.梳理有关知识点:基本概念:弧、弦、圆心角、圆周角确定圆的条件:对称性:基本性质垂径定理:圆圆心角、弧、弦的关系定理:圆周角定理:同弧或等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的推论:1同弧或等弧所的圆周角290°的圆周角所对弦是 ,二.基础练习训练:1. 小红的衣服被一个铁钉划了一个呈直角三角形的一个洞,其中三角形两边长分别为1cm和2cm,若用同色圆形布将此洞全部覆盖,那么这个圆布的直径最小应等于 .2.⊙O的半径为6㎝,OA、OB、OC的长分别为5㎝、6㎝、7㎝,则点A、B、C 与⊙O的位置关系是:点A在⊙O_____,点B在⊙O_______.OACB3. 如图,△ABC 的三个顶点都在⊙O 上,∠ACB=40°,则∠AOB=____,∠OAB=_____.4. 如图,方格纸上一圆经过2,5、-2,2、2,-3、6,2四点,则该圆圆心的坐标为A .2,-1B .2,2C .2,1D .3,1 三、典型例:例1:如图,要把破残的圆片复制完整, 已知弧上的三点A 、B 、C, 1用尺规作图法,找出弧ABC 所在圆的圆心O 保留作图痕迹,不写作法; 2设△ABC 是等腰三角形,底边BC = 10cm,腰AB = 6 cm,求圆片的半径R 结果保留根号;3若在2题中的R 的值满足n 〈R 〈mm 、n 为正整数,试估算m 和n 的值.例2 、1如图,在半径为5cm 的⊙O 中,圆心O 到弦AB 的距离为3cm,则弦AB 的长是_______ ; 弦AB 所对的圆心角的度数为___________. 2如图,在⊙O 中,弦AB =60,弓高CD =9,求圆的半径.3已知点P 是半径为5的⊙Ο内一定点,且PO=4,则过点P 的OA D BCOA D BCABC所有弦中,弦长可取到的整数值共有的条数是 . 例3 、如图所示,AB 是⊙O 的弦,半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F,•且AE=BF,请你找出弧AC 与弧BD 的数量关系,并给予证明.例4:如图,在⊙O 中,直径AB=10,弦AC=6,∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.求BC 和AD 的长.例5 、如图,ABC △是⊙O 的内接三角形,AC BC =,D 为⊙O 弧AB 上一点,延长DA 至点E ,使CE CD =.1求证:AE BD =;2若AC BC ⊥,求证:2AD BD CD +=.O ACEAOD B四、达标检:1.如图,BD 为⊙O 的直径,∠A=30°,则∠CBD 的度数为A .30°B .60°C .80°D .120°2.如图,AB 是⊙O 的直径,BC,CD,DA 是⊙O 的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD 等于 A .100° B .110° C .120° D .130°3.如图,⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G,∠EOD=40°,则∠DCF 等于 A .80° B .50° C .40° D .20°4、如图,点A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠BAC=40°,则∠OBC 的度数是________5.如图,已知圆心角∠AOB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 等于____________º.OAC BAB O COBACO BA CE D6.在半径为2的⊙O 中,弦AB 的长为22,则弦AB 所对的圆心角∠AOB 的度数是__________7.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C,D 在⊙O 上,且AB=6,BC=3. 1求∠BAC 的度数;2如果OE ⊥AC,垂足为E,求OE 的长;3求∠ADC 的度数.课后作业: 一、选择题:1、半径为6的圆中,圆心角α为60°,则角α所对弦长等于• A .42 B .10 C .8 D .62、若一个直角三角形的两边分别为6和8,则这个直角三角形外接圆直径是B.10或4或83.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB 与CD 关系是 A .AB =2CD B .AB >CD C .AB <2CD D .不能确定 4.如图,⊙O 中,如果AB =2AC ,那么 .A .AB=2ACB .AB=AC C .AB<2ACD .AB>2AC 5.如图,AB 和DE 是⊙O 的直径,弦AC ∥DE,若弦BE=3,则弦CE=________.二、填空1.⊙O 的直径为10,弦AB =8,P 是弦AB 上一动点,那么OP 长的取值范围是____.第四题第五题2.如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,O 为圆心,OD ⊥AB,垂足为D,OE ⊥AC,•垂足为E,•若DE=3,则BC=________.3.如图,矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G,B,F,E,GB=8cm,AG=1cm,DE=2cm,则EF=_______cm .4.如图,在⊙O 中,∠ACB=∠D=60°,AC=3,则△ABC 的周长为________. 5.在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 分别是2、3,则∠BAC 的度数为_______________.6. 如图,已知△ABC 的一个外角∠CAM =120°,AD 是∠CAM 的平分线,且AD 的反向延长线与△ABC 的外接圆交于点F ,连接FB 、FC ,且FC 与AB 交于E , 1判断△FBC 的形状,并说明理由;2请探索线段AB 、AC 与AF 之间满足条件的关系式并说明理由.7.已知:⊿ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于D,交AC 于E,1如图1,当∠A 为锐角时,连接BE,试判断∠BAC 与∠CBE 的关系,并证明你的结论;2如图1中的边AB 不动,边AC 绕点A 按逆时针旋转,当∠BAC 为钝角时,如图2CA 的延长线与⊙O 相交于E,请问:∠BAC 与∠CBE 的关系是否与1中你所得出的关系相同 若相同加以证明;若不同,请说明理由.FBCDMA E(2)(1)C。
