浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案
浙江省宁波市2020年12月高中数学竞赛 PDF版含解析
解析：由 S2 S3 a3 0 ，所以 A 正确； 由 S4 S3 a4 0 ，所以 B 正确； 由 a1 a2 a3 0 S3 0 ，所以 C 正确； S4 = a1 + 3a3 0 ，所以 D 不正确
6. B，D
由 sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 sin2 A = cos2 B + cos2 C sin2 (B + C) = cos2 B + cos2 C
2020 年宁波市高中数学竞赛试题 第4页（共 4 页）
2020 年宁波市高中数学竞赛试题答案
一、选择题Ⅰ（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每小题列出的四个选项
中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
1.C
分析：由 (a
+
b)2
+
(a
− b)2
=
2
2a
+
2
2b
可得.
2020 年宁波市高中数学竞赛试题
2020 年 12 月 13 日 9:00-11:00
注意： 报考 A 组的考生作答 A 卷（所有试题），报考 B 组的考生作答 B 卷（前 17 题）．
请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上．
一、选择题Ⅰ（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．每小题列出的四个选项 中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）
16．已知正项等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a3 = 4 ， a2a4 = 3S3 − 5 ．
（Ⅰ）求an 的通项公式；
（Ⅱ）设命题 p ：存在正整数 m, n （其中 m n ）及k {−1, 0,1}, k = 1, 2, , n ，使得
浙江高三高中数学竞赛测试带答案解析
浙江高三高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合}，且,则实数取值范围为（）A．B．C．或D．2.若则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知等比数列{}：且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（）A．B．C．D．4.已知复数为虚数单位），且，则（）A．B．C．或D．或5.已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是（）。
A．B．其中是抛物线过的切线C．D．6.某程序框图如下，当E0.96时，则输出的K=（）A．20B．22C．D．257.若三位数被7整除，且成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（）个。
A．4B．6C．7D．88.设函数，则函数的极大值点为（）A．B．C．D．9.已知为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（）。
A．B．C．D．二、填空题1.若，则_________________。
2.已知，若当时恒大于零，则的取值范围为_____________ 。
3.数列，则数列中最大项的值为______________。
4.若，满足，则 ,。
5.设直线与曲线有三个不同的交点,且,则直线的方程为_________________。
6.若则________________________。
7.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限轴上的整点），其运动规律为或。
若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有__________________种不同的运动轨迹。
三、解答题1.已知抛物线，过轴上一点的直线与抛物线交于点两点。
证明，存在唯一一点，使得为常数，并确定点的坐标。
2.设二次函数在[3,4]上至少有一个零点，求的最小值。
3.设满足数列是公差为，首项的等差数列；数列是公比为首项的等比数列，求证：。
4.设证明。
浙江省全国高中数学联合竞赛试题(浙江卷)
参考解答与评分标准说明：本试卷分为 A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2 2题组成，即10道选择题，7道填空题、3 道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前 20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解 答题。
一、选择题（每题 5分，共50分）11. 已知数列｛a n ｝满足3a n+i +a n =4（ n > 1），且a i =9,其前n 项之和为 S 。
则满足不等式|S n - n-6|< -125的最小整数n 是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 82. 设0是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形 ABC 的中心，过 0的动平面与 PC 交于S,与PA PB1的延长线分别交于 Q R ,则和式 ——PQA .有最大值而无最小值C.既有最大值又有最小值，两者不等log &x=log b (4x-4)的根，则△ ABC(次记为： (花，yj(x 2, y 2),L ,(X n , y n ),L ;若程序运行中输出的一个数组是（x, 10）,则数组中的x （）1 PR1 PS (B . D.有最小值而无最大值 是一个与面QPS 无关的常数 』3x3 .给定数列{X n } , X 1 = 1，且 X n+1= n73 X n2005则n X n =()1C. 2+ .. 3D. -2+ , 3—►4.已知 a =(cos 2 —n . 2 — f ,sin n ), OA a 3 3等腰直角三角形，则厶OAB 的面积等于（A . 1B .-2b , OB a b ，若△ OAB 是以O 为直角顶点的）C. 2D.-225.过椭圆C:—32J 1上任一点P ,作椭圆C 的右准线的垂线 PH （ H 为垂足），延长PH 到2点 Q,使 |HQ|=入 |PH|( ( )入》1）。
当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为B. (X32D.6 .在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为 a 、b 、c （b 工 1），且—,A sinB都是方程sin AA .是等腰三角形，但不是直角三角形C. 是等腰直角三角形B. 是直角三角形，但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形7.某程序框图如右图所示，现将输出（x, y)值依A . 1 B. -1A . 64B . 32C . 16D . 88.在平面区域 （x,y ）|x| 1,|y| 1上恒有ax 2by 2，则动点P （a,b ）所形成平面区域的 面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 32sin(2x ) m 在0, 上有两个零点，则6 210. 已知 a [ 1,1]，则 x 2 （a 4）x4 2a 0 的解为（）A. x 3或 x 2B. x 2或 x 1C. x 3或 x 1D. 1x3二、填空题（每题 7分.共49分）11.若 log 4（x+2y ）+log 4（x-2y ）=1，则 |x|-|y| 的最小值是.12 .如果:(1) a, b, c, d 都属于{1,2, 3, 4}(2)b, b 丰 c, c 丰 d, d 丰 a(3) a 是a, b, c, d 中的最小数 那么，可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是 _________ .13.设n 是正整数，集合 M={1, 2，…，2n}.求最小的正整数k ,使得对于 M 的任何一个k元子集，其中必有 4个互不相同的元素之和等于 _____________________14. ______________________________________________________________________ 若对|x| < 1的一切x , t+1>(t 2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是 ___________________________________ . 15.我们注意到6!=8 x 9X 10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数 n为 __________ .16 .对每一实数对(x, y)，函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1 。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题(解析)
