第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数剖析
常微分方程的常见解法
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
常微分方程的级数解
常微分方程的级数解在科学研究中，经常需要解含有未知函数的导数的方程，这就是微分方程。
如果方程中只含有对未知函数的一个自变量的导数，这个方程就被称为常微分方程，如果方程中含有对未知函数的多个自变量的导数，这个方程就是偏微分方程。
求解微分方程的基础是求解常微分方程，含有任意个自变量的偏微分方程可以通过某种途径转化成多个常微分方程。
在常微分方程中，最常见的是二阶常微分方程，即含有对未知函数的自变量求二阶导数的微分方程。
在二阶微分方程中，二阶线性齐次常微分方程又是最基本的微分方程，因此，我们来讨论这种最基本的常微分方程。
二阶线性齐次常微分方程具有如下的标准形式：其中对自变量的最高阶导数是二阶导数，它前面的系数等于1。
对于更高阶的微分方程，也会写成类似这样一种标准形式，它能够直接告诉我们这个方程的最高阶导数项是哪一阶导数。
在二阶常微分方程的这个标准形式中，如果两个系数在某点都是解析的，该点就叫做方程的常点；如果至少有一个系数在某点不解析，该点就叫做方程的奇点。
对于无穷远点，必须作变换 t=1/z，由此得到 dt/dz=-t²，利用这个结果将对 z 求导数转换成对 t 求导数。
对 z 求一阶导数是这样转换的：对 z 求二阶导数是这样转换的：把它们代入以z 为自变量的标准方程中，得到一个以t 为自变量的方程：稍作整理后将其化成标准形式：引入两个新的函数：就能够明显地看出，上述方程具有二阶常微分方程的标准形式，只不过自变量由 z 变成 t 吧了：现在，只要按照前面的方式，考察t=0 点的特性，就可以对无穷远点的奇异性做出判断。
一个简单的例子是勒让德方程，这是在科学研究中经常遇到的一个常微分方程，许多微分方程经过一系列数学变换最终都可以化为勒让德方程：把这个方程改写成标准形式，就得到两个系数：显然，在z=±1 这两个点，两个系数不解析。
对于无穷远点，方程的两个系数具有以下形式：我们看到，t=0 是其中一个系数的奇点。
常微分方程总结
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。
注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
常微分方程的数值解与解析解
一、 常微分方程的解析解常微分方程的解析解也就是常微分方程的精确解，也称为常微分方程的符号解；一般可理解为求微分方程的通解或者特解的解析式或表达式；但只有少数的微分方程存在解析解。
在MA TLAB 中，由函数dsolve()求解常微分方程（组）的解析解，其具体格式如下： X=dsolve(‘方程1’，‘方程2’，…‘方程n ’，‘初始条件’，‘自变量’)函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。
例1：求解常微分方程1dy dx x y =+的MA TLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')，注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。
结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。
例2：求解常微分方程2'''0yy y -=的MA TLAB 程序为：Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’) 结果为：Y2 =[ exp((x+C2)/C1)][ C2]我们看到有两个解，其中一个是常数。
例3：求常微分方程组253t tdx x y e dt dy x y e dt ⎧++=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩通解的MA TLAB 程序为：[X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t')例4：求常微分方程组020210cos ,224,0t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt =-=⎧+-==⎪⎪⎨⎪++==⎪⎩通解的MA TLAB 程序为：[X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0')二、 常微分方程的数值解在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。
高等数学 第八章 常微分方程
第八章 常微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根．2． 基本公式一阶线性微分方程 ()()y P x y Q x '+=的通解公式:()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰． 3． 基本方法分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法． 4． 定理齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构． 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以 )0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x yy d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln y x C =-+， 1ex C y -+=，1e e C x y -=±，所以 exy C -= （C 为任意常数）．请思考为什么所求通解 e x y C -= 中的任意常数C 可以为零，如何解释． 问题2 如何用微分方程求解一些实际问题？解析 用微分方程求解实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程．这首先要根据实际问题所提供的条件，选择和确定模型的变量．再根据有关学科，如物理、化学、生物、几何、经济等学科理论，找到这些变量所遵循的定律，用微分方程将其表示出来．为此，必须了解相关学科的一些基本概念、原理和定律；要会用导数或微分表示几何量和物理量．如在几何中曲线切线的斜率 xy k d d =（纵坐标对横坐标的导数），物理中变速直线运动的速度 d d s v t=，加速度 22d d d d ts tv a ==，角速度 tw d d θ=，电流 tq i d d =等．例2 镭元素的衰变满足如下规律；其衰变的速度与它的现存量成正比，经验得知，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，试求镭现存量与时间t 的函数关系．解 设t 时刻镭的现存量()M M t =，由题意知：0(0)M M = ，由于镭的衰变速度与现存量成正比，故可列出方程kM tM -=d d ，其中(0)k k >为比例系数．式中出现负号是因为在衰变过程中M 逐渐减小，0d d <tM ．将方程分离变量得ektM C -=，再由初始条件得00e M C C ==， 所以0ektM M -=，至于参数k ，可用另一附加条件 2)1600(0M M =求出，即160000e2k M M -⋅=，解之得k =≈ln .216000000433，所以镭的衰变中，现存量M 与时间t 的关系为0.0004330etM M -=．三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为01,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0，特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin c y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为y x A x B x p =+(c o ss i n )， 代入原方程，可得1,02A B =-= 所以y x x p =-12cos ，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()cos ()sin xn h f x P x x P x x αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =．