6 常用统计分布与参数估计

2 ( n)分布的概率密度曲线如图.
2 2
2 分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性)
2 2 设 12 ~ 2 ( n1 ), 2 ~ 2 ( n2 ), 并且 12 , 2 独 2 立, 则 12 2 ~ 2 ( n1 n2 ).
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
证明
因为 i ~ N (0,1), 所以 E 2 D 1, i i
D(i 2 ) E(i 4 ) [ E(i 2 )]2 3 1 2, i 1, 2,......, n.
n n 故 E ( 2 ) E i 2 E (i 2 ) i 1 i 1
由中心极限定理得
n
lim P{
n
2 n
2n
limP{ x} n
i 1
2 X i n
n
n
x}
x源自文库
1 t22 e dt 2
即 2分布的极限分布是正态 分布, 也即 ,当n很大时
n
2 n
2n
近似服从 N (0,1).进而 ~ N (n,2n).
常用统计分布
一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结
一、常见分布
1. 分布
2
定义5.6 设 1 , 2 ,......, n 相互独立，同服从 N (0, 1)
2 2 2 分布, 则称统计量 n ＝12 2 ...... n 服从自由
度为 n 的 2分布, 记为 n 2 ~ 2 ( n).
设 i2 ~ 2 (ni ), 并且 i2 (i 1, 2,......, m) 相互 独立, 则 i2 ~ 2 (n1 n2 L nm ).
i 1 m
性质2 ( 2分布的数学期望和方差)
若 2 ~ 2 ( n), 则 E ( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
自由度 : 指 n 2 12 22 ...... n2 中右端包含独立 变量的个数.
定理5.4 ( n)分布的概率密度为
2
n x 1 1 2 2 x e n 2 n p( x ) 2 ( ) 2 0
x0 其它
1 1 , 分 布, 证明(略） 因 为 (1) 分 布 即 为 2 2 又因为i ~ N (0,1), 由定义 i2 ~ 2 (1),
2
的概率分布.
解 因为 ~ N ( , ), 所以 ~ N (0,1) 2 又 2 ~ (n), 且X , Y 独立, 则 与 2 独立, 由定理得 ( ) / T ~ t (n) n ( / 2 ) / n
n
n D(T ) n2
p(t ) ，
是T的分布密度，
2 此性质说明，当 n 时，T分布的极限
分布是标准正态分布。
lim p(t )
1
e
t2 2
例2 设 ~ N ( , ), 2 ~ 2 ( n), 且 , 相互独立, 试求 T n
n 1 n 1 2 2 t 2 h( t ) 1 , t n n πn 2
t分布的概率密度曲线如 图
显然图形是关于 t 0对称的. 当n充分大时, 其图 形类似于标准正态 变量概率密度的图 形.
2 n
近似
例1 设1 , 2 ,......, 6为来自正态总体N (0,1)的一组 样本, 求C1 , C2使得 Y C1 (1 2 ) 2 C2 (3 4 5 6 ) 2 服从 2分布.
解 1 2 ~ N (0, 2), 则
1 2
则C1 1 2 , C2 1 4 .
2. t 分布
定义5.7
设 ~ N (0, 1), ~ 2 ( n), 且 ,
独立, 则称随机变量 T 服从自由度为 n /n
的 t 分布, 记为 T ~ t (n).
t 分布又称学生氏(Student)分布. t ( n) 分布的概率密度函数为
2
~ N (0,1)
同理 3 4 5 6 3 4 5 6 ~ N (0, 4), 则 ~ N (0,1)
4
且
1 2
2
与
3 4 5 X 6
4
相互独立
所以(
1 2
2
)
2
(
3 4 5 6
4
) 2 ~ 2 (2)
2 证明 由假设, n X i2 , 其中1 , 2 ,......, n i 1 n
独立且每个i ~ N (0,1),因而12 , 22 ,......, n2独立同分布, 且
E(i2 ) 1,
D(i2 ) 2
(i 1, 2,......, n)
1 因为lim h( t ) e n 2π
t2 2
,
所以当n足够大时t分布近似于N (0,1)分布,
但对于较小的n, t分布与N (0,1)分布相差很大 .
t 分布具有下列性质：
性质5.6 设 T ~ t ( n) , 则当 n 2 时有
E(T ) 0
性质5.7 设T ~ t (n) 则
n,
D( ) D i 2 i 1
2 n
D(i 2 ) 2n.
i 1
n
2 性质3 设 2 x, 有 n ~ ( n ), 则 对 任 意
n 1 t22 x limP{ x} e dt n 2n 2
2 n
2
1 1 即 ~ , , i 1, 2, , n. 2 2
2 i
因为1, 2 , ......, n 相互独立,
所以 12 , 22 , ......, n2也相互独立,
2 根据 分布的可加性知 n 2 n 1 i ~ , . i 1 n