2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛解析1：设r 为方程330x x -+=的解，则以为其解的首项系数为1的整系数一元三次方程为 ．解析: 因为设r 为方程330x x -+=的根，则 ，两边平方可得，即242(21)9r r r ⋅-+=，打开可得64229r r r -+=,故该一元三次方程为32290x x x -+-=．故填：32290x x x -+-=2：已知2[,1]()min {21}x a a f a x x ∈+=--，则在上的最大值为 ． 解析：由题意得：222,0()2,0121,1a a f a a a a a ⎧-≤⎪=-<≤⎨⎪-->⎩，所以在上的最大值为；故填．3：某竹竿长为24米，一端靠在墙上，另一端落在地面上．若竹竿上某一节点到墙的垂直距离和到地面的垂直距离都是7米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为米 ，或 米．解析1：以边为参由题得：AEC CFB ≅，所以，即，即，且22224a b +=，所以，即()()214576a b a b +-+=，因为，所以，所以，即为方程2322240x x -+=的两根，或，故填与．解析2：以线为参设直线方程为，则在直线上，所以，且22224a b +=，下同解法1．解析3：以角为参设，因为，所以，结合22sin cos 1θθ+=，得，所以为与．4：设则的最大值为 ．解析1：半角+基本不等式分子分母同除以得故填：解析2：辅助角公式由222124133y y y y y ∴≤⇒≤+⇒≤∴≤ 故填： 解析3：辅助角公式sin3sin cos 2sin 2,2cos 62cos x x x x x x y x π⎛⎫+=+≤≤-∴=≤ ⎪-⎝⎭故填： 解析4：换元二次函数最值令[]2cos 1,3t x =-∈则取等号时故填：解析5：根判别式（万能法）令[]cos 1,1t x =∈-则()()22111641410,333m m m m y y ∆=-+-≥⇒≤∴≤⇒≤取等号时[]111,132m t =⇒=∈- 故填：解析6：斜率几何意义切线令可以看做动点()cos ,sin A x x -和点的斜率最大值则()cos ,sin A x x -在单位圆上；设则故 故填： 5：在四面体中，棱,,PA AB AC 两两垂直，且PA AB AC ==，分别为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ．解析1：等体积法不妨设1PA AB AC ===，则，， 由1112326P ABC E ABC V V AB AC AP --==⨯⨯⨯=，设到平面的距离为，则11312E ABC PBC V S d -=⋅==△，故， 又，，且易知AE AF ⊥（平面），故，设直线与平面所成角为，则，故答案为．解析2：建系，纳入正方体考虑不妨设1PA AB AC ===，因棱,,PA AB AC 两两垂直，可以以为原点，以，，为轴正方向单位向量建立空间直角坐标系，则，，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，，，111(,,)222EF =-， 可视为棱长为1的正方体的一角，可知平面的法向量方向为正方体体对角线方向(1,1,1)n =设直线与平面所成角为，则，故答案为．6：设平面上不共线的三个单位向量，满足．若，则|2(1)|a tb t c -++-的取值范围为 ．解析：设,,,2'a OA b OB c OC a OA ====，则由于，则为的重心．由于，若设(1)tb t c OP +-=，则点在线段上．设线段的中点为．由此的最小值为 ，最大值为|'|1BA =+ 故|2(1)|a tb t c -++-的取值范围为．7：设为复数，且．当取得最小值时，此时复数 ，或 ． 解析：运用共轭复数的性质注意到，则，． 23422222113133z z z z z z z z z z z z z ⎛++++⎫++==++++ ⎝+⎪+⎭其中2Re z z z +=（表示的实部），令，则．则()2222z z z zz z +++=,，则2222133124z z z t t t z ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭++++=．则当时，取最小值，此时，则Im z ==． 则或． 8：已知由个正整数组成的六位十进制数中，其个位上的数字是的倍数，十位和百位上的数字都是的倍数，且六位数的数码和为，则满足上述条件的六位数的个数为 ．解析：（分类+隔板法）○1个位为，十位、百位都为，则有个； ○2个位为，十位、百位为和，则有227242⋅=C A 个；○3个位为，十位、百位为和或都为，则有22242418⋅+=C A C 个；○4个位为，十位、百位都为，则有个； ○5个位为，十位、百位为和，则有个； 综上所述，共有个，故填． 9：一个正整数若能写成20827a b c ++（为非负整数）形式，则称它为“好数”，则集合中好数的个数为 ．解析：将中的数按除以8的余数分类，不妨记[](){}mod8i x x i =≡，则可分为八类，其中20，27，则中最小的数为8，因为820081270=⨯+⨯+⨯，最大的数是200，因为（还有其他不同的满足要求），共25个；中最小的数为81，因为8120080274=⨯+⨯+⨯，最大的数是193，因为，共15个；……依次类推，可列表如下：故共有：25+15+16+22+23+13+19+20=153个．10：设是集合的一个排列．如果存在且，则称数对为一个逆序，排列中所有逆序对的数目称为此排列的逆序数．比如，排列1432的逆序为43,42,32，此排列的逆序数就是3．则当时，且的所有排列逆序数的和为 ．解析：由于第三个数为4，故这样的排列一共有种，由于除4以外的每个数位置都等价（都存在一前一后），所以除4以外的逆序数和为．接下去计算与4有关的逆序数和，当1,2,3都在4右边时，此时与4有关的逆序数对为5，所以共有3232560A A ⨯=；当1,2,3有两个在4右边时，此时与4有关的逆序数对为3，所以共有213232323216C C A A ⨯=；当1,2,3只有1个在4右边时，此时与4有关的逆序数对为1，所以共有132332136C A A ⨯=．综上可得所有逆序数的和为． 11． 已知数列，且，，令，记数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2(1)101n S n λ+≤+恒成立，求实数的取值范围．（1）解析：2n ≥，所以数列是常数列， 于是，所以． （2）解析：因为，所以,(1)101n S n λ+≤+λ≤对任意的恒成立，则max min λ≤≤，所以． 12． 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆的任意三个顶点构成的三角形面积为．（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线与椭圆交于相异两点，且2AP PB =，求实数的范围．解析：（1）设椭圆的长半轴长为短半轴长为则有，解得，，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为,x my λ=+设两个交点坐标为，．由2AP PB =，得到．联立方程组 得到222(4)210m y my λλ+++-=显然，为方程②的两个相异的实根，则有22222(2)4(1)(4)04(1)m m m λλλ--+>⇒>-由韦达定理得，联立①得到又，不符合题意．把④代入③得到 22224(1)1114(1)1(1,)(,1)91933λλλλλ->-⇒<<⇒∈--⋃- 13． 已知函数．（1）若恰有三个根，求实数的取值范围；（2）在（1）的情形下，设的三根为，且，证明．解析：（1）时，，时，，所以函数在，且()(),(1)0,(0),(0)0,f x x f f f -+→+∞→∞-=→+∞→故（2）设，下证()x f x g ≤)(在()0,∞-∈x 上恒成立．即证，变形得到，在()0,∞-∈x 上，显然成立．设()a x g =在()0,∞-∈x 上有两解，且．可得：，注意到的单调性，有． 通过解二次方程可以解得24,242524--=---=a a x a a x ， 则有a x x x x =-<-4512．14：设正整数， 已知个数，记两两之和为，得到如下表格：…………………………………………若在上述表格中任意取定个数，可以唯一确定出个数，求的最小值．解析：（1）当时，显然由才能唯一确定出，此时．（2）当时．显然由2314k C ≥+=，否则取某三个数的两两之和不能确定出第四个数． 当时，如果21314243,,, b b b b 这4个值，也无法确定出． 当时，若已知 中任意五个数的值．不妨设的值未知，则由可以确定33243421(())2a b b b =+-，从而唯一确定出．（3）当时，显然由当211n k C -≥+，下面证明最小值取到等号．（a ）当时，2417k C =+=，即如果知道7个，则一定存在一个下标s ，（或）最多出现2次，至少出现1次．事实上，7个共有14个下标，而1,2,3,4,5每个下标出现3次及以上，就共出现15个下标，这是不可能的．因此根据（2），由至少5个的值可唯一确定出，再由至少出现一次的（或）唯一确定出． （b ）当时，用数学归纳法证明．当取k 个时，一定存在一个下标s ，（或）最多出现次（因为2(1)k n n <-），则至少有由归纳可知，这些可唯一确定出，然后再有（或）确定出．15： 设为实数列，证明解析：证明：不等式的左边=，由Cauchy 不等式得，由等式以及，从而只需证明（1）以及 （2）这两个不等式是一样的（对调）下面证明：()12212m n ⎛⎫ ⎪⎛⎫≤- ⎪⎝⎭ （3） 该不等式等价于()12212m n ⎛⎫≤-⇔ ⎪⎝⎭≤ 而由，可知最后的不等式成立，对（3）求和即得（1）式，得证。
浙江省高中数学联赛试题及参考答案
n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ T= n+1
bn+1 − ai + an+1 − bi − an+1 − ai − bn+1 − bi + bn+1 − an+1 + Tn
解得 a ≥ 1。………………………………………………………………10 分
（2）当 0 < − a ≤ 1 时，即 −1 ≤ a < 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右 22
端点取得，而对 b = 0 有 f (1) = 1 + a < 1, f (− a ) = −a2 < 1。
x≤0 x≤2
由 f ( f (x)) +1 =0 得 到
x + 3, x > 2
f (x) = −2, 或 f (x) = 0 。 由 f (x) = −2, 得 一 个 解 x = −1 ； 由 f (x) = 0 得 两 个 解
x = −3, x = 1 ，共 3 个解。 3
9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ，则 x 的取值范围为 ______________。 解 由 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ⇒ ( x − y − 2)2 + ( y − 3)2 =1。令
−
2018 4
=5 16
(52018
− 1)
−
2018 4
=52019 16
−
8077 16
。
3.
