10.2投影与直观图的画法

10.2 投影与直观图的画法

【知识网络】

1、投影，中心投影和平行投影的相关概念，并注意区分中心投影和平行投影。

2、简单组合图形三视图的画法,由三视图想象实物模型,并画模型草图。

3、用斜二测画法画直观图，掌握作图规则，了解平面图形的直观图与空间图形直观图的区别与联系。

4、掌握简单几何体的三视图、直观图之间的相互转化，了解正投影主要用于绘制三视图，中心投影主要用于绘画，斜投影主要用来作几何体的直观图。 【典型例题】

（ ）

（B ） （C ） 答案：C 。解析：由斜二测画法规则知。

（2）如图所示，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）

①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A ．④③② B ． ②①③ C ． ①②③ D ． ③②④ 答案：A 。解析：由三视图的画法知。

（3）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,则此几何体的外接球的表面积为（ ） A ．

π3

4 B ．π38 C ．

π3

16 D ．

π3

32 答案：C 。解析：由三视图知该几何体是底面半径为1。 （4）水平放置的△ABC 的斜二测直观图如下图⑴所示，已知2,3=''=''C B C A ，则AB 边上中线的实际长度为 。

答案：2.5。解析：根据直观图的画法规则易求。

（5）如上图⑵所示，用中心投影法作正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的透视图中，若只有一个消点S ，

且32

1

1=BB CC ，则=CD D C 11 。

答案：1。解析：由中心投影法的定义知。

x 'x '

例2：在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？

答案: 这些正方体货箱的个数为7个

例3：（1）如下图⑴所示，已知△ABC 在一个平面内的直观图是△C B A '''，则△ABC 的BC 边上的中线在这个平面内的直观图的作法是 。

⑴ ⑵

（2）如上图⑵所示，现有一水平放置的边长为1的正方形D C B A ''''，其中对角线C A ''在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积。 答案:（1）取C B ''的中点M '，连结M A ''即可。 （2）解：四边形ABCD 的真实图形如图所示。 ∵C A ''在水平位置，D C B A ''''为正方形，

∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ，且DA=2,22=''==''C A AC A D 。

∴22

=⋅=

AD AC S ABCD 四边形。

例4：一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视

图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.

（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼？试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面 角的余弦值.

答案： 解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的 正方形，高为CC 1=6，故所求体积是 72663

12

=⨯⨯=V

（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，

故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体， 其拼法如图2所示.

证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的 正方形，于是

D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立

（Ⅲ）方法一：设B 1E ，BC 的延长线交于点G ，

A '

B '

C ''

D '

B A

C D

正视图 侧视图

俯视图 A

B

C

D

C 1

图1

A

B C

D

D 1 A 1 B 1 C 1 图2

连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ， 连结HB 1，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与 平面ABC 所成二面角或其补角的平面角. 在R t △ABG 中，180=AG ，则

5

12

180

126=

⨯=

BH ，5

182

121=

+=

BB BH H B ， 3

2

cos 11==∠HB HB HB B ，

故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为3

2±

. 方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E （0，0，3），B 1（0，6，6），A （6，6，0）. 设向量n =（x ，y ，z ），满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，

于是⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ，解得⎪⎩

⎪⎨⎧-==z y z

x 21.

取z =2，得n =（2，-1，2）. 又=1BB （0，0，6），3

2

1812,cos 111==

>=

2±

. 【课内练习】

1．一个圆柱随位置放置不同其主视图可能发生变化，但不可能是下面的那一个？（ ） A ．长方形 B. 圆 C. 正方形 D.三角形 答案: D 。

2．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。

以上结论，正确的个数是 （ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 答案：B 。解析：①②正确。

3．下列说法错误的是 （ ） A 、正投影主要用于绘制三视图 B 、在中心投影中，平行线会相交 C 、斜二测画法是采用斜投影作图的 D 、在中心投影中最多只有一个消点 答案：D 。解析：在中心投影中可以有多个消点。

4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为_______。

答案：2和32。

5．一个几何体的三个视图都是全等的正方形，则这个几何体是_______;一个几何体的三视图都是半径相等的圆，则这个几何体是_______.

答案:正方体；球。

主视图 俯视图

左视图