解二 方程''+=y y x sin 所对应的齐次方程''+=y y 0之通解y C x C x C =+12cos sin ．为求''+=y y x sin 的一个特解，先求辅助方程 i e e (0i )x xy y λλ''+===+ ①的特解，由于i λ= 恰是特征单根，故可设i e xp y Ax =为①的一个特解．将其代入①整理得2i 1A = 即i 2A =-，所以i i i 11e(c o s i s i n )s i n i (c o s)2222xp y x x x x x x x x =-=-+=-， 即y x x *cos =-12为方程''+=y y x sin 的一个特解．因此，所求通解为y C x C x x x =+-1212cos sin cos ．该方法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项()()ecos xm f x P x x αβ=或()()e sin x m f x P x x αβ=时，可先令()()e x m f x P x λ=(i λαβ=+)按λ是否为特征方程的特征根（λ是特征根设1k =，不是特征根设0k =），可设()e kxp m y x Q xλ=为方程()e xm y py qy P x λ'''++=的特解，求出12i p y y y =+的形式，则y 1为''+'+=y py qy ()e cos x m P x x αβ的一个特解， y 2 为''+'+=y py qy ()e sin x m P x x αβ的一个特解． 上述两种解法，实质上是一样的，为什么？四、练习题1． 判断正误（1）若y 1和y 2是二阶齐次线性方程的解，则1122C y C y +（C 1，C 2为任意常数）是其通解 ； （ ⨯ ）解析 只有1y 和2y 是二阶齐次线性方程的两个线性无关的解时，其线性组合1122C y C y +才是通解．（2）'''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=； （ ⨯ ） 解析 '''+''-=y y x 0为三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次线性方程为0=''+'''y y ，由于齐次线性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函数y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．因此，'''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=．（3）方程''-'=y y x sin 的特解形式可设为x B x A sin cos +（Ａ，Ｂ为待定系数） ；（ √ ）解析 对应的齐次方程为0='-''y y ，特征方程为02=-r r ，特征根为 1r =0，2r =1． 又因为1,0==βα,i i αβ±=±不是特征根，于是，非齐次方程的特解应设为x x Q x x P y p s i n )(c o s )(00+== x B x A sin cos +．（4）'=y y 的通解为e xy C =（C 为任意常数）． （√ ）解析 特征方程为01=-r ，特征根为r =1，所以，特征方程的通解为e x y C =．2．选择题（1）2(1)e xy y y x '''-+=+的特解形式可设为（ A ）；(A)2()e x x ax b + ； (B) ()e x x ax b +；(C) ()e xa xb +； (D) 2)(x b ax +．解析 特征方程为0122=+-r r ，特征根为 1r =2r =1．λ=1是特征方程的特征重根，于是有2()e xp y x ax b =+．（2）2e sin x y y y x -'''++=的特解形式可设为（ C ）；(A) e sin x A x -； (B) 2e sin x Ax x -； (C) e (sin cos )x A x B x -+； (D) )cos (sin 2x x Ax +．解析 特征方程为 0122=++r r ，特征根为 1r =2r =1-．又因为1,1=-=βα，i 1i αβ±=-±不是特征根，于是，非齐次方程的特解设为)cos sin (x B x A e y xp +=-．（3）22e cos x y y y x -'''++=的特解形式可设为（ A ）；(A) (cos sin )e x x A x B x -+； (B) e cos x Ax x -；(C) e sin x Ax x -； (D) (cos sin )e x Ax x x -+．解析 特征方程为0222=++r r ，特征根为 1r =1i -+，2r =1i --．又因为1α=-，1β=，i 1i αβ±=-±是特征方程的特征单根，于是，非齐次方程的特解设为 e(c o s s i n xp y x A x B x -=+．（4）下列方程中，通解为12e e x xy C C x =+的微分方程是（ A ）．(A) 02=+'-''y y y ； (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 ； (D) '=y y ．解析 由通解y =12e e x x C C x +=12()e xC C x +可知，它是二阶常系数齐次线性微分方程的通解，方程的特征根为重根1r =2r =1，对应的特征方程为0122=+-r r ，其所对应的二阶常系数齐次线性微分方程为02=+'-''y y y ．３．填空题（１） 方程 '''+'=y y 0的通解为 123cos sin C C x C x ++；解 特征方程为03=+r r ，特征根为1r =0，2r =i ，3r =i -，方程的通解为 y =123cos sin C C x C x ++． (2)''+'+=y py qy 0的特征方程为 02=++q pr r ；解 特征方程是把微分方程中的未知函数y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．（3）''=y x 2sin 的通解为 122sin x C x C -++ ； 解 方程两边积分得 y '=2sin d x x ⎰=12cos x C -+， 微分方程的通解 1(2c o s )d y x C x =-+⎰=122sin x C x C -++．（４）''-'+=y y y 567满足670==x y和'=-=y x 01的特解为 237ee6xx-+ ．解 对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，特征方程为0652=+-r r ，特征根为1r =2，2r =3，对应齐次方程的通解为2312eexxc y C C =+．由于λ=0不是特征方程的根，故设00()ee xxp y Q x A ==，将()Q x A =，0)()(=''='x Q x Q 代入方程，有6A =7， 即 A =67．于是方程的特解为 67=p y ，方程的通解为 23127=e +e6xxy C C +．现在求满足初始条件的特解．对y 求导得23122e 3e x xy C C '=+，将初值代入y 与y '，有121277(0),661(0)23,y C C y C C ⎧⎪==++⎨'-==+⎪⎩即 {12120,231,C C C C +=+=- ⇒{121,1,C C ==- 于是，方程满足初始条件的特解为y =237e e 6x x -+．4． 解答题(1) 用两种方法求解 ''=-'y x y 2；解一 对应的齐次方程为02='+''y y ，特征方程为 022=+r r ，特征根为 1r =0，2r =2-，于是对应的齐次方程的通解为c y =212exC C -+．