九年级数学上册 第24章 第41课时《圆》圆的有关性质导
圆的有关性质学习目标 1、掌握圆的各种位置关系,特别是各种图形之间的关系.2、应用切线的判定定理证明直线是圆的切线,初步掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法.学生自主活动材料一.前置性自学1、⊙O 的直径为6cm ,⊙O 外一点P 向圆引一条切线长为4cm ,则PO=______cm.2、若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ,最小距离为b (a>b ),则此圆的半径为( )A .2b a +B .2b a -C .22b a b a -+或 D .b a b a -+或 3、如图,小明同学设计了一个测量圆直径的工具,标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O 点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为( )A .12个单位B .10个单位C .1个单位D .15个单位4、直线l 与⊙O 有两个公共点A ,B ,O 到直线l 的距离为5cm ,AB =24cm ,则⊙O 的半径是 cm .5、已知⊙O ,AB 是直径,直线PQ 为切线点C 为切点 求证:∠BCP=∠A二.小组反馈已知:如图,AB 是⊙O 的直径,直线l 与⊙O 相切于点C ,AD ⊥l ,垂足是D 。
求证:AC 平分∠DAB.三.合作探究1、CD 是圆O 的弦,AB 是圆O 的直径,CD =8,AB =10,则点A 、B 到直线CD 的距离的和是( )A 、6 B 、8 C 、10 D 、122.如图24—A —14,已知⊙O 的半径为8cm ,点A 为半径OB 的延长线上一点,射线AC 切⊙O 于点C ,∠A =,30︒,求线段AB 的长。
四.展示交流1、下列直线中一定是圆的切线的是:A.与圆有公共点的直线B.到圆心的距离等于半径的直线C.垂直于圆的半径的直线D.经过圆半径的外端的直线2、下列命题为假命题的是:A.平分弦的直径垂直于弦B.圆的外切四边形的两组对边的和相等B P Q CA O 图24—A —14C.圆的内接四边形的对角互补D.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形3、在Rt △ABC 中,∠C=90゜,AC=5,BC=12,以C 为圆心,R 为半径作圆与斜边AB 相切,求R 的值五.拓展提升如图,已知AB 为⊙O 的直径,AC 是弦,,30︒=∠BAC ︒=∠120ABD , BD CD ⊥于D 。
新课标人教版《数学》九年级上册 圆的概念和性质的复习导学案(无答案)
圆的概念和性质的复习导学案一、圆的有关概念和性质考点一圆的有关概念和性质1.圆的定义动态:在同一平面内,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转____,另一个端点A所形成的封闭图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.静态:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合.2.圆的有关的概念3.圆的性质(1)圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条____所在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心.(2)圆的确定:不在同一直线上的____个点确定一个圆.三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的______.(3)圆的旋转不变性:圆绕圆心任意旋转一个角度都和自身重合.考点二垂径定理及其推论(高频)考点三圆心角、弧、弦之间的关系1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的____相等,所对的____相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中,有一组量相等,那么其余的各组量也都____ .考点四圆周角定理及其推论(高频)考点五圆与多边形1.圆的内接多边形(1)如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个圆的__________,这个圆叫做这个多边形的__________.(2)圆内接四边形的性质:圆的内接四边形的对角_____.2.正多边形与圆(见第24课时)二、例题教学命题点1圆周角定理及其推论例1.(2019·安徽,10,4分)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠P AB=∠PBC.则线段CP长的最小值为( ) A.32B.2C.81313D.121313例2.(2019·安徽,19,10分)如图,在⊙O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与⊙O的交点.若OE=4,OF=6,求⊙O的半径和CD的长.例3.(2019·安徽,13,5分)如图,点A,B,C,D在⊙O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=_____°.命题点4圆的性质例4.(2019·安徽,20,10分)在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.三、巩固练习考法1圆周角定理及其推论1.(2019·四川乐山)如图,C,D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB=()A.10°B.20°C.30°D.40°考法2垂径定理及其推论2.(1)(2019·湖南长沙)如图,在⊙O中,弦AB=6,圆心O到AB的距离OC=2,则⊙O的半径长为____.(2)(2019·江苏宿迁)如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,则BD的长为____.考法3圆心角、弧、弦之间的关系3.(2019·山东济宁)如图,在⊙O中, 弧AB=弧AC,∠AOB=40°,则∠ADC的度数是( )A.40°B.30°C.20°D.15°考法4圆内接四边形4.(2019·宁夏)已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.