量子力学2(1)

位置不确定量越小，则同方 向上的动量不确定量越大。
对微观粒子进行位置坐标的测定，测得的值是弥散的； 对微观粒子进行动量的测定，测得的值也是弥散的；微观粒 子的状态不同，其坐标和动量的弥散值不同，因而相应的不 确定量也不同。但它们的乘积决不会小于h 。
对微观粒子要摈弃经典力学中粒子的“轨道”概念
一宏观粒子：m 103 kg
C n n
也是粒子或系统的波函数 其中：P1 (C1 )2 是粒子在1态出现的概率。 薛定谔猫（利用这只猫，对量子跃迁提出疑义） 1小时内一个原子衰变的概率50% 原子衰变锤击瓶 瓶碎毒气释猫死
讨论自由空间运动粒子的速度v与相应的德布罗意波的波速
度（相速度）u 之间的关系。
动量 能量 速度
粒子
波
P mv
E mc 2
E h
h P
h h P mv E mc 2 h h
u
2
2 c2 v
c u v
物质波的相速度不等于相应粒子的运动速度
§19．5 概率波与概率幅
C 1

2
2
dxdydz 1
( 全空间)
(t , x, y, z ) dxdydz
(t , x, y, z )
2
物质波的概率密度： ( t , x , y , z ) ( t , x , y , z ) 2 dxdydz

(t , x, y, z )
y( t , x ) Ae
i ( 2 t
x

)
描述微观粒子运动状态用波函数 ( t , x ) （一维）来表示
利用
E h
p
h

( t , x ) 0e
2 i ( Et px ) h
一个沿x轴正向运动的、具有确定动量 P和能量 E 的自由粒 子的波函数（概率幅）：
亮条纹处，即波强度大的地方，电子出现的概率就大； 暗条纹处，即波强度小的地方，电子出现的概率就小。
电子作为一个整体，只能在某处出现，决不会一半出现在 某处，而另一半出现在另外，这就是它的粒子性的表现。但是， 电子在某处出现的概率，却由波的强度来决定，这就是它的波 动性的表现。
实物粒子也具有波粒二象性
x
x
1
P
考虑次极大
Px
动量沿x方向的不确定度：
h Px P sin 1 sin 1
根据单缝衍射暗纹公式
x ：位置不确定度
x sin 1
px x = h py y h
pz z h E t h
不确定 关 系
x px h
ຫໍສະໝຸດ Baidu
v x v
电子显像管中电子的行为表现得跟经典粒子一样!
例题4 原子的线度为 1010 m，求原子中电子速度的不确定量。
解： 电子的位置的不确定量为 x 1010 m 由不确定关系，可得：
h 6.626 1034 6m 7.28 10 v 10 s m x 10 9.1 1031
sin k

晶体
戴维逊----革末电子衍射实验： 掠射角 不变，在反射光方向上测量 电子束 电子流强度。改变加速电压U，即改 变入射波的波长，测量相应的 I ,实验 结果如下： 1.225 nm I U 当U 满足布喇格公式时，I 才是极大。 即I 的极大值出现在满足下式的U ：
§19．4 微观粒子的波动性
一、经典粒子与经典波 粒子与波描述两种 经典粒子的特点：定域性、排他性。 现象、两个层次上 经典波的特点： 广延性、可叠加性。 的不同运动状态。 描述粒子或波的物理量在同一时空点可以同时测定。
二、微观粒子与德布罗意波 光（波）－－具有粒子性 实物粒子 ? 具有波动性 德布罗意假设(De Broglie Hypothesis)： 电子、质子等所有的粒子，都具有波动性。一个具有确定能 量 和动量 P 的粒子，它的行为，相当于沿动量方向传播的 单色平面波，其频率和波长由下式决定：
微观粒子的波函数表示什么？
2. 波函数的统计解释－－概率波
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
(2)入射弱电子流
波动性是单个微观粒子的属性
1949年，前苏联物理学家费格尔曼做了一个非常精确的 弱电子流衍射实验。
7个电子
100个电子
3000个电子
20000个电子
70000个电子
电子在空间某处出现的概率正比于物质波的强度:
(t , x, y, z ) (t , x, y, z )
2
2
2
dxdydz
物质波的 概率密度
如果：

(t , x, y, z )
dxdydz 1
这时的波函数(t, x, y, z)称为归一化的波函数
( t , x , y , z ) ( t , x , y , z )
（Probability Wave and Probability Amplitude) 一、不确定关系 (Uncertainty Principle) 1. 测量理论 经典理论 ：测量仪器对客体的干扰可无限地连续减小，粒子 的位置和动量能够准确测定。 量子理论：仪器对客体的干扰不能连续减小，作用量子h的存 在规定了干扰的下限与性质。波粒二象性决定了 同方向粒子的位置和动量不能准确同时确定。 2. 不确定关系 x方向的位置不确定量为： x
例题1 （1）m = 0.01kg，v = 300 m/s 的子弹： h h 6.63 10 34 2.21 10 34 m 0.01 300 p m 宏观物体的波长小得实验难以测量 h 极其微小 “宏观物体只表现出粒子性” （2）一个电子经 U = 1000V电压加速后：
h h P
这个波就叫德布罗意波（物质波）
三、电子衍射实验(Electron Diffraction) -----实物粒子波粒二象性的验证
P h

