分数阶阻尼Duffing系统的非线性动力学特性
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶Duffing振子的动力学研究是通过研究分数阶Duffing振子的运动规律来发现系统的性质和特性。
分数阶Duffing振子又称为弹簧-阻尼-位移振子，它由一个带有相应的位移与弹性的振子组成，振子的弹性力的系数就是Duffing振子的特性参数。
分数阶Duffing 振子是一种一阶不可线性动力学系统，几乎所有的现代实际系统都具有分数阶扰动，因此研究分数阶Duffing振子可以揭示和探究实际系统中出现的复杂动力学行为。
由于分数阶Duffing振子是一个具有非线性性质的特征，因此对分数阶Duffing振子进行研究时必须采取正确的理论方法，使得研究结果更加准确。
最常用的动力学研究方法之一就是能量法，利用能量法可以完整的描述分数阶Duffing振子的能量变化情况，有效的把握分数阶Duffing振子的动力特性。
在能量研究分数阶Duffing振子之外，研究者还可以利用分形MAP 和严格数值解等方法，来描述分数阶Duffing振子的动力学行为，这样可以有效的揭示分数阶Duffing振子的扰动下的运动特性。
因此，通过合理的研究，可以有效的发现分数阶Duffing振子的动力学特性和运动规律，从而更好地把握实际系统的特性行为。
最后，分数阶Duffing振子的动力学研究主要利用能量法、分形MAP 和严格数值解等理论方法，根据分数阶Duffing振子的具体性质来给出系统的动力学行为和运动规律，以达到更好地研究实际系统的动力学行为。
分数阶Duffing振子的动力学研究及其特性分析，可以使研究者更清楚地了解实际系统的运动规律，并可以更好的设计系统的控制策略。
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶Duffing振子的动力学研究是一个重要的研究课题，它主
要关注系统中发生的动态行为以及这种行为如何影响系统的性能。
Duffing振子是一种经典的非线性振子，由德国物理学家Alfred-Hermann Duffing于1918年发明，它主要被用来模拟结构动力学中的
振动行为。
Duffing振子包括三个参数，即质量m、刚度c和非线性系
数b，它表示了一个力学系统中各种不同物理参数的相互作用。
分数阶Duffing振子指的是对原Duffing振子系统作出一定的改进，这种改进
将Duffing振子更新为含有分数阶自项的Duffing振子系统。
在研究分数阶Duffing振子动力学时，我们将研究以下几个方面：首先，我们要研究的是系统的稳定性，即系统固有的动力学特性，以
及其是否会受外部因素的影响而发生不稳定的行为。
第二，我们要研
究的是不同的参数对系统的动力学行为的影响，即究竟不同的参数设
定会对这种振子器件的动力学行为产生什么样的影响。
第三，我们还
要研究不同的控制策略对系统动力学行为的影响，这其中包括已开发
出的传统控制策略以及一些新的控制策略。
最后，我们还要研究当前
已开发出的小型唐振子装置的动力学行为，这些装置常常被用来作为
实验室的模型系统，试测系统的动力学行为。
通过以上几点，分数阶Duffing振子系统的动力学研究将有助于
我们更深入地理解此类系统的动力学行为，并有助于我们研发更加先
进的系统控制技术，从而更有效地解决现实工程中出现的系统振动问题。
分数阶非线性系统动力学特性及其图像处理应用研究
分数阶非线性系统动力学特性及其图像处理应用研究非线性动力学在自然学科、社会学科、工程技术等诸多领域有着广泛的应用。
而将非线性动力学理论引入图像处理领域,是非线性动力学理论应用的新思路,也是图像处理的新手段。
本文以分数阶非线性动力学和同步控制为理论基础,研究分析了新的非线性动力学特性,探索其与图像处理领域的契合点,在此基础上构建基于非线性动力学特性的图像处理模型。
新模型的构建拓宽了非线性理论的应用领域,可为人脑感知系统的内部机制提供新的解释和预测,在图像处理领域和神经动力学方面都具有较好的理论意义和应用前景。
本文的主要工作及创新点包括以下几个方面:(1)基于分数阶蔡氏系统和变形蔡氏系统,构建了复分数阶(时滞)蔡氏系统和分数阶复变形蔡氏系统,利用相图、分岔图、最大Lyapunov指数等定性和定量的手段对两类复系统的动力学行为进行了分析讨论。
首先将分数阶微积分定义扩展到复数阶,得到复数阶微积分定义的计算方法,并将其用于复分数阶(时滞)蔡氏系统的仿真。
对于分数阶复变形蔡氏电路系统的研究是将复系统转化为6变量的实系统实现的。
在对两类系统的动力学行为分析中,通过改变系统阶次,观察到不同周期窗口、分岔、单涡卷等丰富的动力学行为。
最后讨论了两类复系统动力学行为的异同点及分数阶系统的动力学行为与构建图像处理模型之间的关系。
(2)基于分数阶系统稳定性分析理论,研究了分数阶Relaxation振子对于不同外部刺激的稳定域和振荡域,结合相图、分岔图分析得到其产生的振荡为节律振荡;利用节律振荡特性构建图像增强模型,并用实验验证了新模型在图像增强方面的有效性。
首先利用分数阶稳定性理论分析分数阶Relaxation振子在不同外部刺激时其平衡点的稳定性,进而分析其对应的相图、分岔图,确定使分数阶Relaxation振子产生节律振荡的外部刺激的范围。
根据不同外部刺激使系统产生节律振荡的特性,构建了类Gamma曲线(QGC)。
将QGC和其相近模型进行比较,量化指标和直观效果均验证了我们所提模型在图像增强方面有较好的性能。
分数阶Duffing振子的动力学研究
类高分 子 阻 尼 材料 的力 学 行 为 进 行 很 好 地 描
述Ｅ ］ ．