已知α , β
∈
3π 4
,π
， cos(α
浙江高三高中数学竞赛测试带答案解析
浙江高三高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，，，则集合（）A．B．C．D．2.若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．3.如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A．B．C．D．4.在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．6.记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（）A．2B．C．D．1二、填空题1.数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．2.省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．3.已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为__________． 4.已知，则的取值范围为__________．5.已知是偶函数，时，(符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．6.已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为__________．7.方程的正整数解为______________（写出所有可能的情况)．8.一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为__________．三、解答题1.已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．2.（12分）如图，椭圆（）的离心率，短轴的两个端点分别为B 1、B 2，焦点为F 1、F 2，四边形F 1 B 1F 2 B 2的内切圆半径为（1）求椭圆C 的方程；（2）过左焦点F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，交直线于点P ，设，，试证为定值，并求出此定值．3.已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值； （2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．浙江高三高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.若集合，，，则集合（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】依题意，，．由，知；，知或．所以，或，即．故选D；2.若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，函数的值域为，当时，，即时，，且时恒成立．∴，的取值范围为．故选A；3.如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设 (在上，在上，在上)．由，，知，，．∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧) 长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．故选B．点睛：想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧，找到相应的圆弧的圆心角，和半径，弧长就求出来了；4.在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理可得，在中，“”则，则，由倍角公式可得，可得，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.【考点】正弦定理与倍角公式.5.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则函数为奇函数且在实数上为增函教，不等式转化为故选D．6.记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（）A．2B．C．D．1【答案】B【解析】可以不妨设，因为，所以，故所以，，所以（当且仅当时取等号)故选B．二、填空题1.数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．【答案】小乐，小强，小明．【解析】其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．2.省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．【答案】42;【解析】分两类(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法．故结果为42．3.已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】函数视作为的函数问题等价于对于，由于，所以所以问题等价于，即，所以．故结果为．点睛：双变元问题，先看成函数视作为的函数，求出最值；再看成x的函数求最值．4.已知，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】由及有，所故结果为．5.已知是偶函数，时， (符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．【答案】;【解析】作出函数与的草图(如图所示)．易知直线恒过点，是方程的一个根．从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．∴的取值范围为．点睛：方程的根转化为函数的零点，图像的交点问题，且发现直线过定点；根据图像得到结果．6.已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为__________．【答案】;【解析】极点在右焦点的极坐标方程为，所以，，从而，可得，，所以直线的斜率为．7.方程的正整数解为______________（写出所有可能的情况)．【答案】;【解析】．∴，∴，．由，知，因此，．∴，若，则，，．将，代入题中方程，得．若，则，．由知，不存在．若，则．以，，又，因此，．经验证只有符合．将代入题中方程，得．∴符合条件的正整数解有或．8.一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为__________．【答案】5;【解析】一方面可以构造5 项的数列：符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过5项．否则取出前6 项，作出如下排列：由每行的和为负数，知这12 个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12 个数之和为正数．矛盾．故结果为5．三、解答题1.已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．【答案】(1)；(2)的取值范围为；（3）见解析．【解析】（1）点的坐标为；点在上，则（2）方程的根转化为图像的交点；（3）裂项求和．（Ⅰ）函数的图像恒过定点，点的坐标为又因为点在上，则即，∴（Ⅱ）即，∴由图像可知：，故的取值范围为．（Ⅲ），∴ ，．点睛：主要考查函数零点，方程的根，图像的交点可等价；再就是数列裂项求和问题．2.（12分）如图，椭圆（）的离心率，短轴的两个端点分别为B 1、B 2，焦点为F 1、F 2，四边形F 1 B 1F 2 B 2的内切圆半径为（1）求椭圆C 的方程；（2）过左焦点F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，交直线于点P ，设，，试证为定值，并求出此定值． 【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）设四边形F 1B 1F 2B 2的内切圆与边B 1B 2的切点为G ，连接OG ，则|OG|=由S △OB2F2=|OB 2||OF 2|=|B 2F 2||OG|，|OB 2|=b ， |OF 2|=c ， |B 2F 2|=a ，得bc=a又∵e=解得a=2，b=故椭圆方程为：（2）设直线MN 的方程为y=k （x+1）代入椭圆方程，整理得 （3+4k 2）x 2+8k 2x+4（k 2-3）=0设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1+x 2= ，x 1x 2=又P （-4，-3k ），F 2（-1，0） 由 ， 得，∴∵∴为定值【考点】本题考查椭圆的几何性质 向量共线 点评：解决本题的关键是利用向量共线，求出即可3.已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值； （2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.试题解析：（1）对求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当时，，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：∴，故“在上恒成立”只需，即．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【考点】函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.。
2024年浙江省宁波市高中数学竞赛试题(含答案)
2024年宁波市高中数学竞赛试题一、单选题：本题共4小题，每小题6分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两圆C 1，C 2，则“C 1，C 2有且仅有三条公切线”是“C 1，C 2相切”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.若α∈{12,1,2}，则函数f(x)=x a ln(x 2+1)的图象不可能是( )A. B.C. D.3.已知对任意平面向量AB =(x,y)，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP =(x cos θ−y sin θ,x sin θ+y cos θ)，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P.已知圆锥曲线Γ:7x 2+2xy +7y 2=24经过旋转后其方程可以变为标准方程，则此曲线的离心率为( )A. 12B.32C. 1D.24.已知△ABC 的内心为I ，垂心为H ，∠B =π4，若IH//BC ，则∠C 的大小落在区间( )A. (0,π6)B. (π6,π4)C. (π4,π3)D. (π3,π2)二、多选题：本题共3小题，共24分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