由于λ=0是特征方程的特征单根，于是设p y =0()e x Q x =x(Ax+B)0e x ， 求导得 B Ax x Q +='2)(， A x Q 2)(=''， 则有 x B Ax A =++)2(22， ⇒ 1,41,4A B ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 所以方程的特解为 p y =)414(-x x ，所求方程的通解为 y =212exC C -++442x x-．解二 设)(x p y ='，则)(x p y '=''，原方程变形为 p x p 2-='，对应的齐次方程为 02=+'p p ，用分离变量法，得d 2d p x p=-，两边积分，得 l n 2l n p x c=-+， 即2e xp c -=， 根据常数变易法，设2()exp c x -=，代入p x p 2-='，有2()exc x x -'=， 2()e,xc x x '=积分得 2()ed xc x x x=⎰=21de2xx ⎰=2211ee d 22xxx x -⎰=22111ee24xxx C -+，变形后所得一阶微分方程的通解为 p =211e 24xx C --+，所以，原方程的通解为 y =()d p x x ⎰=211(e)d 24xx C x --+⎰=212exC C -++442x x-．(2) 求方程 ''+=y y x x cos 2满足10==x y，019x y ='=-的特解；解 对应的齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为1r =i ，2r =i -，对应的齐次方程的通解为c y =12cos sin C x C x +．先求辅助方程2i e x y y x ''+=的特解：由于λ=2i 不是特征方程的特征根，于是设p y =2i ()e x Q x =)(B Ax +2i e x ，A x Q =')(， 0)(=''x Q ，则有 4i 3()A Ax B x -+= ⇒ 1,34i,9A B ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以，辅助方程的特解为p y 14(i)(cos 2i sin 2)39x x x =--+1414(cos 2sin 2)(sin 2cos 2)i 3939x x x x x x =-++--，于是原方程的特解为 p y =x x x 2sin 942cos 31+-， 所求方程的通解为 y =12cos sin C x C x +14cos 2sin 239x x x-+．现在求满足初始条件的特解．对通解求导数，得='y 12128sin cos cos 2sin 2cos 2,339C x C x x x x x -+-++由初始条件10==x y ，019x y ='=-，带入上面两式，得121,2,3C C =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以，满足初始条件的特解为 x x y sin 32cos -=14cos 2sin 2.39x x x -+(3) 求方程 (e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=的通解； 解 整理得 e (e 1)d e (e 1)x y yxx y -=-+，用分离变量法，得eed de 1e 1yxyxy x =--+，两边求不定积分，得 l n (e 1)l n (e 1)l y xC -=-++，于是所求方程的通解为 e 1e 1yxC-=+，即 e 1e 1yxC =++．(4) 求()y x y y 2620-'+=的通解；解 分离变量，得 2d 2d 6y y xx y=-，取倒数，有2d 613d 22x x y x y yyy-==-，是x 关于y 一阶线性微分方程．求此方程的通解．对应的齐次方程为d d x y=3yx ，用分离变量法，得 d x x=3d y y，两边积分，得 l n 3l n l n x y c =+， 即 3x c y =，用常数变易法，设方程的解为x =3()c y y ，代入方程，有31()2c y y y '=-， 即 21()2c y y'=-，积分，得 ()c y =12C y+，所以，方程的通解为 x =2312y C y +．(5) 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37C 。
(整理)常微分方程(含解答)
第八章 常微分方程【教学要求】一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。
二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。
三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的解法——常数变易法和公式法。
四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。
五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。
会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。
六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'')(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。
所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。
关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。
【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。
【典型例题】。
的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+''2.1.B A 4.3.D C 解：B。
的特解形式是微分方程例)(e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++解：C是一阶线性微分方程。
下列方程中例)(,3 x x y y x B y A yx cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0.解：B ⎩⎨⎧=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ⎰⎰-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得c x y y ln ln 1ln+-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=⇒=c yx y y 211=+ 的特解。
常微分方程数值解法5262115页PPT文档
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
150 100
令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
50 0 0
30 20 10
0 0
10
20
50
30
20
10
0
30
0
10
8
6
4
2
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0
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高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )
第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
2019/2/17 第八章 4
2勒让德方程
( 1 x ) y 2 x y l ( l 1 ) y 0 , x0=0.