考 虑分 数微分 型 阻尼作 用 的 Ｄ ｒｎ 振 子 实 际 ｕ ｇ ｉ 上 是相 当于是 将 高 分子 阻尼 引 入 到经 典 的 Ｄ ｒｎ ｕ ｇ ｉ
振 子系统 中 ， 究 分 数 微 分 型 Ｄ ｒｎ 研 ｕ ｇ振 子有 现 实 ｉ
Ｖｏ． ｏ ２ １６ Ｎ ．
Ｊｎ ２ ０ ｕ ．０８
分 数 阶 Ｄ ｆｎ ｕｆ ｇ振 子 的动 力学研 究 ｉ
廖少锴 张 卫
５０３ ） １６ ２ （ 暨南 大 学 理 工 学 院 力 学 与 土 术工 程 系 ， 暨南 大 学 应 用 力 学 研 究 所 ， 州 广
摘要
在经典 Ｄｆｉｇ 于中引入分数微分型阻尼项 ， ｔｎ振 ｆ 推导 了商效 率的数值计 算格式 ， 对其表现 出来的特有
（） ５
１ 分 数微 分 型 Ｄ ｆｎ ｕ ｉｇ振 子 的 数 值 方 法
为讨论 方便 ， 典 Ｄ ｒｎ 经 ｕ ｇ振子 可写 成 ： ｉ
Ｄ ＋ｃ ｘ一 。 ｃｓ ｔ ） ２ Ｄ ＋ ＝Ｆ ｏ（ ｔ ｏ （） １
＝
一
１ １一 ） ￡ ｌ △ ＋（ △ 一 ＋ ￡
将 （ ） 、５ 式代 入 到 （ ） ， ４ 式 （） ２ 式 整理得 到 ：
的频 率域 范 围 内仅 用少 量参 数 就 可 以 对相 当一 大
啪
）＝
０＜ ｑ＜１ （） ３
考虑到分数微分型 Ｄ ｒ ｇ ｕ ｎ 振子方程解析解很 ｉ 难得 到， 本文将采用无条件收敛 的 Ｎ ｗ ａ ｅｍｒ ｋ法构 造其数值求解单步算法 ， 由文献 ［ ５ 可知 ， ２— ］ 分数 微分 的Ｎ ｗ ａ ｅｍ ｒ ｋ型的 Ｚ ａｇ Ｓｉｉ 数值算法为 ： ｈｎ — ｈ ｚ ｍｕ
duffing方程的稳定点
duffing方程的稳定点Duffing方程的稳定点Duffing方程是描述非线性振动系统的重要方程之一。
在物理学和工程学中，非线性振动系统的稳定点是研究和分析系统动力学行为的关键。
本文将围绕Duffing方程的稳定点展开讨论，探讨其在科学研究和实际应用中的重要性。
我们来了解一下Duffing方程的表达式。
Duffing方程可以写为如下形式：mx'' + bx' + kx + \alpha x^3 = f(t)其中，m是系统的质量，x是位移，b是阻尼系数，k是刚度系数，\alpha是非线性刚度系数，f(t)是外力。
Duffing方程的一个重要特征是非线性刚度项\alpha x^3，它使得系统的行为具有一定的复杂性。
稳定点是指系统在某一状态下，位移和速度都不再发生变化，保持恒定的状态。
在Duffing方程中，稳定点可以通过解方程 mx'' + bx' + kx + \alpha x^3 = 0 来求解。
由于Duffing方程的非线性特性，稳定点的解析解往往很难得到，通常需要通过数值方法进行求解。
稳定点对于研究非线性振动系统的动力学行为至关重要。
通过分析稳定点的性质，可以得到系统的稳定性、周期性和混沌性等重要信息。
在Duffing方程中，稳定点的性质可以通过相图来展示。
相图是在位移-速度平面上绘制的轨迹图，可以直观地展示系统的运动状态。
当稳定点为不动点时，系统处于平衡状态，位移和速度均为零。
此时，稳定点的性质取决于刚度系数k和阻尼系数b的大小关系。
当阻尼系数b小于临界值时，系统呈现出周期振动的稳定点；当阻尼系数b大于临界值时，稳定点为无穷远点，系统呈现出非周期性的发散振动。
当稳定点为极值点时，系统处于非平衡状态，位移和速度不为零。
此时，稳定点的性质受到非线性刚度系数\alpha的影响，系统可能表现出混沌行为。
除了理论研究，Duffing方程的稳定点在实际应用中也具有重要意义。
《含分数阶项的油气悬架系统非线性动力学及控制研究》
《含分数阶项的油气悬架系统非线性动力学及控制研究》一、引言油气悬架系统因其高效性、良好的缓冲性和舒适性被广泛应用于汽车及工程机械设备。
特别是在重载、高速运行场合，其稳定性、耐久性以及性能可靠性至关重要。
近年来，随着科技进步和研究的深入，人们开始探索含分数阶项的油气悬架系统，这不仅能够进一步提高其动力学性能，同时为系统控制策略提供了更丰富的可能。
因此，对含分数阶项的油气悬架系统的非线性动力学及控制研究具有重要意义。
二、含分数阶项的油气悬架系统非线性动力学研究在含分数阶项的油气悬架系统中，分数阶微积分在描述系统的非线性动态行为方面扮演着重要角色。
系统的动态响应、稳定性和控制性能均与分数阶参数的选取密切相关。
首先，我们需要对系统进行数学建模，利用分数阶微积分理论建立油气悬架系统的动力学模型。
在此基础上，我们可以研究系统的动态响应和稳定性，揭示系统在不同分数阶参数下的行为特征。
此外，为了更全面地了解系统的非线性动力学特性，我们还需要进行仿真分析和实验验证。
通过仿真分析，我们可以观察系统在不同条件下的动态响应和稳定性变化；而通过实验验证，我们可以将仿真结果与实际系统进行对比，验证模型的准确性。
三、控制策略研究针对含分数阶项的油气悬架系统，我们需要设计合适的控制策略来提高系统的性能。
首先，我们可以采用传统的控制方法，如PID控制等，来调整系统的动态响应和稳定性。
然而，这些传统方法往往难以满足复杂的非线性动力学要求。
因此，我们需要探索更先进的控制策略，如自适应控制、模糊控制等。
自适应控制可以根据系统的实时状态调整控制参数，从而实现对系统的精确控制。
模糊控制则可以利用模糊逻辑来处理复杂的非线性问题，提高系统的鲁棒性。
此外，我们还可以考虑将多种控制策略相结合，以充分发挥各自的优势。
四、结论与展望通过对含分数阶项的油气悬架系统的非线性动力学及控制研究，我们可以得出以下结论：1. 分数阶微积分理论在描述油气悬架系统的非线性动态行为方面具有重要作用。
分数阶duffing李雅普诺夫指数
分数阶Duffing 方程是经典的非线性动力系统方程之一，它是对Duffing 方程的一种扩展，将二阶导数改为分数阶导数。