5.设a ，b ，c 是互不相等的正数，若关于x 的不等式a x −b x +c x >0成立.当且仅当x ∈(−∞,1)，则( )A. a+c<2bB. 1a +1c>2bC. e a+e c>2e bD. ln a+ln c<2ln b6.数列{a n}是等差数列，周期数列{b n}满足b n=cos(a n).若集合X={x|x=b n,n∈N∗}，中恰有三个元素，则数列{b n}的周期T的取值可能是( )A. 4B. 5C. 6D. 77.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点M是线段A1D1上的动点，点N在侧面BCC1B1(包含边界)上且满足B1N⋅C1N=0，下列结论正确的是( )A. 对任意的点M，总存在点N使得MN⊥ACB. 三棱锥M−BCN外接球的球心可以是线段BM的中点C. 三棱锥M−BCN外接球半径的最小值为928D. 二面角M−AC−N的正切的最大值为722三、填空题：本题共6小题，每小题8分，共48分。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)(浙江省六校第四次数学竞赛联考)一试试题(模拟4)解答
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（模拟4）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．．角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若1()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．答案：1．解：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，所以()()20f f =-，()()31f f =-，()()()420=-=f f f ，即()()()()()()()()123410100+++=--+=f f f f f f f f ．若20231()1k f k ==-∑，则()()()()()123420231+++++=- f f f f f ，即()()()()()()()50512341231f f f f f f f ⎡⎤⨯++++++=-⎣⎦，可得()()()()()()1231011++=--=-f f f f f f ，所以()01f =．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线22:1(0,0)a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．⎫⎪⎭123456234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求的最小值．10．（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．解：已知3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d ，满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，因为3()22f x x x =-是奇函数，所以若存在一个矩形，则矩形的中心在原点，则…………12分…………16分为F ，过F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．。
2022年浙江省宁波市高中数学竞赛试题(含答案解析)
2022年浙江省宁波市高中数学竞赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB BC AC ++=（）A ．1BC D2．已知,a b R ∈，则“a b >”是“a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体ABCD 中，设弧,AC BD 的中点分别为M ，N ，若线段AB 的长度为a ，则（）A ．弧AC 的长度为3aπB ．线段MN 的长度为aC ．勒洛四面体ABCD 能置于一个直径为a 的球内D ．勒洛四面体ABCD 的体积大于3124．已知A ，B 分别在两圆222212:1,:4C x y C x y +=+=上运动，且在1C 上存在点P ，使得AP BP ⊥，则线段AB 中点M 轨迹的面积为（）A ．πB ．54πC ．2πD ．94π二、多选题5．一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件A =“摸出的球是红球”，事件B =“摸出的球标号为偶数”，事件C =“摸出的球标号为3的倍数”，则（）A ．事件A 与事件C 互斥B ．事件B 与事件C 互斥C ．事件A 与事件B 相互独立D ．事件B 与事件C 相互独立6．已知0a >且1a ≠，关于x 的不等式31x a a >-，下列结论正确的是（）A ．存在a ，使得该不等式的解集是RB ．存在a ，使得该不等式的解集是∅C ．存在a ，使得该不等式的解集是(,2022)-∞D ．存在a ，使得该不等式的解集是2022(,)+∞7．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，(1)(1)2,()(2)2,(4)()2f x g x g x f x g x f x -++=--=--=，且当(0,1]x ∈时，2()1f x x =+，则（）A ．(2022)2g =B ．()(2)0g x g x ++=C ．函数()f x 在(1,3)上单调递减D ．方程(2022)f x x +=有且只有1个实根8．设函数()f x 的定义域为I ，区间(,)a b I ⊆，如果对于任意的常数0M >，都存在实数12,,,n x x x ，满足1n a x x b <<<< ，且()()111n i i i f x f x M -+=->∑，那么称()f x 是区间(,)a b 上的“绝对差发散函数”．则下列函数是区间(0,1)上的“绝对差发散函数”的是（）A ．1()21x f x x =++B ．()tan2x f x π=C ．2,,(),.x x f x x x ⎧=⎨⎩为无理数为有理数D ．()cos2f x x xπ=三、填空题9．设O 为坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，若P 是该抛物线上一点，且23PFO π∠=，则点P 到y 轴的距离为_____．10．已知实数12,x x 满足()11222ln 3,ln 121x x x x +=--=，则12x x +=_____．11．在44⨯的16个方格中填上实数，使得各行各列都成等差数列．若其中4个方格中所填的数如图所示，则图中打*号的方格填的数是______．*1313133912．已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，M ，N 分别为棱11,BB CC 上的点．若平面AMN 将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AMN 的面积的最小值为_____．13．已知n *∈N ，集合{}(,)1|22|1,,n nn A x y x y x y =-+-<∈R ，记1n n A A ∞== ，则集合A中的点组成图形的面积为________．14．已知m ∈R ，关于z 的方程()()2220z z m z z m ++++=有四个复数根1234,,,z z z z ．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m 的值为________．四、解答题15．如图，在ABC 中，2ACB ABC ∠=∠．设点D 是BC 边上一点，满足2BAD ABC ∠=∠．(1)记ABC θ∠=，用θ表示ABBD；(2)若111AB AC+=，求BD ．16．已知0a ≥，设函数()|||1|f x x a ax =-+-．(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)若对任意的x ∈R ，不等式()(2)f x x a x ≥-恒成立，求a 的取值范围．17．设点(0,2),(0,2),(0,4)A B F --，过点F 作斜率为k 的直线l 交椭圆221:1164x yΓ+=于C ，D 两点．(1)记直线,,,AC AD BC BD 的斜率分别为1234,,,k k k k ．从下列①②③三个式子中任选其一，当k 变化时，判断该式子是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．①12k k ⋅；②14k k ；③23k k ．(2)当直线,BC BD 分别交双曲线222:1412y x Γ-=的下支于P ，Q 两点（异于点B ）时，求||||PF QF +的取值范围．18．已知无穷正整数数列{}n a 满足()21220222n n n a a n a *+++=∈+N ．(1)若21a =，求2022a ；(2)求12022a a +的取值的集合．19．甲、乙两人分别进行投硬币和掷图钉试验，每人各进行100次试验．设k a 为前k 次试验中硬币正面向上的次数，k b 为前k 次试验中图钉针尖朝下的次数，记,(1,2,3,,100)k k k k a bp q k k k=== ．(1)若11000,0.5p p ==，问是否存在常数P ，不论试验过程中k p 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k p P =？若存在，求出所有P 的可能值；若不存在，请说明理由；(2)若11000,0.7q q ==，问是否存在常数Q ，不论试验过程中k q 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k q Q =？若存在，求出所有Q 的可能值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．D【分析】利用向量的线性运算和垂直向量的数量积为0可求题设中向量的模.【详解】|2||23|AB BC AC AB BC ++=+= ，故选：D ．2．A【分析】判断条件间的推出关系，根据充分必要性的定义判断即可.【详解】当a b >：若,a b 异号，即0a b >>，显然a b >成立；若0a b >≥或0a b ³>，均有a b >成立；所以充分性成立；当a b >：若2a =-，1b =，显然a b >不成立，故必要性不成立.所以“a b >”是“a b >”的充分不必要条件.故选：A 3．