(1)求证:AB=AC;课后作业:1.(2019·海南)如图,AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,直径DE⊥AC于点P,若点D在优弧ABC上,AB=8,BC=3,则DP=_____.2.(2019·广西南宁)如图,点A,B,C,P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为( )A.140°B.70°C.60°D.40°3.(2019·浙江舟山改编)把一张圆形纸片按照如图所示的方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则∠BOC的度数是( )A.120°B.135°C.150°D.165°4.(2019·甘肃兰州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC=()A.45°B.50°C.60°D.75°∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°6.(2019·湖南岳阳)如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BCD=110°,则∠BAD=____°.。
数学九年级上《圆的基本性质》复习教学案
圆的基本性质【知识框架】【基础归纳】1、 圆:在平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
思考下列问题“画圆需要几个条件,如何画圆”(圆心和半径;圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小) 2、 过不在同一直线上的三点确定一个圆。
思考问题“如何画这个圆”;(作两条边的中垂线,以两条中垂线的交点为圆心,交点到顶点的距离为半径画圆) 3、 圆的有关概念:弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角、直径等4、 圆的基本性质:(1)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;经过圆心的直线都是 它的对称轴;(2)垂径定理:①垂直于弦的直径平分弦,并且平分这条弦所对的弧;②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧; ③弦的中垂线经过圆心,并且平分弦所对的弧;④平分弦所对的弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧;5、 基本图形:∠A+∠C=180;∠B+∠ADC=180,AB ∥CD∠1=∠B 弧AC=弧BD【计算归纳】1. 直角三角形外接圆半径直角三角形外接圆圆心在直角三角形斜边的中点上,直角三角形外接圆半径是直角三角形斜边的一半 r=2a2. 等边三角形外接圆半径 半径r ,等边三角形边长的一半2a ,弦心距d 构成一个有30°角的Rt △ r 2=d 2+(2a )2r ,d ,2a 三者中,知道其中一或两个量,可求出其余的量, 即d :2a :r=1:3:23. 正方形外接圆半径两半径,正方形的一边构成一个等腰直角三角形 r=22a即r :r :a=1:1:2 4. 垂径定理半径r ,弦心距d ,半弦2a 构成一个直角三角形r 2=d 2+(2a )2 r ,d ,2a 三者中,知道其中两个量,可求出第三个量或列方程(垂径定理在圆中求线段长度是应用最多的一个定理) 5. 弧长与扇形面积 l=180R n π S=3602R n π S=21lRl ,n ,R ,S 四者知二,可求其余 6. 圆锥侧面积与全面积圆锥侧S=πrl 圆锥全面积S=πrl+πr 2圆锥中高线h ,底面半径r ,母线l 三者构成一直角三角形,所以h 2+r 2=l 2 圆锥当中的等量关系:圆锥侧面积S=圆锥展开后扇形S圆锥底面周长C=圆锥展开后扇形弧长l圆锥母线l=圆锥展开后扇形半径R∵圆锥底面周长C=圆锥展开后扇形弧长l ∴C=2πr=l=180l n π∴n=360⨯lr圆锥的侧面展开图是扇形,该扇形的圆心角n=360⨯lr7. 圆心角,圆周角,弧度的计算 圆心角m 弧度=2圆周角圆心角,圆周角,弧度三者中知其一,可得其余的量(用到的定理有圆心角定理,圆周角定理,垂径定理)8. 点与圆的位置关系 9. 点在弧上 【作图归纳】10. 三角形外接圆的画法:三角形外接圆圆心是三角形三边中垂线的交点。
数学人教版九年级上册圆的有关性质复习教案
圆的有关性质复习课教案教学目标:1、紧扣长沙中考,复习、巩固、运用圆的有关性质:垂径定理;圆心角、弦、弧、弦心距的关系;圆周角和圆心角2、培养学生梳理、归纳、总结、知识迁移、口头表达的能力,加强运用知识解决问题的培养3、训练学生思维的敏捷性,运算的规范性、准确性,逻辑推理的严密性。
4、培养学生常用的数学思想:数形结合、转化、类比、函数与方程思想教学方法:1、提问,讨论,谈话,阅读,板演,阅读2、精讲多练,讲练结合,学生主体,老师主导。
3、一题多解4、课件、微课的引入5、易错题分析教学重点:运用圆的有关性质解决实际问题,培养综合运用能力教学难点:分类讨论解决实际问题教学过程:一、导入。
1、直接导入:这节课将进行圆的有关性质的复习2、感受长沙中考。
学生练习指明学生回答提问:这两道题运用了圆的哪些性质呢,为全面、完整整理复习,先请学生拿出导学案,完成知识梳理。
二、核心知识梳理1、指明学生回答2、全体学生齐读,学生读时教师板书。
三、典型例题分析例11、学生独立完成,学生分析讲解2、如何转化?3、AC平行OB有何作用?4、出示总结例21、提示:画图及C点的位置2、学生讨论,合作学习3、老师引导学生分析,垂径定理,作辅助线构建直角三角形,C点位置分析4、微课讲授5、出示总结例31、学生独立完成2、学生上黑板书写3、学生讲解4、提问:还有其他方法吗(渗透一题多解)5、出示总结四、课堂小练1-9题重点分析第九题,学生板演,学生分析五、谈谈你对本节课的收获。
北师大版九年级数学下册第三章圆圆的基本性质复习课教案
1 / 3ABCD OE例1图圆的基本性质复习课教案考纲要求:1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念。
2.探索圆周角、弧、弦之间的关系,了解并证明圆周角定理及其推论,圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半,直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,圆内接四边形的对角互补。
