初中数学实数专项训练解析含答案(1)
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∴a+b<0，a-b<0，
故A正确，B、C、D错误，
故选：A.
【点睛】
此题考查数轴，实数的大小比较，实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则.
16．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在（）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【答案】C
【解析】
试题分析：2．62=6．76；2．72=7．29；2．82=7．84；2．92=8．41．
②当﹣x＞x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣x﹣1，
解得：x＝﹣1（1>0，不符合舍去），
即方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为1+ 或﹣1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．
19．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是 和﹣1，则点C所对应的实数是( )
③∵ ，即 ，
∴2b=0或a+b=0，即 或 ，故③正确；
④∵
∴ ，故④错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和定义新运算，理解定义新运算并根据运算法则进行计算是解题的关键．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为（）
A．2a+bB．-2a+bC．bD．2a-b
【详解】
因为 ，
所以 ，
则 ，
故选：C．
【点睛】
此题考查了定义新运算以及代数式求值．熟练运用整体代入思想是解本题的关键．
14．下列说法正确的是（）
A．a的平方根是±
B．a的立方根是
C． 的平方根是0.1
D．
【答案】B
【解析】
试题解析：A、当a≥0时，a的平方根为± ，故A错误；
B、a的立方根为 ，本B正确；
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x的分式方程求解，结合x的取值范围确定方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解即可．
【详解】
解：①当x≥﹣x，即x≥0时，
∵max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1，
∴x＝x2﹣x﹣1，
解得：x＝1+ （1﹣ <0，不符合舍去）；
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义判断即可．
【详解】
负数没有算术平方根，①错误；0的算术平方根是0，②错误； 的算术平方根是 ，③错误；算术平方根不可能是负数，④正确； 的算术平方根是 ，⑤正确．所以不正确的个数为3个，选B．
【点睛】
掌握算术平方根的定义．注意：０的算术平方根是０、负数没有算术平方根．
【答案】C
【解析】
试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且|a|＞|b|，
∴ .
故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
6．下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③ 的算术平方根是 ；④算术平方根不可能是负数；⑤ 的算术平方根是 ，其中不正确的个数是（）
【分析】
利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A、8的立方根是2，正确，是真命题；
B、在函数 的图象中，y随x增大而增大，正确，是真命题；
C、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；
D、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，
故选C．
2．已知一个正方体的表面积为 ，则这个正方体的棱长为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设正方体的棱长为 ，然后依据表面积为 列方程求解即可．
【详解】
设正方体的棱长为 ．
根据题意得： ，
解得： ．
所以这个正方体的棱长为 ．
故选： ．
【点睛】
此题考查算术平方根的定义，依据题意列出方程是解题的关键．
【答案】D
【解析】
【分析】
一个正数的平方根有2个，且这两个互为相反数，而算数平方根只有一个且必须是正数，特别地，我们规定0的算术平方根是0负数没有算术平方根，但i的平方是－1，i是一个虚数，是复数的基本单位.
【详解】
，
∴25的算术平方根是：5.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
【点睛】
考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．
18．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为（ ）
A．1+ 或1﹣ B．1或﹣1C．1﹣ 或1D．1+ 或﹣1
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1D．2 +1
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，解得 .
故选D.
20．若 则 的值是（）
A．2 B、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
3．下列各数中最小的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根、负整数指数幂进行计算，再比较数的大小，即可得出选项．
【详解】
解： ， ， ，
，
最小的数是 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．
考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．
7．如图，长方形 的边 长为 ， 长为 ，点 在数轴上对应的数是 ，以 点为圆心，对角线 长为半径画弧，交数轴于点 ，则这个点 表示的实数是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理算出AC的长度，进而得到AE的长度，再根据A点表示的数是-1，可得E点表示的数．
【详解】
∵
∴
∵7．84＜8＜8．41，∴2．82＜8＜2．92，∴2．8＜ ＜2．9，
所以 应在③段上．
故选C
考点：实数与数轴的关系
17．下列命题中哪一个是假命题（ ）
A．8的立方根是2
B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大
C．菱形的对角线相等且平分
D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【答案】C
【解析】
初中数学实数专项训练解析含答案(1)
一、选择题
1．已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，3），且|a﹣c|+ =0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为20，那么a+b+c的值为（ ）
A．12B．15C．17D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
由非负数的性质得到a=c，b=7，P（a，7），故有PQ∥y轴，PQ=7-3=4，由于其扫过的图形是矩形可求得a，代入即可求得结论．
C、 =0.1，0.1的平方根为± ，故C错误；
D、 =|-3|=3，故D错误，
故选B．
15．实数 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴得a<0<b，且 ，再根据实数的加法法则，减法法则依次判断即可.
