第三章 平面任意力系和平面平行力系
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第03章+平面力系
物系平衡的特点： ① 当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平 衡状态。 ② 每个单体可列3个平衡方程, 整个系统可列3n个方程 （设物系中有n个物体） 在求解静定的物体系的平衡问题时, 可以选每个物体为研 究对象, 列出全部平衡方程，然后求解；也可以先取整个系统 为研究对象, 列出平衡方程，求出部分未知量，再从系统中选 取某些物体作为研究对象, 列出另外的平衡方程，直至求出所 有的未知量为止。
Fy =0 mO (F )=0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
m A (F )=0 mB (F )=0
例3-3 求图示刚架在A、B端所受的约束反力。
解：⑴ 作刚架的受力图。 ⑵ 列出平衡方程：
cos45 å F =0, F 窗 sin45 å F =0, F 窗
x A
y
A
+ F =0 + FB =0
(1)正负号的规定 (2)投影是代数量 (3)力沿轴的分力与力在轴上的投影的区别
Fy Fx cos a = , cos b = F F
讨论：力的投影与分量
y
y
y
F
Fy
O
F
F
Fy
F
O
Fx
x
Fy
O
Fx
x
O
Fx
x
Fx
x
分力Fx=？
⑴ 力F在垂直坐标轴 x、y上的投影与沿轴分 解的分力大小相等。 ⑵ 力F在相互不垂直的轴 x、y‘上的投影与沿 轴分解的分力大小是不相等的。
例3-5 试计算刚架支座A、B的约束反力。
解：⑴ 取整体为研究对象，列出平衡方程：
å å
å
Fx =0, FAx +10kN - FBx =0
3第三章平面任意力系
固定端（插入端）约束
说明: ①认为Fi 这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③FA方向不定可用正交分力FAx, Fay 表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限
制转动。
11
MO
§3-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理 y 简化结果：主矢 F ' R ，主矩 M O 。
∴ 力的直线方程为：
MO
x
FR '
x
O
x
670.1 x 232.9 y 2355 0
2355 当 y 0, x 3.5 m 670 .1
18
FR
§3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F' 0 R MO 0
为力平衡，没有移动效应。 为力偶平衡，没有转动效应。
P
45
0
M A (F i ) 0 :
FC sin45 AC P AB 0
B
FAy
FAx
y
A
C
FAx 20.01kN ,
FAy 10.0kN
FC
x
FC 28.3kN
或： M C ( F i ) 0 : FAy AC P CB 0
22
o
例：求横梁A、Ｂ处的约束力。已知 M Pa, q, 解：1）AB杆 q M B A 2）受力分析
主矩MO 方向：方向规定 +
Fiy tg 方向： tg FRx Fix
1
FRy
1
大小： M O M O ( Fi ) , (与简化中心有关),（因主矩等于各力对简化中心取矩 的代数和）
建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
建筑力学(第二版)第3章 平面力系
■ （２） Ｆ′R≠０，Ｍ0 ＝０，此时附加力偶互相平衡，原力系简化的最后结果是一个力，该力即为原力系的合力，它的作 用线通过选定的简化中心0。
§ 3 - 1-2 简化结果的分析
