五年级下第3讲 最值问题(二)
小学五年级奥数关于最值问题的讲解
【导语】“最⼩、最多最少、最长最短等问题”称之为“最值问题”，最值问题是普遍的应⽤类问题，主要解决有“最”字的描述的问题，涉及类⽬⼴泛，是数学、物理中常见的类型题⽬。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助！【篇⼀】 最值问题 【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，⼜要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最⼩的代价取得的效益。
这类应⽤题叫做最值问题。
【数量关系】⼀般是求值或最⼩值。
【解题思路和⽅法】按照题⽬的要求，求出值或最⼩值。
例1在⽕炉上烤饼，饼的两⾯都要烤，每烤⼀⾯需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟? 解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了⼀⾯，这时将第⼀块饼取出，放⼊第三块饼，翻过第⼆块饼。
再过3分钟取出熟了的第⼆块饼，翻过第三块饼，⼜放⼊第⼀块饼烤另⼀⾯，再烤3分钟即可。
这样做，⽤的时间最少，为9分钟。
答：最少需要9分钟。
例2在⼀条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千⽶，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。
现在要把所有的煤集中到⼀个煤场⾥，每吨煤运1千⽶花费1元，集中到⼏号煤场花费最少? 解我们采⽤尝试⽐较的⽅法来解答。
集中到1号场总费⽤为1×200×10+1×400×40=18000(元) 集中到2号场总费⽤为1×100×10+1×400×30=13000(元) 集中到3号场总费⽤为1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元) 集中到4号场总费⽤为1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元) 集中到5号场总费⽤为1×100×40+1×200×30=10000(元) 经过⽐较，显然，集中到5号煤场费⽤最少。
小学思维数学讲义：位值原理-带详解
⼩学思维数学讲义：位值原理-带详解位值原理1. 利⽤位值原理的定义进⾏拆分2. 巧⽤⽅程解位值原理的题位值原理当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越⼤，如果这种联系过程中，只⽤我们的⼿指头，那么到了“⼗”这个数，我们就⽆法数下去了，即使象古代墨西哥尤⾥卡坦的玛雅⼈把脚趾也⽤上，只不过能数⼆⼗。
我们显然知道，数是可以⽆穷⽆尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表⽰它们，如何对它们进⾏运算。
这就涉及到了记数，记数时，同⼀个数字由于所在位置的不同，表⽰的数值也不同。
既是说，⼀个数字除了本⾝的值以外，还有⼀个“位置值”。
例如，⽤符号555表⽰五百五⼗五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表⽰五个⼀，最左边的五表⽰五个百，中间的五表⽰五个⼗。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三⼤法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同⼀个数字，由于它在所写的数⾥的位置不同，所表⽰的数值也不同。
也就是说，每⼀个数字除了有⾃⾝的⼀个值外，还有⼀个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表⽰2个⼀，写在百位上，就表⽰2个百，这种数字和数位结合起来表⽰数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef =a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。
3.解位值⼀共有三⼤法宝：（1）最简单的应⽤解数字谜的⽅法列竖式（2）利⽤⼗进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列⽅程解答模块⼀、简单的位值原理拆分【例 1】⼀个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是。
【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，⼗位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以⼗位数字加个位数字等于100÷10＝10。
五年级下第3讲 最值问题(二)
第3讲最值问题（二）一、教学目标1.熟练分析题目的意思找到突破口2.熟练掌握几种常见的解决最值问题的办法。
3.培养综合分析问题的能力。
二、知识要点1.从极端的情况考虑问题。
2.用枚举法解决最值问题。
3.公式法解决最值问题。
（和一定时，数越接近，乘积越大。
积一定时，数越接近，和越小）4.综合法解决最值问题三、例题精选【例1】有10个同学要进行乒乓球比赛，他们准备分成三组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。
他们一共最多能比赛多少场？【巩固1】有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。
他们一共最多能比赛多少场？【例2】长方形的面积是144cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？【巩固2】长方形的面积是1260cm2，当它的长和宽分别为多少时（长和宽都是整厘米数），它的周长最短？【例3】有20个自然数，其中奇数比偶数多，它们的总和是100。
那么，这20个数中最多有多少个偶数？【巩固3】一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？【例4】有13个不同的自然数，它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个？【巩固4】一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25。
除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。
问：这组数之和的最大值是多少？【例5】一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。
