1-1线性系统的状态空间描述

设单输入-单输出线性定常连续系统，其状态变量为： x1 (t ), x2 (t ), xn (t ) ，则状态方程的一般形式为:
1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1u x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 u x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn u x
多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量形式为：
1 a11 x x 2 a 21 n a n1 x y1 c11 y c 2 21 y m c m1
a1n x1 b11 x b a 22 a 2 n 2 21 a n 2 a nn x n bn1 c12 c1n x1 d11 x d c 22 c 2 n 2 21 c m 2 c mn x n d m1 a12
对于一个具有r 个输入﹑m 个输出的复杂系统，其 状态方程为:
1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b11u1 b12 u 2 b1r u r x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b21u1 b22 u 2 b2 r u r x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn1u1 bn 2 u 2 bnr u r x
经典控制理论模型描述方法的不足之处

系统模型为单输入单输出系统； 忽略初始条件的影响； 不包含系统的所有内部信息； 无法利用系统的内部系统来改变系统的性能。 复杂的时变、非线性、多输入多输出系统的问 题，需要用对系统内部进行描述的新方法—— 状态空间分析法。
1.1状态空间描述的基本概念
说明：系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点 表示。
五、状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入 变量关系的数学表达式称为状态方程。
Ax Bu x
说明： 1)、状态方程为一阶微分方程或差分方程；
2)、状态变量的选择具有非唯一性，因此状 态方程也具有非唯一性； 3)、虽然状态方程的形式不同，但它们的本 质相同，都描述了同一个系统；不同形 式的状态方程之间实际上存在着某种线 性变换关系； 4)、状态方程中不含有输入变量的导数项。
信息的选取原则决定了状态变量具有以下特性： 1).线性无关; 2).个数唯一；3).状态不唯一。
注意：1)、状态变量的选取具有非唯一性，既可用某一组 又可用另一组数目最少的变量作为状态变量；
相互独立， 其个数等于微分方程的阶数 ∵ 微分方程阶数取决于独立储能元件的个数
∴ 状态变量的个数应等于独立储能元件的个数
y c1 c2
x1 x cn 2 xn
系统矩阵或系数矩阵: 输入矩阵或控制矩阵， 表示系统内部状态的 为输入对状态的作用， n 1 联系，为 n n 方阵 的列阵
简记为：
1 n 输出矩阵
Ax bu x y cx n维状态变量
0 x1 x , A 1 x2 L
1 0 C ,b R 1 L L
c c作为两个状态变量，令: x1 uc , x2 u 若改选 uc 和 u 则该系统的状态方程为:
1 x 2 x 1 R 1 2 x x1 x 2 u LC L LC
即：
1 0 x 1 x 2 LC
1 x 0 R 1 1 u x2 L LC
状态变量选取的不同， 状态方程也不同
六、输出方程 系统输出量与状态变量﹑输入量的关系称为 输出方程。
由系统任务确 定或给定 指定 x1 u c 作为输出 ,则： 用y 表示
y Cx Du
b1r u1 u b22 b2 r 2 bn 2 bnr u r d12 d1r u1 u d 22 d 2 r 2 d m 2 d mr u r b12
一、系统描述
u1 u2

系统内部
y1 y2
yq

up
系统是由若干个部分相互联系来构成的有机整体。 系统的内部可分为两部分： 系统内部信息：系统内部的行为和状况； 系统内部的结构：系统内部信息的相互联系。
问题：如何选取系统内部信息？
R + u
－
L
C
uc
系统内部信息选择的不同，那么系统内部描述就 会出现差异，直接影响到整个系统的数学描述。
u( t) B( t)
x (t )

1/s
x(t )
C( t)
y (t)
A(t)
分析方法：从传递函数的零极点分布得出系统定性特 性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到 广泛成功的应用。
现代控制理论描述控制系统数学模型 的方法

