高三立体几何总复习课件(PPT 72页)
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高三数学复习课件-立体几何总复习(全书)
预备知识
正弦定理
1 S ABC = 2 bc sinA
角的知识
A
c B A c b b C
余弦定理
b c a cosA= 2bc
2 2 2
B
a
C
异面直线所成的角
直线与平面所成角
平面与平面所成角
一、概念
名称
两条异面直线 所成的角
返回
定义
直线a、b是异面直线，经过空间任意 一点o，作直线a’、b’，并使a’//a， b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角 （或直角）叫做异面直线a和b所成的 角。
P
3
A
4
H
C
B
三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC， PA=3，AC=4，PB=PC=BC. （1）求二面角P-BC-A的大小 （2）求二面角A-PC-B的大小
P
D A E C
BD= 5
3 2
DE= 15 8
B
3 COS = 4
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求 截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面 角的大小.
求角
平移法（常用方法）
2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π –θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
返回
π 说明：异面直线所成角的范围是（0，2
P
M N E B C
1 8
A
返回
例2、长方体 ABCD-A' B'C' D'中, A' AB=BC=4, AA' =6, E、F分别为BB' 、 ' CC 的中点, 求AE、 BF所成角的余弦值.
正弦定理
1 S ABC = 2 bc sinA
角的知识
A
c B A c b b C
余弦定理
b c a cosA= 2bc
2 2 2
B
a
C
异面直线所成的角
直线与平面所成角
平面与平面所成角
一、概念
名称
两条异面直线 所成的角
返回
定义
直线a、b是异面直线，经过空间任意 一点o，作直线a’、b’，并使a’//a， b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角 （或直角）叫做异面直线a和b所成的 角。
P
3
A
4
H
C
B
三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC， PA=3，AC=4，PB=PC=BC. （1）求二面角P-BC-A的大小 （2）求二面角A-PC-B的大小
P
D A E C
BD= 5
3 2
DE= 15 8
B
3 COS = 4
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求 截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面 角的大小.
求角
平移法（常用方法）
2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π –θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
返回
π 说明：异面直线所成角的范围是（0，2
P
M N E B C
1 8
A
返回
例2、长方体 ABCD-A' B'C' D'中, A' AB=BC=4, AA' =6, E、F分别为BB' 、 ' CC 的中点, 求AE、 BF所成角的余弦值.
高三立体几何总复习( 72页) PPT 课件
棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组 成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和 侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
有关球的问题
球面可看作与定点（球心） 的距离等于定长（半径） 的所有点的集合
球的大圆
球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆
经度
纬度
球的性质
球心与截面圆
的圆心的连线
O
垂直于截面圆
O`
A
B
A`
D
M
C
平平行行问问题题
直线和平面的位置关系 直线和平面的平行关系 平面和平面的平行关系
线面位置关系
直线在平面内 直线和平面相交 直线和平面平行
有无数个公共点
有且仅有一个公 共点
没有公共点
αa
αA
a
α
A a
a
α
线面平行的判定
(1) 定义——直线与平面没有公共点 (2) 定理——如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。
求证:cos2= cos 1 ×cos
A
O
B
C
求直线与平面所成的角时,应注意的问题:
(1)先判断直线与平面的位置关系 (2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤： ①作出或找出斜线上的点到平面的垂线 ②作出或找出斜线在平面上的射影 ③求出斜线段，射影，垂线段的长度 ④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值
棱锥的高
D
C
A
H B 正棱锥的斜高
棱锥基本性质 如果棱锥被平行于底
面的平面所截，那么
P
截面和底面相似，并 且它们面积的比等于
D` O C`
A`
B`
截得的棱锥的高与已 知棱锥的高的平方比
有关球的问题
球面可看作与定点（球心） 的距离等于定长（半径） 的所有点的集合
球的大圆
球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆
经度
纬度
球的性质
球心与截面圆
的圆心的连线
O
垂直于截面圆
O`
A
B
A`
D
M
C
平平行行问问题题
直线和平面的位置关系 直线和平面的平行关系 平面和平面的平行关系
线面位置关系
直线在平面内 直线和平面相交 直线和平面平行
