【名师导学】数学(江苏理,提高版)大一轮复习练习：11.6轨迹方程(含答案解析)

第64课轨迹方程

【自主学习】

第64课轨迹方程

(本课时对应学生用书第167~168页

)

自主学习回归教材

1. (选修2-1P60例1改编)若长为2a(a为常数)的线段AB的两端点A，B分别在互相垂直的两条定直线上滑动，则线段AB的中点M的轨迹是.

【答案】圆弧

2. (选修2-1P59例2改编)(1)平面内到两个定点A(-m，0)，B(m，0)的距离之比等于1的动点M的轨迹方程是；

(2)平面内到两个定点A(-1，0)，B(1，0)的距离之比等于2的动点M的轨迹方程是.

【答案】(1)x=0(2)3x2+3y2-10x+3=0

3. (选修2-1P60习题3改编)若动点P到点F(2，0)的距离与它到定直线x+2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为.

【答案】y2=8x

【解析】由题意知点P的轨迹是以F(2，0)为焦点，以直线x+2=0为准线的抛物线，可设方程为y2=2px，则p=4，即抛物线方程为y2=8x.

4.(选修2-1P33习题7改编)已知点M与椭圆

2

169

x

+

2

144

y

=1的左焦点和右焦点的距离之比为2∶

3，那么点M的轨迹方程为.

【答案】x2+y2+26x+25=0

【解析】设点M(x，y)，由

1

2

MF

MF=

2

3

=

2

3，化简得点M的轨迹方程为

x2+y2+26x+25=0.

1.一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.

那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线.

2.求曲线的方程，一般有下面几个步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；

(2)写出适合条件P的点M的集合：{M|P(M)}；

(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0为最简形式；

(5)证明化简前后方程的解集是相同的.步骤(5)可以忽略不写，如有特殊情况，可以适当地说明.

3.几种常见求轨迹方程的方法

(1)直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫作作直接法.

(2)定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫作定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或

差为定值的条件，或能利用平面几何知识分析得出这些条件.

(3)相关点法

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0，y0可用x，y表示，则将点Q 的坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法).

【要点导学】

要点导学各个击破

曲线与方程

例1判断下列结论的正误，并说明理由.

(1)过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3；

(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2；

(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1；

(4)已知△ABC的顶点A(0，-3)，B(1，0)，C(-1，0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x=0.

【思维引导】本题需要从纯粹性和完备性两个方面去检验.

【解答】(1)满足曲线方程的定义，所以结论正确.

(2)因为到x轴距离为2的点的直线方程还有一个y=2，即不具备完备性，所以结论错误.

(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|=1，即xy=±1，即所给问题不具备完备性，所以结论错误.

(4)中线AD是一条线段，而不是直线，所以x=0(-3≤y≤0)，即所给问题不具备纯粹性，所以结论错误.

【精要点评】判断曲线与方程的关系时，如果检验完备性：即寻找有没有其他方程也是该曲线的方程——解不比点多；如果检验纯粹性，即寻找满足方程的解所对应的点是不是

还在其他曲线上——点不比解多.如果两个方面都满足，那么曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.

直接法求轨迹方程

例2 已知椭圆C ：216x +2

7y =1，P 为椭圆C 上的动点，M 为过点P 且垂直于x 轴的直线

上的点，且OP

OM =λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

【思维引导】设出点M 的坐标(x ，y )，根据条件OP

OM =λ直接将坐标代入即可.

【解答】设点M (x ，y )，其中x ∈[-4，4].

由已知2

2

OP OM =λ2及点P 在椭圆C 上可得222911216()x x y ++=λ2，

整理得(16λ2-9)x 2+16λ2y 2=112，其中x ∈[-4，4].

①当λ=3

4时，化简得9y 2=112，

所以点M 的轨迹方程为

y=±(-4≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段.

②当λ≠34时，方程变形为2211216-9x λ+22

11216y λ=1，其中x ∈[-4，4].

当0<λ<3

4时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足-4≤x ≤4的部分； 当3

4<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足-4≤x ≤4的部分；

当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆.

【精要点评】解决这个问题的关键是点P ，M 坐标之间的关系和几何条件OP

OM =λ的应

用.在分析这个关系时需注意根据OP ，OM 分别是点P ，M 到坐标原点的距离，对几何条件