m0 v
电子的动能 eU E 1 m v 2 K 0
A
D
2
K
电子流的动量
P mv m0v m0
2eU 2em0U m0
即微观粒子的物质波是概率波
机械波的波强度 A2
类比地，物质波的波强度
2
2
则物质波的概率密度为： (t , x, y, z ) C (t , x, y, z ) •由归一化条件 (Normalization Condition)
( t , x , y , z )dxdydz C ( t , x , y , z )
x方向的动量不确定量为： px
x px h
不确定关系
(海森堡不确定度关系 Heisenberg uncertainty principle)
h x p x 2 2
单缝衍射实验推导这一关系：
通过狭缝后粒子的动量可能改变，若只考虑中 央极大，则粒子可能在21的范围内出现。
四．电子波动性的应用 －－电子显微镜(Electron Microscope)
最基本的原理是用电子的德布罗意波（简称电子波）来代替光波 光学仪器的最小分辨角：
1.22

D
显微镜所能分辨的最小距离是和照射光波的波长成正比 光学显微镜： min 400nm dmin 200nm 电子显微镜 : 电子波的波长极短，电子显微镜的 分辨本领很高。 放大倍数为80万倍的电子显微镜，能分辨的最小距离可 达 0.144 nm左右。
例题2 设子弹的质量为0.01Kg ,枪口半径为0.5cm; 试用不确定关系计算子弹射出枪口时的横向速度.
解： 由x px h 和 px mv x
h 6.626 1034 30 m v x 6 . 626 10 s m x 0.01 102
h 6.631034 0.038(nm) 2meU 29.111031 1.61019 1000
（3）一个电子经 U1 = 100V和U2 =10000V电压加速后：
1 0.123(nm)
2 0.0123(nm)
“微观物体表现出波动性”
波粒二象性是微观粒子的突出特点之一
Et h
如果一个粒子在能量状态E 附近只能停留 t 时间，称为粒 子的平均寿命，则在这一段时间内粒子的能量状态并非完全 确定，它有一个弥散 E h t ，称为能级宽度。只有当 粒子的停留时间为无限长时，该粒子的能量状态才是完全确 定的，即只有当 t 时，才有 E 0 。
G
h 2d sin k 2m0eU
U
U1
U 2 U3 U 4
电子通过金多晶薄膜的衍射实验 （汤姆逊1927）
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验（约翰逊1961年）
在汤姆逊电子衍射实验中，衍射 图象上亮条纹处出现的电子数目多。对 于个别电子来说 ，它在屏上各处都可 能出现，但在各处出现的概率是不同。 而波的强度就反映电子出现的概率。
( t , x ) 0e
i
2 ( Et px ) h
0e
i ( Et px )
三维空间运动的微观粒子，用 ( t , x , y, z ) 表示其波函数。 经典物理中的波函数表示振移，而波强度表示波的能 流密度的时间平均值。对电磁波来说，波函数表示或是电 场强度或是磁场强度，而波的强度就是坡印亭矢量，这些 都是可测量的量。
对子弹这种宏观粒子,它的波动性不会对它的“经典式”运 动以及射击时的瞄准带来任何实际的影响. 例题3 电视显像管中电子的加速电压为9KV,电子枪枪口直径为 0.1mm, 求电子射出电子枪后的横向速度。
4 31 x 10 (m) , m 9 . 1 10 kg 解： 而电子经过9KV加速电 h 6.626 1034 m v x 4 7.28 7 31 压后的速度约为 6 10 ms s m x 10 9.1 10
2
此表示物质波的波函数的物理意义： 波函数(归一化的)模的平方（即波强度）表示物质 波的概率密度(Probability distribution function)。
3. 态叠加原理(Principle of superposition of states) 如果 1、 2 、3 · · · · · · n 是粒子或系统的波函数， 则叠加态： C 1 1 C 2 2 C 3 3
经典物理：氢原子中电子的轨道运动速度约为
v 106 m s
v v
原子中的电子的波动性十分显著，描述它 的运动时必须抛弃轨道概念而代之以说明 电子在空间的概率分布的电子云的图象。
3.能量与时间的不确定性关系（能级自然宽度和寿命） (Uncertainty in Energy)
设体系处于某能量状态的寿命为 t (平均寿命 Average Lifetime） 则该状态能量的不确定程度E (能级自然宽度 Width of Energy Level)
二、波函数及概率解释 ( Wave function and Probability distribution function) 1. 波函数(概率幅) 经典的平面机械波为： y( x , t ) A cos(2 t x )

由：e ix cos x i sinx
可得：
x 106 m 1μm
h x px h px m v x x h 6.626 1034 25 m v x 6 . 63 10 s m x 1 103 106
宏观粒子的位置和速度可以同时测量， 即对宏观粒子可以忽略其波动性。
U
电子枪
h 电子波的波长 P
1.225 nm U
h 2em0U
U 150V 0.1nm U 10000V 0.01225nm
电子的德布罗意波和X射线的波长相当
戴维逊－革末电子衍射实验验证了德布罗意假设的正确
电子的德布罗意波都和 X 射线相当，则只能用晶体做为立体光栅。 布喇格公式：2d