14.2勾股定理的应用课件

S3
c b
S2
a
S1
∵ a² +b² =c² ∴ S3=S2+S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S1=
1 a 1 b S1 S 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a b 8 8
2
2
S3
c b S a
2
S2
S1
X2+82=(16-X)2 B 即X2+64=256-32X+X2 X A
8 C
D
∴ X=6 ∴ S∆ABC=BC•AD÷2=2 •6 •8÷2=48
折叠中的计算问题
１、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在 BC边上的点F处,已知AB=8,BC=10,求: A (1)CF (2)EC.
10 在RtΔ ABF中 BF= AF2 AB2 102 82 6 10 B 6 ∴FC =4cm 设EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm 2 = x2+42 2 2 2 ∴ （ 8-x ） ∵EF =EC +FC 8 8-X
A
E
B D
C
如图大正方形的面积 为13，小正方形的面 2 积为1，求（a+b） 的 值
1 4 ab 13 - 1 12 2
2 2 2 （a+b） =a +b +2ab
c
a b
a2+b2=13
问题解决
问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长 的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5 米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
(1)经过前面和上底面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上底面.
B
A
2 1
A
3
C B 1 C
3
2
B
2
A
A 1
3
C
解: (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最 短路程为
B
B
2 1
A
A
3
C
AB＝
AC 2 BC 2 ＝
3 3
2
2
＝
18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程 为
B
如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中
解：连接AE A ∵ABCD是正方形，边长是4，F是 DC的中点，EC=1/4BC ∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1 ∴根据勾股定理，在 B Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20 Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5 Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
• 一圆柱体的底面周长为２4cm, 高AB 由勾股定理得 为 5cm, BC是上底面的直径 .一只蚂蚁 2+CD2=122+52=169 AC2 =AD 从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C, 试求出爬行的最短路程． ∴AC=13 C B B C
解 在Rt△ACD中，AD=12 CD=5
A
D
D
一辆高３米，宽2.4 米的卡车要通过一个 半径为3 米的半圆形 3.6 隧道，它能顺利通过 吗？
B １.２米O
C
AB2=3.62-1.22=12.96-1.44= 11.52 ∵11.52＞32 所以能通过
一辆装满货物的卡车,其外形高2.5 米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工 厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
1 c 1 S3 c 2 2 2 8
2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S1+S2=S3
如图6，Rt△ABC中，AC=8， BC=6，∠C=90°，分别以AB、 BC、AC为直径作三个半圆， 那么阴影部分的面积为
S影阴=SAC+SBC+S△ABC-SAB 1 1 1 2 2 2 4 3 S ABC 5 2 2 2 9 25 8 S ABC 2 2 8 8 S ABC S ABC
2
2
=
9 3
(cm2)
已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD＝12，AD＝13,求四边形 C ABCD的面积?
解 在直角三角形 ABC中 B AC2=32+42=25
4 5 3 13
S四边形12 ABCD=36
D
A ∴AC=5 2=132=169 2 2 2 2 AD ∵AC +CD =5 +12 =169
C
A
O
D
在直角三角形OCD B 中，OC=1 OD=0.8
米
CD2=OC2-OD2=12-0.82 =0.36 ∴CD=0.6 CH=2.3+0.6=2.9
H
2.3
∵2.9＞2.5∴能通过
探究训练
一个圆柱形的封闭易拉罐，它的底面 直径为5cm,高为１2cm,问易拉罐内 可放的搅拌棒（直线型）最长可为多 长？
A
A
2cm
B
D 16cm
C
C
B
1 如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长是 8厘米，则正方形A，B，C， D的面积之和是________平 方厘米
P'
5、等腰三角形底边上的高为8，周长为 32，求这个三角形的面积。
解：作∆ABC的高AD，设BD 为X，则AB为（16-X）， 由勾股定理得：
A
B D
C
A
解： （1）∵ △ ABC是等边三角形，AD是高，
1 BD BC 3 （三线和一） 2
B
在Rt △ ABD中，AB=6，BD=3， 根据勾股定理，
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D
C
∵ AD2=AB2 - BD2
∴ AD AB2 BD2 36 9 27cm (2) S △ ABC＝ 1 BC AD = 1 ×6 × 3 3
D C
B
A
1 点，且CE= BC，则AF⊥EF，试说明理由 4
D
F
E
C
