沪教版平面向量及其加减运算教案
沪教版(上海)八年级数学第二学期-22.8 平面向量的加法-教案设计
平面向量的加法【教学目标】1．知识目标：（1）理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量；（2）掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；（3）掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算。
2．能力目标：（1）经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程；（2）通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力。
3．情感目标：努力运用多种形象、直观和生动的方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态。
【教学重难点】1．掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；2．掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算。
【教学过程】一、创设情境（给学生放映两岸直航视频。
）设计理念与意图：通过实际生活事件引入课题，提出数学问题，激发学生的兴趣，引发学生的探究欲望，为探究新知作铺垫。
二、探求新知1．向量加法定义：求两个向量和的运算。
求作两个向量的和向量：作法：（1）（2）（3）2．加法运算律：；。
设计意图：让学生运用加法交换律和结合律进行向量运算。
思考：如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n个向量的和是什么？三、课堂小结（学生归纳总结）1．向量加法的三角形法则：首尾相接，首尾连。
2．向量运算律：交换律和结合律。
【教学反思】这节课是向量运算的起始课，既复习了前面所学的知识，又为后面学习向量的减法及数乘运算奠定了基础，起着承上启下的作用。
本节课主要引导学生探究向量加法的三角形法则和运算律，学生对不共线向量的和向量作法掌握很好，但是对与共线的向量，部分学生有些糊涂，认为三角形法则要构成三角形，没有理解其实质，需关注。
同时，一部分学生书写向量不知加;A在平面内任取一点,;AB a BC b==u u u r r u u u r r作=.AC a b+u u u r r r则向量(1)=+a b b a+r r r r交换律：(2)+=()a b c a b c+++r r r r r r结合律：(）=++箭头，需反复强调。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.9(1)平面向量的减法教案
→AB 22.9(1) 平面向量的减法教学目标：1、经历引进向量减法的过程,理解向量减法的意义,知道向量减法是向量加法的逆运算；2、初步掌握向量减法的三角形法则，会将向量减法转化为加法运算，和进行向量加减法的混合运算.教学重点：引进向量减法；使学生掌握向量减法的法则，并初步学会向量加减的混合运算. 教学难点：减法运算时差向量方向的确定. 教学过程： 一、复习旧知我们已经学习了向量加法的意义，以及用三角形法则和多边形法则来作和向量. 已知→a 、→b ，求作→c ，使得→c =→a +→b作法：在平面内任取点O 作向量→OA =→a ，作向量=→b ，则向量→OB =→c （口诀：首尾相接首尾连.） 二、引入新课【问题一】由向量的加法运算，自然联想到向量的减法运算，如何定义向量的减法运算？ 回忆一下，我们是怎么学习数的减法的？已知两个数的和,及其中一个数,求另一个数的运算.用符号语言表示：若c b a =+，则有b c a -=或a c b -=.那么我们可以用类似的方法来定义向量的减法运算:已知两个向量的和,及其中一个向量,求另一个向量的运算. 如果→a +→b =→c ，则→a 叫做→c 与→b 的差向量，记作→→-b c ，其中→c 是被减向量，→b 是减向量.同理，→a +→b =→c ，则→b 叫做→c 与→a 的差向量，记作→→-a c ，其中→c 是被减向量，→a 是减向量. 【问题二】如何作出两个向量的差向量？ 观察：已知→b 、→a ，→c ，→c =→→+b a分析：因为→c =→→+b a ，则由向量加法的三角形法则，首尾相接首尾连，观察下图，图中的→-OB 即是→b 与→a 的和，根据平行四边形法则，可作→→-=b OC 、→→-=a CB .→a →bA BC→b→aOA→→a→b→b→cB→a→cO请同学们观察，在上面作图中，→a 、→b 、→c 也组成一个三角形，→→→→--==b c a BC . 归纳作法：在平面内任取一点O 作向量→OB =→c ，再作向量→OC =→b ，则向量→CB 即是所求的→a .(同起点,连终点,指被减.)我们把这样作差向量的规定称为向量减法的三角形法则.比较向量减法的三角形法则和向量加法三角形法则的区别之处：※向量加法是把两个已知向量首尾相接，向量减法是从同一起点出发作两个已知向量； ※和向量是以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点（首尾相接首尾连）； 结论： 差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点（箭头指向被减向量）. 【问题3】我们在学习数的减法的时候曾经讲过数的减法可转化为加法运算，即减去一个数等于加上这个数的相反数，)(b c b c -+=-.那么对于向量，我们是否也可以类似的说减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？ 先请同学回忆相反向量的定义.(方向相反，长度相等）接着我们来验证我们刚才的想法是否正确，即→→-b c 与）（→→-+b c 的结果是否相等？ 请同学们在图中用向量加法的三角形法则作出）（→→-+b c根据向量加减法的三角形法则，我们可得到→CB =→→-b c ，→-DA =）（→→-+b c 那么向量→CB 与向量→OA 是否相等？为什么？根据平行四边形的性质我们可以进行证明:把OB 和DE 叠合在一起，CB ∥OA 且CB =OA ，所以→a =→d结论：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量→d→-b→cOAO→a→b→c→a→b→cADE→a→b→cC BOABOC→d→a→b→-b→c三、课堂例题:例1、根据图型特征建立向量关系：如图已知AD 是△ABC 的中线，试用向量→AB 、→AD 、→AC 来表示向量→BD 和→DC 解：→BD =-→AD →AB ,→DC =-→AC →AD(分析：已知向量→AB 、→AD 共起点，所以应该用向量的减法来表示向量→BD ，而向量→BD 的起点是向量→AB 的终点，向量→BD 的终点→AD 的终点，因此→BD =-→AD →AB .)【课堂练习1】如图，四边形ABCD 中，向量→BA =→a ，向量→AD =→b ，向量→BC =→c ，试用→a 、→b 、→c 来表示向量→BD 、向量→CD .解：→BD =→a +→b→CD =-→BD →BC =→a +-→b →c（通过本题，使同学进一步体会什么时候应该用两个向量加法运算来表示第三个向量，什么时候应该用两个向量减法运算来表第三个向量向量.）【课堂练习2】已知点M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、DC 上的点，设→AB =→a ，→AM =→b ，→BC =→c ，→CN =→d ，分别用向量→a 、→b 、→c 、→d 来表示→BM 、→BN 、→MN .a b BM-=→，→BN =→c + →d ，→MN =→BN -→BM =→c +→d -（→b -→a ）=→c +→d -→b +→a . 