教学重点:掌握圆的基本性质 教学难点:圆的基本性质的应用教学过程:一、引入师:大家请看老师黑板上所画的图形圆。
这是我们这节课要复习的主要内容,请大家回顾,什么是圆?生:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
师:根据定义,确定圆必须有几个条件? 生:圆心和半径。
师:和圆有关的两种角是圆心角和圆周角,请同学们回顾它们的定义。
生:顶点在圆心的角是圆心角。
顶点在圆上、两边和圆相交的角是圆周角。
师:今天,老师带来了一个圆形纸片,但圆心找不到了,你们能通过折纸的方法帮老师找到这个圆的圆心吗?生:对折两次,两条折痕的交点就是圆心。
师:非常好,这两条折痕其实是圆的什么?对折后能完全重合,说明圆具有什么性质? 生:折痕是直径,说明圆具有轴对称性。
师:圆是一个轴对称图形,从它的轴对称性我们可以得到垂径定理及其逆定理。
下面,我们回顾一下垂径定理及其逆定理的内容。
生:垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。
师:刚才,我们通过折纸的方法找到了圆的两条直径,如图,两条直径AB 与CD 的交点O 就是圆心。
那么,图中⌒AD 与⌒BC 、⌒AC 与⌒BD 相等吗? 为什么?生:相等。
因为它们所对的圆心角相等。
师:在一个圆中,只要圆心角相等,它们所对的弧一定相等,这是因为圆具有旋转不变性。
这种旋转不变性,使得圆的三种基本量圆心角、弧、弦之间具有特殊的关系。
接下来我们就来复习这些内容。
二、知识回顾1.圆心角定理及其推论。
《圆的基本性质复习课》教案
《圆的基本性质复习课》教案潮阳区华阳初级中学陈朝鸿复习目标1、使学生理解圆及其有关概念,圆的性质;2、使学生掌握垂径定理及推论的应用;掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系;理解圆周角定理及其推论,圆内接四边形的性质定理;3、使学生理解圆的对称性(轴对称和中心对称);复习重点1、垂径定理及推论;2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系;3、圆周角的定理及其推论;4、与性质相关的计算。
复习难点1、垂径定理及推论;2、圆心角与圆周角之间的关系以及圆周角的相关性质;3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
4、与性质相关的综合计算目标分析新课程标准的总体目标,即:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观三位一体的目标,它们对人的成长、素养的形成与发展都具有十分重要的作用。
过程与方法和情感、态度与价值观的发展离不开知识与技能的学习,同时,知识与技能的学习培养必须要以有利于其他目标的实现为前提。
7.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等;8.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组两相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
9.圆心角定理:圆心角的度数和它所对的弧的度数相等;10.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
11.(1)同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等;(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;(3)如果三角形的一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
(二)合作探究详见课件合作探究案:以下例题让学生分组合作,互相帮助,并相互交流,互相评价。
通过学生自主练习,完成对技能的训练。
学生分组讨论圆周角与圆心角的大小关系。
让学生在对圆的感知基础上积极思考,为后面的学习提高打下基础。
培养学生相互合作的品质。
(三)有效训练详见课件跟踪训练:通过对学生的较高强度的训练来达到提高学生解题能力的目的。
九年级数学下册 24.2.4 圆的基本性质导学案(无答案)(新版)沪科版
24.2.4 圆的基本性质【学习目标】1.经历不在同一条直线上的三点确定一个圆的探索过程。
2.了解不在同一条直线上的三点确定一个圆,以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法。
了解三角形的外接圆,三角形的外心等概念。
3.进一步体会解决数学问题的策略。
【学习重难点】重点:(1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
(2)三角形的外接圆、外心。
难点:形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神。
【课前预习】1、圆的定义:_______________________________________________________。
2、圆的位置由________决定,圆的大小由__________决定。
思考:要作一个圆的关键是什么?怎样确定圆心和半径?要确定一个圆需几个条件?过几点可以确定一个圆呢?【课堂探究】1.如图,已知点A ,经过点A 画圆,能画多少个?结论:经过一点能作__________个圆。
2.如图,经过两个点A 、B 是否可以作圆?如果能作,可以作几个?分析:经过两个已知点A 、B 所作的圆的圆心在怎样的直线上? 因为这两点A 、B 在要作的圆上, 所以它们到这个圆的圆心的距离要 ,并且 都等于这个圆的 ,因此要作过这两点的圆就是要找到这两点的距离相等的点作为圆心, 而这样的点应在这两点连线的 上, 而半径即为这条直线上的 到点A 或点B 的距离。
总结:经过两点能作_________个圆,这些圆的圆心在________________。
3.如图,作圆,使它经过已知点A 、B 、C ,(A 、B 、C三点不在同一条直线上),你能经过这三点作一个圆吗? A ..B (图2) .A假设经过A、B、C三点的⊙O存在(1)圆心O到A、B、C三点距离_______(填“相等”或”不相等”)。
(2)连结AB、BC,过O点分别作直线MN⊥AB, EF⊥BC,则MN是AB的_______ ;EF是BC的_______。
圆的基本性质复习学案教案