D【分析】根据球的对称性可得球心,A C 到弧AC 所在的平面的距离为2a，从而可求弧AC 所在的平面与球的截面圆的半径，故可判断A ；设,AC BD 的中点为分别为,E F ，由球的对称性可得,,,M E F N 共线，连接,BE DE ，计算可得线段MN 的长度，故可得判断BC ，计算出正四面体的体积后可判断D 的正误.【详解】选项A ，弧AC 为两个半径为a 、球心距为a 的球面相交所得的小圆中的弧，根据球的对称性，球心,A C 到弧AC 所在的平面的距离为2a ，因球的半径为a ，故弧AC 所在的平面与球的截面圆的半径为2a ，因为弦AC 的长度为2a a >，故弧AC 所对的圆心角为大于π3，故弧AC 长不为3a π．故A 错误；选项B ，设,AC BD 的中点为分别为,E F ，由球的对称性可得,,,M E F N 共线，连接,BE DE .由A BCD -为正四面体可得AE DE ==，故2EF a ==，而弧AC所在的平面与球的截面圆的半径为2a ，故22222MN a a a a a ⎫=-+=->⎪⎝⎭⎭，故B 错误；选项C ，由MN a >，故C 错误；选项D ，设BCD △的外接圆的圆心为O ，连接AO ，则AO ⊥平面BCD.而12OB =，故AO ==，故由四面体ABCD的体积为2313a ，故D 正确．故选：D.4．C【分析】先考虑//PA x 轴的情形，此时可设(cos ,sin ),(cos ,sin )A P θθθθ-，从而可得M 的轨迹为线段13022x y ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，当弦AP 在圆上转动时，则可得M 的轨迹为圆环，从而可求其面积，我们也可以作矩形PACB ，利用向量关系可求可得M 的轨迹为圆环，从而可求其面积.【详解】法一：先考虑//PA x 轴时的情形，如图：设(cos ,sin ),(cos ,sin )A P θθθθ-，不妨设,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，(cos B θ-，所以0,2sin M M x y θ==设sin [1,1]t θ=∈-，则()[1,1]f t t t =+∈-，则()f t 在[]0,1递增，此时()f t ∈；当10t -≤≤时，()f t =因为y y t ==-在[]1,0-上均为减函数，故y t =在[]1,0-上为减函数，且y t =在[]1,0-上的值域为⎤⎦，故()f t =[]1,0-上为增函数，此时()f t ∈，所以()[1,3]f t ∈，此时M 的轨迹为线段13022x y ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭．则当弦AP 在圆上转动时，上述线段会扫出一个内径为12，外径为32的圆环，易得面积为2π．法二：如图，作矩形PACB ，其对角线的交点即为M ，连接,,,,OA OB OP OC 取OP 的中点E ，连接EM ，则()()222222||||22OA OB OM MA OM MB OM MB +=+++=+ ,同理222222||||2222OP OC OM MC OM MB +=+=+ ，故2222||||||||OA OB OP OC +=+，即||2OC =，即C 在圆2C 上.则1||||12EM OC ==，则点M 在OP 中点E 为圆心，1为半径的圆上.若记cos sin (cos ,sin ),,22P E θθθθ⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 的轨迹方程为22cos sin 122x y θθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223cos sin 4x y x y θθ+-=+，当θ变化时，x ，y1≤，可得1322≤≤．所以当P 变化时，点M 的轨迹为，内径为12，外径为32的一个圆环，此圆环的面积为2π．故选：C.5．ACD【分析】根据互斥事件的概念可判断AB 的正误，根据独立事件的判断方法可得CD 的正误.【详解】对AB ，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数，故事件A 与事件C 互斥，故A 正确；若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B 与事件C 不互斥，故B 错误；对C ，21411(),(),()()()84828P A P B P AB P A P B ======⋅，所以C 正确；对D ，211(),()()()848P C P BC P B P C ====⋅，所以D 正确；故选：ACD ．6．ACD【分析】结合指数函数相关知识对选项逐一进行判定.【详解】①1,031,3xa a a x R ≤>≥-∈，故A 正确；②log (31)11,31log (31)3aa xa a a a a x a -><<-=⇒<-，又()log (31)log 2,a a a -∈+∞，故存在a 使得log (31)2022a a -=，不等式解集为(),2022-∞故C 正确；③log (31)1,31log (31)aa xa a a a a x a ->>-=⇒>-，又log (31)(log 2,)a a a -∈+∞，故存在a 使得log (31)2022a a -=，不等式解集为()2022+∞，故D 正确；④结合A 、C 、D 选项，当13a ≤或113a <<或1a >时，不等式都存在解集，故不满足解集为空集，所以B 错误.故选：ACD ．7．ACD【分析】由题设中的三个关系式可得()()24g x g x ++=、()()4g x g x =+、(2)(4)0f x f x -+-=、()()f x f x =--，再利用赋值法可判断AB 的正确，最后再结合(0,1]x ∈时2()1f x x =+可得()f x 的图象，从而可判断CD 的正误.【详解】对AB ，由(1)(1)2(4)()2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得()(2)2(4)()2f x g x g x f x +-=⎧⎨--=⎩，故(2)(4)4g x g x -+-=，所以[][]2(2)4(2)4g x g x --+--=，所以()()24g x g x ++=，故B 错误.故()()244g x g x +++=，故()()4g x g x =+，故()g x 为周期函数，且周期为4，而(1)(1)2()(2)2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得()(2)2(2)()2f xg x g x f x +-=⎧⎨+-=⎩，故()()224g x g x ++-=，令0x =可得(2)2g =，所以(2022)(2)2g g ==，故A 正确；对C ，由(1)(1)2(4)()2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(2)()2()(4)2f xg x g x f x -+=⎧⎨--=⎩故(2)(4)0f x f x -+-=，即(2)(),(4)()f x f x f x f x +=-+=，由(1)(1)2()(2)2f x g x g x f x -++=⎧⎨--=⎩可得(1)(1)2(1)(1)2f xg x g x f x -++=⎧⎨+--=⎩(1)(1)0f x f x -+-=，即()()f x f x =--，故()f x 为奇函数且()f x 为周期函数且周期为4.根据上述性质可得()f x 的图象如下，故()f x 在(1,3)上单调递减，所以C 正确；对D ，又(2022)f x x +=即为(2)f x x +=，此方程即为()2f x x =-的解.结合()f x 的图象可得该方程只有1个解即为2x =，所以D 正确．故选：ACD ．8．BCD【分析】对于AB ，可利用导数或基本初等函数的性质研究选项中函数的单调性，从而可判断和的范围，进而判断正误，对于CD ，可取特殊序列，结合放缩法可判断选项的正误.【详解】对A ，()()()222121()21121x f x x x +-'=-=++，当1)x ∈时，()0f x '<，当1,1)x ∈时，()0f x '>，故()f x在1)递减，在1,1)递增，对任意的101n x x <<<< ，存在*N i ∈，使得11011i i n x x x x +<<≤<<<< ，所以()()()()11111()()n i i i n i i f x f x f x f x f x f x -++=-=-+-∑，)()()(){}111max 0,112f f x f f -=-≤<=()112n f x -≤<，故()()1113n i i i f x f x -+=-<-∑A 错误；对B ，因为ππ0,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()tan 2x f x π=在()0,1是递增的，对给定的任意的常数0M >，取112x =，考虑()π1tan2,,122x s x M x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，因为1102s M ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，而当1x →时，()s x →+∞，则()πtan 22x s x M =--在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有解，设该解为n x ，故此时()()111πππtantan tan 1242n n n i i i x x f x f x -+=-=-=-∑，则()()1111n i i i f x f x M M -+=-=+>∑，故B 正确；对C ，对给定的任意的常数0M >，设递增数列{}k x 满足：11,,1,2,3,,32k x k n ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，且21k x -为有理数，2k x 为无理数，故221211,,411932k k x x -<<<<则()()1221222112k k k k f f x x x x ++-=>-，()()1221222112k k k k f f x x x x ---=>-，所以()()1111(1)12n i i i f x f x n -+=->-∑，当121n M >+时，必有()()111n i i i f x f x M -+=->∑，故C 正确；对D ，对给定的任意的常数0M >，设1,1,2,,2k x k n k== ，则()()1111111112446222n i i i f x f x n n -+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 11123n>+++ ，下证：()()ln 10x x x +<>，设()ln(1),0u x x x x =-+>，则()01xu x x '=>+，故()u x 在()0,∞+上为增函数，故()()00u x u >=，故()()ln 10x x x +<>成立.