分数阶Duffing 方程在许多领域，如力学、控制系统和电子工程中都有重要的应用。
利用李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent），可以评估一个动力系统的混沌性质。
李雅普诺夫指数是描述非线性系统稳定性和混沌行为的重要工具。
对于分数阶Duffing 方程，李雅普诺夫指数可以用来判断系统的混沌性质。
具体来说，当系统的李雅普诺夫指数是正值时，表示系统是混沌的；当指数为负值时，表示系统是稳定的；当指数等于零时，表示系统是临界的。
通过计算系统的李雅普诺夫指数，可以了解分数阶Duffing 方程的动力学行为，包括混沌运动、吸引子的结构等。
李雅普诺夫指数的计算通常需要借助数值方法和计算机仿真进行。
需要注意的是，详细的数学推导和计算方法超出了本回答的范围。
如果你对分数阶Duffing 方程和李雅普诺夫指数有更多研究兴趣，建议参考相关的数学和动力系统的文献。
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶Duffing振子的动力学研究是一个比较重要的话题，它可
以帮助我们理解振子系统的行为特征、对系统性能影响有助于我们更
好的控制振子系统。
Duffing振子是一个典型的非线性系统，具有良好
的定性和定量特性，用来研究动力学行为特征是比较有意义的。
分数阶Duffing振子具有特殊的振子形式，它可以以极少的系统
参数解决非线性问题，可以通过对系统参数的调整出色地控制系统，
要求极高的计算能力。
研究者已经取得了不少的进展，比如建立了分
数阶Duffing振子的数学模型，求解了其静态特性，分析如何更改系
统参数以达到优化控制的目的；研究者还针对振子的调和振动，研究
了其非线性的混沌特性，从而更好地利用其在实际运动系统中的性能。
继续研究分数阶Duffing振子，可以提高对此类非线性系统的理解，更好地利用其优势性能，有助于我们更好的控制系统行为特征。
研究者可以尝试提升系统的控制能力，比如研究各种控制策略，引入
智能控制方法，进一步提高系统的效率和精度。
同时，研究者还可以
尝试扩展解决方案，以应用到其他系统。
例如安全控制、平衡控制以
及精准控制等，这些都是需要继续探索的研究方向。
总之，分数阶Duffing振子的动力学研究是一个复杂而有趣的课题，它具有重要的意义，可以为我们提供提升振子系统性能的有效手段，是系统工程领域极具前景的研究主题。
超磁致伸缩致动器非线性动力学的分数阶时滞反馈控制
超磁致伸缩致动器非线性动力学的分数阶时滞反馈控制作者：闫洪波付鑫汪建新于均成马庆振杨伯军来源：《振动工程学报》2024年第04期摘要设计了一种分数阶时滞反馈控制器，用于控制单自由度的超磁致伸缩致动器（GMA）的非线性动态响应。
考虑到预压碟形弹簧机构引入的几何非线性因素影响，建立了GMA系统的非线性数学模型。
利用平均法求解系统在含分数阶时滞反馈控制策略下主共振的幅频响应方程，根据Routh‑Hurwitz准则得到系统的稳定性条件。
通过数值模拟研究GMA系统中关键结构参数对幅频响应特性的影响，以及主共振峰值和系统稳定性随每个时滞反馈参数变化的特性规律；通过分岔图和Lyapunov指数图得到外激励幅值对系统混沌运动的影响；最后调节时滞反馈增益和分数阶次抑制系统的混沌运动。
结果表明，时滞反馈增益和分数阶次能够有效抑制系统的主共振峰值和不稳定区域，可以将系统响应从混沌运动调整为稳定的周期运动，提高系统的稳定性。
关键词几何非线性; 超磁致伸缩致动器; 混沌; 时滞反馈; 稳定性引言超磁致伸缩材料（Giant Magnetostrictive Material，GMM）作为一种新型功能材料，广泛应用于能量采集、微位移驱动、精密定位控制等领域［1‑7］。
以GMM棒为核心器件制作的超磁致伸缩致动器（Giant Magnetostrictive Actuator，GMA）在外部激励磁场作用下，通过改变GMM棒长度，以输出轴力的形式推动输出刚性杆运动，实现位移和力的输出。
但是，由于GMA系统存在多耦合非线性因素的影响［8‑9］，很容易陷入非线性不稳定，造成系统的输出误差大、控制精度低。
GMA系统中非线性不稳定甚至混沌运动的存在很难准确预测和控制其输出响应，严重阻碍GMA在精密定位控制、主动隔振等领域中的应用。
孙华刚［10］建立了非线性磁力耦合GMA数学模型，研究表明，系统在工作过程中存在混沌现象；Zeng等［11］建立了大功率的GMA非线性数学模型，研究表明，增大系统阻尼系数有助于提高输出稳定性，系统刚度较低时，会产生混沌现象；Gao等［12］建立了GMA电磁机耦合动态数学模型，研究表明，当系统刚度系数和阻尼系数较低时，会导致系统失稳；Yan等［13‑14］建立了GMA磁滞非线性数学模型，研究表明，在不同参数条件下，系统具有复杂的运动形态。
分数阶时滞反馈对Duffing振子动力学特性的影响
分数阶时滞反馈对Duffing振子动力学特性的影响
温少芳;申永军;杨绍普
【期刊名称】《物理学报》
【年(卷),期】2016(0)9
【摘要】研究了含分数阶时滞耦合反馈的Duffing自治系统,通过平均法得到了系统周期解的一阶近似解析形式,定义了以反馈系数、分数阶阶次、时滞参数表示的等效刚度和等效阻尼系数,发现分数阶时滞耦合反馈同时具有速度时滞反馈和位移时滞反馈的作用.比较了三种参数条件下近似解析解与数值积分的结果,二者的吻合精度都很高,证明了近似解析解的正确性和准确性.分析了反馈系数、分数阶阶次和非线性刚度系数等参数对系统分岔点、周期解稳定性、周期解的存在范围、零解的稳定性以及稳定性切换次数等系统动力学特性的影响.
