因式分解-完全平方公式
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16x2－24x+9=(4x)2－2·4x·3+32
a2 + 2·a ·b +b2 解：(1)16x2 － 24x+9 = (4x)2－2·4x·3+32
=(4x － 3)2.
(1) x2＋14x＋49
解 ：
原式 x2 2 x 7 72
(x 7) 2
例、把下列多项式分解因式。
⑴、25－10x+x2 解：原式=52－2×5·x+x2
请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 ___2_x_y__ y2 2 4a2 9b2 __1_2__a_b_ 3 x2 ___4_x_y_ 4 y2
4 a2 ___a_b___ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
1.计算：（1） (x-1)2 x2 2x1
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如： 4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
用平方差公式因式分解的多项式特征：
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号(一正一负)；
下面的多项式能分解因式吗？
(1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
练一练 因式分解：
（1）25x2＋10x＋1 解:原式=（5x)2+2×5x×1+12
=(5x+1)2
（2）-a2-10a -25
解:原式=-（a2+2×a×5+52)
例题
(5) 4a2 12ab 9b2
解：原式 (2a) 2 2(2a) (3b) (3b)2
(2a 3b)2
随堂练习 把下列多项式因式分解
⑴
x2－12xy+36y2
解：原式=x2－2·x·6y+（6y）2 =（x－6y）2
⑵
16a4+24a2b2+9b4
解：原式=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2 =（4a2+3b2）2
请运用完全平方公式把下
列各式分解因式： 1 x2 4x 4 原式 x 22
2 a2 6a 9 原式 x 32
将a+b看作一个整 体，设a+b=m,则 原式化为完全平方 式m2－12m+36.
(a+b)2－12(a+b)+36
解原式=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=(a+b－6)2.
例题 分解因式: (2x+y)2-6(2x+y)+9
解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32 =[(2x+y)-3]2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个“项”的平方
3、有这两“项”的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
a 2 2ab b 2
形辨如明a真2相 2ab b2的式子称为
完全平方式.
下列各多项式是不是完全平方式?
若是,请找出相应的a和b.
123x2 2x1y2x xx2236 yy22
解解解:::原原原式式式===xx-22x+-222-.x2xyx.+6yy+26y2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
乘法公式——完全平方公式：
把两个公式反过来就得到
a 2 2ab b2 a b2
a2 2ab b2 a b2
我们把多项式a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab＋b² 叫做完全平方式。
完全平方式有什么特征？
a2 2abb2 a2 2abb2
例题 因式分解
3ax2＋6axy＋3ay2
解：原式 3a(x2 2xy y2 )
3a(x y)2
分析：
1、项数
2、有无 公因式可提
3、是否符合 公式法要求
4、各项符号 特征
例把下列多项式分解因式
⑴ 2ax2+4axy+2ay2 解：原式=2a（x2+2xy+y2）
=2a（x+y）2
练一练 因式分解：
-a3b3+2a2b3-ab3 解：原式=-ab3(a2-2a+1)
=-ab3(a2-2a×1+12) =-ab3(a-1)2
把下列多项式分解因式。
（m+n）2－6（m +n）+9 解：原式= （m+n）2 －2·（m +n）·3 +32
= （m+n-3）2
通过解这题，你得到什么启示？
分解因式:
= （5-x）2
⑵、9a2+6ab+b2 解：原式=(3a)2+2×3a·b+b2
= （3a+b）2
分解因式 （1） 16x2 +24x+9
解：(1)原式=（4x）2+2•4x•3+3 2 =(4x+3)2
(2) -x2 +4xy-4y 2 (2)原式=-(x 2 -4xy+4y2 )
=-[x 2 -2•x•2y+(2y) 2 ] =-(x-2y)2
(2005 2003)2
4
【例】简便计算：
（1）9972－9 =9972－32 =（997+3）（997-3） =1000×994=994 000
（2）522+482+52×96 =522+482+2×52×48 =（52+48）2 =10 000
-3x 2 +6xy-3y 2 解：原式=-3（x 2 -2xy+y 2 ）
2. (2) (2y+3)2 4y212y9
3. 根据1题的结果分解因式：
（1） x2 -2x+1 (x1)2
（2） 4y 2 +12x+9 (2y3)2
4.由以上1、2两题你发现了什么？
a 2 2ab b2 a b2
a2 2ab b2 a b2
分解因式： 16x2 － 24x+9；
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x4原式x1 22
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
绝对挑战 1.用简便方法计算：
20052 4010 2003 20032 20052 2 2005 2003 20032
∴∴a不=x是,b完=6y全平方式
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2-ab+b2 不是
（2）a2-4a+4 =a2 -4a +22
是
（3）x2+4x+4y2 =x2+4x + (2y)2 不是
（4）x2-6x-9 =x2-6x -32
不是
（5）-a2+2ab-b2 =-(a2 -2ab +b2) 是
=(2x+y-3)2 注意:本例把2x+y看 作是一个整体,或者 说设2x+y=a,这种数 学思想称为换元思想.
练一练 因式分解：
a2 + 2·a ·b +b2 解：(1)16x2 － 24x+9 = (4x)2－2·4x·3+32
=(4x － 3)2.