为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个？【例6】23个不同自然数的和是4845，这23个数的最大公因数最大可能是多少？四、回家作业【作业1】在一个直角三角形中，两条直角边的和为9厘米，则三角形的最大面积是多少？【作业2】一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。
第03讲 二次函数的增减性与最值问题(原卷版)
第3讲 二次函数的增减性与最值问题考点一：二次函数的最值【知识点睛】❖ 无区间范围的二次函数最值由a 与定点纵坐标共同决定对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 开口向上⇔ a ＞0⇔二次函数有最小值ab ac 442-； 开口向下⇔a ＜0⇔二次函数有最大值ab ac 442-； ❖ 区间范围内的二次函数最值通常需要分类讨论区间范围内由二次函数最值求参数字母值问题的解题步骤：①找对称轴画抛物线简图（不需要画平面直角坐标系）；②分类讨论：让对称轴分别在对应取值范围的左边、中间、右边；结合抛物线的增减性找到最值时的等量关系列方程求解③判断所求出的参数字母的值是否在对应分类讨论的取值范围内，不在则舍去。
【类题训练】1．已知二次函数的图象（0≤x ≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值2，有最小值﹣2.5B ．有最大值2，有最小值1.5C ．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D ．有最大值2，无最小值2．已知函数y ＝x 2﹣6x +2，当﹣1＜x ＜4时，则y 的取值范围为 ．3．设二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）（a ＞0，m ，k 是实数），则（ ）A ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣aB ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣2aC ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣aD ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣2a4．已知抛物线y ＝（x ﹣b ）2+c 经过A （1﹣n ，y 1），B （n ，y 2），C （n +3，y 3）三点，y 1＝y 3．当1﹣n ≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（）A．﹣5B．3C．D．45．已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（）A．1B．C．或﹣8D．1或﹣86．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（）A．a≥6B．3≤a≤6C．0≤a≤3D．a≤07．在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（）A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值8．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或39．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点A（1，0），点B（0，3），点P在该抛物线上，其横坐标为m，若该抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．则m的值为（）A．m＝3B．C．D．m＝3或10．已知点P（m，n）在二次函数y＝x2+4的图象上，则m﹣n的最大值等于．11．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为．12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A ．﹣B ．或﹣C ．2或﹣D ．2或﹣或﹣13．当a ﹣1≤x ≤a 时，二次函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为8，则a 的值为（ ）A ．﹣1 或5B ．0或6C ．﹣1或6D ．0或514．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象的顶点坐标是（1，﹣3），且过点（2，﹣）．（1）求该二次函数的表达式．（2）若该二次函数图象与直线y ＝m （m 是常数）交于点A 、B ，AB ＝6，则m ＝ ．（3）当﹣3＜x ＜3时，y 的取值范围是 ．15．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于A （﹣3，0）、B （0，﹣3），二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点A ．（1）求一次函数y ＝kx +b 的表达式；（2）若二次函数y ＝x 2+mx +n 图象与y 轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y ＝kx +b （k ≠0）的图象上？（3）当n ＞0，m ≤5时，二次函数y ＝x 2+mx +n 的最小值为t ，求t 的取值范围．考点二：二次函数的增减性【知识点睛】❖ 常规问题需要由a 与对称轴共同确定，且抛物线的增减性必须有对应的范围对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）：a ＞0时，图象开口向上； 当ab x 2-≤时，y 随x 的增大而减小，反之则y 随x 的增大而增大； a ＜0 时，图象开口向下； 当ab x 2-≤时，y 随x 的增大而增大，反之则y 随x 的增大而减小； ❖ y 1、y 2比较大小问题规律总结：若点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象上的两个点，则：当a ＞0时，A 、B 两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越小；当a ＜0时，A 、B 两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越大；【类题训练】1．关于抛物线y ＝﹣x 2+2，下列说法正确的是（ ）A ．开口向上B．对称轴是y轴C．