在上述不等式中令*1,N ,2x n n n =∈≥，则()11ln 1ln ln 1n n n n⎛⎫+-=+< ⎪⎝⎭，故()()111ln 3ln 2ln 4ln 3ln(1)ln ln(1)ln 2n i i i f x f x n n n -+=->-+-+++-=+-∑ ，当2e 1Mn >-时，有()()111(2e 1ln 1)ln 2Mn i i i f x f x M -+=--->+=∑，故D 正确．故选：BCD ．9．3【分析】不妨设P 在第一象限，由题设条件可得直线PF 的倾斜角，从而可求其直线方程，联立抛物线方程后可求P 的坐标，从而可求该点到y 轴的距离.【详解】由抛物线的对称性不妨设P 在第一象限，而()1,0F .因为23PFO π∠=，故直线PF 的倾斜角为π3故直线PF的方程为：)1y x =-，即13x y =+，由2413y x x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2403y y --=，故P y =.故3P x =，即P 到y 轴的距离3．故答案为：3.10．1【分析】令()2ln f x x x =+，根据其为增函数可得121x x =+.【详解】设()2ln f x x x =+，则1()20f x x'=+>，故()f x 在()0,∞+上为增函数，而()22ln 121x x --=即为()()2221ln 13x x -+-=，由题可得()()121f x f x =-，所以121x x =-，即121x x =+．故答案为：111．5【分析】设*号的空格上填的实数为x ，由题设可得关于x 的一次方程，求出其解后可得*号的空格上所填之数.【详解】*A131313BC 39如图，设*号的空格上填的实数为x ，第一行第三列所填数为A ，第三行第二列、第三列所填数分别为,B C ，则13,262x A B x +==-．进而有第三列的公差为396536A xd --==，从而16926x C A d +=+=．又13，B ，C 成等差数列，得1692(26)136x x +-=+，解得5x =．故答案为：512．2【分析】根据体积相等可得3BM CN +=，设,3BM t CN t ==-，其中03t <<，利用面积公式和余弦定理可得AMN S = .【详解】由()111111111111BCNM BCNM A BCNM A BCC B ABC A B C A A B C BCC B BCC B S S V V V V S S ----=⋅=⋅-四边形四边形四边形四边形111111112132BCNM ABC A B C ABC A B C BCC B S V V S --=⋅=四边形四边形，故11334344BCNM BCC B S S =⨯==四边形四边形，从而()1232BM CN +⨯=，故3BM CN +=.设,3BM t CN t ==-，其中03t <<.由正三棱柱可得()()22222243,4,432AN t AM t MN t =+-=+=+-，故11sin 22AMN S AM AN MAN AM AN =⨯∠=⨯12AM AN =⨯⨯14=而()2222224AM AN AM AN MN ⨯-+-=故2AMNS ==≥,等号当且仅当32t =时取到，所以()min 2AMN S =△．故答案为：2.13．1【分析】先由特殊情形可得|1|[0,1),|22|[0,1)x y -∈-∈，结合不等式的性质可得结论：“若1(,)x y A ∈，(,)n x y A ∈”，从而可求图形的面积.【详解】若1(,)x y A ∈，则|1||22|1x y -+-<，从而|1|[0,1),|22|[0,1)x y -∈-∈．所以()*1|22|1221N n n x y x y n -+-≤-+-<∈，即得(,)n x y A ∈，故有11n n A A A ∞=== ．又1A 中的点组成图形为如图所示的菱形：其中()()312,1,1,,0,1,1,22C D E B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，该菱形的对角线的交点()1,1M ，故菱形的面积为12112⨯⨯=.所以集合A 中的点组成图形的面积为1．故答案为：1.14．16【分析】先判断判别式中至少有一个为负，若判别式一正一负，则可根据1234z z z z -=-可求16m =，当判别式均为负时，可根据实系数方程的虚数根为共轭复数可判断此时不合题设条件.【详解】设20z z m ++=根为2121,,14,20z z m z z m ∆=-++=的根为342,,18z z m ∆=-，由题意12140,180m m ∆=-≠∆=-≠，即18m ≠且14m ≠．①当18m <时，1234,,,z z z z 均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾；②当1184m <<时，12,z z 为实数且34,z z 为虚数，且1234z z z z -=-，114816m m m =-=-⇒=；此时22110,063z z z z ++=++=，故12z z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或21z z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，且342626z z ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或432626z z ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，这四个点为以1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为中心，且对角线的方程分别为13x =-，0y =，正方形的顶点.③当14m >时，1234,,,z z z z 均为虚数，因为m 为实数，故12,z z 为共轭复数且121z z +=-，故12,z z 的实部为12-，同理34,z z 的实部为12-，，即四个对应点均在直线12x =-，这与题设矛盾．综上：16m =．故答案为：16m =.15．(1)2cos 1ABBDθ=+(2)1【分析】（1）利用正弦定理可求ABBD；（2）利用正弦定理结合题设条件可得2cos 1AB θ=+，再由（1）中的结论可求BD 的长.【详解】（1）由题,22BAD ACB θθ∠=∠=．在ABD △中，3π2BDA θ∠=-，根据正弦定理可得3sinsin cos cos sin 222sin sin22AB BD θθθθθθθ+==22sincos 2cos sin 222cos 2cos 2cos 12sin 2θθθθθθθθ+==+=+．（2）在ABC 中，根据正弦定理可得sin 2sin AB AC θθ=，所以12cos AC ABθ=，所以1112cos 1AB AC ABθ++==，可得2cos 1AB θ=+．又由（1）知2cos 1ABBDθ=+，所以1BD =．.16．(1)当0a =时，()f x 为偶函数；当0a >时，()f x 为非奇非偶函数(2)0a ≤≤【分析】（1）由(1)(1)f f =-可求0a =，结合偶函数定义可得函数为偶函数，而(1)(1)=--f f 不成立，故可判断()f x 的奇偶性；（2）利用赋值法可得02a <≤，再证明当02a <≤时题设中的不等式恒成立，从而可求求a 的取值范围.【详解】（1）易知(1)2|1|,(1)2|1|f a f a =--=+，若(1)(1)f f =-，则2|1|2|1|a a -=+，解得0a =，此时()()||1f x x f x -=-+=，而x ∈R ，故此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，(1)(1)f f ≠-，而(1)(1)21210f f a a +-=-++>，故(1)(1)f f ≠--，故此时()f x 为非奇非偶函数.综上，当0a =时，()f x 为偶函数；当0a >时，()f x 为非奇非偶函数．（2）0a =时，2()||1f x x x =+≥-显然成立，所以0a =符合．0a >时，若(,0][2,)x a ∈-∞+∞ ，则(2)0()x a x f x -≤≤恒成立，故只需考虑|||1|(2)x a ax x a x -+-≥-对任意(0,2)x a ∈恒成立．（*），取x a =，有221a a -≥，解得212a ≤，即得02a <≤．而当02a x a <≤<<时，21210ax a -≤-≤，故（*）式可化为2||310x a x ax -+-+≥对任意[0,2]x a ∈恒成立，令2()||31g x x a x ax =-+-+，①当(0,]x a ∈时，2()(31)(1)g x x a x a =-+++恒成立；因为对称轴312a x a +=>，故()2()120g x g a a ≥=-≥．②当[,2)x a a ∈时，2()(31)(1)g x x a x a =--+-，因为对称轴312a x a -=≤，且()2()120g x g a a ≥=-≥．故此时2||310x a x ax -+-+≥对任意[0,2]x a ∈恒成立，因此02a <≤．综上：02a ≤≤．17．(1)均为定值，1212433,3,34k k k k k k ⋅==-=-；(2)28,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）设()()1122,,,C x y D x y ，则可用坐标表示1234,k k k k ，联立直线方程和椭圆方程后结合韦达定理化简前者可得它们为定值，从而可得12k k ⋅，14k k ，23k k 均为定值.（2）联立直线PB 的方程和双曲线的方程，求出P x ，再利用公式可求PF ，同理可求PQ ，利用34112k k =可求||||PF QF +的取值范围．【详解】（1）由题可得:4l y kx =-，设()()1122,,,C x y D x y ．l 与1Γ联立()2222441324801164y kx k x kx x y=-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩，则12212232414841k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩．又()22232448410k k ∆=-⨯⨯+>，故2k >或2k <-.选择①：()()()212121212121212126663622kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++--⋅=⋅==222248326363414148441k k k k k k ⨯-⨯+++==+，故12k k ⋅为定值，且1234k k ⋅=，选择②：221111132211112244141614y y y y k k x x x y +---⋅=⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭即1314k k ⋅=-，而()()()21212121234121212222422112kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x ---++++⋅=⋅===.