【总页数】10页(P158-167)
【关键词】分数阶微分;Duffing振子;时滞;平均法
【作者】温少芳;申永军;杨绍普
【作者单位】石家庄铁道大学交通运输学院;石家庄铁道大学机械工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O322
【相关文献】
1.分数阶Duffing振子的动力学研究 [J], 廖少锴;张卫
2.分数微分阶数对分数Duffing振子动力学行为的影响 [J], 张卫;张翰卿;黄繁
3.分数阶时滞反馈对Duffng振子动力学特性的影响∗ [J], 温少芳;申永军;杨绍普
4.时滞反馈与多频激励联合作用下Duffing振子的快慢动力学 [J], 王东梅;余跃;张正娣
5.广义分数阶van der Pol-Duffing振子的动力学响应与隔振效果研究 [J], 唐建花;李向红;王敏;申永军;李壮壮
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分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶duffing振子的动力学研究标题：分数阶Duffing振子的动力学研究在动力学系统中，Duffing振子一直以其非线性特性而闻名。
最近，分数阶微积分的引入为研究这类系统带来了新的视角和工具。
本文旨在探讨分数阶Duffing振子的动力学特性，并分析其在不同参数条件下的行为。
首先，我们回顾了经典的Duffing振子模型，它描述了一个带有非线性回复力的振动系统。
然后，我们引入了分数阶微积分的概念，将其应用于Duffing振子模型中。
通过引入分数阶导数和积分，我们能够更准确地描述系统的记忆效应和长期依赖性，这对于理解非线性系统的行为至关重要。
接下来，我们研究了分数阶Duffing振子在不同分数阶阶数下的动力学行为。
我们发现，分数阶导数的引入使得系统的响应更加丰富多样，出现了新的动力学现象。
例如，随着分数阶阶数的增加，系统的周期倍增现象变得更加明显，振荡幅度也可能出现非单调变化。
这些发现为探索非线性系统的新特性提供了重要线索。
此外，我们还研究了分数阶Duffing振子在外加周期性驱动力下的响应。
通过数值模拟和理论分析，我们发现了分数阶阶数对系统的共振特性和动态稳定性的影响。
我们的研究表明，分数阶导数的引入不仅可以增加系统的复杂性，还可以改变其对外部激励的响应方式，这对于设计和控制非线性振动系统具有重要意义。
最后，我们讨论了分数阶Duffing振子在实际应用中的潜在价值和挑战。
尽管分数阶动力学的理论框架已经初步建立，但其在工程和科学领域的应用仍面临着许多挑战，例如参数识别、数值模拟和控制方法的研究。
然而，随着对分数阶微积分理论的深入理解和计算能力的提升，我们有信心分数阶Duffing振子将会成为未来动力学研究的重要课题之一。
综上所述，分数阶Duffing振子的动力学研究在理论和应用上都具有重要意义。
通过引入分数阶微积分的概念，我们能够更加全面地理解非线性系统的行为，并为工程应用提供新的思路和方法。
我们期待未来进一步深入探索分数阶Duffing振子的动力学特性，推动非线性动力学领域的发展。
一种识别Duffing非线性系统刚度的新方法
一种识别Duffing非线性系统刚度的新方法刘景良;郑文婷;黄文金;黄志伟【摘要】The frequency variation of vibration responses of nonlinear vibration systems is closely related to the displacement, velocity and amplitude of the vibration, which is the main feature of the nonlinear vibration systems. In this paper, a new method for identifying the stiffness of Duffing nonlinear systems is presented based on this feature. First of all, the relation between instantaneous frequency and instantaneous amplitude of the Duffing nonlinear systems is established by means of Lindestedt- Poincaré method. Then, the maximum gradient method and Hilbert transform are employed respectively to extract the instantaneous frequency and the instantaneous amplitude from the nonlinear response signals. On this basis, the least square optimization algorithm is employed to identify the linear and cubic stiffness of the Duffing nonlinear systems. The effectiveness of the proposed new method is validated via a numerical example of a nonlinear Duffing system. The results demonstrate that the new method can identify the stiffness effectively even if the response signals are contaminated by Gauss white noise.%振动响应的频率变化与位移、速度、振幅息息相关,基于非线性振动系统的这一主要特征提出一种新的识别Duffing非线性系统刚度的方法.该方法首先通过Lindestedt-Poincaré法建立Duffing非线性系统瞬时幅值与瞬时频率的关系式,然后分别采用Hilbert变换和最大坡度法提取非线性系统响应的瞬时幅值和瞬时频率.在此基础上,应用最小二乘优化算法识别非线性系统的线性和立方体刚度.通过一个Duffing非线性系统数值算例对所提出的新方法进行验证,结果表明:即使在信号被噪声干扰的情况下,该方法仍然能够有效识别Duffing非线性系统的刚度.【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2017(037)003【总页数】7页(P72-77,106)【关键词】振动与波;Duffing非线性系统;最大坡度法;最小二乘法;瞬时频率;瞬时幅值【作者】刘景良;郑文婷;黄文金;黄志伟【作者单位】福建农林大学交通与土木工程学院,福州 350002;福建工程学院土木工程学院,福州 350118;福建农林大学交通与土木工程学院,福州 350002;福建农林大学交通与土木工程学院,福州 350002【正文语种】中文【中图分类】P315.96;TU311.3非线性问题普遍存在于土木工程结构中，如循环荷载下钢结构连接螺栓的松紧，风与车辆荷载引起的斜拉桥的拉索索力的变化等，此外，结构的损伤也会引发非线性行为。