[在第十二章“球坐标系下的分离变数法”中，勒让德多项式和球 函 数要用此处结果，在那里 1)同一般形式比较
2
] l(l 1) 取值待定、而 xcos
k 0
k 0
将以上诸式代入勒让德方程，得
( k 2 )( k 1 ) c k ( k 1 ) 2 k k k
k ( k 1 ) l ( l 1 ) ( k l )( k l 1 )
k 0 或 2
k 2 x y 2 kc x k k 0
k 0
l k k ( k 2 )( k 1 ) c x ( l 2 )( l 1 ) c x l( l 1 )y l ( l 1 ) c x l 2 k 2 k l 0
x k 的系数： … ) (k 0 , 1 ,2 ( k 2 )( k 1 ) c ( k l )( k l 1 ) c 0 k 2 k
↓
∴
( k l )( k l 1 ) c c k 2 k ( k 2 )( k 1 )
第八章 6
2019/2/17
( 2 k 1 l ) ( 3 l )( 1 l )( l 2 )( l 4 ) ( l 2 k ) c 2 k 1 1 2k 1 2k 1 x y 1 x 1 ( 2 k 1 )! k 1 k 1 c 1
2019/2/17
第八章
7
4)讨论：解在 x 1 上是绝对且一致收敛的，在物理上需要考虑 处的收敛问题，P151具体论证了y0(x)在x=1发散 x 1 y ( x ) 及 y ( x ) 在 x 1 都发散 . 0 1 所以,要求 y x 1 有限值,是数学问题有物理意义的必然要求. c 0 ，y0(x)退化为l=2n次多项式, y1(x) l 2n, c 2 ( n 1 ) 2 ( n 2 ) 仍发散舍去； y1(x)退化为l=2n+1次 c .... 0 , ：c l 2 n 1 2 ( n 1 ) 1 2 ( n 2 ) 1
微积分-常微分方程解题方法
北京理工大学微积分-常微分方程解法常微分方程各种解题方法程功2011/2/161.几个基本定义（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数分类2:微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程(,,)0,F x y y '=(,);y f x y '=高阶()n 微分方程()(,,,,)0,n F x y y y '= ()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=分类3: 线性与非线性微分方程.()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+=分类4: 单个微分方程与微分方程组.32,2,dyy z dxdz y z dx⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,y y '=例;x y Ce =通解0,y y ''+=12sin cos ;y C x C x =+通解② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （3）解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.（4）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一阶:00(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩过定点的积分曲线;二阶:0000(,,),x x x x y f x y y y y y y =='''=⎧⎪⎨''==⎪⎩过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.2.可分离变量的微分方程可分离变量微分方程的形式()()g y dy f x dx =44225522,dy x y y dy x dx dx-=⇒=例如解法：设函数()g y 和()f x 是连续的,()()g y dy f x dx =⎰⎰设函数()G y 和()F x 是依次为()g y 和()f x 的原函数,()()G y F x C =+为微分方程的解.3.齐次方程形如()dy yf dx x=的微分方程称为齐次方程. 解法：作变量代换,y u x =,y xu =即,dy duu x dx dx∴=+ 代入原式(),du u x f u dx += 即().du f u u dx x-=（可分离变量的方程） （1）()0,f u u -≠当时1ln ,()duC x f u u=-⎰得),u x Ce ϕ=即()()du u f u uϕ=-⎰（）,yu x =将代入(),yx x Ce ϕ=得通解 （2）0,u ∃当00()0,f u u -=使0,u u =则是新方程的解,代回原方程0.y u x =得齐次方程的解 4．可化为齐次的方程 定义111()dy ax by cf dx a x b y c ++=++形如的微分方程 10,c c ==当时为齐次方程.否则为非齐次方程. 解法：,x X h y Y k =+=+令，（其中h 和k 是待定的常数）,dx dX dy dY ==11111()dY aX bY ah bk c f dX a X b Y a h b k c ++++=++++1110,0,ah bk c a h b k c ++=⎧⎨++=⎩ （1）1122a b a b ≠有唯一一组解.11()dY aX bYf dX a X b Y +=+得通解代回,X x h Y y k =-⎧⎨=-⎩， （2）11,a b a b λ==1(),()dy ax by c f dx ax by c λ++=++方程可化为,z ax by =+令 dz dy a b dx dx =+则，11()().dz z c a f b dx z c λ+-=+可分离变量. 5.其它类型：通过变量代换化为可分离变量方程(1)()()()f x y dx dy g x dx ±±=,u x y =±令,du dx dy =±方程化为()()f u du g x dx = (2)()()()f xy xdy ydx g x dx +=,u xy =令,du xdy ydx =+代入方程得()()f u du g x dx =(3)()()()y f xdy ydx g x dx x -=,y u x =令则2,xdy ydx du x -=代入方程得2()()g x f u du dx x=22(4)()()()f x y xdx ydy g x dx ++=22,u x y =+令 则22,du xdx ydy =+代入方程得()2()f u du g x dx =6.线性方程一阶线性微分方程的标准形式:()()dyP x y Q x dx+= ()0,Q x ≡当上方程称为齐次的.()Q x ≡当0,上方程称为非齐次的. 例如2,dy y x dx =+2sin ,dx x t t dt=+线性的; 23,yy xy '-=cos 1,y y '-=非线性的。