本题进一步帮助学生理解向量加法、减法的三角形法则，学生根据图形特征建立向量关系式.C→ ACDAB CD→b→c →acB例2、向量加减混合运算的作图 1、已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b （1）（2）在平面内任取一点O ，作向量→OA =→a ，作向量→OB =→b ，则=→BA -→a →b .既然减去一个向量可以看成是加上这个向量的相反向量，那么这一题还有没有其他作法？ 我们可以把-→a →b 转化为-+→(a →b ），然后利用向量加法的三角形法则来作图. (2）平行向量也同样如此.【课堂练习3】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b (1)(2)同向共线2、已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b +→c .进行向量加减混合运算时，运算顺序的规定是与数的运算顺序一样的，按照从左到右的顺序进行运算可以如下作图：在平面内任取一点O ，作向量→OA =→a ，作向量→OB =→b ，则=→BA -→a →b ，再作向量→→=c AC ，然后作→BC ，则→BC =+→BA =→AC -→a →b +→c ；既然减去一个向量可以看成是加上这个向量的相反向量，那么这一题还有没有其他作法？ 我们可以把-→a →b +→c 转化为-+→(a →b ）+→c ，然后利用向量加法的多边形法则来作图.→a→a→b→bO AB→bOAB→a→-bOA→b→aA OB→a→b为所求作的向量.→BA B→a→b→a→a→b→c→a→b→cOA BC为所求作的向量.→BA →b→a向量→oc 为所求作的向量.向量加法满足交换律，我们也可以通过-→a →b +→c =+→a →c -→b 来作.【课堂练习4】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a -→b →c 我们知道：-→a -→b →c =-+→(a -+→()b →c ）；在平面内任取一点O ，顺次作向量→OA =→a ，=→AD →-b ，→→-=c DF ，再作向量→OF ，则→OF =+→OA =+→→DF AD -+→(a →b )+)(→-c =-→a -→b →c ；因此，几个向量相加减通常转化为几个向量相加，再用多边形法则作图.例3、化简下列各式:(1)→→→→-++MP MN QP NQ (2) )()(→→→→---BD AC CD AB 解：→→→→-++MP MN QP NQ =→→→=+0PN NP .)()(→→→→---BD AC CD AB =→→→→→→→→→→→=-=+-+=+--0AD AD CD AC BD AB BD AC CD AB ）（向量的加法和减法运算我们既要熟悉通过作图来求出向量，也要从符号表示的角度能熟练地进行化简和运算，同时还能熟练地运用交换律和结合律进行灵活的变形. 【课堂练习5】(1)→→→+-BC AC AB (2)→→→-+OC BC OA (3）五、课堂小结：(略)六、回家作业：练习册22.9（1）A OB→a→c→-bCAC B→a→c→-bO→a→-b→-cAD F)()(→→→→---BD AC CD AB→b→a→b→c→a→c D22.9 （1)平面向量的减法学习单习1】如图，四边形ABCD 中，向量→BA =→a ，向量→AD =→b ，向量→BC =→c ，试【课堂练用 →a 、→b 、→c 来表示向量→BD 、向量→CD .【课堂练习2】已知点M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、DC 上的点，设→AB =→a ，→AM =→b ，→BC =→c ，→CN =→d ，分别用向量→a 、→b 、→c 、→d 来表示→BM 、→BN 、→MN .【课堂练习3】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：-→a →b (1) (2)【课堂练习4】已知向量→a 、→b 、→c ，求作：求作：-→a -→b →c .【课堂练习5】→b→a→b→aC→cABC(1)→→→+-BC AC AB (2)→→→-+OC BC OA (3）)()(→→→→---BD AC CD AB。
2024春八年级数学下册22.8平面向量的加法2教学设计沪教版五四制
2024春八年级数学下册22.8平面向量的加法2教学设计沪教版五四制一. 教材分析教材是沪教版八年级数学下册，第22.8节讲述了平面向量的加法。
本节课的内容是向量加法的基本概念、运算规则和几何意义。
通过学习，学生能够理解向量加法的概念，掌握向量加法的运算规则，并能够运用向量加法解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中阶段的代数、几何知识，对于数学的基础概念和运算规则有一定的理解。
但是，对于向量的概念和运算可能还比较陌生，需要通过具体的例子和实际操作来加深理解。
此外，学生可能对于向量加法的几何意义和应用还比较模糊，需要通过图形和实际问题来进行引导和解释。
三. 教学目标1.了解平面向量加法的基本概念和运算规则。
2.理解平面向量加法的几何意义。
3.能够运用平面向量加法解决实际问题。
四. 教学重难点1.向量加法的基本概念和运算规则。
2.向量加法的几何意义。
3.运用向量加法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子和实际问题引导学生理解和掌握向量加法的基本概念和运算规则。
2.使用图形和动画辅助教学，帮助学生理解向量加法的几何意义。
3.小组讨论和合作交流，让学生通过互相解释和讨论来加深理解。
4.运用练习题和应用题进行巩固和拓展，培养学生的实际应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的例子和实际问题，用于引导学生理解和掌握向量加法的基本概念和运算规则。
2.准备图形和动画，用于展示向量加法的几何意义。
3.准备小组讨论和合作交流的材料，用于学生进行互相解释和讨论。
4.准备练习题和应用题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入向量加法的话题，例如：“一个人从A点出发，先向东走了3米，然后向北走了4米，他最终的位置在哪里？”让学生尝试用自己的语言来描述这个问题，并引出向量加法的概念。
2.呈现（15分钟）向学生介绍向量加法的基本概念和运算规则，并举例进行解释。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22章小结 《平面向量及其加减运算复习》 教案
课题：《平面向量及其加减运算复习》教学目标:1．在理解向量相关概念的基础上，进一步掌握相等向量、相反向量、平行向量的概念；2．熟练掌握平面向量加法、减法的三角形法则，多个向量相加的多边形法则，加法的平行四边形法则；并能熟练用画图的方法求和向量和差向量；3.能运用向量的方法解决某些简单的几何问题，体会“数形结合”思想.核心素养：通过复习培养学生分析问题、解决问题的能力教学重点:进一步掌握平面向量相加减的作图方法，并会熟练应用教学难点：熟练应用向量相加减的法则解决较复杂问题教学环节教学过程设计意图一、复习知识点一、向量相关概念的复习1、课前练习练习1：如图,D、E、F顺次是等边△ABC的边AB,BC,AC的中点，则在A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点和终点的向量中（1）写出与DE相等的向量；（2）写出与DF互为相反向量的向量；（3）写出与DF平行的向量；（4）与DE模相等的向量有多少个？（5）若2,AB=则DE=；=+CEBE .2、回顾向量的相关概念：通过课前练习来复习归纳平面向量的有关概念，并突出需要注意的知识点。
练习巩固（3）()BDACCDAB---4.复习向量加法的交换律和结合律5.练习5.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上的中点，记bADaDE==,用含ba,的式子表示BEEA,6.练习6：如图，已知四边形AECF是平行四边形，E、F在BD上，并且BE=FD，求证:四边形ABCD是平行四边形.提问：除了用几何证明方法解决外，能否用向量的方法来证明?向量加、减法法则和运算律化简算式建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，强化“数形结合思想”二、课堂小结1.本节课复习了平面向量的哪些内容？2.通过这节课的学习，谈谈你对每一题的收获和疑惑？通过对所学知识的小结，培养学生的概括，总结能力，同时可以对本节课知识梳理。
