.archivetemp正余弦定理的应用学案

高一数学学案NO15,16 余弦定理、正弦定理应用举例

学习目

标核心素养

1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)

2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点)1.通过利用正、余弦定理解决实际问题，培养数学建模的核心素养．

2．通过求解距离、高度等实际问题，提升数学运算的素养.

1．基线的概念与选择原则

(1)定义

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．

(2)性质

在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

思考1：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？

2．测量中的有关角的概念

(1)仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)

(2)方向角

从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)

思考2：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？

1．如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据()

A．α，a，b B．α，β，a

C．a，b，γD．α，β，b

2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为() A．α＋βB．α－β

C．β－αD．α

3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值为()

A. 3 B．2 3

C．23或 3 D．3

测量距离问题

【例1】岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是()

A．10 3 海里 B.106

3海里

C．5 2 海里D．5 6 海里

三角形中与距离有关问题的求解策略：

(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．

(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．

1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB ＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为m.

测量高度问题

【例2】济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)

解决测量高度问题的一般步骤：

(1)画图：根据已知条件画出示意图．

(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．

(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用.

2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．

角度问题

[探究问题]

1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4 km，从B到C，方位角是120°，距离是8 km，从C到D，方位角是150°，距离是3 km，试画出示意图．

2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？

3．在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以167 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？

【例3】如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)

(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．

解决实际问题应注意的问题

(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．

(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．

正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()