■ （３） Ｆ′R≠０，Ｍ0≠０，原力系可以进一步简化为一个合力，如图３ －２ａ 所示。为此，只要将力偶Ｍ0 用一对等 值、反向、不共线的平行力Ｆ″R和ＦR 表示，且使ＦR ＝ － Ｆ″R ＝ Ｆ′R0 ＝ Ｆ′R，则力偶臂 如图３ －２ｂ 所示。若使力Ｆ″R作用于Ｏ 点，则力Ｆ′RＯ和Ｆ″R构成一对平衡力，可以去掉这一对平衡力，只剩下作用 于Ｏ′点的力ＦR。显然，力ＦR 就是原力系的合力，如图３ －２ｃ 所示。因此，在这种情况下，原力系简化的最后结果是 一个合力ＦR，其大小和方向与主矢Ｆ′R相同，合力的作用线离简化中心Ｏ 的垂直距离为
§ 3 - 2-2 平面特殊力系的平衡方程
■ 3. 平面平行力系的平衡方程
力系中各力的作用线均相互平行的平面力系称为平面平行力系。设物体受平面平行力系Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ 的作用（图 ３ －１３）。如选取ｘ 轴（或ｙ 轴）与各力垂直，则不论力系是否平衡，每一个力在ｘ 轴（或ｙ 轴） 上的投影恒等于 零，即∑Ｆｘ ＝ ０ （或∑Ｆｙ ＝０）。于是，平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即
■ 斜梁ＡＢＣ 为一楼梯的计算简图，如图３ －１４ａ 所示。其上承受的荷载为作用于斜梁ＡＢ 中点的集中力Ｆ ＝６００ Ｎ，作用于Ｃ 处的集中力偶Ｍ ＝１． ２ ｋＮ·ｍ 及沿梁ＡＢ 长度方向的均布荷载ｑ ＝１ ｋＮ／ ｍ，ｌ ＝１ ｍ， 试求梁Ａ，Ｂ 处的约束反力。
§ 例题
■ 例 3-12
■ 塔式起重机如图３ －１５ 所示。机架重Ｗ１ ＝７００ ｋＮ，其作用线通 过塔架的中心。最大起重量Ｗ２ ＝２００ ｋＮ，最大悬臂长为１２ ｍ， 轨道ＡＢ 的间距为４ ｍ。平衡荷重Ｗ３ 到机身中心线距离为６ ｍ。试问 ：
§ 3 - 1-2 简化结果的分析
■ （３） Ｆ′R≠０，Ｍ0≠０，原力系可以进一步简化为一个合力，如图３ －２ａ 所示。为此，只要将力偶Ｍ0 用一对等 值、反向、不共线的平行力Ｆ″R和ＦR 表示，且使ＦR ＝ － Ｆ″R ＝ Ｆ′R0 ＝ Ｆ′R，则力偶臂 如图３ －２ｂ 所示。若使力Ｆ″R作用于Ｏ 点，则力Ｆ′RＯ和Ｆ″R构成一对平衡力，可以去掉这一对平衡力，只剩下作用 于Ｏ′点的力ＦR。显然，力ＦR 就是原力系的合力，如图３ －２ｃ 所示。因此，在这种情况下，原力系简化的最后结果是 一个合力ＦR，其大小和方向与主矢Ｆ′R相同，合力的作用线离简化中心Ｏ 的垂直距离为
§ 3 - 2-2 平面特殊力系的平衡方程
■ 3. 平面平行力系的平衡方程
力系中各力的作用线均相互平行的平面力系称为平面平行力系。设物体受平面平行力系Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ 的作用（图 ３ －１３）。如选取ｘ 轴（或ｙ 轴）与各力垂直，则不论力系是否平衡，每一个力在ｘ 轴（或ｙ 轴） 上的投影恒等于 零，即∑Ｆｘ ＝ ０ （或∑Ｆｙ ＝０）。于是，平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即
■ 斜梁ＡＢＣ 为一楼梯的计算简图，如图３ －１４ａ 所示。其上承受的荷载为作用于斜梁ＡＢ 中点的集中力Ｆ ＝６００ Ｎ，作用于Ｃ 处的集中力偶Ｍ ＝１． ２ ｋＮ·ｍ 及沿梁ＡＢ 长度方向的均布荷载ｑ ＝１ ｋＮ／ ｍ，ｌ ＝１ ｍ， 试求梁Ａ，Ｂ 处的约束反力。
§ 例题
■ 例 3-12
■ 塔式起重机如图３ －１５ 所示。机架重Ｗ１ ＝７００ ｋＮ，其作用线通 过塔架的中心。最大起重量Ｗ２ ＝２００ ｋＮ，最大悬臂长为１２ ｍ， 轨道ＡＢ 的间距为４ ｍ。平衡荷重Ｗ３ 到机身中心线距离为６ ｍ。试问 ：
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
第3章平面一般力系
平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面 内且汇交于一点的力系。 （2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面 内且相互平行的力系。 （3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