有无数个公共点
有且仅有一个公 共点
没有公共点
αa
αA
a
α
A a
a
α
线面平行的判定
(1) 定义——直线与平面没有公共点 (2) 定理——如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。
求证:cos2= cos 1 ×cos
A
O
B
C
求直线与平面所成的角时,应注意的问题:
(1)先判断直线与平面的位置关系 (2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤： ①作出或找出斜线上的点到平面的垂线 ②作出或找出斜线在平面上的射影 ③求出斜线段，射影，垂线段的长度 ④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值
棱锥的高
D
C
A
H B 正棱锥的斜高
棱锥基本性质 如果棱锥被平行于底
面的平面所截，那么
P
截面和底面相似，并 且它们面积的比等于
D` O C`
A`
B`
截得的棱锥的高与已 知棱锥的高的平方比
高考立体几何专题复习公开课获奖课件
（7）假如一种平面与另一种平面垂线平行， 则这两个平面互相垂直
第20页
面面垂直鉴定
假如一种平面通过另一种平面一条 垂线，则这两个平面互相垂直
推论:假如一种平面与另一种平面垂线 平行，则这两个平面互相垂直
第21页
面面垂直性质
假如两个平面垂直，则在一种平面内垂直 于它们交线直线垂直于另一种平面
推论:假如两个相交平面都与另一种平面 垂直，则这两个平面交线 l 垂直于另一种 平面
（3）推论：
假如一种平面内两条相交直线与另一种平面两条 相交直线分别平行，那么这两个平面平行。
第10页
（4）运用线面垂直：
假如两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两 个平面平行。
（5）运用面面平行：
假如两个平面都平行于第三个平面，那么这两个 平面平行。
（6）运用距离：
假如一种平面上所有点到另一种平面距离相等， 那么这两个平面平行。
α
a
直线与平 面所成角
βA Pm
αB
二面角
00<θ≤900
00≤ θ≤900
00≤θ ≤1800
空间角计算环节：一作、二证、三算
第34页
空间中角解法小结
1、异面直线所成角措施 （1）平移法（2）补形法
2、直线与平面所成角措施
关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内射影。
3、二面角
找二面角棱,进而找棱两条垂线
第6页
（4）运用垂直
假如一条直线和一种平面分别与另一种平面垂 直，且直线不在这个平面内，则这条直线和这 个平面平行。
（5）运用平行 假如一条直线与两个平行平面中一种平 行且不在另一种平面内，则这条直线与 另一种平面平行。
（6）运用距离
第20页
面面垂直鉴定
假如一种平面通过另一种平面一条 垂线，则这两个平面互相垂直
推论:假如一种平面与另一种平面垂线 平行，则这两个平面互相垂直
第21页
面面垂直性质
假如两个平面垂直，则在一种平面内垂直 于它们交线直线垂直于另一种平面
推论:假如两个相交平面都与另一种平面 垂直，则这两个平面交线 l 垂直于另一种 平面
（3）推论：
假如一种平面内两条相交直线与另一种平面两条 相交直线分别平行，那么这两个平面平行。
第10页
（4）运用线面垂直：
假如两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两 个平面平行。
（5）运用面面平行：
假如两个平面都平行于第三个平面，那么这两个 平面平行。
（6）运用距离：
假如一种平面上所有点到另一种平面距离相等， 那么这两个平面平行。
α
a
直线与平 面所成角
βA Pm
αB
二面角
00<θ≤900
00≤ θ≤900
00≤θ ≤1800
空间角计算环节：一作、二证、三算
第34页
空间中角解法小结
1、异面直线所成角措施 （1）平移法（2）补形法
2、直线与平面所成角措施
关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内射影。
3、二面角
找二面角棱,进而找棱两条垂线
第6页
（4）运用垂直
假如一条直线和一种平面分别与另一种平面垂 直，且直线不在这个平面内，则这条直线和这 个平面平行。
（5）运用平行 假如一条直线与两个平行平面中一种平 行且不在另一种平面内，则这条直线与 另一种平面平行。
（6）运用距离
立体几何总复习ppt完美课件 人教课标版
8.四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形， PD⊥面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中 点，求二面角M-DN-C的平面角的正切值？
P M
C
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D
B
O
H
N
A
立体几何总复习ppt完美课件 人教课标版
B
立体几何总复习ppt完美课件 人教课标版
y
立体几何总复习ppt完美课件 人教课标版
4.空间四边形P-
ABC中，M，N分 别是PB，AC的中点，
P
PA=BC=4，MN=3，
求PA与BC所成的角？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M
C N A
E B
立体几何总复习ppt完美课件 人教课标版
立体几何总复习ppt完美课件 人教课标版
5 . 在 三 棱 柱 A B C A 'B 'C '中 ， 底 面 是 正 三 角 形 ， A A ' 底 面 A B C ， A 'C A B ',求 证 ： B C ' A B '
(3)平面B1EF与平面A1B1C1D1所成 z
角的大小。
D
C
E
A
B
F
D1
C1 y
立体几何总复习ppt完美课件 人教课标版
A1
B1
x
立体几何总复习ppt完美课件 人教课标版
6.三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC， PA=3，AC=4，PB=PC=BC （1）求二面角P-BC-A的大小 （2）求二面角A-PC-B的大小
AA1 6, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点N在线段A1D上，
立体几何复习课 ppt课件
