状态空间描述法
现代控制理论状态空间法
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y (n ) a1 y (n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
y(t) C (t)x(t) D(t)u(t)
2)线性时不变系统: x Ax Bu y Cx Du
在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系 统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究对 象是线性定常系统。
4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图)
• 例:根据上例画出结构图. • 解:先将例子写成下述形式
现代控制理论
第一章 状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
定义2.状态变量
状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以最
少的n个变量 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 可以完全描述系
统的行为 (即当t≥ 时输入和
t0
在t= t0初始状态给定后,系统的状态完全可以确定),那 么
x1 (t ), x2 (t ), 是一, xn组(t )状态变量.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
第6章 线性控制系统分析与设计
第6章 线性控制系统分析与设计MATLAB 的控制系统工具箱(Control System Toolbox)可以提供对线性系统分析、设计和建模的各种算法。
6.1线性系统的描述6.1.1状态空间描述法状态空间描述法是使用状态方程模型来描述控制系统，MATLAB 中状态方程模型的建立使用ss 和dss 命令。
语法：G=ss(a,b,c,d) %由a 、b 、c 、d 参数获得状态方程模型G=dss(a,b,c,d,e) %由a 、b 、c 、d 、e 参数获得状态方程模型【例6.1】写出二阶系统u(t)ωy(t)ωdtdy(t)2ζdt y(t)d 2n 2n n 22=+ω+，当ζ=0.707，n ω=1时的状态方程。
zeta=0.707;wn=1;A=[0 1;-wn^2 -2*zeta*wn];B=[0;wn^2];C=[1 0];D=0;G=ss(A,B,C,D) %建立状态方程模型a =x1 x2x1 0 1x2 -1 -1.414b =u1x1 0x2 1c =x1 x2y1 1 0d =u1y1 0Continuous-time model.6.1.2传递函数描述法MATLAB中使用tf命令来建立传递函数。
语法：G=tf(num,den) %由传递函数分子分母得出说明：num为分子向量，num=[b1,b2,…,b m,b m+1]；den为分母向量，den=[a1,a2,…,a n-1,a n]。
【例6.1续】将二阶系统描述为传递函数的形式。
num=1;den=[1 1.414 1];G=tf(num,den) %得出传递函数Transfer function:1-----------------s^2 + 1.414 s + 16.1.3零极点描述法MATLAB中使用zpk命令可以来实现由零极点得到传递函数模型。
语法：G=zpk(z,p,k) %由零点、极点和增益获得说明：z为零点列向量；p为极点列向量；k为增益。
人工智能概论知识表示(状态空间表示法)
３ 利用状态空间求解问题的过程
• 为了求解该问题，根据该状态空间的９种可能状态和12种 算符，构造它的状态空间图，如图所示从初始节点（１， １）（状态Ｓ０）到目标节点（３，３）（状态Ｓ８）的任 何一条通路都是问题的一个解。但其中最短的路径长度是 ３，它由３个算符组成，这３个算符是Ａ（１，２）、Ｂ （１，３）、Ａ（２，３）。
• （2）算符 引起状态中某些分量发生变化，从而使 问题由一个状态变为另一个状态的操作 称为算符。 算符可分为走步、过程、规则、数学算 子、运算符号或逻辑符号等。 例如：
