广深珠三校2020届高三第一次联考试题及答案

广深珠三校2020届高三第一次联考

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．

1．已知集合A＝{x｜}，B＝{}，则A∩B＝.

A. {x｜0＜x＜2}

B. {x｜0≤x＜2}

C. {x｜2＜x＜3}

D. {x｜2＜x≤3}

2．若复数的共轭复数满足,则.

A. B.

C. D.

3．下列有关命题的说法错误的是.

A. 若“”为假命题，则、均为假命题；

B. 若是两个不同平面，,，则；

C. “”的必要不充分条件是“”；

D. 若命题p：，则命题：；

4．已知某离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望.

A．B．1 C．D．2

5．已知向量、均为非零向量，则、的夹角为.

A．B．C．D．

6．若，则的值为.

A. B. C. D.

7．若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为.

A. 4

B. 12

C. 16

D. 6

8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=.

A．5 B．6 C．7 D．8

9．已知定义在R上的偶函数对任意都有，当取最小值时，的值为.

B. C. D.

10．在如图直二面角A­BD­C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是.

A．BC与平面A1BE内某直线平行

B．CD∥平面A1BE

C．BC与平面A1BE内某直线垂直

D．BC⊥A1B

11．定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列的前项的“均倒数”为，又，则.

A. B. C. D.

12．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是.

A. B. C. D.

第II卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分

13．设满足约束条件，则的最大值为；

14．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中的系数为；

15．已知点P在双曲线上，轴(其中为双曲线的右焦点)，点到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为；

16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，∠BAC=120。

，若三棱锥的体积为，则球的表面

积为；

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）

如图，在中，角所对的边分别为，；

（1）证明：为等腰三角形；

（2）若为边上的点，，且∠ADB =2∠ACD，，求的值．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且

为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19. （本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为，且经过点

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）函数在区间上有零点，求的值；

（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合．

21. （本小题满分12分）

某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数（万人）与年份的数据：

模型①：由最小二乘法公式求得与的线性回归方程；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．

（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．

（精确到个位，精确到0．01）．

（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．

②刻画回归效果的相关指数．

③参考数据：，．

表中．

请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求点的轨迹的极坐标方程；

（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.

23．[选修4-5：不等式选讲](10分）

已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且对任意，恒成立，求的最小值.

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，

12、已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（）

A. B. C. D.

【详解】

由得，

当时，方程不成立，即，

则，设（且），

则，

∵且，∴由得，

当时，，函数为增函数，

当且时，，函数为减函数，

则当时函数取得极小值，极小值为，

当时，，且单调递减，作出函数的图象如图：

故：要使有两个不同的根，则即可，

即实数的取值范围是.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分

13． 19 ； 14． 15 ； 15．； 16．；

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

如图，在中，角所对的边分别为，；

（1）证明：为等腰三角形；

（2）若为边上的点，，且，，求的值．

【详解】（1），由正弦定理得：……..2分

由余弦定理得：；………..4分

化简得：,