分数阶duffing方程求解方法
分数阶duffing方程求解方法
分数阶Duffing方程是一种非线性微分方程，通常用来描述振动系统的行为。
求解分数阶Duffing方程可以采用多种方法，以下是一些常见的方法：
1. 数值方法，由于分数阶微分方程的复杂性，常常使用数值方法进行求解。
其中一种常见的数值方法是基于分数阶导数的定义进行离散化，然后应用常规的数值求解技术，比如Euler方法、Runge-Kutta方法等。
另外，也可以使用基于分数阶微分方程的数值求解器，比如Grünwald-Letnikov方法、Caputo方法等。
2. Laplace变换方法，对于一些特定的分数阶Duffing方程，可以使用Laplace变换将其转化为代数方程，然后再进行求解。
这种方法通常需要对分数阶微分方程的初值条件进行适当的处理。
3. 变分法，变分法是一种常见的用于求解微分方程的方法，可以尝试将分数阶Duffing方程转化为一个变分问题，然后应用变分法进行求解。
4. 数学软件，利用数学软件如MATLAB、Mathematica等进行符
号计算和数值求解，这些软件通常提供了丰富的工具和函数，能够有效地求解分数阶微分方程。
总之，对于分数阶Duffing方程的求解，需要根据具体的情况选择合适的方法，有时可能需要结合多种方法进行求解以获得精确的结果。
希望以上信息能够对你有所帮助。
分数阶阻尼裂纹转子的非线性动力学特性分析
Ａｂ ｔａ ｔ Ｎｏ ｌ ｅ ｒｄ ｎ ｍｉｓｏ ｒ ｃ ｅ ｏ ｏ ｙ ｔｍ ｔ ｒ ｃ ｉｎ ｌ ｒ ｅ ａ ｉｇ ｉ ｉ ｖ ｓｉ ａ ｓｒｃ ￣ ｎ ｉ ａ ｙ ａ ｃ ｆｃ ａ ｋ ｄ ｒ ｔ ｒｓ ｓ ｅ ｗｉ ｆａ ｔ ａ ｄ ｒｄ ｍｐ ｎ ｓ ｎ ｅ ｔ — ｎ ｈ ｏ ｏ ｇ
第４ ６卷
第 １ 期
西
安 交
通
大 学 学
报
Ｖｏ． ６ Ｎｏ １ １４ ．
ห้องสมุดไป่ตู้
２１ 年 １ ０２ 月
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＸＩＡＮ Ｉ ＪＡＯＴＯＮＧ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
Ｊｎ ０ ２ ａ ．２ １
分 数 阶 阻 尼 裂 纹 转 子 的 非 线 性 动 力 学 特 性 分 析
Ｉ ｆｕ ｎ ｅ ｆＦｒ ｃｉ ｎ ｌＯｒ ｅ ｍ ｐ ｎｇ ｏ ｎｌｎ ａ ｎ ｌ ｅ ｃ ｓｏ ａ ｔｏ ａ ｄ ｒＤａ ｉ ｎ Ｎｏ ｉ ｅ ｒ Ｄｙ ｍ ｉｓｏ ａ ｋｅ ｔ ｒ ｎａ ｃ ｆＣｒ ｃ ｄ Ｒｏ ｏ
ＸＵＥ Ｓ ｉ ｎ ｈｍｉｇ ，ＣＡＯ ｕ ｙ Ｊ ｎ ｉ，ＬＩ Ｊｎ Ｎ ｉｇ ，ＣＨＥ Ｙａ ｇ ｕ ｎ Ｎ ｎ ｑ ａ
数 次 阻尼阶 次的增 加 ， 子 系统依 次经历 混沌 、 转 准周期 和周 期运动 ， 同时裂纹 深度 、 不平衡 量 以及 转
速 对转 子 系统 的动 态特性 具有 明显影 响． 关键 词 ：分数 阶 阻尼 ； 纹转子 系统 ； 裂 非线 性动 力学
分数阶Ver Del Pol-Duffing系统的非线性动力学行为分析
３ ｅ ａ ｍ ｎ ｏ ｌ ｔ ｎｃＥ ｇ ｅ ｒ ｇ Ｊ ａ ｎ ｅｓ ｙ ｕ ｎ ｚｏ １６ ２ Ｃ ｉａ ．Ｄ ｐ ｒ ｅ ｔ ｆ ｅ ｒ ｉ ｎ ｉ ｅｉ ， ｉ ｎ Ｕ ｉ ｒ ｔ，Ｇ ａ ｇｈ ｕ５ ０ ３ ， ｈ ） ｔ Ｅ ｃｏ ｎ ｎ ｎ ｖ ｉ ｎ
力特性 随特征参 数的变化 规律 。分 析发 现 ： 该非线性振子具有与经典 Ｖ ｒＤ ｌ ｏ 系统相似 的 自激 振动特性 ， ｅ ｅ Ｐｌ 但其非线性
强弱受分数导数阶值以及阻尼系数和非线性 大位 移系数的影响 ； 简谐 荷载作用下 ， 在 随着外 荷载幅值 的增 大或阻尼 系数
的减小 ， 系统 由拟周期振 动变为周期三振动最后发展为单周期振动 ； 在地震荷载作用下 ， 分数导数 阶值的变化能改变系统
。 ＝
数阶振子与经典 Ｖ ｎｄｒ ｏ 振子一样有极限环存在也 ａ ｅ ｐｌ 伴 有 自激 瞬 态 过 程 ， 论 分 数 导 数 阶值 如 何 改 变 ， 无 当
ｆ 。时 ， 动 将趋 于定 常 振 动 ； 功率 谱 图可 以看 出 ： 一 。 振 从 该 自治 系统 存 在 多个 振 动 频 率 ， 如 系统 振 动 的基 频 假 以 （ ９ １ 表 示 ， ０＜ ） 那么 在基 频 的奇 整数倍 ｉ０＜ （
示 。从 中可 以看 出 ： 随着分 数 导 数 阶值 的变 化 ， 统 的 系 振 动周 期 明显 改 变 ， 振 幅都 趋 于极 限值 ２ 说 明该 分 但 ，
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶duffing振子的动力学研究
分数阶Duffing振子的动力学研究一直是深受科学家关注的课题。
这种振子的研究已经有几十年的历史，被广泛用于理解许多自然振子
系统的行为。
Duffing振子是一种二阶振子，其振动行为受到非线性项
和时变系数项的影响，其中时变系数项可以表示为分数阶系数。
分数
阶动力学对象的特征决定了它在分析和模拟上有着独特的优势，是揭
示复杂系统行为的有效工具。
Duffing振子是一种时变振子，其各参数和特性可以使用非线性动
力学方程来描述。
与普通的线性振子不同的是，Duffing振子的振动和
响应受到时变系数的影响，其特性可以通过分数阶动力学对象明确地
描述，因此更有利于揭示复杂的非线性振子的行为。
研究表明，分数阶Duffing振子有两种不同的特性。
首先，
Duffing振子的响应受到时变系数作用，其介质特殊性可以影响振子的
振动参数。
其次，Duffing振子存在混沌行为，其中有一种类型的混沌
行为可以通过分数阶对象明确描述。
在过去的几十年里，人们已经研究了固定Coeff. Duffing振子的
动力学行为，同时也研究了该种振子在不同参数环境下的动力学行为。
例如，已经有人研究了电压时变式Duffing 振子的非线性行为，以及
其在混沌行为下的特性。
同时，人们也对分数阶Duffing振子做出了
大量的理论研究和数值模拟，以更好地了解振子的行为。
综上所述，分数阶Duffing振子的动力学研究一直受到科学家的
普遍关注，而且已经研究出了许多有价值的结果，在理解复杂的系统
行为方面也发挥了重要作用。
Duffing系统在双参数平面上的动力学特性分析
Duffing系统在双参数平面上的动力学特性分析
石建飞;张艳龙;王丽;杜三山
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2017(34)2