M A / FR 2375.0 / 711.5 d a = AC = = = = 3.52 m o sin ϕ sin ϕ sin 71.6
§3.2 平面任意力系的简化
四、 合力矩定理
平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心 O的主矩，即：
M O = M O ( FR ) M O = ∑ M O (F )
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
§3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、 平面任意力系的平衡方程
′ =0 保证物体移动平衡 由于 FR MO=0 为转动平衡
§3.2 平面任意力系的简化
二、主矢和主矩
建立坐标系oxy
′ = F1 x + F2 x + ⋅⋅⋅ + Fnx = ∑ Fx FRx ′ = F1 y + F2 y + ⋅⋅⋅ + Fny = ∑ Fy FRy
y
MO
r ′ FR
α
O
主矢大小 ′ = ( FR ′x )2 + ( FR ′y )2 = ( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy ) 2 FR 主矢方向 r r ′，i ) = cos( FR
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
M A / FR 2375.0 / 711.5 d a = AC = = = = 3.52 m o sin ϕ sin ϕ sin 71.6
§3.2 平面任意力系的简化
四、 合力矩定理
平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心 O的主矩，即：
M O = M O ( FR ) M O = ∑ M O (F )
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
§3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、 平面任意力系的平衡方程
′ =0 保证物体移动平衡 由于 FR MO=0 为转动平衡
§3.2 平面任意力系的简化
二、主矢和主矩
建立坐标系oxy
′ = F1 x + F2 x + ⋅⋅⋅ + Fnx = ∑ Fx FRx ′ = F1 y + F2 y + ⋅⋅⋅ + Fny = ∑ Fy FRy
y
MO
r ′ FR
α
O
主矢大小 ′ = ( FR ′x )2 + ( FR ′y )2 = ( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy ) 2 FR 主矢方向 r r ′，i ) = cos( FR
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
第三章 平面力系
x'
工程力学 第三章 平面力系
[例] 已知 P=2kN 例 求SCD , RA
解 ①研究AB杆 ②画出受力图 研究 杆 ③选坐标系 ④列平衡方程
∑
RA ⋅ cosφ − SCD ⋅ cos450 = 0 X =0
Y = 0 −P − RA ⋅ sinφ + SCD ⋅ sin450 = 0 ∑
ϕ
工程力学 第三章 平面力系
=
=
=
工程力学 第三章 平面力系
M = FRd = Fd + F2d +L− Fnd = M1 + M2 +LMn 1
M = ∑ Mi = ∑Mi
i= 1
n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0 ，有如下平衡方程
∑ Mi
=0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是： 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数 和等于零. 和等于零.