【详解】
由数轴得a<0<b，且 ，
D．2是(－2)2的算术平方根，故D正确
故选：D
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根与平方根\立方根，掌握算术平方根与平方根\立方根的定义是解题的关键．
13．用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ， （ 为常数），如： ．若 ，则 的值为（）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据 计算出a的值，进而再计算 的值即可．
【详解】
∵且|a-c|++ =0，
∴a=c，b=7，
∴P（a，7），PQ∥y轴，
∴PQ=7-3=4，
∴将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和4的矩形，
∴4a=20，
∴a=5，
∴c=5，
∴a+b+c=5+7+5=17，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y轴，进而求得PQ是解题的关键．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
9．在整数范围内，有被除数 除数 商 余数，即 且 ，若被除数 和除数 确定，则商 和余数 也唯一确定，如： ，则 此时 ．在实数范围中，也有 且 ，商 为整数，余数 满足： ，若被除数是 ，除数是 ，则 与 的和（）
4．设 是不相等的实数，定义 的一种运算； ，下面给出了关于这种运算的四个结论：① ；② ；③若 ，则 或 ；④ ，其中正确的是（）
A．②④B．②③C．①④D．①③
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简 ，然后各式利用题中的新定义化简得到结果，即可作出判断．
【详解】
解： ，
① ，故①正确；
②∵ ，当 时， ，故②错误；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 2 的整数部分即为q即可先求出q的值，再将a、q、b的值代入a=bq+r中即可求出r的值，从而作答．
【详解】
∵ 2=7 且4 5，
∴ 的整数部分是4，
∴商q=4，
∴余数r=a﹣bq 2×4 8，
∴q+r=4 8 4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了整式的除法、估算无理数的大小，解答本题的关键理解q即 的整数部分．
10．若一Hale Waihona Puke Baidu正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是（ ）
A．1B．3C．4D．9
【答案】D
【解析】
∵一正数的两个平方根分别是2a−1与−a+2，
∴(2a−1)+(−a+2)=0，
解得a=−1.
∴−a+2=1+2=3，
∴这个正数为32=9.
故选：D.
11．25的算数平方根是
A． B．±5C． D．5
12．下列说法中，正确的是()
A．－2是－4的平方根B．1的立方根是1和-1
C．-2是(－2)2的算术平方根D．2是(－2)2的算术平方根
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方根、算术平方根、立方根的定义进行解答即可．
【详解】
A．－4没有平方根，故A错误；
B．1的立方根是1，故B错误；
C．(－2)2的算术平方根是2，故C错误；
∴ =
∵ 点表示的数是
∴ 点表示的数是
【点睛】
掌握勾股定理；熟悉圆弧中半径不变性．
8．如图，数轴上表示实数 的点可能是( )
A．点PB．点QC．点RD．点S
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图示，判断出 在哪两个整数之间，即可判断出数轴上表示实数 的点可能是哪个．
【详解】
∵1＜ ＜2，
∴数轴上表示实数 的点可能是点P．
故A正确，B、C、D错误，
故选：A.
【点睛】
此题考查数轴，实数的大小比较，实数的绝对值的性质，加法法则，减法法则.
16．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示 的点落在（）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【答案】C
【解析】
试题分析：2．62=6．76；2．72=7．29；2．82=7．84；2．92=8．41．
②当﹣x＞x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣x﹣1，
解得：x＝﹣1（1>0，不符合舍去），
即方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为1+ 或﹣1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．
19．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是 和﹣1，则点C所对应的实数是( )
③∵ ，即 ，
∴2b=0或a+b=0，即 或 ，故③正确；
④∵
∴ ，故④错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和定义新运算，理解定义新运算并根据运算法则进行计算是解题的关键．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为（）
A．2a+bB．-2a+bC．bD．2a-b
【详解】
因为 ，
所以 ，
则 ，
故选：C．
【点睛】
此题考查了定义新运算以及代数式求值．熟练运用整体代入思想是解本题的关键．
14．下列说法正确的是（）
A．a的平方根是±
B．a的立方根是
C． 的平方根是0.1
D．
【答案】B
【解析】
试题解析：A、当a≥0时，a的平方根为± ，故A错误；
B、a的立方根为 ，本B正确；
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x的分式方程求解，结合x的取值范围确定方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解即可．
【详解】
解：①当x≥﹣x，即x≥0时，
∵max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1，
∴x＝x2﹣x﹣1，
解得：x＝1+ （1﹣ <0，不符合舍去）；
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义判断即可．
【详解】
负数没有算术平方根，①错误；0的算术平方根是0，②错误； 的算术平方根是 ，③错误；算术平方根不可能是负数，④正确； 的算术平方根是 ，⑤正确．所以不正确的个数为3个，选B．
【点睛】
掌握算术平方根的定义．注意：０的算术平方根是０、负数没有算术平方根．
【答案】C
【解析】
试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且|a|＞|b|，
∴ .
故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
6．下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③ 的算术平方根是 ；④算术平方根不可能是负数；⑤ 的算术平方根是 ，其中不正确的个数是（）
【分析】
利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A、8的立方根是2，正确，是真命题；
B、在函数 的图象中，y随x增大而增大，正确，是真命题；
C、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；
D、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，
故选C．
2．已知一个正方体的表面积为 ，则这个正方体的棱长为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设正方体的棱长为 ，然后依据表面积为 列方程求解即可．
【详解】
设正方体的棱长为 ．
根据题意得： ，
解得： ．
所以这个正方体的棱长为 ．
故选： ．
【点睛】
此题考查算术平方根的定义，依据题意列出方程是解题的关键．
【答案】D
【解析】
【分析】
一个正数的平方根有2个，且这两个互为相反数，而算数平方根只有一个且必须是正数，特别地，我们规定0的算术平方根是0负数没有算术平方根，但i的平方是－1，i是一个虚数，是复数的基本单位.