有最小值D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小2．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，当﹣1＜x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞1B．﹣1＜m≤1C．m＞0D．﹣1＜m＜23．已知二次函数y＝（x+m﹣1）（x﹣m）+1，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，下列判断正确的是（）A．若x1+x2＞﹣1，则y1＞y2B．若x1+x2＜﹣1，则y1＞y2C．若x1+x2＞1，则y1＞y2D．若x1+x2＜1，则y1＞y24．已知关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a2+1，当x≤﹣1时，y随x的增大而增大，且2≤x≤3时，y的最大值为10，则a的值为（）A．﹣3B．3C．D．±35．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y26．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y27．已知a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，若b＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣110．若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．11．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是．12．已知：二次函数y＝ax2﹣2ax+3a﹣1．（1）求这个二次函数图象的对称轴；（2）若该二次函数图象抛物线开口向上，当0≤x≤4时，y的最小值是3，求当0≤x≤4时，y的最大值；（3）若点A（n+1，y1），B（n﹣1，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax+3a﹣1（a＜0）上，且y1＜y2，求n的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数y＝x2+bx﹣3 的图象上．（1）当m＝n时，求b的值；（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围；（3）若﹣1≤x≤2时，函数的最小值为﹣5，求m+n的值．14．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．。
部编版数学五年级暑假第3讲.棋盘中的数学.超常体系
国际象棋的历史
关于国际象棋的产生，国际上流传着一个有趣的故事。据说 2000 年以前，印度有一个非 常残暴的国王，自己独断专行，想干什么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君王不能 离开臣民而存在”的道理来劝告国王，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的 办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗；每一方都有一个首脑——王， 另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，王一死，战斗 便结束；王同时又是很弱的一环，他只能依靠战友——即别的更有力的棋子保护，这些棋子 必须在整个战斗过程中同心协力来保卫王。它一方面往西传到波斯、阿拉伯和欧洲，经过改 变(如：增加了“后”)，形成现代的国际象棋；另一方面往东传到缅甸、东南亚和中国。
(2)用若干个
和
能否恰好不重不漏地覆盖住 15×15 的方格棋盘．
(3)用标准的俄罗斯方块的某些图形，能否恰好不重不漏地覆盖住 5×6 的方格棋盘． 【分析】(1)B，从奇偶性考虑
(2)不能，从奇偶性考虑 (3)不能， 俄罗斯方块每块均是 4 格，4 不能整除 5×6 小结：此题提示孩子，在覆盖问题中，首先从面积大小及整除性来判断．覆盖中的最值问 题也会用到此类思想．
【分析】不能，对 4 5 长方形作黑白染色
8 第 9 级上 超常体系 教师版
黑格数 白格数，但若对
、
①
②
、
、
③
、
④
这五个图形进行
⑤
黑白染色，图①②③⑤黑格白格，但图④黑 白，所以办不到．
例7
(1) 能不能用 15 个
将图形黑白相间染色后，发现有 21 黑，19 白，黑、白格数目不等，而 1×2 的小长方形覆 盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到． (2)右图是一个 5×7 的方格，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，
专题二 第3讲 平面向量数量积的最值问题 学生版
1 第3讲 平面向量数量积的最值问题平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21(2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________．数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等．解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．1．在△ABC 中，若A ＝120°，A B →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．2．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．3．已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为________．4．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．。
小学五年级《最值问题》奥数教案
生：18+23=41（分钟）；30+12=42（分钟）；8+14+17=39（分钟）。
师：很棒，看来你们都很聪明。
板书：（8+12+14+17+18+23+30）÷3=40……2(分钟)18+23=41（分）；30+12=42（分钟）；8+14+17=39（分钟）答：最少经过42分钟完成化妆任务。
（PPT出示）练习1：（6分）山姆大叔机床公司需要维修7辆卡车，如果派一名工人维修，这7辆卡车修复需要的时间分别为12,17,8,18,23,30和40分钟，现在由3名工作效率相同的维修工各自独立工作，最快多少分钟可以完成任务？（PPT出示）分析：如果不单独维修，理论上需要（12+17+8+18+23+30+40）÷3=49……1（分钟），现在由3名维修工单独维修，我们只需将卡车分为3组，使之最接近49即可。