在产生式系统中，每一条产生式规则就是一个算符； 在下棋程序中，一个算符就是一个走步；
１问题状态空间的构成
• （３）状态空间 • 由表示一个问题的全部状态及一切可用算符构成的集
这样定义的算符组Ｆ中共有１２个算符，它们分别是
Ａ（１，２） Ａ（１，３） Ａ（２，１） Ａ（２，３） Ａ（３，１） Ａ（３，２） Ｂ（１，２） Ｂ（１，３） Ｂ（２，１） Ｂ（２，３） Ｂ（３，１） Ｂ（３，２）
• 至此，该问题的状态空间（Ｓ，Ｆ，Ｇ）构造完成。这就 完成了对问题的状态空间表示。
３ 利用状态空间求解问题的过程
• 说明：
①可能有多个算符序列都可使问题从初始状态变到目标 状态，这就得到了多个解。其中有的使用算符较少，有 的较多，把使用算符最少的解称为最优解。这里只是从 解中算符的个数来评价解的优劣，评价解的优劣主要是 看使用算符时所付出的代价，只有总代价最小的解才是 最优解。 ②对任何一个状态，可使用的算符可能不止一个，这样 由一个状态所生成的后继状态就可能有多个。当对这些 后继状态使用算符生成更进一步的状态时，首先应对哪 一个状态进行操作呢？这属于搜索策略的问题，不同的 搜索策略其操作的顺序是不相同的。
状态空间描述
状态空间描述
状态空间可以简单地理解为描述系统所处状态的一种抽象概念，它把一个复杂的系统抽象成多个独立状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化规律。
状态空间描述了系统之间状态的可能变化，从而表明了每个状态之间的连接情况。
1. 什么是状态空间
状态空间是描述系统所处状态的一种抽象概念，它能够将一个复杂的系统抽象成多个独立的状态，并以这些状态的变化来描述系统的演化变化情况。
2. 状态空间的概念
状态空间是一种用于描述系统状态变化的空间，它通过多个状态表达了一个系统的演化情况，并将一个复杂的系统变化的规律映射到状态变化的空间中。
因此，它是表达某个系统演化情况的一种理想方法。
3. 状态空间的总体结构
状态空间是有限的，它由一个特定的状态集合构成，包括一组状态及其间的连接关系，这些连接关系通过不同的操作表示出来。
因此，状态空间的总体结构可以概括为包含了状态和连接情况的一维空间。
4. 状态空间变化
状态空间随着操作的不断变化，其所描述的系统也会不断变化，这就
形成了一个动态的状态空间，这里面存在着状态之间的连接关系，这
些连接关系是由可调整转移概率和操作决定的。
5. 对应建模
状态空间模型将状态空间中的各状态映射到离散时间模型，从而对模
型问题进行建模，通过状态空间模型可以计算出每个状态的概率，从
而能够较为准确地表述系统的状态情况，以找出问题的解决途径。
6. 状态空间可视化
状态空间可以使用可视化图像，将各状态之间的连接关系图示出来，
常见的可视化表示方法有马尔科夫网络图像，状态树图像和拓扑图像，这些可视化图像能够清晰地展示出状态空间的总体结构，从而简化问
题的解决过程。
状态空间表示法的两个基本概念
状态空间表示法的两个基本概念状态空间表示法在很多领域都有着重要的应用呢。
今天咱们就来聊聊状态空间表示法里的两个基本概念。
啥是状态空间表示法呢？简单来说，就像是给一个复杂的系统画了一幅特别的地图。
在这个地图里，我们能清楚地看到系统的各种状态以及它们之间的关系。
那这其中的第一个基本概念就是状态。
状态啊，就好比是一个人在某个时刻的样子和处境。
比如说，你早上刚起床的时候，头发乱乱的，眼睛还有点迷糊，这就是一种状态。
在一个系统里，状态包含了这个系统里所有重要的信息。
就拿交通系统来说吧，某个路口在某一时刻有多少辆车在等红灯，车的速度是多少，交通灯是红是绿，这些信息组合起来就是这个路口交通系统在这个时刻的状态。
状态是可以变化的，就像你洗漱完之后，头发整齐了，眼睛也精神了，就变成了另一种状态。
在系统里，随着时间的推移或者一些事件的发生，状态就会发生改变。
状态空间表示法里的另一个基本概念是操作符。
这操作符就像是一个魔法棒。
你看啊，在游戏里，我们有各种操作键，按不同的键就会让游戏里的角色做出不同的动作。
操作符在状态空间表示法里就起到类似的作用。
它可以把一个状态变成另一个状态。
还是拿交通系统来说，如果交通灯从红变成绿，这就是一个操作符在起作用。