课题: 圆的基本性质 复习目标:理解圆以及有关概念;理解弧、弦、圆心角的关系;探索并掌握垂径定理、圆周角定理及相关的推论。
基 础 回 顾例 尝 试巩固 提 高【基础知识】1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是 对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的 ;圆又是 对称图形, 是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分 ,并且平分 ;平分弦(不是直径)的 垂直于弦,并且平分 .4. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量 ,那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于它所对的圆心角的 .6. 直径所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 。
【基础训练】1. 如图1,∠A 是⊙O 的圆周角,∠A=40°,则∠OBC=_______度.2.如图,⊙O 中OA BC ⊥,25CDA ∠=o ,则AOB ∠的度数为 .3.如图3,在⊙O 中,AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦,OD ⊥AB ,OE ⊥AC ,垂足分别为D 、E ,若AC =2cm ,则⊙O 的半径为 cm .4.下列每张方格纸上都画有一个圆,只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是( )(A ) (B ) (C ) (D )例1.如图,在△ABC 中,以BC 为直径的⊙O 交AB 于D 、交AC 于E ,且BD=EC . 求证:AB=AC. 例2.如图,在⊙O 中,弦AB =AC =5cm ,BC =8cm ,求⊙O 的半径 例3.如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD . ⑴ P 是弧CAD上一点(不与 C 、D 重合),求证:∠CPD =∠COB ; ⑵ 点P′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时,∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系?请证明你的结论.1.如图1,ABC △是O e 的内接三角形,50B =o ∠,点P 在»CA上移动(点P 不与点A ,C 重合),则α的变化范围是_______. 2.如图2,AB 是O e的直径,以B 为圆心,BO 为半径画弧交O e 于C D ,两点,则BCD ∠的度数是 . 3.若⊙O 的半径OA =10cm ,弦AB =16cm ,P 为AB 上一动点,则OP 的取值得范围是 c4.如图3,AB 是⊙O 的直径,C 、D 、E 都是⊙O 上的点,则∠1+∠2= .5.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A ,B 重合),设∠OAB =α,∠C =β.(1)当α=35°时,求β的度数;(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.A P O BCAB CD OOABC。
初三数学复习教案圆的性质与判定
初三数学复习教案圆的性质与判定初三数学复习教案圆的性质与判定一、导言数学中的几何部分涉及到很多基本概念和性质,其中圆是一个重要的概念。
本教案将从圆的性质与判定入手,为初三学生进行数学复习提供指导。
二、圆的定义圆是平面上的一个几何图形,它的每一点到一个固定点的距离都相等。
这个固定点叫做圆心,圆心到圆上任意一点的距离称为半径。
三、圆的性质1. 圆周上的点到圆心的距离相等;2. 圆的直径是通过圆心的两点之间的线段,直径的长度是半径的两倍;3. 圆的任意弦都可以看作是一个直径所对应的角;4. 圆的内切正多边形的每条边都刚好与圆相切;5. 圆与直线的相交情况有三种:相离、相切、相交;6. 位于圆内的点到圆心的距离小于半径;7. 位于圆外的点到圆心的距离大于半径;8. 圆上的所有点到圆心的距离都等于半径。
四、判定圆的性质1. 判定一个图形是否为圆:如果一个图形的每一个点到固定点的距离都相等,那么这个图形就是圆。
2. 判定两个圆是否相交:如果两个圆的圆心距离小于两个圆的半径之和,那么这两个圆就相交。
3. 判定两个圆是否相切:如果两个圆的圆心距离等于两个圆的半径之和,那么这两个圆就相切。
4. 判定一个点是否在圆上:如果一个点到圆心的距离等于圆的半径,那么这个点就在圆上。
5. 判定一个点是否在圆内:如果一个点到圆心的距离小于圆的半径,那么这个点就在圆内。
6. 判定一个点是否在圆外:如果一个点到圆心的距离大于圆的半径,那么这个点就在圆外。
五、实例演练1. 已知圆A的半径为5cm,圆B的半径为3cm,求它们的圆心距离。
解:两个圆的圆心距离可以通过勾股定理求得,即圆心距离的平方等于两个圆心连线的长度减去两个圆的半径之和的平方。
代入数据进行计算,得到圆心距离为4cm。
2. 已知点P(-2, 3)距圆O(0, 0)的距离为5cm,判断点P和圆O的位置关系。
解:计算点P到圆心O的距离,即点P与圆心O的连线的长度。
通过勾股定理求得距离为√((-2-0)^2+(3-0)^2)=√(4+9)=√13约等于3.61cm。
初中数学九年级《圆的基本性质复习》公开课教学设计附导学案操作单
圆的基本性质复习(1)一、开门见山,引入课题圆是我们初中数学学习的一个重要内容,它涉及到较多的性质和定理,今天我想与同学们一起来重温一下圆的基本性质。
(板书课题)二、师生交流,提升认知(一)圆的轴对称性师生交流,深化认识师:⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,OE=4,CD=6,你能求出⊙O的半径吗?生:能,不能师:那就你给它添加一个条件,再来求求看(思考片刻让学生回答)生1:AB⊥CD……因为,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
生讲,教师板书过程,强调构造Rt三角形生2:CE=DE……生3:⌒BC=⌒BD或⌒AC=⌒AD……因为,平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
师:刚才这个问题,我们同学们添加了三个不同的条件,都顺利地解决了问题。