板书：（12+17+8+18+23+30+40）÷3=49……1（分钟）分为3组，使时间最接近平均数：12+40=52（分钟）；30+18=48（分钟）；17+8+23=48（分钟）答：最快52分钟可以完成任务。
（PPT出示）（二）例题2：（13分）把1，2，3，4，5……16这16个数分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内的数的和相等。
问这个和的最大值是多少？（PPT出示）师：同学们，我们看大三角形，每个角的两个数是不是有两条边共用？生：是的。
师：那为了使每条边的和相等且最大，你们认为角上的数应该怎么填呢？生：填大的数，并且加起来要相等。
师：是的，真棒。
那我们看看满足条件的3组数是什么呢？生：11和16；12和15；13和14。
师：哇，说得真好。
这三组的和都为27，我们把它填在三个角的两个小三角形内。
师：你们认为1填在哪里呢？生：填在最中间的小三角形内。
师：没错，真有想法。
我们再来看看2到10，它们的总和是多少呢？生：54。
师：没错，那我们就可以知道每边的平均数是54÷3=18。
创新思维·小学奥数寒假专项突破之最值问题(第一讲和第二讲)
第一讲：最值问题（最大值和最小值专项）一、最小值问题专项突破：例题1：贵宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。
现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。
（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）答案解析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
（知识点：公约数）例题2:在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）答案解析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。
这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB；故，O点即为三只蚂蚁会面之处。
（知识点：立体思维，画线）二、最大值问题专项突破：例1：有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。
判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）答案解析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。
立体几何第三讲 空间几何体得最值问题
分清定量与变量，然后根据变量的取值情况，利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的
最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.
【玩转跟踪】在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P1, P2 分别是线段 AB 、BD1（不
包括端点）上的动点，且线段 P1P2 平行于 平面 A1 ADD1 ，则四面体 P1P2 AB 的体积的最大值
锥 P-AEF 的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大.
【解析】因为 PA 平面 ABC, BC 平面 ABC，所以 PABC 又因为 BCAC, PA AC A ，所以 BC 平面 PAC，又 AF 平面 PAC，所以 BCAF ， 又 AFPC, PC BC C ，所以 AF 平面 PBC，即 AFEF 。EF 是 AE 在平面 PBC 上的 射影，因为 AEPB ，所以 EFPB ，即 PE 平面 AEF。在三棱锥 P AEF 中， AP AB 2, AEPB ，
5
.
5
又 P 在 BD 上运动，且当 P 运动到点 O 时，PQ 最小，等于 OQ 的长为 2 5 ，也就是异面直 5
线 BD 和 SC 的公垂线段的长.故选 B. 2.几何体表面上的最短距离问题
【例 2】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，各棱长均为 2，M 为 AA1 中点，N 为 BC 的中点，则 在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.
又∵ 0＜α+β＜π，∴(α+β)max＝π-arctan 2 ,(α+β)min＝π-arctan2 2 .
【迁移运用】
1．【西藏日喀则一中高三 10 月检测】已知正三C 的距离为1，点 是线段 的中点，过点 作球 的截面，则截面面
专题二 第3讲 三角恒等变换与解三角形
例 1 (1)(2021·南通模拟)已知 α∈0，π2，2sin 2α－cos 2α＝1，则 cos α 的 值为
A.15
B.
5 5
C.
3 3
√D.2
5 5
解析 由题意得4sin αcos α＋1－2cos2α＝1， 所以4sin αcos α＝2cos2α， 因为 α∈0，π2，所以 2sin α＝cos α， 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以14cos2α＋cos2α＝1， 所以 cos2α＝45，因为 α∈0，π2，所以 cos α＝255.
b2＋c2－a2 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝ 2bc . 3.三角形的面积公式：S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A.
例 2 (1)在△ABC 中，AC＝ 5，BC＝ 10，cos A＝255，则△ABC 的面 积为
√A.52
B.5
C.10
10 D. 2
索
考点三
引
专题强化练
1 考点一 三角恒等变换
PART ONE
核心提炼
1.三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”. 2.三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，如1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α， α＝(α－β)＋β等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化.