一个平面平行，则这两个平面平行。
•
符号表示：a ,b ,a b P ,a /, / b // //
•
（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示： // , a , b a /b /。
立体几何复习课
13
5.直线、平面垂直的判定与性质
• 直线与平面垂直
• （2）直线与平面相交--有且只有一个公共点
• （3）直线与平面平行----没有公共点
立体几何复习课
11
平面与平面之间的位置关系
• （1）两个平面平行---没有公共点 • （2）两个平面相交---有一条公共直线
立体几何复习课
12
4.直线、平面平行的判定与性质
(1)直线与平面平行
•
（1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条
• ①证明 BC⊥侧面 PAB； • ②证明侧面PAD⊥侧面PAB； • ③求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小；
• ④求平面 PAB与平面 PCD所成二面角余弦值
立体几何复习课
19
如图8，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1，E是 CD边上的中点，以AE为折痕将 △DAE向上折起， 使D为D
• （1）求证：AD⊥ EB；
D． 1 2
立体几何复习课
6
• 例2. 一水平放置的平面图形，用斜二测 画法画出了它的直观图，此直观图恰好是 一个边长为2的正方形，如图3则原平面图 形的面积为（ ）
• A．4 3 • B．4 2 • C．8 3
• D．8 2
立体几何复习课
7
体积与表面积
立体几何复习课
8
3.点、线、面之间的位置关系
二轮复习通用版专题3第3讲立体几何与空间向量课件(72张)
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专题三 立体几何
高考二轮总复习 • 数学
设平面 ABD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··AA→→BD＝＝－－xx＋＋z＝3y0＝，0， 取 y＝ 3，
则 n＝(3， 3，3)，
又因为
C(－1，0，0)，F0，
43，34，
所以C→F＝1，
43，34，
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专题三 立体几何
4 ．(2022·全国乙卷 ) 如图，四面体ABCD 中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E 为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在 BD 上 ， 当 △AFC 的 面 积 最 小 时 ， 求 CF 与 平 面 ABD所成的角的正弦值．
专题三 立体几何
高考二轮总复习 • 数学
所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原 点，建立空间直角坐标系，如图，
由(1)得 AE＝ 2，所以 AA1＝AB＝2，A1B ＝2 2，
所以 BC＝2， 则 A(0，2，0)，A1(0，2，2)，B(0，0，0)， C(2，0，0)， 所以 A1C 的中点 D(1，1，1)，
(1)证明：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．
专题三 立体几何
高考二轮总复习 • 数学
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【解析】 (1)过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别 交于点G、H.
∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝ 5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面几何知识易知，
则
VA
－
A1BC
＝
1 3
S△A1BC·h
高中数学立体几何知识点PPT课件
创设情境 兴趣导入
观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、
9.
墙面等，发现它们都有一个共同的特征：平坦、光滑，
1
给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．
平
面
的
基
本
性
质
第1页/共144页
动脑思考 探索新知
平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑
并且可以无限延展的图形．
9. 平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面
面
有其他公共. 点，并且所有公共点的集合是过这个点的 一条直线．
的
性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一 个平面．
基
本
性
质
第17页/共144页
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
9.
1
平 面 的 基 本 性 质
第18页/共144页
第九章 立体几何
9．2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
内且m ∥ 则 m ∥ l ．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
第36页/共144页
巩固知识 典型例题
例3 在如图所示的一块木料中，已知 BC∥平面 A1C1，BC∥ B1C1 ， 要经过平面 A1C1内的一点P与棱BC将木料锯开，应当怎样画线？ 解 画线的方法是： 在平面A1B1C1D1内， 过点P作直线B1C1的平行线EF， 分别交直线A1B1及直线D1C1与点E、F， 连接EB和FC．
面
公共点的集合就是这两个墙面的交线．
的
基
本
性
质
第8页/共144页
动脑思考 探索新知
观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、
9.