一、必做题：1.练习册：P62 第13 题及P63 第3题2.判断：EABEFCD三、布置作业（1）平行向量的方向一定相同。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 平面向量 教案
22.7 平面向量教学目标：1、理解平面向量的概念，掌握向量的几何表示及符号表示，理解向量的模、相等向量、相反向量、平行向量等概念。
2、经历将实际情景中有大小有方向的量抽象为向量的过程，培养学生的数学抽象素养；通过向量的几何表征，提高学生数形结合的能力。
3、通过向量历史的介绍，让学生感受向量在现实生活中以及在数学、物理学科中的重要应用，初步体会学习向量的意义。
教学重点、难点：重点：向量的概念及其几何表示、三种向量间的特殊关系。
难点：将实际情景中有方向有大小的量抽象为向量。
教学过程：一、从物理背景中引入问题1：小船从点A出发，速度是4米/秒，请问2秒后它位置移动到哪里？问题2：小船从点A出发，一直朝北开，请问2秒后它位置移动到哪里？1综合上面的两个问题，看来只知道速度的大小或者只知道速度的方向都无法帮我们解决上面这2个实际问题，所以我们需要重新审视“速度”这个量，它是不是只有大小或者只有方向呢？问题3：那么大家学过的什么知识也有类似的特点？力问题4：你对一个物体施加6牛的力，你能把它表示出来吗？二、讲授新课1、给这种既有大小又有方向的量取个名字？为什么你叫它_____？2、向量的图形表示是什么？3、设计向量的符号；4、微视频《向量的发展史》；【设计意图】让学生感受到虽然亚里士多德在解决力学问题时使用了向量的一些性质，但没有将其抽象为向量，而距离古希腊两千多年的今天，数学家们已经把向量研究成为一门理论，一门学科工具。
今更胜于昔！5、小结向量的三种符号表示；【设计意图】从符号的发展可以看到数学是在数学家们的努力下不断进步的。
23 H G F E 6、向量的模及其符号表示。
三、 例题讲解例题1 四边形ABCD 是平行四边形，四边形EFGH 是梯形，梯形中EF ∥HG.图中有向线段都表示向量，它们的起点和终点分别是所在四边形的顶点。
（1）用符号表示各个向量；（2）每个四边形的对边上的两个向量，它们的方向是否相同或相反？它们的长度是否相等？【设计意图】由此例题得出相等向量、相反向量、平行向量的概念。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.9 平面向量的减法 教案
22.9 平面向量的减法一．教学目标1．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；2．能利用向量减法的运算法则解决有关问题；3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；4．过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．二．教学重点：向量的减法的定义，作两个向量的差向量；教学难点：对向量减法定义的理解．三．教 具：多媒体、实物投影仪四．教学过程1．设置情境复习引入：上节课，我们学习了向量的加法，并给出了求作和向量的两种方法． 本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法2．探索研究（1）向量减法①相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量。
记作a -规定：零向量的相反向量仍是零向量注意：1°a 与a -互为相反向量。
即a a=--)( 2°任意向量与它的相反向量的和是零向量。
即0)()( =+-=-+a a a a 3°如果a 、b 是互为相反向量，那么0,, =+-=-=b a a b b a②a 与b 的差：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即)(b a b a -+=- ③向量的减法：求两个向量的差的运算叫做向量的减法④b a -的作法：已知向量a 、b ，在平面内任取一点O，作b OB a OA ==,，则b a BA -=。
即b a -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量⑤思考：为从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量是什么？（a b -）师：还可以从加法的逆运算来定义，如图1所示，因为c b a =+，所以b 就是a c -，因而只要作出了b ，也就作出了a c -．要作出b a -，可以在平面内任取一点O ，作a =OA ，b =OB ，则b a -=BA ． 师：若两向量平行，如何作它们的差向量？两个向量的差仍是一个向量吗？它们的大小如何（b a -的几何意义）？方向怎样？生：两个向量的差还是一个向量，b a -的大小是b a -，是连接a 、b 的终点的线段，方向指向被减向量．练习：判断下列命题的真假（1）0=+BA AB ．（ ）（2）相反向量就是方向相反的向量．（ ）图（3）OB OA AB -=（ ） （4）b a b a ->-（ ）（2）例题分析【例1】已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量b a -，d c -师：已知的四个向量的起点不同，要作向量b a -与d c -，首先要做什么？生：首先在平面内任取一点O ，作a =OA ，b =OB ，c =OC ，d =OD作BA 、DC ，则b a -=BA ，d c -=DC【例2】如图3所示，ABCD 中a =AB ，b =AD ，用a 、b 表示向量AC 、DB ． 师：由平行四边形法则得b a +=AC由作向量差的方法得b a -=-=AD AB DB变式训练：变式一，本例中，当a 、b 满足什么条件时，b a +与b a -互相垂直？变式二，本例中，当a 、b 满足什么条件时，b a b a -=+？变式三，本例中，b a +与b a -有可能相等吗？为什么？3．演练反馈4．（1）△ABC 中，a =BC ，b =CA ，则AB 等于（ ）图图3A ．b a +B ．()b a +-C ．b a -D ．a b -（2）下列等式中，正确的个数是（ ）①a b b a +=+； ②a b b a -=-； ③a a -=-0； ④()a a =--； ⑤()0=-+a a ．A ．5B ．4C ．3D ．2（3）已知8=AB ，5=AC ，则BC 的取值范围是_____________．4．总结提炼（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量：()y x y x -+=-（2）向量减法有两种定义：①将减法运算转化为加法运算：()b a b a -+=-②将减法运算定义为加法运算的逆运算：如果a x b =+，则b a x -=．从作图上看这两种定义没有本质区别，前一个定义就是教材采用的定义法，但作图稍繁一点；后一种定义便于作图和记忆，两个有相同起点的向量相减，所得向量是连接两向量终点，并且指向被减向量的终点．。
平面向量的加减法运算教学设计
平面向量的加减法运算教学设计以平面向量的加减法运算为主题的教学设计第一节：引入引导学生回顾平面向量的定义和性质，强调向量的表示方法和运算规则。
简要介绍平面向量的加法和减法运算，以及它们的几何意义。
第二节：平面向量的加法运算1.1 向量的加法定义向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
引导学生根据定义进行向量的加法运算。
1.2 加法运算的性质向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