【详解】
，
∴25的算术平方根是：5.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
【点睛】
考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．
18．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为（ ）
A．1+ 或1﹣ B．1或﹣1C．1﹣ 或1D．1+ 或﹣1
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1D．2 +1
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，解得 .
故选D.
20．若 则 的值是（）
A．2 B、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
3．下列各数中最小的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根、负整数指数幂进行计算，再比较数的大小，即可得出选项．
【详解】
解： ， ， ，
，
最小的数是 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．
考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．
7．如图，长方形 的边 长为 ， 长为 ，点 在数轴上对应的数是 ，以 点为圆心，对角线 长为半径画弧，交数轴于点 ，则这个点 表示的实数是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理算出AC的长度，进而得到AE的长度，再根据A点表示的数是-1，可得E点表示的数．
【详解】
∵
∴
∵7．84＜8＜8．41，∴2．82＜8＜2．92，∴2．8＜ ＜2．9，
所以 应在③段上．
故选C
考点：实数与数轴的关系
17．下列命题中哪一个是假命题（ ）
A．8的立方根是2
B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大
C．菱形的对角线相等且平分
D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【答案】C
【解析】
初中数学实数专项训练解析含答案(1)
一、选择题
1．已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，3），且|a﹣c|+ =0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为20，那么a+b+c的值为（ ）
A．12B．15C．17D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
由非负数的性质得到a=c，b=7，P（a，7），故有PQ∥y轴，PQ=7-3=4，由于其扫过的图形是矩形可求得a，代入即可求得结论．
C、 =0.1，0.1的平方根为± ，故C错误；
D、 =|-3|=3，故D错误，
故选B．
15．实数 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴得a<0<b，且 ，再根据实数的加法法则，减法法则依次判断即可.
【详解】
由数轴得a<0<b，且 ，
D．2是(－2)2的算术平方根，故D正确
故选：D
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根与平方根\立方根，掌握算术平方根与平方根\立方根的定义是解题的关键．
13．用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ， （ 为常数），如： ．若 ，则 的值为（）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据 计算出a的值，进而再计算 的值即可．
【详解】
∵且|a-c|++ =0，
∴a=c，b=7，
∴P（a，7），PQ∥y轴，
∴PQ=7-3=4，
∴将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的图形是边长为a和4的矩形，
∴4a=20，
∴a=5，
∴c=5，
∴a+b+c=5+7+5=17，
故选C.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，坐标的平移，矩形的性质，能根据点的坐标判断出PQ∥y轴，进而求得PQ是解题的关键．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
9．在整数范围内，有被除数 除数 商 余数，即 且 ，若被除数 和除数 确定，则商 和余数 也唯一确定，如： ，则 此时 ．在实数范围中，也有 且 ，商 为整数，余数 满足： ，若被除数是 ，除数是 ，则 与 的和（）
4．设 是不相等的实数，定义 的一种运算； ，下面给出了关于这种运算的四个结论：① ；② ；③若 ，则 或 ；④ ，其中正确的是（）
A．②④B．②③C．①④D．①③
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简 ，然后各式利用题中的新定义化简得到结果，即可作出判断．
【详解】
解： ，
① ，故①正确；
②∵ ，当 时， ，故②错误；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 2 的整数部分即为q即可先求出q的值，再将a、q、b的值代入a=bq+r中即可求出r的值，从而作答．
【详解】
∵ 2=7 且4 5，
∴ 的整数部分是4，
∴商q=4，
∴余数r=a﹣bq 2×4 8，
∴q+r=4 8 4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了整式的除法、估算无理数的大小，解答本题的关键理解q即 的整数部分．
10．若一Hale Waihona Puke Baidu正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是（ ）
A．1B．3C．4D．9
【答案】D
【解析】
∵一正数的两个平方根分别是2a−1与−a+2，
∴(2a−1)+(−a+2)=0，
解得a=−1.
∴−a+2=1+2=3，
∴这个正数为32=9.
故选：D.
11．25的算数平方根是
A． B．±5C． D．5
12．下列说法中，正确的是()
A．－2是－4的平方根B．1的立方根是1和-1
C．-2是(－2)2的算术平方根D．2是(－2)2的算术平方根
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方根、算术平方根、立方根的定义进行解答即可．
【详解】
A．－4没有平方根，故A错误；
B．1的立方根是1，故B错误；
C．(－2)2的算术平方根是2，故C错误；
∴ =
∵ 点表示的数是
∴ 点表示的数是
【点睛】
掌握勾股定理；熟悉圆弧中半径不变性．
8．如图，数轴上表示实数 的点可能是( )
A．点PB．点QC．点RD．点S
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图示，判断出 在哪两个整数之间，即可判断出数轴上表示实数 的点可能是哪个．
【详解】
∵1＜ ＜2，
∴数轴上表示实数 的点可能是点P．