高中数学备课教案解常微分方程的方法总结
高中数学备课教案解常微分方程的方法总结高中数学备课教案：解常微分方程的方法总结一、前言在高中数学备课中，解常微分方程是一个重要的教学内容。
本文将总结常微分方程的解法，并提供相关的教学建议，以帮助教师在备课过程中更好地应对这一内容。
二、常微分方程基础知识回顾在解常微分方程之前，我们首先需要回顾常微分方程的基础知识。
1. 定义：常微分方程是指含有未知函数及其导数的方程。
2. 一阶常微分方程：常微分方程中最低阶导数为一阶导数的方程。
3. 解的存在唯一性定理：满足一定条件的初值问题常微分方程存在唯一解。
三、解常微分方程的方法总结解常微分方程的方法主要包括以下几种：1. 分离变量法分离变量法是解常微分方程中最常用的方法之一。
其基本思想是将方程中的未知函数和导数分离到等式的两边，再对两边进行积分，得到方程的通解。
2. 齐次方程法对于齐次方程，我们可以进行变量替换，将未知函数转化为新的函数，从而简化方程的形式。
这样一来，我们可以使用分离变量法来求解。
3. 恰当方程法对于一些特殊形式的常微分方程，如果可以找到一个函数，使得方程左右两边乘以这个函数后，变成一个全微分形式，那么我们就可以使用恰当方程法来解。
4. 变量替换法有时候，我们可以通过合理的变量替换，将原方程转化为一些已知的常微分方程，从而方便我们求解。
5. Bernoulli方程法对于一些形如y' + P(x) * y = Q(x) * y^n的方程，我们可以通过变量替换，将其转化为一阶线性方程，进而求解。
6. 常系数线性方程法对于一些形如y'' + ay' + by = f(x)的常系数线性方程，我们可以使用特征方程法求解。
7. 参数化方程法对于一些高阶常微分方程，我们可以通过参数化的方法将其转化为一组一阶常微分方程，从而求解。
四、教师备课建议在备课过程中，教师应注意以下几点：1. 基础知识的梳理：备课前，教师应对相关的基础知识进行复习和总结，确保自己对常微分方程的概念和解法有清晰的理解。
第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
把方程的解表示为以 x0 为中心、带有待定系数的幂级 数，将这个幂级数代入方程及定解条件，求出所有待定系 数即可得该方程的解。 说明：
①级数解法是一个普遍的方法，对方程无特殊的要求。 ②对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。
③用级数解法要选定某个点 x0 作展开中心， 得到的解是 以 x0 为中心的幂级数。 ④必须确定幂级数的收敛圆， 级数解只在收敛圆内部才 4 有意义。
c2 n 2
( 2n l )( 2n l 1) c2 n ( 2n 2)( 2n 1)
设有级数 u ，如果（至少当 n 充分大时）
un 1 1 O ， un 1 n n
u n 收敛；而当 1 时， u n 发散。 则当 1时， n 1 n 1 由于解 y x c0 y0 x c1 y1 x 中只要有一项是发散的则解是发散的，所 以下面仅讨论 y0 (1) 的敛散性。 un 即在 x 1 处的递推系数 c2 n .由递推关系 对于 y0 (1) 的勒让德的级数，
q( x) bn ( x x0 )n ,
n 0
y( x) cn ( x x0 )n
n 0
其中an,bn(n=0,1,2,…)是已知的，c0和c1由附加条件给出，而 cn(n=2,3,4…)待定。 ② p(x),q(x)和y(x)的泰勒级数展开代入微分方程（8.1）式 得
n2 n
改写上式第一项,即令k=n-2
k k 0
n n n ( k 2)( k 1) c x n ( n 1) c x 2 nc x l ( l 1) c x k 2 n n n 0
08 二阶线性常微分方程的级数解法
理学院 邓胜华
08:19:21
第 8 章 二阶常微分方程级数解法
(2l )! 通常约定：用适当的常数乘多项式，使最高羃次项系数 al l 2 (l !) 2 (k 2)(k 1) 反用系数递推公式 ak ak 2 可得 (k l )(k l 1) (2l 2k )! al 2 k (1) k l 2 k !(l k )!(l 2k )!
11/2/2015
DENG S.H
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理学院 邓胜华
08:19:21
第 8 章 二阶常微分方程级数解法
2k 2 k 1 y a x a x 通解： 2k 2k 1 a0 y0 ( x) a1 y1 ( x)
其中特解：
y0 b2 k x ,
2k k 0
(2k 2 l ) ( l )( l 1) ( l 2k 1) b2 k (2k )! (2k 1 l ) (1 l )( l 2) ( l 2k ) , b2 k 1 (2k 1)!
y1 b2 k 1 x
k 0
2 k 1
性质：
( 1)
k
1 2k 2
k 0
( 1)
k
k !(2k 1)(2k 1)
1 5 31 π 2
k
2
x
1 2k 2
2x ( 1)k y1 J1 2 ( x ) k 0 2k (2k 2) 4 2 (2k 1)(2k 1) π
y k 0 ak x s k
令各幂次项系数为零，并取 a0≠0，则得
k 0 ( s 2 2 )a0 0 判定方程：s 2 2 0， s k 1 [( s 1)2 2 ]a1 0 a1 0
浅谈线性微分方程的若干解法
浅谈线性微分方程的若干解法【摘要】线性微分方程是微积分中的重要内容，解析解与数值解是两种常见的求解方式。
本文将从常系数和变系数线性齐次微分方程的解法入手，介绍了特解的求解方法。
然后深入探讨了常系数和变系数线性非齐次微分方程的解法，并比较了不同类型线性微分方程的求解方法。
结合实际问题讨论了线性微分方程的解法选择。
通过本文的学习，读者可以更全面地了解线性微分方程的若干解法，从而更好地解决相关问题。
【关键词】线性微分方程、解析解、数值解、常系数、变系数、齐次微分方程、非齐次微分方程、特解、求解方法、比较、解法选择。
1. 引言1.1 线性微分方程的基本概念线性微分方程是微积分学中一个重要的分支，它广泛应用于物理、工程、经济等领域。
线性微分方程的基本概念可以简单概括为含有未知函数及其导数的线性组合等于已知函数的微分方程。
未知函数通常代表某个物理量或者变量，而已知函数则是对未知函数的约束条件。
线性微分方程可以分为常系数线性微分方程和变系数线性微分方程两种类型。
常系数线性微分方程的特点是系数不随自变量而变化，而变系数线性微分方程则相反，系数是自变量的函数。