通过示例和练习题让学生理解和应用这些性质。
1.3 加法运算的几何意义向量的加法可以用平行四边形法则来解释，即将两个向量的起点相连，得到一个新的向量，它的起点和终点分别为原向量的起点和终点。
第三节：平面向量的减法运算2.1 向量的减法定义向量的减法是指将第二个向量取负后与第一个向量进行加法运算。
引导学生根据定义进行向量的减法运算。
2.2 减法运算的性质向量的减法满足减去一个向量等于加上其相反向量，即a-b=a+(-b)。
通过示例和练习题让学生理解和应用这个性质。
2.3 减法运算的几何意义向量的减法可以用平行四边形法则来解释，即将第二个向量的起点与第一个向量的终点相连，得到一个新的向量，它的起点和终点分别为原向量的起点和第二个向量的终点。
第四节：应用练习通过一些实际问题和练习题，让学生应用所学的平面向量的加减法运算解决几何和物理问题。
可以设计一些场景，如力的合成、位移的计算等。
第五节：总结与拓展对平面向量的加减法运算进行总结，强调运算的规则和性质，以及几何意义。
鼓励学生进一步拓展应用平面向量的知识，如向量的数量积和向量的夹角等。
通过以上教学设计，可以帮助学生系统掌握平面向量的加减法运算，理解其几何意义，并能够应用于实际问题的求解。
同时，通过练习和拓展，培养学生的问题解决能力和数学思维。
八年级数学下册22.9平面向量的减法1教学设计沪教版五四制
八年级数学下册22.9平面向量的减法1教学设计沪教版五四制一. 教材分析《沪教版五四制》八年级数学下册第22.9节平面向量的减法，是在学生掌握了平面向量的概念、运算、几何表示等知识的基础上进行教学的。
本节内容主要让学生了解平面向量减法的基本运算方法，理解平面向量减法与几何图形之间的关系，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平面向量的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象力。
但部分学生对向量减法的理解仍存在困难，特别是在运用向量减法解决实际问题时，容易混淆概念和运算规则。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习困难，注重引导和启发学生思考。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握平面向量减法的基本运算方法，能够熟练地进行向量减法运算。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生理解平面向量减法与几何图形之间的关系，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习向量知识的兴趣，培养学生的抽象思维能力和创新意识。
四. 教学重难点1.重点：平面向量减法的基本运算方法。
2.难点：平面向量减法与几何图形之间的关系，以及运用向量减法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例分析，引导学生理解平面向量减法的实际意义。
2.启发式教学法：引导学生主动探究平面向量减法的运算规律，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组合作学习：让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实例，用于引导学生分析平面向量减法的实际意义。
2.准备练习题，用于巩固学生对平面向量减法的掌握程度。
3.准备多媒体教学课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引出平面向量减法的话题，激发学生的学习兴趣。
例如：在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)和点B(1,2)，求点A到点B的位移向量。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示平面向量减法的几何意义，引导学生理解平面向量减法的实际意义。
沪教版数学八年级下册22.4《平面向量及其加减运算》教学设计
沪教版数学八年级下册22.4《平面向量及其加减运算》教学设计一. 教材分析《平面向量及其加减运算》是沪教版数学八年级下册第22.4节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了平面向量的概念、模长以及数量积的基础上，进一步学习平面向量的加减运算。
平面向量是高中数学的重要内容，也是学生进一步学习高等数学的基础。
本节内容的教学设计，应该注重让学生理解平面向量加减运算的定义和性质，能够熟练地进行向量的加减运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了平面向量的基本概念和性质，具备了一定的数学基础。
但是，对于向量的加减运算，学生可能还存在着一些理解上的困难，比如对向量加减运算的直观理解，以及对向量加减运算的规则的掌握。
因此，在教学设计中，应该注重通过具体的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握平面向量的加减运算。
三. 教学目标1.让学生理解平面向量的加减运算的定义和性质。
2.让学生能够熟练地进行平面向量的加减运算。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.向量加减运算的定义和性质。
2.向量加减运算的规则和技巧。
五. 教学方法1.采用讲解法，通过讲解向量加减运算的定义和性质，让学生理解和掌握平面向量的加减运算。
2.采用实践法，通过具体的例子和实际操作，让学生熟练地进行平面向量的加减运算。
3.采用问题解决法，通过解决实际问题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，以便进行讲解和展示。
2.练习题：准备一些相关的练习题，以便进行操练和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入平面向量的加减运算。
例如，两个人从不同的地点同时出发，相向而行，问他们何时相遇？如何求出他们的相遇点？2.呈现（10分钟）讲解平面向量的加减运算的定义和性质，通过具体的例子，让学生理解和掌握平面向量的加减运算。
3.操练（10分钟）让学生进行实际的操作，解决一些平面向量的加减运算的问题。
2024春八年级数学下册22.9平面向量的减法1教学设计沪教版五四制
2024春八年级数学下册22.9平面向量的减法1教学设计沪教版五四制一. 教材分析教材是沪教版八年级数学下册，第22.9节讲述了平面向量的减法。
本节课的内容主要包括平面向量减法运算的定义、性质及运算方法。
通过本节课的学习，学生能够理解平面向量减法的概念，掌握平面向量减法的运算方法，并能够应用于实际问题中。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面向量的基本概念和运算，对平面向量有一定的认识和理解。
但学生在运算方面可能会存在一定的困难，因此需要通过具体例子的引导，让学生理解和掌握平面向量减法的运算方法。
三. 教学目标1.知识与技能：–理解平面向量减法的概念。
–掌握平面向量减法的运算方法。
–能够运用平面向量减法解决实际问题。
2.过程与方法：–通过具体例子，引导学生理解平面向量减法的概念。
–通过练习，让学生掌握平面向量减法的运算方法。
3.情感态度价值观：–培养学生的团队协作能力，让学生在小组讨论中共同解决问题。
–培养学生的自主学习能力，让学生在探索中发现问题和解决问题。
四. 教学重难点1.重点：平面向量减法的概念和运算方法。
2.难点：平面向量减法在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解平面向量减法的概念和运算方法，让学生理解和掌握相关知识。
2.案例分析法：通过具体例子，让学生理解平面向量减法的概念和运算方法。