【摘要】将单参数最大Lyapunov指数的计算推广到双参数平面上,数值计算Duffing系统在双参数平面上的最大Lyapunov指数,得到系统在参数平面上周期运动、混沌运动、各种分岔曲线的参数区域;结合系统单参数分岔图、相图、庞加莱截面图讨论了系统在参数平面上的分岔混沌过程以及阻尼系数对系统双参数特性的影响。
结果表明:在双参数平面上系统出现了周期跳跃、周期倍化分岔、叉式分岔等复杂的分岔曲线,而且这些分岔曲线随阻尼系数的增加不断发生着复杂变化;得到系统在以往单参数分岔过程中很少出现的分岔曲线相交、嵌套、演变等特殊现象;阻尼系数对系统双参数耦合动力学特性有重要的影响。
本文对工程中其它多参数系统的参数耦合特性的研究具有一定的参考价值。
【总页数】7页(P250-256)
【作者】石建飞;张艳龙;王丽;杜三山
【作者单位】兰州交通大学机电工程学院;兰州城市学院数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O322;O241.1
【相关文献】
1.Holmes型Duffing系统动力学特性仿真及实验
2.双参数平面上Duffing系统TLE的计算与分岔分析
3.Duffing系统在双参数平面上的分岔演化过程
4.Duffing 系统的双参数分岔与全局特性分析
5.随机参数作用下参激双势阱Duffing系统的随机动力学行为分析
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分数阶导数系统非平稳随机振动灵敏度分析的时域显式方法
分数阶导数系统非平稳随机振动灵敏度分析的时域显式方法作者：冼剑华苏成来源：《振动工程学报》2022年第05期摘要：分数阶导数模型是描述黏弹性材料本构关系的理想模型。
进行了分数阶导数线性系统非平稳随机振动的灵敏度分析。
建立分数阶导数系统动力响应的时域显式表达式；采用灵敏度分析的直接求导法或伴随变量法，推导系统动力响应灵敏度的时域显式表达式；提出分数阶导数系统响应统计矩灵敏度高效计算的时域显式方法。
所提出的基于直接求导法和伴随变量法的时域显式方法，分别适用于少设计变量和多设计变量两种情况下的响应统计矩灵敏度分析。
以非平稳地震激励下设置分数阶导数黏弹性阻尼器的层剪切结构为数值算例，验证了所提方法的计算精度和计算效率。
关键词：随机振动灵敏度；分数阶导数；时域显式方法；直接求导法；伴随变量法中图分类号： O324；TU311.3 文献标志码： A 文章编号：1004-4523（2022）05-1058-10DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.003引言理论和实验研究表明，分数阶导数模型能够同时模拟黏弹性材料的應力松弛特性和蠕变特性，是描述黏弹性材料本构关系的理想模型[1⁃2]。
近年来，在结构振动领域，分数阶导数模型已被广泛用于描述黏弹性阻尼器的力学行为[3⁃5]。
分数阶导数系统的随机振动分析已引起了不少学者的关注。
Spanos 和 Zeldin[6]提出了分数阶导数线性系统平稳随机振动的频域分析方法。
Agraw ⁃ al[7]给出了分数阶导数单自由度线性系统平稳或非平稳随机振动的时域解析解答。
Di Paola 等[8]基于 Lyapunov 矩方程法求解了分数阶导数线性振子的平稳或非平稳随机响应。
上述研究属于线性随机振动分析范畴。
在非线性随机振动分析方面，Spanos 和Evangelatos[9]利用蒙特卡罗模拟和统计线性化法分别求解了平稳白噪声激励下分数阶导数非线性振子的响应统计量。
分数阶阻尼裂纹转子的非线性动力学特性分析
分数阶阻尼裂纹转子的非线性动力学特性分析薛士明;曹军义;林京;陈阳泉【摘要】Nonlinear dynamics of cracked rotor system with fractional order damping is investigated with a response-dependent breathing crack model. The fourth order Runge-Kutta method and tenth order continued fraction expansion Euler (CFE-Euler) method are introduced to simulate the proposed system equation of fractional order cracked rotors. The effects of derivative order of damping, rotating speed ratio, crack depth, orientation angle of imbalance relative to the crack direction and mass eccentricity on the system dynamics are demonstrated by bifurcation diagram, Poincare map and rotor trajectory diagram. The results show that the rotor system gets chaotic, quasi-periodic and periodic as the fractional order increases. It is also found that the imbalance eccentricity level, crack depth, rotational speed, fractional damping and crack angle all exert considerable influence on the nonlinear behaviors of cracked rotor system.%为了有效地提高转子系统特性的分析精度,使其能够准确地进行故障诊断,以Jeffcott转子模型为基础,建立了带有分数阶阻尼和横向呼吸裂纹故障的转子系统的动力学模型.采用4阶龙格库塔法和10阶连分式欧拉法对转子系统的动力学方程进行数值仿真计算,利用轴心轨迹图、Poincare截面映射图和分岔图等,研究了阻尼的分数阶次、转速和裂纹深度对裂纹转子动态特性的影响,并通过实验对理论分析结果进行了验证.分析结果表明:在半临界转速附近,由于裂纹的存在,转子的轴心轨迹呈现明显的双环型(或称内8字形),因此响应中的2倍频分量占主导地位.随着分数次阻尼阶次的增加,转子系统依次经历混沌、准周期和周期运动,同时裂纹深度、不平衡量以及转速对转子系统的动态特性具有明显影响.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2012(046)001【总页数】5页(P76-80)【关键词】分数阶阻尼;裂纹转子系统;非线性动力学【作者】薛士明;曹军义;林京;陈阳泉【作者单位】西安交通大学智能仪器与监测诊断研究所,710049,西安;西安交通大学智能仪器与监测诊断研究所,710049,西安;西安交通大学智能仪器与监测诊断研究所,710049,西安;美国犹他州立大学自组织与智能系统中心,84322,美国洛根市【正文语种】中文【中图分类】TH113对裂纹转子系统进行非线性动态特性分析，对有效提高转子系统的特性和准确地进行故障诊断具有重要意义.