则143414k k k k =-⋅,所以1434134k k k k =-=-⋅，故14kk 为定值，且143k k =-；选择③：同②可得2414k k ⋅=-，则2334134k k k k =-=-⋅,同②可得34112k k ⋅=，故23k k 为定值，且233k k =-．（2）若选择①，则1234k k ⋅=，而221111132211112244141614y y y y k k x x x y +---⋅====-⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理2414k k ⋅=-，故3412121111441612k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭.若选择②，则143k k =-，而221111132211112244141614y y y y k k x x x y +---⋅====-⎛⎫- ⎪⎝⎭，故34112k k ⋅=．若选择③，则233k k =-，而222222222422222244141614y y y y k k x x x y +---⋅=⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，故34112k k ⋅=．综上，无论如何选择，总有34112k k ⋅=.此时34:2,:2PB y k x QB y k x =-=-．PB 与2Γ联立()322322332321231120311412p y k x k k x k x x y x k =-⎧⎪⇒--=⇒=⎨--=⎪⎩，而21P PF y =+，因为P 为双曲线下支上的动点，故2P y ≤-，故22P PF y =--，所以232233248||263131k PF k k =-+=----，同理可得248||631QF k =---．所以()()2234222234343211||||128128173131316k k PF QF k k k k +-⎛⎫+=--=--⨯ ⎪--⎝⎭-++()2234152417316k k =-+-++．因为,BC BD 分别交2Γ下支于P ，Q两点，所以33010123k k ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，且43k k ≠，所以222343231441k k k k ++=，其中2311483k <<且23112k ≠.令()111,,144483g x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()222114411144144x x g x x -'=-=，当114812x <<时，()0g x '<，当11123x <<时，()0g x '>，故()g x 在11,4812⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在11,123⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故22331714448116k k +<<，所以2234117,648k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故()2234179031616k k <-++<，所以28||||3PF QF +>，故28||||,3PF QF ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭．18．(1)1(2){343,677,1013,2023}．【分析】（1）根据递推关系可得()()()312222n n n n n a a a a a ++++-+=-，根据{}n a 为无穷正整数数列可得310a a -=、420a a -=，从而可求2022a .（2）设212,k k a b a c -==，则可得关于bc 的不定方程，求出解后可得12022a a +的取值的集合．【详解】（1）由条件知：2123231222022,222022n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++=++=+，两式相减得()()()312222n n n n n a a a a a ++++-+=-，因为{}n a 为正整数数列，所以1n a ≥，故312222223n n n n n n n a a a a a a a +++++-=-≤-+，若310a a m -=>，则()*2021,N n n a a n k n +-≠=-∈，则312n n n n a a a a +++-<-，故3121n n n n a a a a +++-≤--，则53311a a a a -≤--，57531a a a a -≤--，79751a a a a -≤--，L ，212321121k k k k a a a a -+---≤--，故()1231121k k a a a a k -+-≤---，当311k a a ->-时，21210k k a a -+-<，这与{}n a 为无穷正整数列矛盾.故310a a -=即310a a -=，同理420a a -=，所以2n n a a +=，所以2022202021a a a ==== .（2）由（1）知2n n a a +=，所以设212,k k a b a c -==，则220222b bc +=+，所以2022bc =．而202223337=⨯⨯，所以{,}{1,2022},{2,1011},{3,674},{6,337}b c =，所以2023,1013,677,343b c +=，所以12022a a +的取值的集合为{343,677,1013,2023}．19．(1)不存在；理由见解析(2)存在，12Q =或23．【分析】（1）取两种特殊情形可判断这样的P 不存在.答案第17页，共17页（2）先由特例判断出，12Q =或23，再证明不论试验过程中k q 如何变化，均存在某个()001100k k <<，使得0k q Q =，故可求Q 的值.【详解】（1）不存在，先考虑最后50次试验硬币正面向上，则对应的(1100)k p k <<均小于0.5．再考虑第2次至第51次试验硬币正面向上，则对应的(1100)k p k <<均大于等于0.5．这与最后50次试验硬币正面向上的情形没有公共的取值，故这样的P 不存在.（2）存在，12Q =或23，先考虑最后70次试验针尖向下，则对应的(1100)k q k <<均小于0.7．再考虑第2次至第71次试验针尖向下，则对应的k q 分别为123707070700,,,,,,,,,234717299100，所以符合要求的Q 只可能取12,23．下证对1,2,3n Q n n-==，必存在01100k <<时，使得0001k k b n q k n -==．设(1)k k S nb n k =--，若第k 次试验针尖朝上，则1k k b b -=，则11(1)(1)(1)(1)(1)k k k k S nb n k nb n k n S n --=--=-----=--；若第k 次试验针尖朝下，则11k k b b -=+，则11(1)(1)(1)11k k k k S nb n k nb n k S --=--=---+=+当2,3n =时，()()()11100110,701001100300S nb n n S n n n =--=--=--=-．所以由介值性定理知，必存在01100k <<，使得00k S =，即0001k k b n q k n-==，得证．。
年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷
年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一． 选择题（共6小题，每题6分） 1．设()n n nx a x a a x x 221021+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为（A ）n3 （B ）23-n（C ）213-n （D ）213+n 答： 【 】2．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[- 答： 【 】 3．设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin)(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 】 4．正方体的截平面不可能是(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是：(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】5．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅a c ，4=⋅b c 。
则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答： 【 】6．设函数)(x f y =满足1)()1(+=+x f x f ，则方程x x f =)(根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答： 【 】 二．填空题（共6小题，每题9分） 7. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=32232332x x x x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=56656556x x x x x N ，求 N M = 。
8. 已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = 。
浙江省高中数学竞赛试卷详解
浙江省高中数学竞赛试卷详解一、试卷概述本次浙江省高中数学竞赛旨在考查学生对数学基础知识的掌握程度，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
试卷总分为150分，考试时间为3小时。
二、试题特点1、注重基础：试卷中大部分题目涉及的都是高中数学的基础知识，如代数、几何、概率等。
2、突出能力：部分题目难度较大，需要学生具备一定的数学思维能力、空间想象能力和问题解决能力。
3、实际：试卷中的部分题目与实际问题相结合，考查学生的数学应用能力。
三、详细解析1、选择题部分选择题共10题，每题3分，总计30分。
其中，前8题为基础题，考察学生对数学基础知识的掌握程度；第9、10题为难题，需要学生灵活运用数学知识解决实际问题。
例1：设a、b为实数，且满足a + b = 2，则a2 + ab + b2的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5解析：本题考查代数式的求值，需要学生运用基本不等式进行计算。
根据题意，我们有a+b=2，需要求a2+ab+b2的最小值。