3.练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4.小组讨论法：让学生在小组内讨论问题，培养团队协作能力和自主学习能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作关于平面向量减法概念和运算方法的教学PPT。
2.练习题：准备一些关于平面向量减法的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学视频：准备一些关于平面向量减法的教学视频，用于引导学生思考和讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考平面向量减法的意义和必要性。
例如，一个人从点A走到点B，然后再从点B走回到点A，他最终的位置与起始位置的关系是什么？2.呈现（15分钟）利用PPT呈现平面向量减法的概念和运算方法。
沪教版高中数学平面向量的基本运算教案2023
沪教版高中数学平面向量的基本运算教案2023教学方案学科：数学学段：高中版本：沪教版教材：数学单元：平面向量的基本运算年级：高中一年级教案名称：平面向量的基本运算教学目标：1. 了解平面向量的概念和基本性质。
2. 掌握平面向量的加法和减法运算规则。
3. 能够根据题目中的条件，进行向量的运算。
4. 运用向量的基本运算解决实际问题。
教学内容：平面向量的基本运算教学准备：1. 教师准备：黑板、粉笔、课件、教材、练习题。
2. 学生准备：课本、笔、纸。
教学步骤：Step 1：引入教师可以通过举例子的方式引入向量的概念。
例如，教师可以说：“我们知道，向右走一步可以表示为向量(1,0)，向上走一步可以表示为向量(0,1)。
那么，向右走两步可以用什么向量表示呢？向上走三步呢？”Step 2：概念解释教师向学生介绍平面向量的概念和基本性质，包括向量的表示方法、向量的模、向量共线与平行、零向量的概念等。
Step 3：向量的加法和减法3.1 向量的加法：教师通过示意图和数学表达式向学生解释向量的加法规则。
例如，向量A(3,2)与向量B(1,-1)相加可以表示为A+B=(3+1, 2+(-1))=(4,1)。
3.2 向量的减法：教师通过示意图和数学表达式向学生解释向量的减法规则。
例如，向量A(3,2)与向量B(1,-1)相减可以表示为A-B=(3-1,2-(-1))=(2,3)。
Step 4：向量的数乘教师向学生介绍向量的数乘概念和运算规则。
例如，向量A(3,2)乘以2可以表示为2A=(2×3, 2×2)=(6,4)。
Step 5：练习题教师布置一些练习题，让学生运用所学的向量基本运算规则进行计算。
教师可以根据学生的实际情况调整题目的难度。
Step 6：实际应用教师通过实际问题的引入，让学生应用所学的向量基本运算解决问题。
例如，教师可以给学生提供一道题目：“小明从家里出发，先向北走了100米，再向东走了50米，最后又向南走了80米。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.8 平面向量的加法 教案
22.8平面向量的加法（第1课时）教学任务教学目标：1.经历引进向量加法的过程,初步掌握向量加法的三角形法则,会用作图的方法求两个向量的和向量；2.知道零向量的意义及特性;知道向量加法满足交换律与结合律，会利用它们进行向量运算；3.通过向量加法与实数加法的类比，发展数学观念，领会类比、化归的数学思想方法及从一般到特殊的思维策略。
教学重点: 掌握向量加法的三角形法则,会用作图的方法求两个向量的和向量。
教学难点： 向量加法的三角形法则及其几何意义。
教学准备教具 多媒体课件、直尺、工作单教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1创设情境、提出问题 1. 通过实例让学生感知实数是可以进行加法运算的，那么平面向量可不可以相加呢？板书课题：平面向量的加法课件演示过程。
（问题的背景） 奥运火炬在国内某市传递过程中，若火炬手先从指定位置A 向东行进 100米到达指定位置B ，再由指定位置B 向北行进100米到达指定位置C 。
①观察这时火距手在A 的什么方向上？到A 的距离又是多少？感知实数的加法与向量加法的不同。
帮助学生理解和向量的含义，为向量加法的三角形法则提供感知和理解的基础。
东 北 CBA问题与情境师生行为设计意图活动2研究讨论、得出新知1．在第①题中，通过问题的设计让学生明确火距手的运动过程与方向和距离有关，不同于通常的行程问题；2．通过课件演示，可以直观地显示C相对于A的位置；3．给出向量加法的定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．4．介绍平面向量加法的三角形法则。
5．首尾相接的向量的和向量是很容易确定的，但平面中有很多向量不是首尾相接的，那么如何来确定它们的和向量呢？让学生通过作图观察来总结归纳向量的加法满足交换律。
教师在课件上演示一遍。
向量加法的交换律：ba+=ab+向量的加法运算和实数的加法运算都满足交换律，我们还知道实数的加法运算还满足结合律，那么向量的加法运算是否也满足结合律呢。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.9 平面向量的减法 教案
22.9（1）平面向量的减法教学目标：1、类比实数的加法与减法,知道向量的减法是加法的逆运算。
2、理解向量减法的意义利用向量加法与减法的互逆关系导出向量减法的三角形法则。
3、掌握向量减法的三角形法则; 运用向量减法的三角形法则作已知向量的差向量。
4、会将向量的减法转化为加法运算和进行向量的加减混合运算。
教学重点：掌握向量减法的三角形法则教学难点：利用向量加法与减法的互逆关系导出向量减法的三角形法则教学过程设计：一、温故知新复习平面向量加法的三角形法则。
二、新知探索：1．问题：已知向量c a 和，如果c 是a 与另一个向量x相加所得的和向量，即c x a =+；那么怎样求出x ?其中是c 被减向量，a 是减向量2．向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法。
的与叫做那么定义：如果a c x c x a ,=+差向量出示课题：22.9平面向量的减法3．归纳向量减法的三角形法则：（1）相减的两个向量共起点（2）它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量三、新手上路例1：已知向量b a 、；求作：b a - 归纳：在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。
问题： 1、同向 2、反向 归纳：利用向量减法的三角形法则练习1:（1）_____BA BC =-_____)2(=+- (3)如图，已知平行四边形ABCD ，类比实数a-b=a+(-b) 归纳：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量 四、学以致用练习2：已知向量,,a b c ；求作：-+aB ACD ___________CD =则___________BD =.AD a AB b ==若，)(-+=-呢？如何画出平行于若b a b a -,ba b a bca练习3：如图，已知平行四边形ABCD ，对角线AC,BD 相交于点O, 求：练习4：化简______OC BC OA )1(=-+______DC AD AB )2(=--______CD BD AC AB )3(=-+-练习5：.,,,-+-提示：可以用：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量来考虑作图，（即用向量加法的多边形法则）五、反思小结１．向量减法的三角形法则（1）相减的两个向量共起点（2）它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量 ２．向量的减法可转化为向量的加法３．在进行向量加减混合运算时，可以将减法转化为加法，这样便于利用几个向量相加的多边形法则进行作图六、布置作业：练习册 习题22.9（1）(1)____AB OC -=(2)_____AD DC -=(3)AD CD -=_______=。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.9平面向量的减法(1)教案
