张量分析课件-2.3 二阶张量的不变量

若T为正则二阶张量，则有Nanson 公式
T uFra Baidu bibliotek T v J
T 3
T u v
T 1
2.3.3
二阶张量的矩
J 二阶张量T 的n 阶矩 n ，其中
J trT T
1
i i
j J2 trT T T i jT i
j k J3 trT T T T i jT T k i


1 ij l m 1 i l i l J 2 lmT iT j T iT l T lT i 2 2



1 ijk l m n 1 J 3 lmnT iT jT k 3! 6
ijk
l m n T T T i j k detT lmn
写成分量展开形式
J 彼此之间互相独立。而高于3阶的矩与 n （n=1,2,3)互不独立。
可证
1
J J1
J J1 2J 2
2 2
J1 J1
J J1 3J1J 2 3J 3
3 3
1 2 J 2 J1 J 2 2 1 3 1 1 J 3 J1 J1 J 2 J 3 6 2 3
若u，v，w为任意线性无关的矢量，则
T u
T u
v w u T v w u v T w J1T u v w
T u v w T v w u T v T w T u v T w J 2
T u
T u v w T v T w J3
3 J1 T 11 T 2 T 2 3
J2
T 11 T 12 T
2 1
T
2 2

2 T2 T 2 3
T
3 2
T
3 3

3 T3 T 3 1
T 13 T 11
T 11 T 12 T 13 2 2 J3 T 2 T T 1 2 3 3 3 3 T 1 T 2 T 3
张量分析 及连续介质力学
2.3 二阶张量的不变量
2.3.1 张量的标量不变量
对随坐标转换而变化的张量分量进行一定的运算，可 以得到一些不随坐标转换而变化的标量，这种标量称为张 量T 的标量不变量，简称为张量的不变量。
2.3.2
二阶张量的三个主不变量
J1 G : T liT li T ii