k=1
n
力在平面直角坐 标系中的解析式
FR = FRxi + FRy j
工程力学 第三章 平面力系
合力投 影定理
合力投影定理： 合力投影定理：平面汇交力系的合力在任一坐标轴 上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和 代数和。 上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
工程力学 第三章 平面力系
∑Fi = 0
i=1
n
注意 因为力是矢量，其包括大小和方向二个元素。所以 因为力是矢量，其包括大小和方向二个元素。
用封闭力多边形可以求出二个未知元素，即可以有一个力大 封闭力多边形可以求出二个未知元素， 可以求出二个未知元素 小和方向都未知，或者有二个力各有一个未知元素（ 小和方向都未知，或者有二个力各有一个未知元素（大小或 方向）。 方向）。
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10
X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
2
引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
27
28
③ R≠0， MO =0，即简化为一个作用于简化中心的合力。 这时简化结果就是合力（这个力系的合力）， R R 。 （ 此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
8
④ R ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
方程，只能求解两个独立的 未知数。
[例4] 已知：P=20kN, m=16kN· m， q=20kN/m，
a=0.8m， 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
由 X 0, X A 0
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN) 24
[例5] 塔式起重机如图所示。机架自重W1＝500 kN，其
作用线至右轨的距离e＝0.5 m，最大起重量W2＝250 kN， 其作用线至右轨的距离L＝10 m，轨道AB的间距b＝4 m，
MO d R
9
§3-2
平面任意力系的平衡
平面一般力系的平衡条件和平衡方程 由于 R =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡 所以 平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R' ( X ) 2 ( Y ) 2 0 M O mO ( Fi ) 0
15
解 (1) 取T形刚架为研究对象，其上作用有主动力W、 F 、 M 和线性分布载荷。将线性分布载荷化为一合力，其 大小等于线性分布载荷的面积，即 F1 ＝ q×3L÷2 ＝ 30 kN ，其作用线作用于三角形分布载荷的几何中心，即距点 A 为L处。约束反力有FAx，FAy和MA。其受力与坐标如图 b)
FA 62.5 kN，FB 987.5 kN
讨论：如何保证起重机提起重物时安全工作？（重物
的重量范围）
(1) 当满载时，为了使起重机不绕B点翻倒，考虑平衡 的临界状况FA＝0，这时列Σ MB(F)＝0的平衡方程，可求
出平衡重的最小值Wmin＝275 kN ，
26
(2) 当空载时，为了使起重机不绕A点翻倒，考虑平衡 的临界状况FB＝0，这时列Σ MA(F)＝0的平衡方程，可求
雨搭
车刀
7
二、平面任意力系的简化结果分析
简化结果：主矢 R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡，下节专门讨论。 ② R =0，MO≠0，即简化结果为一合力偶 MO=M ，此时 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体
平面内任意移动，故这时主矩与简化中心O无关。
16
【练习1】
约
梁
B
X
17
【练习2】
20KN
18
【练习3】
19
【练习4】
20
【练习5】
21
§3-3 平面平行力系
各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系，叫平 面平行力系。 设有F1, F2 … Fn 各平行力系，
向O点简化得：
主矢RO R 'F
主矩M O mO ( Fi ) Fi xi
解得： FAx 15.01kN
FAy 5.33kN
F Ax
F Ay
A D
F BC
B E
FBC 17.33kN
P
Q
14
[例3] 自重W＝100 kN的T形刚架ABD，置于铅垂面内， 载荷如图 a)所示。已知M＝20 kN· m，F＝400 kN，q＝20
kN/m，L＝l m。求固定端A处的约束反力。
F Ax
3m 3m C
P P
Q Q
2m 2m
F cos 30 ， M F ) 0 ，F F AB F sin cos 30 30 P 0 0AD Q AE 0 X Ax BC A (0 BC Ax BC M ) 0 ，F PAy DB AB Q sin EB 30 F P AD AB Q 0 AE 0 F sin 30 P Q 0F ， Y BC B A( BC Ay PBC DB Q EB FP AB 0 AB sin 30 AD Q M A (F F) ) 0 ，F Q AE 0 AE 0 B( C Ax AC P AD Ay
13
【例2】
如图所示简易吊车， A 、 C 处为固定铰支 座，B处为铰链。已知AB梁重P=4kN，重物重 Q= 10kN 。 求 拉 杆 BC 和 支 座 A 的 约 束 反 力 。
C C
F Ay
A A D D
F BC
B B E E 1m 1m
解： 以AB及重物作为研究对象； 受力分析，画出受力如图； 列平衡方程
所示。
(2) 列平衡方程： Σ Fx=0， FAx F1 F sin 60o 0 Σ Fy=0，
FAy W F cos 60o 0
