2021.1.1几何综合之压轴分类(学生版)

【手拉手之等边】

例1：6．（2018秋•平谷区期末）如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F．

（1）求∠AFB的度数；

（2）求证：BF＝EF；

（3）连接CF，直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．

例2：7．（2019秋•海淀区校级期中）等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＞60°，点D为边AC上一点，满足BD＝BC，点E与点B位于直线AC的同侧，△ADE是等边三角形．（1）①请在图1中将图形补充完整；

②若点D与点E关于直线AB轴对称，∠ACB＝；

（2）如图2所示，若∠ACB＝80°，用等式表示线段BA、BD、BE之间的数量关系，并说明理由．

例3：12．（2018秋•澄海区期末）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．

（1）求证：CD＝CB；

（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；

（3）请判断线段PB，PC与PE三者之间的数量关系，并证明你的结论．

【练习1】28．（2019秋•石景山区期末）如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，连接EC并延长，交射线AD于点F．（1）补全图形；

（2）求∠AFE的度数；

（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．

【练习2】27．（2019秋•丰台区期末）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP ＝α（0＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．

（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；

（2）在α（0°＜α≤60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；

（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．

【练习3】3．（2019秋•平谷区期末）如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．

（1）求∠BAE的度数；

（2）连结BD，延长AE交BD于点F．

①求证：DF＝EF；

②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．

【手拉手之等腰直】

例1：13．（2018秋•房山区期末）如图，BN是等腰Rt△ABC的外角∠CBM内部的一条射线，∠ABC＝90°，AB＝CB，点C关于BN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD，AD分别交射线BN于点E，P．

（1）依题意补全图形；

（2）若∠CBN＝α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段PB，P A与PE之间的数量关系，并证明．

例2：17．（2019秋•东城区期末）在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC 于点E，连接DE．

（1）如图1，当△ABC为锐角三角形时，

①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；

②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明；

（2）如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．

例3：8．（2019秋•金湖县期末）问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，P A＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：

△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．

简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且P A＝5，PB＝3，PC＝2√2，则∠BPC＝°

（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且P A＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝．

拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：√2BD＝AD+DC．

②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写

出BD的长．

例4：23．（2018秋•东城区期末）如图，M为正方形ABCD内一点，点N在AD边上，且∠BMN＝90°，MN＝2MB．点E为MN的中点，点P为DE的中点，连接MP并延长到点F，使得PF＝PM，连接DF．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：DF＝BM；

（3）连接AM，用等式表示线段PM和AM的数量关系并证明．

例5：20．（2019秋•房山区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC=√2，以点B为圆心、1为半径作圆，设点M为⊙B上一点，线段CM绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CN，连接BM、AN．

（1）在图1中，补全图形，并证明BM＝AN．

（2）连接MN，若MN与⊙B相切，则∠BMC的度数为．

（3）连接BN，则BN的最小值为；BN的最大值为．

【练习1】14．（2018•丰台区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点C 在△ABC外作射线CE，且∠BCE＝α，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N．

（1）依题意补全图形；

（2）当α＝30°时，直接写出∠CMA的度数；

（3）当0°＜α＜45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．

【练习2】18．（2020•萧山区模拟）如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．

（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；

（2）求证：BF⊥DF；

（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．