因此，为了找出裂纹故障与众不同的振动特性，众多学者对裂纹转子的非线性特性做了许多研究.Gasch［1］综述了带有横向裂纹转子的动态特性，提出转子固有频率的降低以及响应频谱中出现的2倍频成分都可以作为横向裂纹诊断的主要指标.Darpe等人［2］分析了呼吸裂纹模型、开闭裂纹模型和开裂纹模型对转子系统的影响，结果表明呼吸裂纹模型更能模拟实际裂纹的呼吸特性.但是，这些研究大部分都是在整数阶微积分基础上进行的，具有分数阶阻尼的裂纹转子系统则很少有人研究.近年来，分数阶微积分在信号和图像处理、机械、机电一体化、力学、控制理论、黏弹性和流变学，以及电气工程、电化学和生物工程等领域的应用，使分数阶微积分理论吸引了越来越多的人进行研究［3-4］.Machado等人［5］的研究表明，即使系统的所有个体具有整数阶动态特性，系统的整体动力学特性也可能是分数阶的.Rossikhin等人［6］综述了最近10年分数阶微积分在机械动力学分析中的应用和发展趋势，研究表明分数阶微积分的机械系统动力学分析包括轴、梁、悬架组合系统等，而且已经逐渐成为工程动力学分析的主流方法之一.本文研究了具有分数阶阻尼的裂纹转子系统的动力学特性，主要分析了分数阶阻尼阶次的变化对系统动态特性的影响，以及转速和裂纹深度等主要参数对系统振动特性的影响.1 分数阶阻尼裂纹转子的非线性模型以具有刚性支承的水平Jeffcott转子系统为基础，将刚性圆盘位于两支承中间，裂纹位于盘根部，且不计陀螺效应的影响.假设转轴扭转刚性只考虑弯曲振动，忽略裂纹对转轴平行于裂纹方向刚度的影响.在静止坐标系下，转子系统的振动方程可表示为式中：x、y为直角坐标系；m为刚性圆盘质量；c为阻尼；e为圆盘的质量偏心距；ω为转子旋转角速度；t为时间；Φ0为转轴自转的初始相位角；g为重力加速度常数；k x、k y分别为裂纹轴沿x和y方向的刚度；k xy、k yx为x、y方向的耦合刚度；k0 为无裂纹时转轴的刚度.裂纹开关函数［7］为式中：β为转子不平衡量方向与裂纹方向的夹角；α为1／2裂纹夹角.根据Grunwald-Letnikov（简称GL）微积分定义，连续可导函数的r阶GL微分为式中：r为微积分的阶次；h为步长；j为二项式系数；Γ（·）为欧拉伽马函数.如果所有初始条件都为0，则分数阶微积分的拉氏变换可简化为由式（8）可看出，分数阶微积分的数值计算是求解分数阶微积分等式的关键，采用欧拉算子对分数阶微积分算子进行直接离散化，然后运用连分式展开变换，得到离散后的结果为式中：C FE｛·｝为连分数展开式变换；p、q为近似值的阶次数；P p、Qq为p次和q次多项式.使用分数阶微积分得到的分数阶阻尼力为在裂纹转子动力学分析中，当考虑分数阶阻尼时，系统的振动方程变为为保证计算精度，引入以下归一化参数对式（11）进行归一化后得2 转子系统动力学特性研究应用Matlab-Simulink对裂纹转子系统的非线性动力学特性进行了数值仿真分析，采用连分式展开、欧拉法和IIR滤波器模型对方程进行近似计算，应用四阶龙格库塔方法求解系统归一化振动方程.设各参数的初值为：当转子系统的转速比s=0.65时，随着r的变化得到的系统响应分岔图如图1所示.从图1中可以看出，r对系统有明显的影响，当r较小时，系统运动为混沌运动.图2为r=0.28时转子系统的轴心轨迹、Poincare截面图和幅频图.当0.3＜r＜0.9时，系统响应为周期2运动，如图3所示，在Poincare截面图上表现为2个孤立的点域，说明系统为周期2运动，在幅频图中可以看到有分数次倍频成分出现.当r＞0.9时，系统变为单周期运动，如图4所示.图1 分数阶阻尼阶次的分岔图图2 系统的轴心轨迹图、Poincare截面图和幅频图（r=0.28）图3 系统的轴心轨迹图、Poincare截面图和幅频图（r=0.7）图4 系统的轴心轨迹图和Poincare截面图（r=1.1）转速是影响转子系统动态特性的主要因素，图时，不同s下裂纹转子动态响应的分岔图.图6为s=0.3时，转子响应的轴心轨迹图和幅频图.从图6中可以看出，裂纹转子响应幅频中出现了1倍频、2倍频、3倍频等高倍频分量.图7为s=0.51时，响应的轴心轨迹图和幅频图，此时转子的轴心轨迹是明显的双圆（或内8字）形，并且响应中的2倍频成分占主导地位.从图8中可知，转子运动的轴心轨迹为一椭圆，并且在幅频图中2倍频及其以后的各倍频谐波分量极小，此时转子为单周期运动.图5 X对应于转速比的分岔图图6 系统的轴心轨迹图和幅频图（s=0.3）图7 系统的轴心轨迹图和幅频图（s=0.51）图8 系统的轴心轨迹图和幅频图（s=0.8）图9 为保持β=0、¯e=0.1、r=0.5不变，=0.1，0.2，0.3时，裂纹转子响应的轴心轨迹图.由图9可以看出，随着的增加，转子的振动变剧烈，系统越来越不容易稳定.采用本特利公司的RK4型模拟转子实验台，对带有横向裂纹的Jeffcott转子系统的非线性动力特性进行了实验验证.裂纹深度约为轴直径的30%，数采系统为NI公司的PXI-1033机箱加PXI-4472B高精度动态信号采集模块，振动传感器为本特利的电涡流传感器.图10为裂纹转子的转速在1 013 r／min（s=0.52）时的响应幅频图，以及合成轴心轨迹图，可以很明显地看出，在半临界转速附近，转子系统的轴心轨迹呈现明显的双环形（或内8字形），并且在幅频图中2倍频分量占主导成分，这与理论数值分析的结果相吻合.图9 裂纹转子刚度变化对系统响应的影响图10 裂纹转子在半临界转速附近的幅频及轴心轨迹图3 结论本文对带有分数阶阻尼的裂纹转子的非线性动态特性进行了研究，运用分数阶微积分建立了系统的阻尼模型，采用4阶龙格库塔法和10阶连分式欧拉法对系统振动微分方程进行了数值仿真.利用轴心轨迹图、Poincare截面映射图、分岔图和幅频图研究了裂纹转子阻尼的分数阶微积分阶次、转速和裂纹深度对系统动力学性能的影响.研究结果表明：分数阶阻尼阶次对裂纹转子系统的响应有很大的影响，随着阶次的增大，转子振动依次经历混沌运动、倍周期运动和单周期运动；转子裂纹的呼吸效应会使得转子响应中出现1倍频、2倍频、3倍频等高倍频分量，同时也会导致响应中出现分数次倍频分量.在1／2转子第1临界转速附近，响应中的2倍频分量的增大，以及转子呈现出的内8字形轴心轨迹，都可以作为裂纹诊断的依据.裂纹深度也是影响转子动态特性的关键因素之一，随着裂纹深度的增加，转子的振动会变的越来越剧烈.因此，当转轴中出现裂纹后，应当密切监测裂纹的变化，并采取一些措施来确保转子的安全运转.【相关文献】［1］ GASCH R.A survey of the dynamic behaviour of a simple rotating shaft with a transverse crack ［J］.Journal of Sound and Vibration，1993，160（2）：313-332.