22.9平面向量的减法(1)教学设计教学目标1．探究并掌握向量减法的三角形法则，理解减去一个向量等于加上它的相反向量;2．能利用上述2种方法作已知向量的差向量；3、体会类比和化归的数学思想。
一、复习：师：上新课之前，我们先来复习向量加法的三角形法则，请大家完成填空。
向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量______________，那么，以第一个向量的起点为______________，第二个向量的终点为______________，所得的向量即是这两个向量的和向量．学生活动：齐读师：学习了向量的加法，我们今天开始学习平面向量的减法（板书课题）。
已知2个向量我们已经会作它们的和向量，那下面这个问题该怎么解决呢？（师读题）二、新知探索：问题1、如图，已知向量,a b，如果a是b与另一个向量x相加所得的和向量，即b x a+=；那么怎样作出x?学生活动：（1） 独立思考，尝试作图。
（2） 3分钟后，前后四人为一小组开始讨论。
教师请个别学生板书作图。
（3） 板书的学生讲解思路和做法（其间师生相互质疑，相互补充）：根据向量加法的三角形法则，和向量和第一个向量是共起点。
所以，在平面内任取一点O ，作=，=，再作，那么=+，即=+，所以=。
师：既然b x a +=，我们就把x 叫做向量b a 与的差向量，即b -a x =。
这时，是被减向量，是减向量。
能否小结一下，我们刚刚作出-=的关键步骤？ 生：1、使两个向量共起点；2、以减向量的终点为起点，以被减向量的终点为终点的向量。
师板书：向量减法的三角形法则——（1）共起点（2）指向被减向量 检测：若将身体作为起点，手臂看作两条向量，则左手减右手，指向？右手减左手，指向？CBA图1图2图3问题2、在实数运算中a-b=a+（-b ），那么在向量加减中，）（b -a b -a +=也成立吗？为什么？（可利用问题1中的结果分析）生：成立。
2024春八年级数学下册22.9平面向量的减法1教案沪教版五四制
2024春八年级数学下册22.9平面向量的减法1教案沪教版五四制一. 教材分析教材是沪教版八年级数学下册，第22.9节讲述了平面向量的减法。
在这一节中，学生将学习平面向量减法的基本概念、运算规则和几何意义。
本节课的内容是学生对平面向量知识的进一步拓展，为后续学习更复杂的向量运算奠定基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面向量的基本概念和线性运算，对向量的加法有了初步的了解。
但学生在理解向量减法的几何意义和运算规则方面还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生从实际问题中抽象出向量减法的模型，帮助学生建立直观的认识。
三. 教学目标1.理解平面向量减法的基本概念和运算规则。
2.掌握平面向量减法的几何意义。
3.能够运用向量减法解决实际问题。
4.培养学生的抽象思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.向量减法的基本概念和运算规则。
2.向量减法的几何意义。
3.运用向量减法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过分析实际案例，让学生了解向量减法的应用；通过小组合作学习，培养学生之间的交流和合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际案例和问题。
2.准备课件和教学素材。
3.准备练习题和作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾平面向量的基本概念和线性运算，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解平面向量减法的基本概念和运算规则，通过课件和实物模型展示向量减法的几何意义。
3.操练（10分钟）让学生通过计算和绘图，掌握平面向量减法的运算规则和几何意义。
教师可提供一些实际的例子，帮助学生更好地理解和运用。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，运用向量减法解决实际问题。
教师可引导学生从不同角度思考问题，培养学生的抽象思维能力和运算能力。
5.拓展（10分钟）引导学生思考平面向量减法与其他数学知识之间的联系，如坐标系、几何图形等。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 (1)平面向量 教案
22.7（1）平面向量教学目标1、理解有向线段的概念，会画有向线段并用于表示生活中一些既有大小又有方向的量；2、通过操作画图对有向线段的概念有感性的认识，为下一节课做好铺垫和准备；3、通过学习与指导、互动，发展抽象概括能力。
教学重点及难点通过实例让学生认识描述“位置移动”和“两点位置差别”的要素；引进有向线段的概念，并使学生会画有向线段。
教学过程设计一、思考与探究问题1：1．将定点A平移5cm，你能唯一确定点A的位置吗？2．将定点A沿北偏东30°的方向平移，你能唯一确定点A的位置吗？3．将定点A沿北偏东30°的方向平移5cm，你能唯一确定点A的位置吗？结论1：要想唯一确定平移后的点，必须知道平移的距离和方向.问题2：一位来上海观光的游客在西藏路上向小明问路：“到外滩黄浦公园怎样走？”，小明热情地告诉他：“从这里沿着西藏路向南走大约200米到第一百货，再沿着南京路向东走大约2000米就到了”. 游客对小明的回答非常满意，这是为什么？——小明在指路时，讲清了行走的方向和距离。
生活中的指路牌二、新授1、操作1：画一个“小明指路”的示意图。
（在本操作中可能的困难是学生忘记了比例尺的概念）用此示意图引出有向线段的画法。
2、有向线段的定义：规定了方向的线段。
起点、终点、箭头的规定等。
有向线段AB表示点B相对于点A的位置差别，可具体描述为：点B在点A的……辨析：①线段PQ与线段QP一样吗？②线段PQ与有向线段PQ一样吗？③有向线段PQ与有向线段QP一样吗？练习：如图：已知菱形ABCD 中，将满足以下条件的所有有向线段用符号表示出来. ①与AB 方向相同且长度相等. ②与AB 方向相反且长度相等. ③与DA 方向相同且长度相等.④与DA 方向相反且长度相等.⑤与CD 方向不同且长度相等.3.问题3：“平移”是指“图形上的所有点按照某个方向作相同距离的位置移动”。
①如果有一个平移，它的方向是南偏东30°，移动的距离是4㎝，请你用有向线段AB 来表示这个平移；②若已知△CDE 与有向线段AB ，作出△CDE 按有向线段AB 表示的平移移动后所得的△C ′D ′E ′。
沪教版数学八年级下册22.4《平面向量及其加减运算》教学设计
沪教版数学八年级下册22.4《平面向量及其加减运算》教学设计一. 教材分析《平面向量及其加减运算》是沪教版数学八年级下册第22.4节的内容。
本节内容主要介绍了平面向量的概念、平面向量的加减运算及其几何意义。
教材通过实例引入平面向量的概念，让学生在已有数学知识的基础上，进一步理解向量的定义及其运算规律。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握平面向量的加减运算及其几何意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、坐标系、几何图形的知识，对数学概念的理解和图形的直观感知能力较强。
但平面向量是较为抽象的数学概念，学生可能存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要注重向量概念的引入和向量运算规律的讲解，并通过适量习题训练，帮助学生巩固所学知识。
三. 教学目标1.理解平面向量的概念，掌握平面向量的表示方法。
2.掌握平面向量的加减运算规则，能熟练进行向量的加减运算。
3.理解平面向量加减运算的几何意义，能运用向量知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：平面向量的概念、平面向量的加减运算及其几何意义。
