带电粒子在有界磁场中的临界,极值,多解问题

带电粒子在匀强磁场中的运动
---临界问题、极值问题与多解问题一、带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题
带电粒子在有界磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；
（2）当速率v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；
（3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间越长。

【例1】如图所示真空中狭长区域的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，宽度为d，速度为v的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD间夹角为θ．电子质量为m、电量为q．为使电子从磁场的另一侧边界EF射出，则电子的速度v应为多大?
二、带电粒子在有界磁场中运动的多解问题
1. 带电粒子电性不确定形成多解.受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，形成多解．
2. 磁场方向不确定形成多解．
3. 临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧形的，它可能穿过去，也可能转过１８０°从磁场的入射边界边反向飞出，于是形成多解．
4. 运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有重复性，形成多解．
【例2】 长为L ，间距也为L 的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，今有质量为m 、带电量为q 的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。

欲使离子不打在极板上，入射离子的速度大小应满足的条件是 ( )
A.m qBL v 4<
B.m qBL v 45>
C.m qBL v >
D.m
qBL v m qBL 454<< 【例3】如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场以MN 为边界，左侧磁感应强度为B 1，右侧磁感应强度为B 2，B 1=2B 2=2T ，荷质比为2×106C/kg 的带正电粒子从O 点以v 0=4×104
m/s 的速度垂直MN 进入右侧的磁场区域，求粒子通过距离O 点4cm 的磁场边界上的P 点所需的时间。

三、带电粒子在有界磁场中运动的出射范围问题
判定带电粒子的出射范围常用方法：
1．动态放缩法
当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v 大小或磁场的强弱B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r 随之变化。

在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。

如图所示，粒子进入长方形边界OABC 形成的临界情景为②和④。

2．定圆旋转法
当带电粒子射入磁场时的速率v 大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r 是确定的。

在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景。

【例4】如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0．60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子
的速度都是v=3．0×106m/s，已知α粒子的电荷与质量之比
q/m=5．0×107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，
求ab上被α粒子打中的区域的长度。

作业
1.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ=30°、大小为v0的带正电粒子．已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：（1）粒子能从ab边上射出的磁场的v0大小范围．
（2）如果带电粒子不受上述场大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．
2、如图所示，在xOy平面上，a点坐标为(0，l)，平面内有一边界通过a点和坐标原点O 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，有一电子(质量为m，电量为e)从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，恰好在x轴上的b点(未标出)射出磁场区域，此时速度方向与x轴正方向夹角为60°，求：
(1)磁场的磁感应强度；
(2)磁场区域圆心O1的坐标；
(3)电子在磁场中的飞行时间.。