跟踪演练 3 (2021·常州模拟)在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所
对的边.在①(2a－c)cos B＝bcos C；②
→ 3BA
小学思维数学讲义：容斥原理之最值问题-带详解
容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标 例题精讲知识要点 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
五年级寒假奥数教案第3讲：最值问题
（一）星海遨游1（10分钟）
一把钥匙只能打开一个房间,现有20把钥匙和20个房间,但不知哪把钥匙开哪个房间,如要打开所有的房间,最多要开几次？
师：同学们!我们来看这道题,用钥匙开门我们在家里都看过吧?
生：看过。
师：一把钥匙是不是只能开一个房门?
生：是。
师：这里总共有20把钥匙和20个房间,要把所有房间都打开,我们先看第一扇门,如果运气很好,是不是一拿就能拿到这扇门的钥匙,但我们不可能每次运气都这么好的是不是?
二、太空遨游（30分钟）
（一）太空遨游1（10分钟）
有一架天平,只有5克和30克的砝码各一个,现在要把300克盐分成三等份,问最少需要用天平称多少次？
师：天平同学们还记得吗?
生：记得。
师：天平有什么啊,同学们告诉我?
生：称重的砝码。
师：是的,你们太棒了。今天我们要用天平把这300克等分成3等份,你们告诉我,等分之后,每份多少克？
师：同学们,今天我们来玩个游戏好不好？
生：好。
师：（拿出猪头）你们知道这是什么吗？
生：猪头。
师：你们太聪明了,没错这就是猪头,老师手上还有猪眼睛和鼻子,现在我要请两位小朋友上来,在这里找出猪鼻子和眼睛并贴在相应的位置,谁用的时间最少,谁就赢了。
师：谁想上来试一试？
生：我……（游戏结束,给予奖励）
师：同学们,你们知道吗,在我们平时生活中,会出现很多这种要求最大值或者最小值的问题,这就是我们今天要学的最值问题。【出示课题：最值问题】
板书:
长+宽=36÷2=18(米)
长=宽=18÷2=9(米)
9×9＝81（平方米）
答：围成菜园的最大面积是81平方米。
三、火星漫步（5分钟）
中考数学总复习资料：第3讲《最值问题》精品总结
第三讲 最值问题最值问题的解决方法通常有两种： 1.运用代数证法：① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。
2. 应用几何性质：① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
④数轴表示两点间距离。
1）代数最值问题1设x 、y 为实数，代数式5x 2+4y 2－8xy+2x+4的最小值为2.x 的值为_________。
3.|x+1|+|x-1|的最小值是|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？4.定义：对于数轴上的任意两点A ，B 分别表示数1,2x x ，用12x x -表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点1122(,),(,)A x y B x y 我们把1212x x y y -+-叫做A ，B 两点之间的直角距离,记作d （A ，B ）．（1）已知O 为坐标原点，若点P 坐标为（－1，3），则d (O,P )＝_____________;（2）已知C 是直线上y ＝x ＋2的一个动点，①若D （1，0），求点C 与点D 的直角距离的最小值；②若E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C 与点E 的直角距离的最小值．x5.某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B 型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3。
（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。
（总费用=生产成本+运费）重点：对称形最值问题6.正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是7.河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短8. ，是内一点，，、分别是和上的动点，求周长的最小值。
第3讲 基本不等式及应用
≤
， 2 2 1 y2 y 1 3 2 2 又 x ＋ 2＋ 2 ＝ x ＋ 2 ＋ ＝ ， 2 2
所以 x 1＋y ≤
2 2
把积配凑成两项的 和是常数
1 3 3 2 ＝ 22× ， 4 2
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25 (1) 2
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(2)9