对于线性齐次微分方程，当右端为零时，即为齐次方程，否则为非齐次方程。
而解析解与数值解的区别在于，解析解是通过解析方法得到的一个公式表达式，而数值解则是通过数值计算方法近似得到的解。
理解线性微分方程的基本概念对于学习和应用微分方程至关重要。
通过掌握线性微分方程的基本概念，我们可以更好地理解和应用不同类型的线性微分方程的解法。
在接下来的内容中，我们将详细讨论常系数和变系数线性微分方程的解法以及特解的求解方法，帮助读者更深入地了解线性微分方程的解题技巧和方法。
1.2 解析解与数值解的区别解析解与数值解是两种不同的求解线性微分方程的方法。
解析解是通过数学分析和求解得到的精确解，通常以具体的函数形式表示。
而数值解则是通过数值计算方法得到的近似解，通常以数值形式表示。
解析解的优点在于能够给出精确的解析表达式，可以直接得到解的性质和特点。
常微分方程初步解析
常微分方程初步解析一、引言常微分方程是描述自变量仅有一个、导数只涉及到单个未知函数的微分方程，是数学中重要的研究对象。
通过对常微分方程的解析，可以揭示自然界中众多现象的规律，对于物理学、生物学以及工程等领域都具有重要意义。
二、常微分方程的定义常微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
最基本的形式可以表示为：$$F(x, y, \\frac{dy}{dx}, \\frac{d^2y}{dx^2}, ..., \\frac{d^ny}{dx^n})=0$$其中F为关于自变量x、未知函数y及其导数的函数。
三、常微分方程的分类根据微分方程中包含的未知函数和导数的阶数，常微分方程可以分为一阶微分方程、二阶微分方程等多种类型。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是最简单的一类微分方程，在表达式上可以表示为：$$\\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$2. 二阶微分方程二阶微分方程是包含到二阶导数的微分方程，通常可以写为：$$\\frac{d^2y}{dx^2} = f(x, y, \\frac{dy}{dx})$$四、常微分方程的解法求解常微分方程的过程通常可以分为解析解法和数值解法。
1. 解析解法解析解法是通过数学分析得出微分方程的解的方法。
对于一些简单的微分方程，可以通过积分、分离变量等方法求出解析解。
2. 数值解法对于一些复杂的微分方程或无法直接得到解析解的微分方程，常常使用数值方法来近似求解。
数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等，通过计算机进行数值计算得到微分方程的数值解。
五、常微分方程的应用常微分方程具有广泛的应用价值，包括但不限于：•物理学领域：描述物体的运动、电路中电流变化等•生物学领域：描述生物种群的增长、荷尔蒙分泌规律等•工程领域：控制系统的建模、机械振动分析等六、结论通过对常微分方程的初步解析，我们可以了解微分方程的基本概念与分类、解题方法以及应用价值。
不同类型的微分方程需要采用不同的解法，常微分方程在自然科学和工程技术等领域有着广泛的应用前景。
常系数线性微分方程的解法PPT课件
2、复值函数在点有导数的定义
如果 lim z(t) z(t0 )
t t0
t t0
极限存在，就称z(t)在t 0
微）,且记此极限dz为(t0 ) dt
z或(者t0 )
。
点有导数（可
显然z(t) 在t 0 处有导数相当于(t) ,(t) 在t 0 处有导数，且
dz(t0 ) d(t0 ) i d(t0 )
x 化 为ye第一1t 种情况。
再构成线性无关的函数组：
e1 t , te1 t , t e2 1 t , , t k1 e 1 1 t
第22页/共63页
特征根 2 , 3 ,,的重m数分别为：
k2 , k3,, km ; ki 1
则有线性无关的函数组：
e1 t , te1 t , t 2e1 t , e2t , te2t , t e2 2t , emt , temt , t 2emt ,
(n a1n1 an1 an )et F ()et
要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
第16页/共63页
于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]
dt
dt
dt
第7页/共63页
3、复值函数的微分运算性质
dz dt
[ z1 (t )
z2
(t)]
dz1(t) dt
dz2 (t) dt
线性性
dz dt
[c
z1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
乘积性
常微分方程的常见解法
Euler折线法
近似导数
y(x0)
y(x1) h
y( x0 )
记为
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
解:设t时刻雪球的体积为
，表面积为 ，
由题得
球体与表面积的关系为
引入新常数
再利用题中的条件得
分离变量积分得方程得通解为
再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。
方程为全微分方程的充要条件
定理2.1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则
是全微分方程的充要条件为:
（2.3.3)
nan (x x0 )n1
f
x,
an
(
x
x0
)n
n1
n0
展开后比较两端同次幂的系数确定
an ,
y
y0
N n1
cn1 (x n
x0 )n
例：用待定系数法求
dy x2 y2 ,
的近似解。
dx
y(0) 1
解： 令 y a n (x x0 )n, 由 y (0) 1 得 a0 1 n0
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
常微分方程数值解法
第八章 常微分方程数值解法教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法：Euler 方法、Taylor 方法和Runge-Kutta 方法；2. 掌握解常微分方程的多步法：Adams 步法、Simpson 方法和Milne 方法等；3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步法的稳定性。
教学重点及难点 重点是解常微分方程的单步法：Euler 方法、Taylor 方法和Runge-Kutta 方法和解常微分方程的多步法：Adams 步法、Simpson 方法和Milne 方法等；难点是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定性。