利用基本不等式，可以得到a2+ab+b2⩾(a+b)2−ab=4−ab。
又因为ab⩽(2a+b21，所以a2+ab+b2⩾4−1=3。
因此，本题答案为B. 3。
2、填空题部分填空题共5题，每题4分，总计20分。
其中，前3题为基础题，考察学生对数学基础知识的掌握程度；第4、5题为难题，需要学生灵活运用数学知识解决实际问题。
例2：设函数f(x) = x2 + ax + b(a、b为实数)，且f(f(f(x))) = x3 + ax2 + bx + 2b。
若f(1) = 1，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。
A. 7B. 8C. 9D. 10解析：本题考查函数的求值，需要学生运用函数关系式进行计算。
根据题意，我们有f(1)=1和f(2)=4两个条件。
首先代入函数关系式得到：1+a+b=1①,4+2a+b=4②；然后我们求解这两个方程得到a=0,b=0；最后代入到原函数关系式中得到原函数为f(x)=x2从而计算得到f(3)=9；因此本题答案为C. 9。
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2011年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[,]42ππθ∈可化简为（ ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B. C. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45o 弦AB ，则AB 为（ ） A.B.C. 3D. 5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y L L 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ ）2231A ．64B ．32C ．16D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4 C. 16 D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ）A.3x >或2x <B.2x >或1x <C.3x >或1x <D.13x << 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11. 函数()2sin3cos 2xf x x =-的最小正周期为__________。
12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=__________.13. 向量(1,sin )a θ=r，(cos ,3)b θ=r ，R θ∈，则a b -r r 的取值范围为。
14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ∆是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点）,D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。
则直线,AP PE 的夹角为__。
15．设y x ,为实数，则=+=+)(m ax 22104522y x xy x ____________。
16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_________种。
（用组合数符号表示） 17. 设z y x ,,为整数，且3,3333=++=++z y x z y x ，则=++222z y x __。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。
19. 给定两个数列{}n x ，{}n y 满足100==y x ，)1( 211≥+=--n x x x n n n ，)1( 21121≥+=--n y y y n n n 。
证明对于任意的自然数n ，都存在自然数n j ，使得 n j n x y =。
20. 已知椭圆2222154x y +=，过其左焦点1F 作一条直线交椭圆于A ，B 两点，D (,0)a 为1F 右侧一点，连AD 、BD 分别交椭圆左准线于M,N 。
若以MN 为直径的圆恰好过 1F ，求 a 的值。
2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分规范1．解答：因为53[,]42ππθ∈，-cos sin cos sin θθθθ--+ 2cos θ=。
正确答案为D 。
242a =⇒=±。
正确答案为C 。
3．解答：P 是q 的充分非必要条件。
正确答案为B 。
4. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得21243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==。
正确答案为C 。
5. 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。
正确答案为A 。
6.解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2π），所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+。
正确答案为A 。
7. 答案 经计算32x =。
正确答案为 B 。
8. 解答：平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤,由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。
正确答案为 A 。
9. 解答：问题等价于函数()sin(2)6f x x π=-与直线y m =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，所以m 的取值范围为1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭。
正确答案为C 。
10. 解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2()(2)(44)f a x a x x =-+-+ 由22(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>⇒<或3x >。
正确答案为C 。
11. 解答：最小正周期为4π。
12.解答：由1513072S a d =⇒+=，而181513(7)6a a a a d ++=+=。
13.解答：a b -==r r= ，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。
14. 解答：因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ⊥BC ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以AD ⊥PE ，又PE ⊥PD ，PE ⊥平面APD ，所以PE ⊥PD 。
即夹角为90o。
15. 解答：222254104105002x y x y x x x +=⇒=-≥⇒≤≤22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-⇒+≤16. 解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有3001710C 种关灯方法。
17. 解答：将3z x y =--代入3333=++z y x 得到83()9xy x y x y=+-++，因为,x y 都是整数，所以1428,,,,25116x y x y x y x y xy xy xy xy +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩前两个方程组无解；后两个方程组解得1;4,5x y z x y z ======-。
所以=++222z y x 3或57。
18. 解答：当20,(1)1,x y x ≤=--+ 当20,(1)1,x y x >=-- 由此可知 max 0y =。
当2min 12,2a y a a ≤≤=-；当min 11,1a y ≤<=-；当2min 12a y a a <=-+。
19. 解答：由已知得到：1112111112(1){1}n n n n nx x x x x --=+⇒+=+⇒+为等比数列，首项为2，公比为2， 所以11111221n n n n x x +++=⇒=-。
又由已知，22211111(1)11111()1(1)12n n n n n n n n n y y y y y y y y y -----++++=⇒=⇒+=++由011121212221n nn y n y y +=⇒+=⇒=-， 所以取21n n j =-即可。
20. 解答：125(3,0),3F x -=-左准线方程为;AB 方程为(3)()y k x k =+为斜率。
设1122(,),(,)A x y B x y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=11625)3(22y x x k y 2222(1625)1502254000k x k x k ⇒+++-=得 设342525(,),(,)33M y N y --。
由M 、A 、D 共线123412(325)(325),3()3()a y a y y y a x a x ++==--同理。
又131411111616(,),(,),033F M y F N y F M F N F M F N =-=-⊥⇒•=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 由已知得，得212343412325)256,99()()a y y y y y y a x a x +=-=--（而，即222561625k k -•+212325)9()()a a x a x +--（=256,9-整理得 22(1)(16400)05,3,5k a a a a +-=⇒=±>-=又所以。
2010年浙江省高中数学竞赛试卷说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1．化简三角有理式xx x x xx x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ ） A ．1B ． sin cos x x +C ．sin cos x xD ．1+sin cos x x2．若2:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合RC P 为（ ）A ．{6,3}x x x <>或B ．{6,3}x x x <>-或C ．{6,3}x x x <->或D ．{6,3}x x x <->-或4．设a v ,b v 为两个相互垂直的单位向量。