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考点突破 考点二 常数代换或消元法求最值
8 2 【例 2】(1)已知 x＞0，y＞0 且 x＋y＝ 1，则 ＋ 的最小值为 x y ________．
解析 (1)(常数代换法)
简答
因为 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1， 8 2 8 2 所以x＋y ＝x＋y (x＋y)
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考点突破 考点一 配凑法求最值
5 1 例 1 (1)已知 x＜ ，求 f(x)＝4x－2＋ 的最大值； 4 4x－5
解析
5 (1)因为 x＜ ，所以 5－4x＞0， 4
简答
1 则 f(x)＝4x－2＋ 4x－5 1 凑积为常数 ＝－(5－4x＋ )＋3≤－2＋3＝1. 5－4x 1 当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，等号成立． 5－4x
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考点突破 考点三 基本不等式在实际问题中的应用
例 3 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度 v(假设 车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)，平均车长 l(单位：米)的值有 76 000v 关，其公式为 F＝ 2 . (1)如果不限定车型，l＝6.05，则最 v ＋18v ＋20l 大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1) 中的最大车流量增加________辆/时．
第3讲最优性条件
第三讲最优性条件无约束优化问题()f x严格局部极小值点局部极小值点严格全局极小值点x1.无约束优化问题考虑无约束优化问题()x f n R∈x min 定理1.1（一阶必要条件）若是无约束优化问题的局部最优值点,且在的一局部邻域内是连续可微的,则*x ()0f x *∇=f *x稳定点的类型(*,*)f x (*,*)f x (*,*)f x 1x 2x *x *x 1x 2xTaylor 展式●一阶Taylor展式：◆Peano型余项◆Lagrange型余项●二阶其中多元函数Taylor展式令，得多元函数的二阶Taylor展式1. 无约束优化问题定理1.2（二阶必要条件）若是无约束优化问题的局部最优值点,且在点附近二阶连续可微,则且半正定.定理1.3（二阶充分条件）若满足且正定,则是无约束优化问题的严格局部最优解.*x *x ()0=∇*x f ()*∇x f 2*x ()0=∇*x f ()*∇x f 2f *x2.约束优化问题设可微,为中的子集,考虑约束优化问题其中.什么样的点才是最优点？最优点处有哪些性质？R f:R n→()x f Xx ∈min 最优点处的所有可行方向均不是下降方向.X n R {}|(),;(),0 0i j X x c x i c x j I ε==∈≥∈设为约束优化问题的局部最优解,则点的任一可行方向满足.*x *x s ()0T s f x *∇≥处下降方向集：()(){} 0n TSd x s R s f x =∈∇<(){}[,] 00 n Sf x s R x s X δαδα=∈∃>∀∈+∈，有x 处可行方向集：x凸约束的优化问题设可微,为非空闭凸集,考虑R f:R n→()x f Xx ∈min X (){} nSf x s R s x x,x X ''=∈=-∈处可行方向集：x *x ()*∇x f Xx ∈X *x ()()Φx Sd x Sf =** 为约束优化问题的局部最优解,则且即为约束优化问题的稳定点，X x ∈*()()X x ,x f x x T ∈∀≥∇-**0*x约束优化问题此问题的Lagrange 函数为称为Lagrange 函数的鞍点,若存在()(),(),, 0T i i i i I L x f x c x i Iελλλ∈⋃=-≥∈∑()**,λx ()()(),,, 0ni L x ,λL x ,λL x,λi I x R λ****≤≤∀≥∈∈设可微,为中的子集,考虑约束优化问题其中R f:R n→()x f X x ∈min X n R {}|(),;(),0 0i j X x c x i c x j I ε==∈≥∈**,,0n i x R i I λ∈≥∈(){}(){}arg min arg max ,0i x L x,λx X λL x ,λi I λ****⎧=∈⎪⎨=≥∈⎪⎩换句话说，鞍点即为同时满足如下方程的点若约束优化问题的Lagrange 函数的鞍点,则x ∗为该约束优化问题的全局最优解.()**,λx凸规划问题设为凸函数,为非空闭凸集,考虑凸规划问题若目标函数为严格凸函数,则成为严格凸规划问题.R f:R n→X ()x f Xx ∈min 性质1:凸规划问题的任一局部最优解为全局最优解.