［2］ DARPE A K，CHAWLA A，GUPTA K.Analysis of the response of a cracked Jeffcott rotor to axial excitation［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，249（4）：29-45. ［3］ PADOVAN J，SAWICKI J T.Nonlinear vibrations of fractionally damped systems ［J］.Nonlinear Dynamics，1998（16）：32-36.［4］ CAO Junyi，MA C，XIE H，et al.Nonlinear dynamics of Duffing system with fractional order damping ［J］.Journal of Computational and Nonlinear Dynamics，2010，5（4）：041012-041018.［5］ TENREIRO M J A，SILVA M F.Some applications of fractional calculus in engineering ［J］.Mathematical Problems in Engineering，2010（2010）：639801-34.［6］ ROSSIKHIN Y A，SHITIKOVA M V.Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics：novel trends and recent results［J］.Applied Mechanics Reviews，2010，63（1）：1-52.［7］高建民，朱晓梅.转轴上裂纹开闭模型的研究［J］.应用力学学报，1992，19（1）：108-112.GAO Jianmin，ZHU Xiaomei.Study on the model of the shaft crack opening and closing［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，1992，19（1）：108-112.。
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第３期曹军义。
等：分数阶阻尼Ｄｕｆｆｉｎｇ系统的非线性动力学特性
布着多片离散的点，随着口的进一步增加，系统由混
沌运动进人了稳定的周期３运动．在ａ一１．７８时的
Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面映射图上，分布着３个离散的点（见图
７），此时系统为稳定的周期３运动．
（ａ）相图（ｂ）Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面映射图图５系统的相图和Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面映射图（口一１）
（ａ）相网（ｂ）Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面映射图图６系统的相图和Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面映射图（ａ＝１．３８）
（ａ）相图（ｂ）Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面映射图图７系统的相图和Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面映射图（口＝Ｌ７８）
以上分析主要针对以分数阶微积分阶数ａ为控制参数的Ｄｕｆｆｉｎｇ系统分岔图，可以看出分数阶阻尼的阶数对系统动力学的影响比较大．对于分数阶Ｄｕｆｆｉｎｇ系统，当阶数一定时，其动力学特性随外界激励变化的数值分析结果与传统的整数阶系统的分析结果相同．当口一０．５、ｆ＝０．６、ｆ＝０．９时，系统以埘为控制参数的系统分岔图见图８．当口＝０．５、ｃ＝０．９、甜一１．０时，以，为控制参数的系统分岔图如图９所示．
分数阶Ｄｕｆｆｉｎｇ系统的动力学分析结果表明：阻尼项的分数阶微积分阶数对系统的动力学特性影响非常大，当口在０．１～２．０发生变化时，系统先由周期运动进入到混沌运动，然后又通过倍周期运动进入到稳定的周期１运动，随着口进一步增大，系统又通过倍周期运动进人到混沌运动状态，最终系统进入稳定的周期３运动状态．
图８激励频率的系统分岔图
图９激励幅值的系统分岔图
４结论
本文引入分数阶微积分阻尼来研究分数阶Ｄｕｆｆｉｎｇ系统的动力学特性，建立了分数阶阻尼Ｄｕｆｆｉｎｇ系统的微分方程组．利用相图、Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面映射图和分岔图等非线性动力学分析方法，研究了阻尼的分数阶微积分阶数对Ｄｕｆｆｉｎｇ系统动力学性能的影响．
分数阶阻尼Ｄｕｆｆｉｎｇ微分方程组的求解采用了４阶龙格库塔法和连分式欧拉法，首先用欧拉法离散分数阶微积分拉普拉斯算子，然后采用连分展开式在时域做有理化近似．仿真计算采用连分式欧拉法的１０阶近似模型，当口一ｌ时，分数阶Ｄｕｆｆｉｎｇ方程变成了整数阶Ｄｕｆｆｉｎｇ方程，仿真对比表明连分式欧拉法可以很好地求解分数阶微分方程．分数阶阻尼Ｄｕｌｌｉｎｇ系统的参数对系统的动力学性能影响较大，通过相图、Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面映射图和分岔图等非线性动力学分析方法的分析表明，分数阶阻尼Ｄｕｆ－ｒｉｎｇ系统存在混沌运动，由周期运动进入混沌运动的倍周期过程比较明显，分析结果也表明可以通过调整分数阶阻尼项的微积分阶数来控制系统的动力学性能．由于分数阶阻尼在众多机电系统中广泛存在，因此本文的分析方法可以在众多机械系统动的力学分析中得到推广应用．
参考文献：
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ｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄ
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ
Ｓｃｉｅｎｃｅｓ．２００３．
分数阶阻尼Duffing系统的非线性动力学特性
作者：曹军义， 谢航， 蒋庄德， CAO Junyi， XIE Hang， JIANG Zhuangde
作者单位：西安交通大学机械制造系统工程国家重点实验室,710049,西安
刊名：
西安交通大学学报
英文刊名：JOURNAL OF XI'AN JIAOTONG UNIVERSITY
年，卷(期)：2009,43(3)
被引用次数：2次
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