高等代数期末考试题A答案

高等代数课程 A 卷试题答案

一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分. 把正确答案填在题中横线上）

1. 8；

2.0；

3. 0；

4. ；

5. 1或；

6. ；

7. 2；

8. ；

9. 6；10. .

二、选择题（本题共10小题，每小题2分，满分20分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号(答题框)内）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910答案 A A C A C D C C B A

三、计算题（本题共2小题，每小题10分，满分20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1. 计算n阶行列式。

解：观察行列式，每一行只有一个而有个，于是将第2列，第3列，……，第列分别乘以1加到第1列，得

2. 设，，求。

解：

四、解答题（本题共2小题，第1小题15分、第2小题10分，满分25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

1.求非齐次线性方程组的通解(用导出组的基础解系表示)：

.

解对增广矩阵施行行初等变换

与原方程组同解的齐次线性方程组为

令，得到非齐次方程组的一个解

,

对应的齐次方程组（即导出方程组）为

（其中为自由未知量），

令，，得到对应齐次方程组的一个基础解系

，，

方程组的通解为

,其中为任意常数．

2. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组

α1(1 2 1 4)Tα2(9 100 10 4)Tα3(2 4 2 8)T

解　由

知r(α1α2α3)2 因为向量α1与α2的分量不成比例故α1α2线性无关所以α1α2是一个极大无关组

五、解答题（本题满分10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

求一个正交变换将二次型化成标准形.

解二次型的矩阵为由

得A的特征值为12 25 31

当12时, 解方程组(2E A)X0, 得特征向量α1(1 0 0)T

当25时解方程组(5E A)X0得特征向量(0 1 1)T将其单位化得

当31时解方程组(EA)X0得特征向量(0 1 1)T取将其单位化得

于是有正交矩阵Q(α1α2α3)和正交变换X Q Y使

六、证明题（本题满分5分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

设A是一个n阶正定矩阵，则正定。

证明:设A的n个特征值为。因A正定，故A的所有特征值都大于0，所以的所有特征值都大于1，因此