性质2:若严格凸规划问题有最优值点,则它必唯一.性质3:设连续可微,则凸规划问题的稳定点与最优值点等价.f例：求原点到直线的距离,就是在限制条件和情况下,计算函数的最小值.1236x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩1x y z ++=236x y z ++=(,,)222f x y z x y z =++该优化问题为222min s.t. 1236x y z x y z x y z ++++=++=该问题的Lagrange 函数为(),,,,()()2221236L x y z x y z x y z x y z λμλμ=++-++--++-,,,,20220230102360x y z L x L y L z x y z x y z λμλμλμ=--=⎧⎪=--=⎪⎪=--=⎨⎪++-=⎪++-=⎪⎩通过方程组得到唯一的稳定值点,由于该问题为凸规划问题,故其为全局最优值点.,,517333x y z =-==考虑得对约束进行扰动，得扰动问题。
五年级奥数巧上加巧第3讲巧解平均数问题(二)
第3讲巧解平均数问题（二）巧点睛——方法和技巧本讲介绍运用“消元法”和“和差公式法”求解平均数问题的方法。
此外，适当应用整体法、转化法、移补法，有助于快速解决平均数问题。
巧指导——例题精讲A级竞赛初阶一、运用平均数的概念解题【例1】七位评委给一位歌唱演员打分，平均分为9.6分。
去掉一个最高分，平均分为9.55分；去掉一个最低分，平均分为9.7分。
如果最高分和最低分都去掉，那么这位歌唱演员的平均分是多少？做一做 1 五位评委给一位歌唱演员打分，去掉一个最高分，平均分为9.46分；去掉一个最低分，平均分为9.58分。
，那么这位歌唱演员的最高分和最低分相差多少？二、巧用“消元法”和“和差公式法”【例2】A、B、C、D四个数的平均数是84。
已知A、B的平均数是72，B、C的平均数是76，B、D 的平均数是80，求D是多少。
做一做 2 已知A、B、C、D四个数的平均数是38，A、B的平均数是42，B、C、D三个数的平均数是36，求B是多少。
【例3】某次考试，甲、乙、丙、丁四个人的成绩统计如下：甲、乙、丙三人的平均成绩为94分，乙、丙、丁三人的平均成绩为92分，甲、丁两人的平均成绩是96分。
问：甲得了多少分？做一做 3 某次考试，A、B、C、D、E五人的成绩统计如下：A、B、C、D四人的平均分为75分；A、C、D、E四人的平均分为70分；A、D、E三人的平均分为60分；B、D两人的平均分为65分。
求A得了多少分？B级更上层楼三、综合运用，发散思考【例4】如下图1，在七个圆圈内各填一个数，要求每条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数。
现在已填上两个数，求x代表的数。
做一做4在下图中的七个圆圈内各填一个数，要求每条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数。
现在已填上两个数，求x代表的数。
【例5】小明前五次考试的总分是428分，第六次至第九次的平均分比前五次的平均分多1.4分。
现在要进行第十次考试，要使后五次的平均分高于所有十次的平均分，问：小明第十次至少要考多少分？（注：每次考试的分数都是整数）做一做 5 今年前五个月，小明平均每月储蓄4.2元，从六月份起，小明每月储蓄6元。
第二讲最大与最小
最大与最小
知识加油站：人们经常考虑有关“最”的问 题，如最大、最小、最多、最少、最快、最 慢等等问题。 这类求最大值、最小值的问题 ，亦称极值问题，是一类重要的典型问题， 我们在实际生产和 生活中都会经常遇到。解 决极值问题的策略，常常因题而异，归纳起 来主要有以下四点：
从极端情况入手；用枚举比较入手； 由分析推理入手；凭构造方程入手。
• 6、一次考试的最髙分是99分，五位同学平 均分是90,且各人得分是不相同的整数，.己 知 得分最少的是64分.那么，第三名同学至 少得了多少分？
• 解:90×5＝450（分） • 450-64＝386（分） • 第三、四名总分:386-（99+98） • ＝189（分） • 189÷2＝94.5（分），95+94＝189（分）
14＝3+3+3+3+2
• 例4 51个同学投票选一名班长，不得弃权。统计 其中40张选票的结果是：甲得18票， 乙得12票， 丙得10票。甲至少再得多少票就能以得票数最多 当选班长？
• 智慧小屋: 未统计的票数有： 51- 40 = 11（票） 乙如果再得：18- 12 = 6（票）便与 甲得票相同 ，此时余下：11- 6 = 5（票）甲只要在余下的5票 中取得过半数，即3票，能保证以得票数最多当选 班长。
第二讲 最大与最小练习题
• 【熟能生巧】
• 1、口袋里有同样大小和同样质 地的红、黄、蓝三种颜色的小 球各10个。问：一次最少摸 出 几个球，才能保证至少有5个小 球颜色相同？
• 2、一把钥匙只能开一把锁。现有8 把钥匙和8把锁，但不知道哪把钥 匙开哪把锁。最多 要试开多少次 才能配好全部的钥匙和锁？
数学趣题
• 数学趣题1、一个正方体，锯下 一个角后，最多还剩几个角？