那你有没有想过这三种方法实际上就是我们学过的什么定理?生:垂径定理及推论师:垂径定理及推论关系较多,其实同学们要记住它们所对应的图形基本上就是我们刚才题目中的图形,我们发现他是怎样的一个图形呢?生:轴对称师:是的,垂径定理的实质就是圆的轴对称性,可见问题抓住实质理解起来往往会比较简单。
(二)圆的旋转不变性1.师生交流,深化认识师:我们将刚才图形中的两条弦稍作移动,并让他们相等,你还能找出哪些相等的量?生1:弧AB=弧CD生2:弧AC=弧BD生3:弧CAD=弧BDA生4:AE=DE生5:BE=CE(以上学生回答后,马上追问为什么?)师:这么多的等量关系,我们都是通过什么定理得到的?生:圆心角定理及推论师:这些等量关系实际上我们可以让这个圆通过旋转来证明(演示)师:可见圆心角定理和推论的实质是圆的哪个性质?生:圆的旋转不变性2.及时练习,基础巩固师:如果告诉你∠DEB=60°,你能求出弧DB的度数吗?(学生练习3分钟,拿两个学生作品展示,或两位上来讲解)师:通过本题我觉得在同圆或等圆当中,有许多的量都是对应捆绑的,因此,一定要学会通过圆的旋转不变性来找等量关系,以便帮助我们解题。
九年级上第章圆的基本性质复习提纲教案
第三章圆的基本性质复习一、 点和圆的位置关系:如果P 是圆所在平面内的一点,d 表示P 到圆心的距离,r 表示圆的半径,则:(1)d<r →(2)d=r →(3)d>r →1、两个圆的圆心都是O ,半径分别为1r 、2r ,且1r <OA <2r ,那么点A 在( )A 、⊙1r 内B 、⊙2r 外C 、⊙1r 外,⊙2r 内D 、⊙1r 内,⊙2r 外2、一个点到圆的最小距离为4cm ,最大距离为9cm ,则该圆的半径是( )A 、2.5 cm 或6.5 cmB 、2.5 cmC 、6.5 cmD 、5 cm 或13cm3. ⊙0的半径为13cm ,圆心O 到直线l 的距离d=OD=5cm .在直线l 上有三点P,Q,R ,且PD = 12cm , QD<12cm , RD>12cm ,则点P 在 ,点Q 在 ,点R 在 .4. AB 为⊙0的直径,C 为⊙O 上一点,过C 作CD ⊥AB 于点D ,延长CD 至E ,使DE=CD ,那么点E 的位置 ( )A .在⊙0 内B .在⊙0上C .在⊙0外D .不能确定二、几点确定一个圆问题:(1)经过一个已知点可以画多少个圆?(2)经过两个已知点可以画多少个圆?这样的圆的圆心在怎样的一条直线上?(3)过同在一条直线上的三个点能画圆吗?定理:经过 确定一个圆。
1、三角形的外心恰在它的一条边上,那么这个三角形是( )A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定2、作下列三角形的外接圆:31231 _______.2 ⊙ O 的半径为 。
3A 的最短弦长=-------cm 4、A5圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的 。
推论:半圆(或直径)所对的圆周角是 ,90°圆周角所对的弦是 。
同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
练习:1、一条弧的度数是1080,则它所对的圆心角是 ,所对的圆周角是 .2、在⊙O 中,弦CD 与直径AB 相交于点E ,且∠=︒AEC 30,AE=1cm ,BE=5cm ,那么弦CD 的弦心距OF=_________cm ,弦CD 的长为________cm 。
2024~2025学年九年级数学上册期中复习——圆的基本性质学案(知识点+例题含解析)
《圆的基本性质》章节复习【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1.圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.(3)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释:①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可;②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为,OP=,则有点P在⊙O外;点P在⊙O上;点P在⊙O内.要点诠释:点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的,即知道位置关系就可以确定数量关系;知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.定理1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.定理2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4.与圆有关的角圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.在同圆或者等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等.5.圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内,一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心,转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等,各内角也相等的多边形是正多边形.要点诠释:判断一个多边形是否是正多边形,必须满足两个条件:(1)各边相等;(2)各角相等;缺一不可.如菱形的各边都相等,矩形的各角都相等,但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为,半径为R,弧长为的扇形的面积.要点诠释:(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的,即;(2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式有点类似,可类比记忆;(4)扇形两个面积公式之间的联系:.【典型例题】类型一、圆的基础知识1.如图,已知⊙O是以数轴的原点O为圆心,半径为1的圆,∠AOB=45°,点P在数轴上运动,若过点P且与OA平行(或重合)的直线与⊙O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是().A.-1≤x≤1B.