Σ MA(F)=0， M A M F1L FL cos 60o 3FL sin 60o 0 解得： FAx 316.4 kN，FAy 100 kN，M A 789.2 kN
平衡的充要条件为 主矢
主矩MO =0
R
=0
22
所以 平面平行力系的 平衡方程为：
Y 0
m (F ) 0
O i
一矩式
m A ( Fi ) 0
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 X 0
二矩式
mB ( Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
23
恒成立 ，所以只有两个独立
平衡重W到左轨的距离a＝6 m。若W=300 kN，W2＝250 kN
，求轨道A、B对两轮的反力。
25
解 取起重机为研究对象。画出受力图如图所示，该力系
为一平面平行力系。其平衡方程为 Σ Fy=0， 解得
FA FB W2 W1 W 0
Σ MB(F)=0，W (a b) FAb W1e W2 L 0
2 2 R ' R ' R ' ( X ) ( Y ) 大小： x y 2 2
主矢 R （移动效应）方向：
tg1
Ry Y 1 tg Rx X
简化中心
(与简化中心位置无关)
6
[因主矢等于各力的矢量和]
大小： M O mO ( Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 + （转动效应） 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 例：固定端（插入端）约束
12
[例1 ] 已知：P，a ， 求：A、B两点的支座反力。 解：① 选AB梁研究；
② 画受力图（以后注明
解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）； ③ 列平衡方程：
由 m A ( Fi ) 0
X 0
Y 0
2P P2a N B 3a 0, N B 3 XA 0 P YB N B P 0, YA 3
上式有三个独立方程，只能求出三个未知 数。 证明略
11
用平衡方程求解平衡问题的步骤： 1、选研究对象，并作其受力图 2、列平衡方程 3、解方程 4、校核
用平衡方程求解平衡问题技巧： 1、X、Y轴尽量建立在与多个未知力平行或垂直的方向上； 2、列力矩式时，矩心选在未知力的交点上； 3、尽量不要求解联立方程组；使得一个方程只有一个未知量
X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
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主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
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引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
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二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
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28
③ R≠0， MO =0，即简化为一个作用于简化中心的合力。 这时简化结果就是合力（这个力系的合力）， R R 。 （ 此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ R ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
方程，只能求解两个独立的 未知数。
[例4] 已知：P=20kN, m=16kN· m， q=20kN/m，
a=0.8m， 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
由 X 0, X A 0
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN) 24
[例5] 塔式起重机如图所示。机架自重W1＝500 kN，其
作用线至右轨的距离e＝0.5 m，最大起重量W2＝250 kN， 其作用线至右轨的距离L＝10 m，轨道AB的间距b＝4 m，
MO d R
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§3-2
平面任意力系的平衡
平面一般力系的平衡条件和平衡方程 由于 R =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡 所以 平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R' ( X ) 2 ( Y ) 2 0 M O mO ( Fi ) 0
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解 (1) 取T形刚架为研究对象，其上作用有主动力W、 F 、 M 和线性分布载荷。将线性分布载荷化为一合力，其 大小等于线性分布载荷的面积，即 F1 ＝ q×3L÷2 ＝ 30 kN ，其作用线作用于三角形分布载荷的几何中心，即距点 A 为L处。约束反力有FAx，FAy和MA。其受力与坐标如图 b)
FA 62.5 kN，FB 987.5 kN
讨论：如何保证起重机提起重物时安全工作？（重物
的重量范围）
(1) 当满载时，为了使起重机不绕B点翻倒，考虑平衡 的临界状况FA＝0，这时列Σ MB(F)＝0的平衡方程，可求
出平衡重的最小值Wmin＝275 kN ，
26
(2) 当空载时，为了使起重机不绕A点翻倒，考虑平衡 的临界状况FB＝0，这时列Σ MA(F)＝0的平衡方程，可求
雨搭
车刀
7
二、平面任意力系的简化结果分析