2.难点：平面向量的加减运算规律及其应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过实例引入平面向量概念，引导学生主动探究向量运算规律。
2.利用数形结合法，直观展示向量加减运算的几何意义，帮助学生加深理解。
3.运用练习法，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作平面向量及其加减运算的教学课件，包括向量概念的引入、向量运算规律的讲解、向量运算实例演示等。
2.习题库：准备一定数量的平面向量运算习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入平面向量的概念，如物体在坐标系中的位移、速度等。
引导学生理解向量的定义及其表示方法。
2.呈现（10分钟）讲解平面向量的加减运算规则，通过几何图形的直观展示，让学生理解向量加减运算的几何意义。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 平面向量 教案
22.7（2） 平面向量教学目标：1、理解向量的概念，会用有向线段表示向量；2、理解向量的长度、相等向量、相反向量、平行向量的概念，并会用符号进行表示；3、知道向量在现实生活和数学、物理等学科中有重要的作用；体会引入向量的重要意义。
教学重点：掌握向量概念及其表示方法，学会辨识图形中的相等向量、相反向量和平行向量。
教学难点：理解自由向量的含义。
教学过程：一、情景引入交流你接触过的既要考虑大小又要考虑方向的量（物理学中力的图示，重力、阻力等） 二、新课 （一）向量的定义1、 向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.2、 向量表示法：有向线段表示字母表示：AB ，a .3、向量的长度：向量的大小叫做向量的长度（向量的模）记做：||||AB a ，. 我们通常研究的向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与有向线段的起点位置无关。
通常所说的向量是自由向量。
（二）、相等向量、相反向量，平行向量例题1 如图，□ABCD 和梯形EFGH ，梯形中EF ∥HG . 图中有向线段都表示向量，它们的起点和终点分别是所在四边形的顶点.a1．用符号表示各个向量；2．每个四边形的对边上的两个向量，它们的方向是相同还是相反？它们的长度是否相等？相等向量：方向相同且长度相等的两个向量.（既要考虑方向，又要考虑长度）. 相反向量：方向相反且长度相等的两个向量.（既要考虑方向，又要考虑长度）. 平行向量：方向相同或相反的两个向量.（只要方向相同或相反，与长度是否相等无关）.相等、相反、平行向量的表示法：若向量→AB 与→DC 是相等向量，记作→AB =→DC 若向量→BC 与→DA 是互为相反向量，记作→BC =→-DA 若向量→EF 与→HG 是平行向量，记作→EF //→HG相等向量 相反向量 平行向量 方向 相同 相反 相同或相反 大小相等相等不一定相等分别用以上表示法，表示例1中两个图形向量间的关系. 思考：向量→AB 与→BA 是什么关系的向量？用符号表示出来. 概念辨析、1、相等向量一定是平行向量。
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平面向量及其加减运算教案【学习目标】1. 了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义.2. 理解向量的几何表示，掌握向量加、减运算，并理解其几何意义.3. 理解两个向量共线的含义.【要点梳理】要点一、平面向量1. 有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.要点诠释：uuur uuur（1）“有向线段AB”符号标记为AB ，且AB 表示点B 相对于点A的位置差别.（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.2. 平面向量的定义及表示（1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量. 其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.要点诠释：①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.③向量与有向线段的区别：（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.（2）向量的表示方法:rrr ①小写英文字母表示法: 如a,b,c,L 等.uuur uuur②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如AB,CD 等.（3）向量的分类：固定向量：有大小、方向、作用点的向量；自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.要点诠释：我们学习的主要是自由向量.3. 特殊的向量零向量: 长度为零的向量叫零向量.单位向量:长度等于1 个单位的向量. 相等向量: 长度相等且方向相同的向量.互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.平行向量: 方向相同或相反的非零向量，叫平行向量（平行向量又称为共线向量）.规定: 0 与任一向量共线.要点诠释：（1）零向量的方向是任意的，注意0r与0 的含义与书写的不同.（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（3）零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.要点二、平面向量的加法运算1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.2. 运算法则：（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量. 这样的规定叫做向量的加法的三角形法则. 如图：Ａuuur uuur uuur ＢAB BC AC（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.（3）平行四边形法则：如果a r、r b 是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与a r、b r相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就rr是a 、b 和的向量. 如图：Ａuuur uuur uuur ＢABAD AC要点诠释：r r r r r1. 两个向量的和是一个向量，规定a 0 0 a a .2. 可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.3. “向量平移” （自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.4. |a r | |b r | |a r b r | |a r | |b r |.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.3. 运算律：1）交换律： a b b a ； 要点三、向量的减法运算1. 定义： 已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法 .2. 运算法则：在平面内任取一点， 以这点为公共起点作出这两个向量， 那么它们的差向量是以减向量的 终点为起点、 被减向量的终点为终点的向量， 这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法 的三角形的法则 . 