4 国旗杆的绳子垂到地面 时，还多了1m，拉着绳子 下端离开旗杆5m时，绳子 被拉直且下端刚好接触地面， 试求旗杆的高．
B
C
试一试： 在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道 有趣的问题，这个问题的意 思是：有一个水池，水面是 一个边长为10尺的正方形，在 水池的中央有一根新生的芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇垂直拉向岸边，它 的顶端恰好到达岸边的水面， 请问这个水池的深度和这根 芦苇的长度各是多少？
．
⑴在Rt△ABC中，斜边AB＝2， 2 2 2 则AB +BC +CA ＝＿＿＿．
⑵在△ABC中∠C=90°，AB=10， AC=6，则另一边BC=________， 面积为______AB边上的高为 ________；
⑶等腰△ABC的面积为12cm2，底上的 高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿
1．三角形三边长分别为6、8、10，那么它 最短边上的高为______． 2．测得一个三角形花坛的三边长分别为 5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是 ________． 3．直角三角形三边是连续整数，则这三角 形的各边分别为＿＿＿
4．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的 周长为60cm，则它的面积是＿＿＿
∴
AC2+BC2=AD2
S S ABC S ACD
∴△ACD是直角三角形 1 1 3 4 5 12 36 2 2
如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m ， B BC=12m。求这块地的面积。
12
24平方米
C
3
4 A D 13
探究1 如图，以Rt△ 其面积分别为 S 1
的三边为边向外作正方形， S2 S3 请同学们想一想
， ？
S1
S2
S3 之间有何关系呢
=a2+b2
S1 + S2
S3
B
A c a b C
S2
S3=c2
∵
S1
a2+b2=c2
S2 =
S1 +
S3
2、探究下面三个圆面积之间的关系
1 2 S1 a 4 1 2 S 2 b 4 1 2 S 3 c 4 1 2 2 S1 S 2 a b 4
B 1 C
A
A
3
2
AB＝
AC 2 BC 2 ＝
5 1
2
2
＝
26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路 程为
B
B 2
A
A 1
3
C
AB＝ AC 2 BC 2 ＝
4 2
2
2
＝
20
18 20 26
最短路程为 18即3 2cm
最短路程问题
B
B
A
探 索 与 研 究
A
3.6米
想一想
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正 方形,求下列图中字母所表示的正方形的面 积.
A =625 225 B =144 400
81
225
1．等腰△ABC的腰长为10cm，底边长为16cm， 2 48 cm 则底边上的高为＿＿＿＿，面积为 __________ ． 6cm
2．等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，那 么它的斜边上的高为＿＿＿． 2 cm
A A1
A2
B
C
小
结
应用勾股定理解决实际问题的一般思路： １、立体图形中路线最短的问题，往往是把 立体图形展开，得到平面图形．根据“两点 之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股 定理计算出最短距离． ２、在解决实际问题时，首先要画出适当的 示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构 建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实 际问题．
D
8-X
E
X 4
F
C
解得x=3
3 已知，如图，长方形 ABCD中，AB=3cm，AD=9cm， 将此长方形折叠，使点B与 点D重合，折痕为EF，则 △ABE的面积为多少？
A
E
D
B
A
F
C
5．为了丰富少年儿童的业余生活， 某社区要在如图7所示AB所在的直线 建一图书室，本社区有两所学校所 在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A， DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA＝ 15km，DB＝10km，试问：图书室E应 该建在距点A多少km处，才能使它到 两所学校的距离相等?
假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝 游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走 8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往 西走3千米，再折向北走到6千米处往东一 拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到 宝藏埋藏点B的距离是多少千米？ 1 B 6 3
2
A 8 C
2、已知：等边△ ABC的边长是6cm (1) 求高AD的长. (2) 求S △ ABC.
A
D
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出 发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B） √5 （C）2 （D）1
B C C
2
B
1
A A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有 多少种情况？ B
14.2勾股定理的应用
问题一
•
勾股定理的内容是什么?
A
b c
a2+b2=c2
B a 勾股定理:直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方． C
Ｃ
二、勾股定理的证明
b
a
a
（一）
c c
b b c c
b
c
a b
c
a b
a
a
（三）
（二）
问题二
• 如果已知三角形的三边长a、b、c，怎样 判定这个三角形是否为直角三角形？ 如果三角形的三边长a、b、c有 关系：a2+b2=c2，那么这、个三 角形是直角三角形．