简化结果：主矢 R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡，下节专门讨论。 ② R =0，MO≠0，即简化结果为一合力偶 MO=M ，此时 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体
平面内任意移动，故这时主矩与简化中心O无关。
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【练习1】
约
梁
B
X
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【练习2】
20KN
18
【练习3】
19
【练习4】
20
【练习5】
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§3-3 平面平行力系
各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系，叫平 面平行力系。 设有F1, F2 … Fn 各平行力系，
向O点简化得：
主矢RO R 'F
主矩M O mO ( Fi ) Fi xi
解得： FAx 15.01kN
FAy 5.33kN
F Ax
F Ay
A D
F BC
B E
FBC 17.33kN
P
Q
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[例3] 自重W＝100 kN的T形刚架ABD，置于铅垂面内， 载荷如图 a)所示。已知M＝20 kN· m，F＝400 kN，q＝20
kN/m，L＝l m。求固定端A处的约束反力。
F Ax
3m 3m C
P P
Q Q
2m 2m
F cos 30 ， M F ) 0 ，F F AB F sin cos 30 30 P 0 0AD Q AE 0 X Ax BC A (0 BC Ax BC M ) 0 ，F PAy DB AB Q sin EB 30 F P AD AB Q 0 AE 0 F sin 30 P Q 0F ， Y BC B A( BC Ay PBC DB Q EB FP AB 0 AB sin 30 AD Q M A (F F) ) 0 ，F Q AE 0 AE 0 B( C Ax AC P AD Ay
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【例2】
如图所示简易吊车， A 、 C 处为固定铰支 座，B处为铰链。已知AB梁重P=4kN，重物重 Q= 10kN 。 求 拉 杆 BC 和 支 座 A 的 约 束 反 力 。
C C
F Ay
A A D D
F BC
B B E E 1m 1m
解： 以AB及重物作为研究对象； 受力分析，画出受力如图； 列平衡方程
所示。
(2) 列平衡方程： Σ Fx=0， FAx F1 F sin 60o 0 Σ Fy=0，
FAy W F cos 60o 0
Σ MA(F)=0， M A M F1L FL cos 60o 3FL sin 60o 0 解得： FAx 316.4 kN，FAy 100 kN，M A 789.2 kN
平衡的充要条件为 主矢
主矩MO =0
R
=0
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所以 平面平行力系的 平衡方程为：
Y 0
m (F ) 0
O i
一矩式
m A ( Fi ) 0
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 X 0
二矩式
mB ( Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
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恒成立 ，所以只有两个独立
平衡重W到左轨的距离a＝6 m。若W=300 kN，W2＝250 kN
，求轨道A、B对两轮的反力。
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解 取起重机为研究对象。画出受力图如图所示，该力系
为一平面平行力系。其平衡方程为 Σ Fy=0， 解得
FA FB W2 W1 W 0
Σ MB(F)=0，W (a b) FAb W1e W2 L 0
2 2 R ' R ' R ' ( X ) ( Y ) 大小： x y 2 2
主矢 R （移动效应）方向：
tg1
Ry Y 1 tg Rx X
简化中心
(与简化中心位置无关)
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[因主矢等于各力的矢量和]
大小： M O mO ( Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 + （转动效应） 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 例：固定端（插入端）约束
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[例1 ] 已知：P，a ， 求：A、B两点的支座反力。 解：① 选AB梁研究；
② 画受力图（以后注明
解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）； ③ 列平衡方程：
由 m A ( Fi ) 0
X 0
Y 0
2P P2a N B 3a 0, N B 3 XA 0 P YB N B P 0, YA 3
上式有三个独立方程，只能求出三个未知 数。 证明略
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用平衡方程求解平衡问题的步骤： 1、选研究对象，并作其受力图 2、列平衡方程 3、解方程 4、校核
用平衡方程求解平衡问题技巧： 1、X、Y轴尽量建立在与多个未知力平行或垂直的方向上； 2、列力矩式时，矩心选在未知力的交点上； 3、尽量不要求解联立方程组；使得一个方程只有一个未知量