这个操作符使得交通系统从车辆等待的状态变成了车辆可以通行的状态。
操作符规定了系统状态之间的转换方式。
就像在数学里，加法是一种操作符，1加上1就会得到2，从1这个状态通过加法这个操作符就转换到了2这个状态。
这两个基本概念可重要啦。
没有状态，我们就不知道系统到底是什么样的，就像我们不知道一个人在哪里，是什么样子一样。
没有操作符呢，系统就像一潭死水，永远不会发生变化。
这就好比一个游戏只有场景，但是没有任何操作键，那这个游戏得多无聊啊。
状态空间表示法通过这两个基本概念，能帮助我们更好地理解和分析各种系统。
无论是计算机系统、经济系统还是生态系统。
比如说在计算机系统里，程序的运行状态以及各种指令对状态的改变，都可以用状态空间表示法来描述。
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
2.状态变量 能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量 系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为 分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向 量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章 控制系统的状态空间描述 和
第9章 控制系统的状态空间描述
将上两式用矩 阵方程的形式表示, 可得出线性时变系 统的状态空间表达 式为
第9章 控制系统的状态空间描述 或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章 控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变 化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章 控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空 间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的 完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般 形式为
状态空间法PPT课件
状态空间法的应用领域
控制系统设计
状态空间法广泛应用于控制系统设计，通过建立系统的状 态方程和输出方程，可以设计控制律来控制系统的行为。
信号处理
在信号处理领域，状态空间法可用于信号滤波、预测和估 计，通过建立信号的状态模型来描述信号的变化规律。
优势与局限
状态空间法具有直观、灵活和易于理解等优点，能够提供丰富的信息用于系统分 析和设计。然而，状态空间法也存在一些局限，例如对于高阶系统的计算可能较 为复杂，且在某些情况下难以得到解析解。
对未来研究的展望
进一步发展
随着科学技术的不断进步，状态空间法有望在更多领域得到应用和发展。例如，随着智能传感器和执行器技术的 进步，状态空间法在智能控制和自适应控制等领域的应用将更加广泛。此外，随着深度学习和人工智能技术的快 速发展，状态空间法有望与这些技术相结合，用于解决更复杂和高级的问题。
05 状态空间法的应用实例
在控制系统中的应用
控制系统建模
利用状态空间法建立控制系统的数学模型，以便 进行系统分析和设计。
控制系统优化
通过状态空间法对控制系统进行优化设计，提高 系统的性能和稳定性。
控制系统故障诊断
利用状态空间法对控制系统的故障进行诊断和定 位，及时发现和排除故障。
在信号处理中的应用
状态空间法ppt课件
contents
目录
• 引言 • 状态空间法的基本概念 • 状态空间法的实现 • 状态空间法的优势与局限性 • 状态空间法的应用实例 • 结论
01 引言
什么是状态空间法
状态空间法是一种数学方法，用于描述动态系统的状态变化 和输出响应。它通过建立状态方程和输出方程来描述系统的 状态变量和输出变量之间的关系，从而对系统进行建模、分 析和控制。
信号与系统的状态空间表示
信号与系统的状态空间表示信号与系统是现代数字信号处理和控制理论的基础，它描述了信号和系统之间的关系和行为。