(1) x2＋14x＋49
解 ：
原式 x2 2 x 7 72
(x 7) 2
例、把下列多项式分解因式。
⑴、25－10x+x2 解：原式=52－2×5·x+x2
请补上一项，使下列多项
式成为完全平方式
1 x2 ___2_x_y__ y2 2 4a2 9b2 __1_2__a_b_ 3 x2 ___4_x_y_ 4 y2
4 a2 ___a_b___ 1 b2
4
5 x4 2x2 y2 ____y_4_
1.计算：（1） (x-1)2 x2 2x1
因式分解—完全平方公式
我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如： 4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
用平方差公式因式分解的多项式特征：
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号(一正一负)；
下面的多项式能分解因式吗？
(1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
练一练 因式分解：
（1）25x2＋10x＋1 解:原式=（5x)2+2×5x×1+12
=(5x+1)2
（2）-a2-10a -25
解:原式=-（a2+2×a×5+52)
例题
(5) 4a2 12ab 9b2
解：原式 (2a) 2 2(2a) (3b) (3b)2
(2a 3b)2
随堂练习 把下列多项式因式分解
⑴
x2－12xy+36y2
解：原式=x2－2·x·6y+（6y）2 =（x－6y）2
⑵
16a4+24a2b2+9b4
解：原式=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2 =（4a2+3b2）2
请运用完全平方公式把下
列各式分解因式： 1 x2 4x 4 原式 x 22
2 a2 6a 9 原式 x 32
将a+b看作一个整 体，设a+b=m,则 原式化为完全平方 式m2－12m+36.
(a+b)2－12(a+b)+36
解原式=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=(a+b－6)2.
例题 分解因式: (2x+y)2-6(2x+y)+9
解:原式=(2x+y)2-2.(2x+y).3+32 =[(2x+y)-3]2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式
2、有两个“项”的平方
3、有这两“项”的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
a 2 2ab b 2
形辨如明a真2相 2ab b2的式子称为
完全平方式.
下列各多项式是不是完全平方式?
若是,请找出相应的a和b.
123x2 2x1y2x xx2236 yy22
解解解:::原原原式式式===xx-22x+-222-.x2xyx.+6yy+26y2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
乘法公式——完全平方公式：
把两个公式反过来就得到
a 2 2ab b2 a b2
a2 2ab b2 a b2
我们把多项式a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab＋b² 叫做完全平方式。
完全平方式有什么特征？
a2 2abb2 a2 2abb2
例题 因式分解
3ax2＋6axy＋3ay2
解：原式 3a(x2 2xy y2 )
3a(x y)2
分析：
1、项数
2、有无 公因式可提
3、是否符合 公式法要求
4、各项符号 特征
例把下列多项式分解因式
⑴ 2ax2+4axy+2ay2 解：原式=2a（x2+2xy+y2）
=2a（x+y）2
练一练 因式分解：
-a3b3+2a2b3-ab3 解：原式=-ab3(a2-2a+1)
=-ab3(a2-2a×1+12) =-ab3(a-1)2
把下列多项式分解因式。
（m+n）2－6（m +n）+9 解：原式= （m+n）2 －2·（m +n）·3 +32
= （m+n-3）2
通过解这题，你得到什么启示？
分解因式:
= （5-x）2
⑵、9a2+6ab+b2 解：原式=(3a)2+2×3a·b+b2
= （3a+b）2
分解因式 （1） 16x2 +24x+9
解：(1)原式=（4x）2+2•4x•3+3 2 =(4x+3)2
(2) -x2 +4xy-4y 2 (2)原式=-(x 2 -4xy+4y2 )
=-[x 2 -2•x•2y+(2y) 2 ] =-(x-2y)2
(2005 2003)2
4
【例】简便计算：
（1）9972－9 =9972－32 =（997+3）（997-3） =1000×994=994 000
（2）522+482+52×96 =522+482+2×52×48 =（52+48）2 =10 000
-3x 2 +6xy-3y 2 解：原式=-3（x 2 -2xy+y 2 ）
2. (2) (2y+3)2 4y212y9
3. 根据1题的结果分解因式：
（1） x2 -2x+1 (x1)2
（2） 4y 2 +12x+9 (2y3)2
4.由以上1、2两题你发现了什么？
a 2 2ab b2 a b2
a2 2ab b2 a b2
分解因式： 16x2 － 24x+9；
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x4原式x1 22
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
绝对挑战 1.用简便方法计算：
20052 4010 2003 20032 20052 2 2005 2003 20032
∴∴a不=x是,b完=6y全平方式
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2-ab+b2 不是
（2）a2-4a+4 =a2 -4a +22
是
（3）x2+4x+4y2 =x2+4x + (2y)2 不是
（4）x2-6x-9 =x2-6x -32
不是
（5）-a2+2ab-b2 =-(a2 -2ab +b2) 是
=(2x+y-3)2 注意:本例把2x+y看 作是一个整体,或者 说设2x+y=a,这种数 学思想称为换元思想.
练一练 因式分解：