教学时数 20学时 教学过程§1基本概念1．1常微分方程初值问题的一般提法常微分方程初值问题的一般提法是求函数b x a x y ≤≤),(，满足⎪⎩⎪⎨⎧=<<=)2.1()()1.1(),,(αa yb x a y x f dx dy其中),(y x f 是已知函数，α是已知值。
假设),(y x f 在区域},),{(+∞<≤≤=y b x a y x D 上满足条件： （1）),(y x f 在D 上连续； （2）),(y x f 在D 上关于变量y 满足Lipschitz 条件：2121),(),(y y L y x f y x f -≤-，21,,y y b x a ∀≤≤ （1.3）其中常数L 称为Lipschitz 常数。
我们简称条件（1）、（2）的基本条件。
由常微分方程的基本理论，我们有：定理1 当),(y x f 在D 上满足基本条件时，一阶常微分方程初值问题（1.1）、（1.2）对任意给定α存在唯一解)(x y 在],[b a 上连续可微。
定义1 方程（1.1）、（1.2）的解)(x y 称为适定的，若存在常数0>ε和0>K ，对任意满足条件εδ≤及εη≤∞)(x 的δ和)(x η，常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+=<<+=δηa a z b x a x z x f dx dz)(),(),(（1.4）存在唯一解)(x z ，且}.{)()(δη+≤-∞∞K x z x y适定问题的解)(x y 连续依赖于（1.1）右端的),(y x f 和初值α。
线性常微分方程的级数解法
第四章线性常微分方程的级数解法4.1 常点邻域之级数解法 ① 常点邻域的级数解概念---- （二阶线性常微分方程的一般形式）0)()(=+'+''w z q w z p w (4.1)----（常点概念） 对于式(4.1)中,若)(z p 与)(z q 在某点及其邻域内解析,则称此点为常点；反之,若)(z p 与)(z q 至少一个在该点不解析,则称此点为奇点。
----（常点邻域内解的存在定理） 若)(z p 与)(z q 在Rz z <-0内单值解析,则方程(4.1)在R z z <-0内存在单值唯一的解析解。
----（常点0z 邻域内之级数解的一般形式） 若)(z p 与)(z q 在R z z <-0内单值解析,则对于式(4.1),可设级数解∑∞=-=00)(n n n z z a w ,再将)(z p 与)(z q 在R z z <-0内展为泰勒级数,代入式(4.1)以确定级数解之待定系数。
② 勒让德方程之级数解----（勒让德方程形式）0)1(2)1(2=++'-''-y l l y x y x (4.2) ----（在常点0=x 邻域内的级数解） 分析： 由12)(2-=x x x p 及21)1()(xl l x q -+=，可知0=x 为常点；故可设：∑∞==0n n n x a y ，相应：∑∞=-='11n n n xna y ，∑∞=--=''22)1(n n n x a n n y ，代入方程(4.2)，得：)1(2)1()1)(2(02=++---++∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+n n n n nn n nn n nn x a l l x na xa n n xa n n ，即：n n a l l n n a n n )()1)(2(222--+=+++，或n n a n n l n l n a )1)(2()1)((2++++-=+；显然有：02!2)1)((a l l a +-=，13!3)2)(1(a l l a +-=， 04!4)12)(2)(1)((a l l l l a ++-+-=，15!5)4)(3)(2)(1(a l l l l a +-+-=，即02)!2()12)(22()1)((a k l k l k l l a k +---+-=，012)!12()2)(12()2)(1(a k l k l k l l a k ++--+-=+ ；相应级数解为两个线性无关解的迭加：∑∑∑∑∞=++∞=∞=++∞=+=+=1212102201212022k k k k kk k k k k kk x A a xA a xa xa y(4.3)其中a 、1a 为任意常数；进一步由1lim2=+∞→n nn a a 及高斯判别法，可求得级数解之收敛域为1<x 。
常微分方程级数解法适用条件
常微分方程级数解法适用条件《常微分方程级数解法适用条件》我有个朋友叫小明，他刚接触常微分方程的时候，那叫一个头疼啊。
有次我们一起做常微分方程的作业，碰到一个看起来特别复杂的方程，完全找不到头绪。
我就随口问他，“你说能不能用级数解法来试试呢？”他一脸懵地看着我，“啥叫级数解法？啥时候能用？我还在这苦思冥想怎么变形呢。
”这一下就把我给问住了，然后我就和他一起研究起常微分方程级数解法适用的条件来了。
那咱们首先得知道啥是常微分方程的级数解法。
简单地说，常微分方程的级数解法呢，就是把解表示成幂级数或者其他某种级数的形式，然后把这个级数代到常微分方程里面去确定级数的系数，这样就可以得到方程的解啦。
听起来好像不是很难，但是这个方法可不是啥时候都能用的。
对于线性常微分方程来说，如果这个方程在某个点的邻域内系数是解析的，那这个时候级数解法就有很大的发挥空间了。
比如说二阶线性常微分方程\(y'' + p(x)y' + q(x)y = 0\)，要是\(p(x)\)和\(q(x)\)在点\(x₀\)的某个邻域内是解析的（就是能展开成幂级数的那种），那一般就可以尝试级数解法啦。
这就好比你要开锁，要是锁和钥匙匹配得上才能开得了，在这里，系数解析就是那开锁的资格。
不过呢，还有一点很重要。
你不能一看系数解析就高兴得太早。
还得看看这个方程在那个点有没有奇点。
要是这个点是方程的奇点，那就得再仔细看看是什么样的奇点啦。
有一种好一点的奇点叫正则奇点，如果是这种情况，那还是可以用级数解法的，不过这个级数和之前的可能有点区别，得用弗罗贝尼乌斯级数年。
要是奇点是不规则奇点，那就比较麻烦了，级数解法可能就没那么好使。
我就跟小明说，“你看，这就好比钓鱼，你得先知道这片水域有没有鱼（对应系数解析），然后你还得看看水里有没有水草石头啥的把你的鱼钩缠住（对应奇点情况），要是有，你还得搞清楚是那种小水草不碍事（正则奇点），还是大石头（不规则奇点）。
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2l
(1)k (2l 2k)! xl2k k!(l k)!(l 2k)!
由上式易得，p0
1 、P1
x
、P2
1 (3x2 2
1)
、P3
1 2
l
Pl (x)
[] 2 k 0
(1)k l!(2l 2k 1)!! 2k k!(l 2k)!(2l 1)!!