在信号与系统的研究中，一种常用的数学表示方法就是状态空间表示。
该表示方法将信号与系统看作是状态的演化，并通过一组状态方程来描述系统的动态行为。
本文将介绍信号与系统的状态空间表示原理及应用。
一、状态空间表示的基本原理在信号与系统中，状态空间表示是一种描述系统状态演化的方法。
它通过一组关联的状态变量来描述系统的状态，以及一组状态方程来描述系统状态的动态变化。
在状态空间表示中，系统的输入、输出和状态之间的关系由一组线性方程来表示，即状态方程和输出方程。
状态方程的形式通常为：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)其中，x(t)为N维状态向量，表示系统在时刻t的状态；u(t)为M维输入向量，表示系统在时刻t的输入；A为N×N维状态转移矩阵，描述了状态向量在单位时间内的变化规律；B为N×M维输入矩阵，描述了输入向量对状态变化的影响。
输出方程的形式通常为：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，y(t)为K维输出向量，表示系统在时刻t的输出；C为K×N维输出矩阵，描述了状态向量与输出向量之间的关系；D为K×M维直接传递矩阵，描述了输入向量对输出的直接影响。
通过状态方程和输出方程，我们可以得到系统的状态演化和输出。
状态空间表示提供了一种直观和灵活的描述信号与系统行为的方法。
二、状态空间表示的优势与应用状态空间表示具有以下几个优势：1. 描述复杂系统：状态空间表示可以轻松描述多输入多输出（MIMO）系统和大规模系统，对于复杂的信号和系统起到重要的作用。
2. 分析系统稳定性：通过状态空间表示，可以分析系统的稳定性和可控性、可观测性等性质，为系统设计和控制提供指导。
3. 设计控制器：状态空间表示可以用于设计系统控制器，包括线性时不变（LTI）系统和非线性系统的控制器设计。
代数状态空间表示方法
代数状态空间表示方法是一种用代数方程或代数表达式来描述系统状态和状态转移的方法 。它在系统建模和分析中被广泛应用。
代数状态空间表示方法通常基于线性代数的理论和技术。它使用向量和矩阵来表示系统的 状态和状态转移。具体而言，代数状态空间表示方法包括以下几个要素：
1. 状态变量（State Variables）：系统中的状态被表示为一个向量，其中每个分量代表 一个状态变量。例如，对于一个二阶系统，可以使用一个2维向量来表示系Conditions）：初始条件指定了系统在初始时刻的状态。它通常以 向量形式给出。
代数状态空间表示方法
通过解析状态转移方程和输出方程，可以得到系统的状态随时间的变化以及系统的输出。 代数状态空间表示方法还可以用于系统的稳定性分析、控制器设计和系统性能评估等方面。
总之，代数状态空间表示方法通过代数方程和矩阵来描述系统的状态和状态转移，为系统 建模和分析提供了一种有效的数学工具。它在控制系统、信号处理、通信系统等领域具有广 泛的应用。
代数状态空间表示方法
2. 状态转移方程（State Transition Equation）：状态转移方程描述了系统状态随时间变 化的规律。它通常是一个线性方程组，其中包含了状态变量、输入变量和常数系数。状态转 移方程可以使用矩阵形式来表示。
3. 输出方程（Output Equation）：输出方程描述了系统的输出与状态和输入之间的关系 。它也是一个线性方程组，其中包含了状态变量、输入变量和常数系数。输出方程可以使用 矩阵形式来表示。
自动控制系统的传递函数与状态空间表示
自动控制系统的传递函数与状态空间表示自动控制系统是一类广泛应用于工业和科学领域的系统，用于监测和控制各种物理过程。
传递函数和状态空间表示是描述自动控制系统行为的两种重要方法。
本文将对这两种表示方法进行详细介绍。
一、传递函数表示方法传递函数是用频域方法描述系统行为的一种数学模型，通常用于线性时不变系统。
一个自动控制系统的传递函数可以通过系统的输入和输出之间的关系来定义。
一般形式的传递函数表示如下：G(s) = N(s) / D(s)其中，G(s)为传递函数，s为复变量，N(s)和D(s)为分子和分母多项式。
传递函数描述了输入信号的变化对输出信号的影响。
传递函数表示方法可以将一个复杂的自动控制系统简化为一个输入输出的关系，便于系统的分析和设计。