五年级下学期数学 最值问题 完整版PPT带作业带答案
准备题7:
用一根10米长的绳子可以围出多少种不同的长方形？ （要求边长是整数。）
和一定：长+宽=10÷2=5(m) 长4m，宽1m 长3m，宽2m
2种。
知识提炼：
10米是长方形的_周__长___，则长加宽的和是_5__米___。
准备题8:
怎样用绳子围一个面积最大的长方形？
和同近积大，使长和宽的长度尽量的接近， 即围成一个正方形是面积最大的。
知识提炼：
根据“和同近积大”原理，长与宽越接近，面积越__大____。
例题4
一个长方形的周长是30厘米，且长和宽都是整数。这个长方形 的最大面积是多少？
长+宽：30÷2=15(m) 15=7+8 最大面积：7×8=56(m2) 答：这个长方形的最大面积是56平方米。
知识点总结：
1、被减数越大，减数越小，差越大。 被减数越小，减数越大，差越小。
练习6:
用1、3、4、6、8、9组成两个三位数（每个数字只能用一次）， 要使乘积最大，这两个三位数分别是多少？要使乘积最小，这两个 三位数分别是多少？
百位9和8，十位6和4，个位3和1 差最小，积最大： 941×863=812083
百位1和3，十位4和6，个位8和9 差最大，积最小： 148×369=54612
最大：999-10=989 最小：100-99=1
知识提炼： 最大的三位数是_9__9_9_，要想差最大， 应该减去__1__0__。最小的三位数是_____，要 想10差0最小，应该减去_____。 99
例题1
用1 ~ 8这八个数字组成两个四位数，要使这两个四位数的差尽量小， 这个差是多少?
被减数最小：5123 减数最大：4876 差总结：
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五春第3讲 最值问题（二）
一、教学目标
1. 熟练分析题目的意思找到突破口
2. 熟练掌握几种常见的解决最值问题的办法。
3. 培养综合分析问题的能力。
二、知识要点
1.从极端的情况考虑问题。
2.用枚举法解决最值问题。
3.公式法解决最值问题。
（和一定时，数越接近，乘积越大。
积一定时，数越接近，和越小）
4.综合法解决最值问题 三、例题精选
【例1】 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257、
1459等等，这类自然数中最大的是多少？
【巩固1】有一类自然数，它各个数位的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是几？
【例2】 一只蚂蚁从长、宽都是3分米，高是8分米的长方体纸箱的A 点沿表面爬到B 点，请在图中画出蚂蚁爬
行的最短路径线。
【巩固2】唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
”诗中隐隐含着一个
有趣的数学问题。
如图，将军在观望烽火后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后，再走到B 点的营地。
请画出将军可以走的最短路径。
【例3】 有13个不同的非零自然数，它们的和是100。
问其中偶数最多有多少个？ 并写出此时的13个数。
(答
案不唯一）
A B
【巩固3】有7个不同的自然数的和是30，其中偶数最多有几个？最少有多少个？
【例4】一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25。
除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和。
问：这组数之和的最大值是多少？最小值是多少？
【巩固4】一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各若干个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？
【例5】一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。
为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个？
【例6】*23个不同自然数的和是4845，这23个数的最大公因数最大可能是多少？
四、回家作业
【作业1】在一个直角三角形中，两条直角边的和为9厘米，则三角形的最大面积是多少？
【作业2】一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。
为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？
【作业3】有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？
【作业4】五人参加数学竞赛,共得438分,获第一名得了99分,其余四人分数是整数,每人分数各不相同,获第二名的同学至少得了分?
【作业5】有10个互不相同的自然数。
它们的和为80，其中偶数最多有几个？。