内部描述：一阶微分方程或差分方程
Ax Bu x y Cx Du

分析方法：利用状态分析方法，对系统进行一系 列特性分析，来设计状态反馈和输出反馈。
输出方程为：
y c1 x1 c2 x2 cn xn
状态空间表达式为 :
1 a11 x x 2 a21 n an1 x
a1n x1 b1 x b a22 a2 n 2 2u an 2 ann xn bn a12
x(t ) x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )
或：
四、状态空间和状态轨迹
状态空间：以状态变量 x1 (t ), x2 (t ), xn (t ) 作为坐标 轴所构成的n维空间称为状态空间。 状态轨迹：以初始时刻的状态为初始点，随着 时间的推移，系统状态变化，便在状态空间中 描绘出一条轨迹，称为状态轨线。
外部描述：时域内为高阶微分方程，复频域内为输 入-输出关系的传递函数。
a0 y bnu ( n) bn1u ( n1) b1u b0u y ( n) an1 y ( n1) a1 y
Y ( s) bn s n bn1s n1 b1s b0 G( s) n U (s) s an1s n1 a1s a0
Ax Bu 可简写为： x
系统矩阵或系数矩阵: 表示系统内部状态的 联系，为 n n 方阵
nr
控制矩阵
m 维输
出矢量
Ax Bu x y Cx Du
r维输入矢量
（控制矢量）
m n
输出矩阵
其状态空间结构图为:
n维状态
变量
D(t)
m r 直接传递输
入矩阵 (关联矩阵 )
2)、状态变量不一定在物理上可量测，有时只具 有数学意义
三、状态向量（状态矢量）
若描述系统状态n个状态变量用x1 (t ), x2 (t ), xn (t ) 表示，并把这些状态变量看作是向量(矢量)x(t ) 的分量，则向量 x(t ) 称为n维状态向量，记作 x1(t ) ﹕ T
x ( t ) 2 x( t ) x n (t )
或
y uc y x1
x1 矩阵表示式为： y 1 0 x2 y cx 或：
七、状态空间表达式 状态方程和输出方程的组合称为状态空间 表达式。
说明：1、状态空间表达式是对系统的一种完全的描
述，因为它既表征了输入对于系统内部状 态的因果关系，又反映了内部状态对于外 部输出的影响。 2、状态空间表达式是非唯一的，因为系统状 态变量的选择是非唯一的。
输出方程的一般形式为：
பைடு நூலகம்
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn d m1u1 d m 2u2 d mr ur
本章主要内容（三）

系统状态方程的线性变换 基本知识及概念 状态方程的两种标准形式

对角式（重点） 约旦式（了解）

将状态方程化为标准形式 离散系统的状态空间表达式(一般了解) 差分方程的输入函数中不包含差分的情况 差分方程的输入函数中包含差分的情况

经典控制理论描述系统数学模型的方 法
R + u
－
L
独立储能元件(2个)： 电容C 和电感 L
C
uc
可以用二阶微分方程式描述该系统
1 i C 1 R 1 i uc i u L L L c u
以 i 和 uc作为该系统的两个状态变量
duc C i dt di L Ri u c u dt
设状态变量 x1 uc , x2 i，则该系统的状态方程为:

状态、状态变量 状态向量 状态空间、状态轨迹 状态方程 输出方程 状态空间表达式
本章主要内容（二）

状态空间表达式建立的多种方法 由系统的物理或化学机理出发推导状态空 间表达式 由控制系统的输入输出关系求出状态空间 表达式

由微分方程求状态空间表达式 由传递函数求状态空间表达式

由系统的结构图导出状态空间表达式



系统内部信息选择的原则： 由控制任务来决定：针对不同的系统有不同的 控制任务； 信息选择要全面：信息要覆盖系统的内部； 信息量要恰到好处：“少一个不全面，多一个 多余”，在数学上就是“线性无关”。
二、状态和状态变量
1、状态：表征系统运动的信息和行为。 2、状态变量：足以完全表征系统运动状态的 最小个数的一组变量。
1 x2 C 1 R 1 2 x1 x 2 u x L L L 1 x
写成向量矩阵形式为:
简记为:
Ax bu x
1 0 x x 2 1 L
1 0 C x1 u 1 R x2 L L
第一章
线性系统的状态空间描述
本章主要内容

状态空间描述的基本概念 线性系统的状态空间描述(机理分析法) 从微分方程模型推导状态空间表达式 由控制系统的结构图导出状态空间表达式 系统状态方程的线性变换 离散时间系统的状态空间表达式
本章主要内容（一）
状态空间描述的基本概念