通过对传递函数的分析，可以得到系统的稳定性、阶跃响应、频率响应等性能指标。
此外，传递函数表示方法也适用于系统的频域设计和控制器的合成。
二、状态空间表示方法状态空间表示方法是描述自动控制系统行为的另一种数学模型，通常用于线性时不变和时变系统。
状态空间模型通过若干个一阶微分方程来描述系统的行为。
一个n阶线性时不变系统的状态空间模型可以表示为以下形式：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中，x为状态向量，A、B、C、D为系统的矩阵参数，u为输入向量，y为输出向量。
状态空间模型将系统的状态、输入和输出统一表示在一个方程组中，可以全面地描述系统的动态特性。
通过对状态空间方程的求解，可以得到系统的时间特性、稳定性、响应等。
此外，状态空间表示方法也适用于系统的时域设计和多变量系统分析。
三、传递函数与状态空间之间的转换传递函数和状态空间之间存在一一对应的关系，可以通过转换方法在两者之间进行转换。
对于线性时不变系统，可以通过矩阵计算和拉普拉斯变换实现转换。
将传递函数转换为状态空间表示时，可以通过分数展开、多项式除法等方法获得状态空间模型的矩阵参数。
将状态空间转换为传递函数表示时，可以使用矩阵运算和拉普拉斯逆变换求解。
知识表示方法-状态空间法
用计算机技术解决实际问题的一般思路:
实际 问题
问题表达 知识表达 数学建模
结果的解释
求解的方法 或者算法
例：求侧面积为150平方米的体积最大的长方体？
y x
z
设长、宽、高分别为 x, y, z 侧面积为：2(xy + yz + xz) 体积为：xyz 数学模型
max xyz s.t. 2(xy + yz + xz)=150
注：有向弧的旁边可以标以具体算符
状态 操作符
节点 有向弧
问题：寻找从初始状态到目标 状态的某个操作符序列
转 化 为
问题：寻找图中初始节点（对应初 始状态）到目标节点（对应于目标 状态）的一条路径
在某些情况下，每个操作符作用、成本是不
一样的，需要引入代价的概念
ni
c (ni , nj) 表示从节点 ni
指向节点 nj （相邻）的
那一段弧的代价
nj
（不相邻的）两个节点
间路径的代价等于连接 该路径的各个节点的所
有弧线的代价之和
k 1
c(ni , ni1)
i0
n0 c(n0,n1)
c(nk-1,nk) nk
引入代价的概念后，我们的问题可能是：
寻找初始节点到目标节点之间的代价最小的 路径
对应的原始问题：寻找从初始状态到目标状 态的操作符代价之和最小的操作符序列
②问题的求解：从问题表示方法出发，找到一个 合理的办法来求解 在人工智能中，常有的方法有：
➢搜索法 ➢推理法 ➢计算方法
状态空间法
在日常的一些智力游戏（八数码、走八卦阵、走
迷宫等）中，我们采用的策略：试着向前走，如
《现代控制理论》线性系统的状态空间描述
关键：选取输出量导数为状态变量
【例】
设系统
u
y
y
y
y
6
7
41
6
=
+
+
+
&
&
&
&
&
&
解:
选择状态变量
令：
3.从微分方程出发
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
则:
b. 系统输入量中含有导数
原则：使状态方程不含u的导数。
系统输入量中含有导数
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
由上式求导得：
整理得：
则：
续
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
注 意：这种方法不适用。 可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。
注 意
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
【例】
状态空间表达式为：
【例】 已知状态转移矩阵为
，试求
和A。
拉氏反变换，有
则
【例】试求状态方程的解。
，初始条件为
解：
拉氏变换法例题
线性定常连续系统状态方程的解
则：
三、 状态转移矩阵的性质 [要求熟练掌握]
证明：
有
成立
状态转移矩阵的性质
线性定常连续系统状态方程的解
5.
6.
7.