≤x≤2C.0≤x≤2D.x>2【答案】C;【解析】如图,平移过P点的直线到P′,使其与⊙O相切,设切点为Q,连接OQ,由切线的性质,得∠OQP′=90°,∵OA∥P′Q,∴∠OP′Q=∠AOB=45°,∴△OQP′为等腰直角三角形,在Rt△OQP′中,OQ=1,OP′=2,∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时,0≤OP≤,当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时,结果相同.故答案为:0≤OP≤2.【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题.关键是通过平移,确定直线与圆相切的情况,求出此时OP的值.举一反三:【变式】如图,已知⊙O是以数轴的原点为圆心,半径为1的圆,∠AOB=45°,点P在数轴上运动,若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点,设P(x,0),则x的取值范围是().A.-1≤x<0或0<x≤1B.0<x≤1C.-2≤x<0或0<x≤2D.x>1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心,半径为1的圆,∠AOB=45°,∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时,假设切点为D,∴OD=DP′=1,OP′=2,∴0<OP≤2,类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2.如图所示,已知在⊙O中,AB是⊙O的直径,弦CG⊥AB于D,F是⊙O上的点,且 CF CB=,BF交CG于点E,求证:CE=BE.【答案与解析】证法一:如图(1),连接BC,∵AB是⊙O的直径,弦CG⊥AB,∴ CB GB=.∵CF BC=,∴CF GB=.∴∠C=∠CBE.∴CE=BE.证法二:如图(2),作ON⊥BF,垂足为N,连接OE.∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CG,∴ CB BG=.∵CB CF=,∴CF BC BG==.∴BF=CG,ON=OD.∵∠ONE=∠ODE=90°,OE=OE,ON=OD,∴△ONE≌△ODE,∴NE=DE.∵12BN BF=,12CD CG=,∴BN=CD,∴BN-EN=CD-ED,∴BE=CE.证法三:如图(3),连接OC交BF于点N.∵CF BC=,∴OC⊥BF.∵AB是⊙O的直径,CG⊥AB,∵BG BC=,CF BG BC==.∴BF CG=,ON OD=.∵OC=OB,∴OC-ON=OB-OD,即CN=BD.又∠CNE=∠BDE=90°,∠CEN=∠BED,∴△CNE≌△BDE,∴CE=BE.【总结升华】上述各种证明方法,虽然思路各异,但都用到了垂径定理及其推论.在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习,这样不但能提高分析问题的能力,而且还是沟通知识体系、学习知识,使用知识的好方法.举一反三:【变式】如图所示,在⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为()A.19B.16C.18D.20【答案】如图,延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形,DA=AB=BD=12,OD=AD-AO=4在Rt△ODE中,∠ODE=60°,∠DOE=30°,则DE=12OD=2,BE=BD-DE=10OE垂直平分BC,BC=2BE=20.故选D类型三、图形的旋转3.如图,△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后,点B′恰好与点C重合,则平移的距离和旋转角的度数分别为()A.4,30°B.2,60°C.1,30°D.3,60°【思路点拨】利用旋转和平移的性质得出,∠A′B′C=60°,AB=A′B′=A′C=4,进而得出△A′B′C是等边三角形,即可得出BB′以及∠B′A′C的度数.【答案】B;解:∵∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后,点B′恰好与点C重合,∴∠A′B′C=60°,AB=A′B′=A′C=4,∴△A′B′C是等边三角形,∴B′C=4,∠B′A′C=60°,∴BB′=6-4=2,∴平移的距离和旋转角的度数分别为:2,60°.【总结升华】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识,得出△A′B′C是等边三角形是解题关键.类型四、圆中有关的计算4.(2016•绵阳)如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,点D是的中点,DE⊥AC于E,DF ⊥AB于F.(1)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)若OF=4,求AC的长度.【思路点拨】(1)先连接OD、AD,根据点D是的中点,得出∠DAO=∠DAC,进而根据内错角相等,判定OD∥AE,最后根据DE⊥OD,得出DE与⊙O相切;(2)先连接BC交OD于H,延长DF交⊙O于G,根据垂径定理推导可得OH=OF=4,再根据AB是直径,推出OH是△ABC的中位线,进而得到AC的长是OH长的2倍.【答案与解析】解:(1)DE与⊙O相切.证明:连接OD、AD,∵点D是的中点,∴=,∴∠DAO=∠DAC,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ODA,∴∠DAC=∠ODA,∴OD∥AE,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∴DE与⊙O相切.(2)连接BC交OD于H,延长DF交⊙O于G,由垂径定理可得:OH⊥BC,==,∴=,∴DG=BC,∴弦心距OH=OF=4,∵AB是直径,∴BC⊥AC,∴OH∥AC,∴OH是△ABC的中位线,∴AC=2OH=8.【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系,在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,通常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线.本题也可以根据△ODF与△ABC相似,求得AC的长.