线性系统的状态空间描述演示文稿

D(t)u(t)
x Ax Bu, y Cx Du
线性定常离散系统 x(k 1) Gx(k) Hu(k)
(tk kT,T 采样周期） y(k) Cx(k) Du(k)
8.状态变量结构图
D
u
x B
I S
x C
y
A 线性连续系统状态变量结构图
D
u(k)
x(k 1)
H
I Z
x(k)
C
阵和状态方程的求解，线性变换的基本性 质，传递函数矩阵的定义。
• 要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和
结构图建立电路、机电系统的状态空间表 达式，并画出状态变量图，以及可控、可 观、对角和约当标准型。
2.1 线性系统的数学描述 系统描述中常用的基本概念
系统的外部描述 传递函数 系统的内部描述 状态空间描述
阻
尼b
系 数
y(t)
• •
m y
by •k
yu
(t
)
位移
令
•
x1 y x2 y
动态方程如下
•
x1 x2
• ••
k
b• 1
x2 y m y m y m u(t)
k m
x1
b m
x2
1 m
u(t)
y x1
状态空间表达式为：
•
x1
•
x2
0
k m
1 x1
b m
x2
0
1 m
u(t)
y(t)
t
t
u (t)
y(t)
t
t
2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意
实数 , 均有 y HQau QaHu Qa y
则称系统是定常的。
2.2 状态空间的基本概念 1.状态:表征系统运动的信息和行为。 2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一
组变量。 3.状态向量：x(t) [x1(t), x2 (t), , xn (t)]T
7.状态空间表达式(动态方程)：{A，B，C，D}
x f (x,u,t)
y(t)
g(x,
u,
t
)
x(tk1) y(tk )
f (x,u,tk ) g(x,u,tk )
f,g-线性函数 线性系统
线性时变系统 线性定常系统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t)
C(t)x(t)
m
x
l
uM
设小车瞬时位置为 x
摆心瞬时位置为 ( x l sin )
在水平方向，由牛顿第二定律
M
d2x dt 2
例3.试求用电枢电压控制的他激电动机的状 态空间表达式
u ia
解： 由电压定理：
Ra
La
uf Rf Lf
if const
J
u
Ra
La
dia dt
Ce
d
dt
由转矩平衡定律：
d 2 d
Cmia J dt2 f dt
J 转动惯量，f 粘性摩擦常数，Cm 电磁转矩常数，Ce 电势常数
令 x1 , x2 , x3 ia
u
y 1
0
x1 x2
例2求图示RLC回路的状态空间表达式
R +
u(t) i(t)
输入
_
L +
uc(t)
+ _C
y
输出
_
解：以 i(t)作为中间变量，列写该回路的微分方程
Ri L di
dt
u c(t)u ( t)
u c(t) c 1idt
选
x1i
x2 c 1idt
为系统两状态变量，则原方程可化成
4.线性:一个松弛系统,当且仅当对任何输入
u1和u2 及任意常数 , 均有H (u1 u2 ) Hu1 Hu2
(可加性), H (u1) H (u1) (齐次性),则该系
统称为线性的，否则为非线性。
5.定常性（时不变性）: 1)定义: Qa -位移算子
u (t) Qau(t) u(t )
在t0不存储能量：
瞬时系统 无记忆系统
t 对 0 时刻松弛的系统：y[t0 ,) Hu[t0 ,)
对初始松弛的系统： y(,) Hu(,)
3.因果性:若系统在t时刻的输出仅取决于在t 时刻之前输入，而与t时刻之后的输入无关， 则称系统具有因果性。
对具有因果性的松弛系统：
y(t) Hu(,t] , t
x1 x2
x2
f J
x2
Cm J
x3
x3
Ce La
x2
Ra La
x3
u La
y x1
0 1
x1
x2
0
x3
0
f J
Ce La
0
Cm J Ra La
x1 x2 x3
0 0 1 La
u
x1
y 1
0
0
x2
x3
例4. 一长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰 链安装在质量为M的小车上，小车受电机操纵， ，在水平方向施加控制力u，相对参考坐标系 产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达 式。
状态方程 输出方程
1.输入、输出描述 2.松弛性:若系统的输出 y(t)(t t0 ) 由输入
u1
y1
u2
System
y2
up
yq
u [u1,u2, ,up ]T
y [ y1, y2, , yq ]T
u(t)[t0 , ]唯一确定,则称系统在 t0 是松弛的。
y Hu H 算子， H : u y G
y(k)
G 线性离散系统状态变量结构图
x2
A
(x1(t0), x2(t0))
0
x1
状 态 轨迹
(x1(t1), x2(t1))
B
t
x(t)
x1 (t ) x2 (t)
状态空间分析法举例 例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力u(t) K ---弹性系数
m
牛顿力学定律 my u by ky
4.状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组 成的n维空间.
5.状态方程：x
一阶微分方程 u一阶差分方程
x(t) f [x(t),u(t),t], x(tk1) f [x(tk ), u(tk ), tk ]
6.输出方程：
y
x u
代数方程
y(t) g[x(t),u(t),t] y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
线性系统的状态空间描述演示 文稿
（优选）线性系统的状态空间 描述
教学要求：
1. 正确理解线性系统的数学描述，状态空间
的基本概念。
2. 熟练掌握状态空间的表达式，线性变换。
3. 线性定常系统状态方程的求解方法，了解
线性离散系统状态方程的求解方法。
重点内容：
• 状态空间表达式的建立，状态状态转移矩
•
x 1
di
dt
LRx1
1 x2 1 u ( t)
LL
•
x 2
1 c
x1
y x2u c(t)
写成矩阵—向量的形式为：
•
R
x 1
•
x 2
L
1 c
1 L 0
x1
Hale Waihona Puke Baidu
1 L
u ( t)
x2 0
y0
x1
1
x2
令 xx1x2T 为状态向量
则： x •
R 1
LL
x
1
L u ( t)
1 c
0
0
y0 1 x