证明：
续
线性定常连续系统状态方程的解
其中：
（2）可观测标准型状态空间表达式为：
其中：
可观测标准形例题
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
第二章 状态空间描述
Page: 7
2-2 状态空间的几个重要概念
x (k 1) Gx (k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k ) Du(k )
Modern Control Theory
Page: 8
2-3
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
一、不同系统状态空间表达式的特点——又称动态方程
Modern Control Theory
状态方程
输出方程
Y (t )
U(s)
G(s)
Y(s)…Biblioteka 状态空间描述法示意图…
Page: 6
2-2 状态空间的几个重要概念
线性离散时间系统状态空间表达式
x (k 1) G (k ) x (k ) H (k )u(k ) y ( k ) C ( k ) x ( k ) D ( k ) u( k )
y 6 41 y 7 y 6u y
选择状态变量 令： x 1 y x2 y x 3 y
xn y
( n 1)
Modern Control Theory
Page: 19
2-3
则:
线性定常连续系统状态空间表达式的建立
1 0 0 0 X 0 u(t ) 0 X 0 1 7 41 6 6 y 1 0 0X
Modern Control Theory
Page: 2
2-1 线性系统的数学描述
5.线性: 一个松弛系统,当且仅当对任何输入u1 和 u 2 及任意常数 , 均有 H ( u1 u2 ) Hu1 Hu2
(可加性) (齐次性)
H ( u1 ) H ( u1 )
线性系统的状态空间描述
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为n维状态向量。 状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态空间Rn。 状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程（※）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为： 或 线性系统的状态空间描述
对角型实现和约当标准型实现，需要计算系统的极点(特征值)和特征向量，很不方便。
总结：
由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409）
01
由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P405-407。 另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标准型和可观测标准型实现，例如我们在例1-2种所做的那样。
状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。
系统的状态空间描述
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。
状态变量是时间域的。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量不是所有变量的总和。
1.5 组合系统的状态空间描述
1.4 线性系统等价的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
2021
2023
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
1．几个基本定义
图搜索-状态空间表示
4）一般图搜索例——八数码游戏
制定操作算子集： * 直观方法——为每个棋牌制定一套可能的走步： 左、上、右、下四种移动， 这样就需32个操作算子。 * 简易方法——仅为空格制定这4种走步， 因为只有紧靠空格的棋牌才能移动。 * 空格移动的唯一约束是不能移出棋盘。
八数码问题的搜索图： 参见图2.3 棋盘布局（问题状态）总共9!=362880个， 但搜索图小得多。
用一般图搜索方法解决该问题：
为问题状态的表示建立数据结构：3×3的一个矩阵， * 矩阵元素S ij∈{0,1,…,8}；其中1≤i,j≤3， * 数字0指示空格， * 数字1 - 8指示相应棋牌。 1 0 3 图2.2中的八数码问题就可表示为： 7 2 4 6 8 5
1 2 3 8 0 4 7 6 5
渡河问题就有无数条解答路径（因为划船操作可逆），但只有4条是最短的，都包含11 个也称一般图
操作算子的可选（渡河问题的初始状态节点就有 3 个），在逻辑上称为“或”关系，意 指只要其中有一条路径通往目标状态，就能获得成功解答。除了少数像渡河这样的简单 问题外，描述状态空间的一般图都很大，无法直观地画出，只能将其视为隐含图。
2类操作算子：
2）状态空间表示的经典例——传教士和野人问题
渡河问题状态空间的有向图： 参见图2.1
1 状态空间及其搜索的表示
3）状态空间的搜索 状态空间的搜索以SE指示，其可表示为1个五元组：
SE = (S,O,E,I,G) I——问题的初始状态，I ∈ S; E——搜索引擎； G——问题的目标状态集，G S。
特例：N=3，K=2；
变量m——传教士在左岸或船上的实际人数， 变量c——野人在左岸或船上的实际人数， 变量b——指示船是否在左岸（1、0）。 上述约束条件转变为m + c ≦2, m ≧ c。 左岸状态描述为一个三元组： （m, c, b）
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状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系 表达式称为状态方程(见上例);
系统输出量y(t) 与状态变量、输入量的关系的表达 式称为输出方程。
5
三. 状态变量的选取
1. 状态变量的选取是非唯一的。 2. 选取方法 （1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作 为系统的状态变量。 （2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或 与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电