墙面等，发现它们都有一个共同的特征：平坦、光滑，
1
给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．
平
面
的
基
本
性
质
第1页/共144页
动脑思考 探索新知
平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑
并且可以无限延展的图形．
9. 平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面
面
有其他公共. 点，并且所有公共点的集合是过这个点的 一条直线．
的
性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一 个平面．
基
本
性
质
第17页/共144页
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
9.
1
平 面 的 基 本 性 质
第18页/共144页
第九章 立体几何
9．2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
内且m ∥ 则 m ∥ l ．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
第36页/共144页
巩固知识 典型例题
例3 在如图所示的一块木料中，已知 BC∥平面 A1C1，BC∥ B1C1 ， 要经过平面 A1C1内的一点P与棱BC将木料锯开，应当怎样画线？ 解 画线的方法是： 在平面A1B1C1D1内， 过点P作直线B1C1的平行线EF， 分别交直线A1B1及直线D1C1与点E、F， 连接EB和FC．
面
公共点的集合就是这两个墙面的交线．
的
基
本
性
质
第8页/共144页
动脑思考 探索新知
人教版高中数学必修立体几何复习课件(共102张PPT)
1 1
1
11.已知某个几何体的三视图如图2，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是_____8_0__0.0 cm 3
3
2 0 20
主视图
10
10
2 俯0视图
2 侧0视图
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
• 四个公理
直线与直线位置关系 • 三类关系 直线与平面位置关系
平面与平面位置关系
（3）
a a
// b
b
（较常用）；
（4）
a
//
a
；
（5）
a a
b
a
（面面垂直 线面垂直）
a b
4.面面垂直
向的侧视图（或称左视图）为（
A
A
H
G
Q
B
C
侧视 B
）A
C
I
P
E
图1
F
B
D
E
D
图2
F
B
B
B
E A．
E B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E C．
E D．
练习10：(1)如图是一个空间几何体的三
视图，如果直角三角形的直角边长均为
正视图 侧视图
1，那么几何体的体积为( ) C
A．1 B．1 C． 1 D．1
俯视图
2
3
6
V1 3S底 h1 31111 3
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于 另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述： a,b , a b O, a //,b // //
//
③面面平行的性质定理：
a
a
//
〔高中数学〕立体几何总复习PPT课件 通用
角）为AM与CN所成的角. ∵ 正方体的棱长为a
例题二(3)
CN 5 a,NP 1 AM 5 a,
2
2
4
C P a2 (a )2 17 a.
4
4
cos C N P N P 2 C N 2 C P 2 2
2NP CN
5
C N P arccos 2 . 5
A M 与 C N 所 成 的 角 的 大 小 为 arccos 2 5
论证．解决这类问题要熟练掌握基本定理、公 理、定义;注意把立体几何问题转化成平面问题 来解决． ②空间量的计算问题．（如距离、角、 侧面积和体积），一般空间角和距离通过“作、 证、求”方法来解决，其中三垂线定理是做题 的重要工具．
❖ ③拆、割、补等方法是解决体积问题的常用方 法．
❖ 2.注重立体几何中蕴含的思想方法．如“转 化”，“平行移动”，“割补”，“等积变 换”，“立体图形平面化”的思想．
重难点突破
❖ 1. 在三种平行或垂直的判断中，如何创造条件， （即添辅助线、面）来实现线线、线面、面面 平行和垂直关系的转化．
❖ 2. 在求距离和空间角中，如何作出所求的角和 距离．其中三垂线定理和逆定理是重要的理论 依据，也是解题关键．
❖ 3.正确的作出垂线或垂面是应用定理和性质的 关键．
例题一（1）
AO 2 a, 2
即 A A '与 B D间 的 距 离 为 2 a. 2
例题二(6)
❖ 点评：本题的前两问是两条异面直线所成角的 问题.关键是构造异面直线所成的角，通常有如 下三种方法： （1）过一条异面直线上的已知点，作另一条 直线的平行线，使异面直线所成角成为相交直 线的交角. （2）当异面直线依附于某几何体且直接过异 面直线上的点平移直线有困难时利用几何体中 的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该 点.
例题二(3)
CN 5 a,NP 1 AM 5 a,
2
2
4
C P a2 (a )2 17 a.