要点诠释：用加法法则来解决减法问题2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定a a 0.uuur3）与 AB 长度相等、方向相反的向量，叫做【典型例题】 类型一、向量的基本概念件；r r r r r r (3) 若 a b,b c ，则 a cr r r r r r(4) 两向量 a, b 相等的充要条件是 a b 且 a//b .【思路点拨】 对于有关向量基本概念的考查， 可以从概念的特征入手， 也可以从反面进行考 虑，要注意这两方面的结合 . 【答案与解析】解： （1） 不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由a rb r 推不出a b .uuur uuur uuurDC 且 AB// DC .又 A 、B 、C 、D 是不共线的四点，四边uuur uuur uuur uuur 形 ABCD 是平行四边形，则 AB//DC,AB DC 且 AB 与DC 方向相同 .因此AB DC .rr ab，则 a b ； 2）结合律： (a b) ca (b c)1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：uuur uuur AB ADuuur uuur uuur AB DA DB ，从而uuur uuurAB 的相反向量，即 ABuuur BA .(2) 若 A 、 B 、C 、D 是不共线的四点，则uuu r ABuD u C ur 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条uuur uuur (2) 正确， Q AB uuurDC,∴ AB. 判断下列各命题是否正确：(1) 若（3） 正确， Q a b,∴a, b 的长度相等且方向相同；又 Q b c,∴b, c 的长度相等且方向相同，r r r r ∴a , c 的长度相等且方向相同 .故 a c .的充要条件 .【总结升华】 我们应该清醒的认识到， 两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相 同，向量相等是可传递的 . 复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实 数运算区别开来 . 举一反三：【变式】下列说法正确的个数是 （ ）uuur uuur①向量 AB // DC ，则直线 AB// 直线 CD;②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等； uuur uuur ③向量 AB 既是有向线段 AB ；uuur uuur④在平行四边形 ABCD 中，一定有 AB DC .A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 【答案】 C类型二、向量的加法运算2. （2016?闵行区一模）如图，已知四边形 ABCD ，点 P 、Q 、R 分别是对角线 AC 、BD 和边 AB 的中点，设 = ， = ．1）试用 ， 的线性组合表示向量 ；（需写出必要的说理过程） 2）画出向量 分别在 ， 方向上的分向量．思路点拨】 （1）由点 P 、Q 、R 分别是对角线 AC 、BD 和边 AB 的中点，直接利用三角得答案；（4） 不正确，当 a r //b r 但方向相反时，即使 ab r ，也不能得到 a rrbrrr 不是 a b形中位线的性质，即可求得 ==﹣ ， ， = = ，再利用三角形法则求解即可求2）利用平行线四边形法则求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵点P、Q、R 分别是对角线AC、BD 和边AB 的中点，∴ = = ﹣，= = ，∴ = + = ﹣+ ；2）如图：与即为所求．【总结升华】此题考查了平行向量的加法运算．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．举一反三：【变式】求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形uuur uuur uuur uuur 已知：四边形ABCD中，AO OC，DO OB 求证：ABCD 是平行四边形.答案】证明：由向量的加法法则：Ｃuuur uuur uuur uuur uuur uuurAB AO OB ，DC DO OCuuur uuur uuur uuur uuur uuurAO OC ，DO OB ，∴ AB DC ，即线段AB与DC 平行且相等，∴ ABCD是平行四边形类型三、向量的减法运算3. 三角形两边中点的连线平行于第三边并且等于第三边的【答案与解析】已知：如图，ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.求证：DE //BC且DEB1证明：∵ D ， E 分别是边 AB ，AC 的中点，∴ AD AB ， AE2∴ DE AE AD 1(AC AB)1BC ，221∵D ， B 不共点，∴ DE//BC 且DE 1BC .2【总结升华】 两个向量相减， 则表示两个向量起点的字母必须相同； 向量的终点 .类型四、向量加减综合运算b ，∠ DAB ＝ 120°，且a思路点拨】 利用三角形法则和数乘运算， br3 ，求 a和ab r.量表示其他向量，本题的基底就是 a, 用向量法讨论几何问题， uuur uuur 由它可以“生”成AC,DB,L L .关键是选取适当的基向 答案与解析】 解：以 AB 、 AD 为邻边作平行四边形 uuur uuur由于 |AD | |AB | 3，故此四边形为菱形 由向量的加减法知 uuur r r uuur r rAC a b ，DB a buuur r r uuur r 故 | AC ||a b |，|DB | |a因为 DAB 120O，所以所以 ADC 是正三角形，则 |AC| 3DAC 60OuuurABCD ，由于菱形对角线互相垂直平分 , 所以 AOD 是直角三角形， 3 3 3uuur uuur o|OD| | AD |sin 60o 3 所以 |a【总结升华】 数乘向量外， 形或三角形中， 选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量， 运用向量加、 减法运算 及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、 平行四边形法则， 运用减法三角形法则， 充分利用三角形的中位线， 相似三角形对应边成比 例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 .用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功， 还应充分利用平面几何的一些定理， 因此在求向量时要尽可能转化到平行四边 选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量， 除利用向量加、 减法、 2 AC .差向量的终点指向被减举一反三：变式1】如图，已知点D,E,F分别是ABC三边AB, BC ,CA的中点，uuur uuur uuur r 求证：EA FB DC 0.证明：连结DE,EF,FD.因为D,E,F分别是ABC三边的中点，所以四边形ADEF 为平行四边形.uuur uuur uuur 由向量加法的平行四边形法则，得ED EF EA(1) ，uuur uuur uuur同理在平行四边形BEFD中，FD FE FB(2) ，uuur uuur uuur在平行四边形CFDE 在中，DF DE DC (3)将(1)(2)(3) 相加，得uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuurEA FB DC ED EF FD FE DE DF变式2】（2015?上海模拟）如图，已知向量、、，那么下列结论正确的是（【答案】D.解：A 、+ =﹣，故本选项错误；B、+ =﹣，故本选项错误；D 、+ = ﹣，故本选项正确．故选D ．uu u u u u u u uu uuruuuuuuurA．D．C、+ = ﹣，故本选项错误；答案】。