kyt
fyt
1 m
ut
K m
x1t
f m
x2 t
1 m
ut
yt x1t
k m
f
u(t) y(t)
7
例9.3 已知系统微分方程组为
1
ur R1i1 c1 (i1 i2 )dt
1
1
c1 (i1 i2 )dt R2i2 c2 i2dt
1
uc c2 i2dt ur
1. 单输入单输出线性定常连续系统
x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1u
x2
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
u
xn an1 x1 an2 x2 ann xn bnu
y c1 x1 c2 x2 cn xn du
x Ax Bu y Cx Du
2．经典控制理论的特点：
(1) 优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。
(2) 缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统。
3. 现代控制理论
(1) 适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。
(2) 可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。
(3) 应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控
ur
1 (
c1
R1
x1
x1
x2 )
1
c1R( 2xx12x2c1)2
x2
1
uc c2 x2 ur
x1
x2
1
1
/
/ R1C1 R2C1
1
/
1 / R1C1 R2C1 1 /
R2C2
x1 x2
1
/ R1 0
u
y 0
1
/
C
2
x1 x2
t t
u
9
四. 状态空间表达式
12
五. 线性定常系统状态空间表达式的建立
1. 方法:机理分析法、实验法 2. 线性定常单变量系统(单输入—单输出系统) (1) 由微分方程建立
yn an1 yn1 an2 yn2 a1 y1 a0 y
bm
um1
1
b1u1
b0u
① 在输入量中不含有导数项时：
x1 y,x2 y1, ,xn yn1
1 C
R L
x1 x2
(t (t
) )
0
1
L
ur
(t
)
➢ 2. 状态与状态变量的定义
控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，该组 中的每个变量称为状态变量。
如上例中, 态变量。
xt
x1 t x2 t
为系统的状态，xi
t
,
(i
1,2)
为状
4
3. 状态向量
4. 状态空间: 定义: 所有状态构成的一个实数域上的(线性)向量
10
2. 一般线性系统状态空间表达式（p输入q输出）
x At x Bt u y Ct x Dt u
3. 线性定常系统状态空间表达式
x Ax Bu y Cx Du
11
输入 u
B
D C
输出 y
∫ （t 域）
1
s
（ω 域）
D 系状统态
X A
u
B
x ∫ x C
y
a) 结构关系图
A b) 结构图
制……
2
二. 状态和状态空间
1. 先看一个例子： 例9.1 试建立图示电路的数学模型。
L
di(t dt
)
uc
(t
)
Ri(t
)
ur
(t
)
i(t ) C duc (t ) dt
i(t) R
ur(t)
duc (t) dt
1 C
i(t)
di(t
)
dt
1 L
uc
R L
i(t)
1 L
ur (t )
其中，ur 为输入，uc 为输出，R1、C1、 R2、C2为常数。试列
写系统状态方程和输出方程。
8
解：选
x1 i1dt, x2 i2dt
1
ur R1i1 c1 (i1 i2 )dt
1
1
c1 (i1 i2 )dt R2i2 c2 i2dt
1
uc c2 i2dt ur
写成向量—矩阵形式：
第九章 状态空间描述法
9.1 线性系统的状态空间描述 9.2 状态方程求解 9.3 可控性与可观测性 9.4 状态反馈与状态观测器
End 1
9.1 线性系统的状态空间描述法
一、问题的提出
9.2 9.3 9.4
1．控制系统的两种基本描述方法：
输入—输出描述法——经典控制理论
状态空间描述法——现代控制理论
0 x1 0
0
x2
0
u
1
x
n1
0
an1 xn b0
例9.4 已知系统微分方程为
y 3y 2 y y 3u
列写系统的状态空间表达式。
解：选 x1 y,x2 y,x3 y
② 输入量中含有导数项时：
14
x1 0 1
(2) 由传递函数建立——x2即实现
流i、电容电压uc 、质量m 的速度v 等。
6
例9.2 图示弹簧——质量——阻尼器系统，外作用力
u(t)为该系统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该
系统的状态方程和输出方程。
m
d 2 yt
f
dyt
Kyt
ut
dt
dt
x1t yt、x2t yt
x1 x2 t
x2
yt
1 m
13
x1 0 1 0
则 x1 x2
x2
1
x2 x3 xn1 xn
xn1
0
0
xn a0 a1 a1
x1
xn
a0 x1
a1yx21
0
an10xn x2b0u
写成向量---矩阵形式(或系统动态结 x构n 图):
L
C
uc(t)
3
在已知ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和i(t)的变化特性，则其 他变量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记
x1(t ) uc (t ),x2 (t ) i(t )
及dxi (t ) x i 、)
dt
i
则 有
xx12 ((tt
) )
0 1
L
0 1
0 x1 0
0
x2
0
u
G(s)
y(s) u(s)
bsnxnsxnnn1abnn1s10san0n11a1 aab1s11s0ab00
1
an1
x n1 xn
0 1
① 可控规范型实现
x1
A). bn 0, G (s) yNDb(0(ss))b1 zy((ss)b)n1uz((xss2))