(2l)! 2l (l!)2
xl2k
[l ] 2 k 0
(1)k (2l 2k 1)!!(2l 2k)!! 2k k!(l 2k)!(2l 2k)!!
xl2k
[l ] 2 k 0
(k 2)(k 1)ck2 k(k 1) 2k l(l 1)ck xk 0
k 0
↓
k(k 1) l(l 1) (k l)(k l 1)
xk 的系数：(k 2)(k 1)ck2 (k l)(k l 1)ck 0 (k 0,1,2… )
∴
ck 2
(k l)(k (k 2)(k
[在第十二章“球坐标系下的分离变数法”中，勒让德多项式和球 函
数要用此处结果，在那里 l(l 1) 取值待定、而 x cos ]
1)同一般形式比较
p(
x)
2x 1 x2
,
q(x)
l(l 1) 1 x2
均在 x 1上解析，故 x0 0是方程的常点
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第八章
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2)设y ck xk
第八章 线性常微分方程的级数 解法和某些特殊函数(P148)
基本内容:常点和正则奇点邻域上的幂级数解法;勒让德 多项式、贝塞尔函数等特殊函数;非齐次方程 的通解.
本章难点:正则奇点邻域上的幂级数解法.
本章既是本课程下篇的基础,也是学习近代物理的基础, 所以学好本章具有重要意义.
§8.1 常点邻域方程的级数解 勒让德方程
多项式, y0(x)仍发散舍去.
总之,l=整数：方程的两个特解中有一个退化为l次多项式 (l阶勒让德多项式),另一个发散级数解舍去.
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5) l 阶勒让德多项式
yl (x)
[
l 2
]
cl
2k
x
l
2k
cl
k 0
xl
cl 2 xl 2
c2 c3
x2 x3
c0 c1x
∵
cn
k 1
(2k )!
y1
1
k 1
c2k1 x 2k1 1 c1
k 1
(2k
1 l) (3
l)(1 l)(l (2k 1)!
2)(l
4) (l
2k )
x 2k1
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第八章
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4)讨论：解在 x 1上是绝对且一致收敛的，在物理上需要考虑 x 1处的收敛问题，P151具体论证了y0(x)在x=1发散
(2k
1
l)
(3
l)(1 l)(l (2k 1)!
2)(l
4)
(l
2k )
c1
(k 1,2,)
y c0 y0 (x) c1 y1(x)
y0
1 c2k k 1 c0
x2k 1 (2k 2 l)(2k 4 l) (2 l)(l)(l 1)(l 3) (l 2k 1) x2k
k 0
b)将 y(x)、p(x) 、q(x) 在 x x0 R上的幂级数展开式代入方程，
并比较(x-x0)的同幂项系数，给出系数{ak}的递推公式； c)运用系数递推公式，将系数确定至两个积分常数；
d)讨论.
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2勒让德方程
(1 x2) y 2xy l(l 1) y 0, x0=0.
5) (l 1)l 3)(2l 1)
cl
(1)k
(l
l!(2l 2k )!
2k 1)!! (2k)!!(2l
1)!!
cl
上式中k=1,2,…,
l 2
{
l 2
l
1 2
( l 偶数) }
( l 奇数)
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若选 cl
(2l)! 2l (l!)2
则使得yl(1)=1,此时yl(x)称为l阶勒让德多项式
k 0
y k(k 1)ck xk2
k 0或 2
(l 2)(l 1)cl2 xl (k 2)(k 1)ck2 xk
l 0
k 0
将以上诸式代入勒让德方程，得
x2 y k(k 1)ck xk k 0
2xy 2kck xk k 0
l(l 1) y l(l 1)ck xk k 0
• 1常点邻域方程的级数解
• 2勒让德方程
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1常点邻域方程的级数解
方程的一般形式
y(x) p(x) y(x) q(x) y(x) 0 (8.1)
定解条件： y(x0 ) c0, y(x0 ) c1,
（8.2）
为应用解析函数理论设p(z)、q(z)、y(z)是分别由p(x)、q(x)、 y(x)唯一确定的复变函数.为了书写方便变量仍记作x.
y0 (x)及y1(x)在x 1都发散.
所以,要求 y x1 有限值,是数学问题有物理意义的必然要求. l 2n, c2(n1) c2(n2) 0，y0(x)退化为l=2n次多项式, y1(x)
仍发散舍去；
l 2n 1：c2(n1)1 c2(n2)1 .... 0, y1(x)退化为l=2n+1次
(n 2)(n 1) (n l)(l n 1)
cn2
l 2n l 2n 1
∴
cl 2 k
(l
2k 1)(l 2k 2) (2k)(2l 2k 1)
cl2(k 1)
(1)k
(l
2k 1)(l 2k 2)(l 2k 3)(l 2k (2k)!!(2l 2k 1)(2l 2k 3) (2l
l 1) 1)
ck
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3)定系数：
c2k
(2k
2 l)(2k 2k(2k 1)
1
l)
c2(k
1)
(2k
2
l)(2k
4
l)
(2
l)(l)(l (2k )!
1)(l
3)
(l
2k
1)
c0
c2k
1
(2k 1 (2k
l)(2k 1)( 2k )
l)
c2(k
1)1
(k 1,2,)
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1)方程的常点：p(x),q(x)在x x0是解析的，则 x0称为方程的常点。
2)解的存在和唯一性定理：设函数 p(x)在 x x0 R 内是解析的，
则(8.1)存在唯一的满足条件(8.2)的解析函数 y(x) .
3)求解步骤：
a) 确定x0为方程常点，设 y(x) ak (x x0 )k ；