4
4
cos C N P N P 2 C N 2 C P 2 2
2NP CN
5
C N P arccos 2 . 5
A M 与 C N 所 成 的 角 的 大 小 为 arccos 2 5
论证．解决这类问题要熟练掌握基本定理、公 理、定义;注意把立体几何问题转化成平面问题 来解决． ②空间量的计算问题．（如距离、角、 侧面积和体积），一般空间角和距离通过“作、 证、求”方法来解决，其中三垂线定理是做题 的重要工具．
❖ ③拆、割、补等方法是解决体积问题的常用方 法．
❖ 2.注重立体几何中蕴含的思想方法．如“转 化”，“平行移动”，“割补”，“等积变 换”，“立体图形平面化”的思想．
重难点突破
❖ 1. 在三种平行或垂直的判断中，如何创造条件， （即添辅助线、面）来实现线线、线面、面面 平行和垂直关系的转化．
❖ 2. 在求距离和空间角中，如何作出所求的角和 距离．其中三垂线定理和逆定理是重要的理论 依据，也是解题关键．
❖ 3.正确的作出垂线或垂面是应用定理和性质的 关键．
例题一（1）
AO 2 a, 2
即 A A '与 B D间 的 距 离 为 2 a. 2
例题二(6)
❖ 点评：本题的前两问是两条异面直线所成角的 问题.关键是构造异面直线所成的角，通常有如 下三种方法： （1）过一条异面直线上的已知点，作另一条 直线的平行线，使异面直线所成角成为相交直 线的交角. （2）当异面直线依附于某几何体且直接过异 面直线上的点平移直线有困难时利用几何体中 的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该 点.
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棱锥基本性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那 么截面和底面相似，并且它们面积的比 等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的 平方比 棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组 成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和 侧棱在底面的射影组成一个直角三角形
球面可看作与定点（球心） 的距离等于定长（半径） 的所有点的集合
两 个 平 面 平 行
二、两个平面平行的性质
1、两个平面没有公共点
两 个 平 面 平 行
2、其中一个平面内的直线平行于 另一个平面 3、两个平行平面同时和第三个平面 相交，它们的交线平行
4、一直线垂直于两个平行平面中的一 个，则它也垂直于另一个平面 5、夹在两个平行平面间的平行线段 相等
判断下列命题是否正确？ 1、平行于同一直线的两平面平行 2、垂直于同一直线的两平面平行
面面垂直
A D B E
线面垂直
C
点—点
点—线
点—面
线—线
线—面
点—面
A
从平面外一点引这个平面的垂线 垂足叫做点在这个平面内的射影 这个点和垂足间的距离叫做 点到平面的距离
H
线面垂直 点的射影
点面距离
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？
P
OA=OB=OC
D B E
A
面面垂直
C
如果一个平面经过另一个平面的一 如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，则这两个平面互相垂直 条垂线，则这两个平面互相垂直
P
∵PA⊥面ABC
∴面PAC⊥面ABC
∴面PAB⊥面ABC
A
B
∵BC⊥面PAC
∴面PBC⊥面PAC ∴面ABC⊥面PAC
C
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面
a
b
P
线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行， 则这条直线与这个平面无公共点 (2)如果一条直线与一个平面平行， 则这条直线与这个平面内的直线 成异面直线或平行直线 (3)如果一条直线与一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相 交，则这条直线与交线平行。
如果平面外的两条平行线中的一 条与这个平面平行，则另一条直 线与这个平面也平行
O O1 A
O2 B
球的表面积是2500 ，球内有两个 平行截面的面积分别是49、400, 求两截面距离
O1 O O A O2
A
O1
O2
B
B
相交 （2） n, m , m与n_____, l m, l n, l
// （3）l , m , l____m （4）l //m , l , m____
如果两个平面所成的二面角是 直二面角，则这两个平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，则这两个平面互相垂直 线面垂直
直线与平面所成的角
[ 0°, 90°]
异面直线所成的角
(0°, 90°]
最小角原理
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角。
A
O
C
B
如图,直线OA与平面所成的角为, 平面内一条直线OC与OA的射影OB 所成的角为,设∠AOC为2
求证:cos2= cos 1 ×cos
3、变换法
棱锥基本概念
P
棱锥的底面 棱锥的侧面 棱锥的侧棱 棱锥的顶点 棱锥的高
D
A H B
C
正棱锥的斜高
棱锥基本性质
P
D`
A`
O
C` B`
如果棱锥被平行于底 面的平面所截，那么 截面和底面相似，并 且它们面积的比等于 截得的棱锥的高与已 知棱锥的高的平方比
2 S A`B `C `D ` PO 2 PH SAB C D
垂线法
垂面法
射影法 A
B C
O
D
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射 影为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的 面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