举一反三:【变式】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,FO⊥AB,垂足为点O,连接AF并延长交⊙O于点D,连接OD交BC于点E,∠B=30°,FO=2.(1)求AC的长度;(2)求图中阴影部分的面积.(计算结果保留根号)【答案】解:(1)∵OF⊥AB,∴∠BOF=90°,∵∠B=30°,FO=2,∴OB=6,AB=2OB=12,又∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴AC=AB=6;(2)∵由(1)可知,AB=12,∴AO=6,即AC=AO,在Rt△ACF和Rt△AOF中,∴Rt△ACF≌Rt△AOF,∴∠FAO=∠FAC=30°,∴∠DOB=60°,过点D作DG⊥AB于点G,∵OD=6,∴DG=3,+S△OFD=S△AOD=×6×3=9,∴S△ACF即阴影部分的面积是9.类型五、圆与其他知识的综合运用5.如图,△是等边三角形,是⌒上任一点,求证:ABC D BC DB DC DA+=.【答案与解析】延长DB至点E,使BE=DC,连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=∠ABC=60°,AB=AC∴∠ADB=∠ACB=60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE=∠ACD在△AEB和△ADC中,BE CDABE ACD AB AC===⎧⎨⎪⎩⎪∠∠∴△AEB≌△ADC∴AE=AD∵∠ADB=60°∴△AED是等边三角形∴AD=DE=DB+BE∵BE=DC∴DB+DC=DA.【总结升华】由已知条件,等边△ABC可得60°角,根据圆的性质,可得∠ADB=60°,利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形,再证两个三角形全等,从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如:(1)延长DC至F,使CF=BD,连结AF,再证△ACF≌△ABD,得出AD=DF,从而DB+CD=DA.(2)在DA上截取DG=DC,连结CG,再证△BDC≌△AGC,得出BD=AG,从而DB+CD=DA.6.如图,直径AB为6的半圆,绕A点逆时针旋转60°,此时点B到了点B′,则图中阴影部分的面积是().A.3πB.6πC.5πD.4π【答案】B;【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积.则阴影部分的面积是:=6π故选B.【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积.即可求解.举一反三:【变式】某中学举办校园文化艺术节,小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”,图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆,如图所示,则图中阴影部分的面积为().A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多,如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知,阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得,所以由已知得直角边为,小半圆半径为(cm),因此阴影部分面积为.故选C.。
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第2学时圆的基本性质
------垂径定理及圆周角定理应用
【学习目标】
1.借助271BAY,能用自己的话说出圆、弧、圆心角、圆周角等的概念,画出思维导图。
2.探究垂径定理,会利用垂径定理解决船只过桥问题。
3.总结圆周角与所对弧、弦及圆心角的关系,实现圆周角与所对弧、弦、圆心角之间的转化。
自己总结圆的基本性质,并画出思维导图。
1.到点O距离等于3cm的图形是_________,若OP=4cm,A为OP的中点,则点A在⊙O_________.
2.有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点
的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C. 2个 D. 1个
3.若⊙O的直径为10,OP=4,则⊙O中过点P的最长弦__________,过点P的最短弦_________.
4.如图,一圆弧过方格的格点A、B、C,试在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(-2,
4),则该圆弧所在圆的圆心坐标是()
A.(-1,2) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(2,1)
O
A B
(4题图)(5题图)(6题图)
5.如图,⊙O的半径为1,AB是⊙O 的一条弦,且AB=2,则弦AB所对圆周角的度数为()
A、45°
B、60°
C、45°或135°
D、60°或120°
6.如图AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠BCD=300 ,则∠ABD =________________.
----垂径定理及圆周角定理的应用
7.某地有一座圆弧形拱桥,圆心为O,桥下水面宽度为7.2 m,过O作OC⊥AB于D,交圆弧于C,
CD = 2.4 m,如图,现有一艘宽3 m,船舱顶部为方形并高出水面(AB)2 m的货船要经过拱桥,
此货船能否顺利通过这座拱桥?
学习活动一:认知内化*构建意义与性质
自我评价
学习活动二:实践生成*情境问题
总结运用圆的垂径定理解题过程中常做的辅助线有哪些?
8.如图,⊙C 过原点,且与两坐标轴分别交于点A 、点B ,点A 的坐标为()3,0,M 是第三象限内弧OB 上一点,︒=∠120BMO ,则⊙C 的半径长为
多少?
直径与所对圆周角的关系是什么?
1.如图,☉O 的弦AB 、CD 的延长线相交于点P ,且AB=CD ,求证PA=PC.
2.【自助餐
】(2017临沂中考).如图, ∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D,∠ ABC 的平
分线交AD 于点E.
(1)求证DE = DB ;
探究生成
反思总结
学习活动三:迁移提升*中考链接 探究生成
反思总结。