A B
D
A` C
M
直线和平面的位置关系 直线和平面的平行关系
平面和平面的平行关系
线面位置关系
内心
线—面
一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点 到这个平面的距离叫做直线到平面的距离
A
l
A`
A
l
B
A` A
点—面
l
线—面
A`
常用体积公式
h
s
V棱柱
=
s
底
· h
h V棱锥= s 底 ·
1 3
求多面体的体积时常用的方法
1、直接法 2、割补法
根据条件直接用柱体或锥体的体积公式 如果一个多面体的体积直接用体积公式 计算用困难，可将其分割成易求体积的 几何体，逐块求积，然后求和。 如果一个三棱锥的体积直接用体积公式 计算用困难，可转换为等积的另一三棱 锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是 容易求得
O
E F C A
B
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？外心
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂 直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心
P
A B O C
已知三棱锥P-ABC的 顶点P到底面三角形 ABC的三条边的距离 相等,试判断点P在底 面ABC的射影的位置？
A
O
B
C
求直线与平面所成的角时,应注意的问题:
(1)先判断直线与平面的位置关系
(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤： ①作出或找出斜线上的点到平面的垂线 ②作出或找出斜线在平面上的射影
③求出斜线段，射影，垂线段的长度
④解此直角三角形，求出所成角的相应函数值
从一条直线出发的两个半平面所形成 的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱
直线在平面内 有无数个公共点 有且仅有一个公 共点
直线和平面相交 直线和平面平行
没有公共点
位置关系
图
示
表示方法 公共点个数
直线在平 面内
直直斜 线 线与交 在平 面 垂直 平相 相交 面交 外 直线与平
面平行
α
a a
A a A a a
无数个
α α α
a 一个
a 一个
a 无
(1) 定义——直线与平面没有公共点 (2) 定理——如果平面外一条直线和 这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。
3、与同一直线成等角的两平面平行
α β
α
θ θ β
α θ β
小结：三种平行关系的转化 线 平行 线
线面平行性质 线面平行判定
线 面面平行判定
面
平行
面
面面平行性质
平行
面
线面垂直的判定方法
（1）定义——如果一条直线和一个平面内的任 意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。 （2）判定定理1——如果两条平行线中的一 条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个 平面。
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
O
二面角的求法 (1)垂线法——利用三垂线定理作出平 面角，通过解直角三角形求角的大小
(2)垂面法——通过做二面角的棱的垂 面，两条交线所成的角即为平面角 (3)射影法——若多边形的面积是S， 它在一个平面上的射影图形面积是S`， 则二面角的大小为COS = S`÷ S
O为三角形ABC的外心
A B O C
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC 两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影 的位置？
P
O为三角形ABC的垂心
A B D C O
已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形 ABC的三条边的距离相等,试判断点P在 底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
（3）判定定理2——如果一条直线和一个平 面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面 垂直。
线面垂直的性质
（1）定义——如果一条直线和一个平面垂直 则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
（2）性质定理——如果两条直线同垂直于一 个平面，则这两条直线平行。
填空
（1）l , m l____m
线面平行判定定理——如果平面外
一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行。
已知：a b a//b 求证：a//
(1) a,b确定平面，=b (2) 假设a与不平行 则a与有公共点P 则P =b (3) 这与已知a//b矛盾 (4) ∴a //
球的问题
异面直线所成的角
直线与平面所成角
平面与平面所成角
异面直线所成的角
斜线与平面所成的角
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 A
O
B
当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或 与平面平行时， 直线与平面所成的角 是0°
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°）
D
H A
C
B
正棱锥的基本性质 棱锥的高、斜高和斜
P
高在底面的射影组成 一个直角三角形。棱 锥的高、侧棱和侧棱 在底面的射影组成一 个直角三角形
Rt⊿ PEH Rt⊿ PHB Rt⊿ PEB Rt⊿ BEH
D
A H E B
C
正棱锥
如果一个棱锥 的底面是正多 边形，并且顶 点在底面的射 影是底面中心 这样的棱锥叫 做正棱锥
a