几何综合之多结论问题(通用版)

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专题18 几何综合问题(解析版)-备战2022年中考数学必刷300题(全国通用)

十八、几何综合问题例题演练1．在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF ＝90°，连接CE，G为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．∵AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴BC＝AB＝12，BD＝CD＝6，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AD＝BD＝DC＝6，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝AF∵∠DAH＝∠F AH＝45°，∴EH＝HF，∵AE：DE＝2：1，∴AE＝4，DE＝2，∴BE＝＝＝2，∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴CF＝BE＝2，∵EG＝CG，EH＝FH，∴GH＝CF＝．（2）结论：∠DGH＝90°是定值．理由：连接BE，CF，设CF交BE于点O，BE交AC于J．同法可证△BAE≌△CAF （SAS），∴∠ABE＝∠ACF，∵∠AJB＝∠CJO，∴∠COJ＝∠BAJ＝90°，∴CF⊥BE，∵EH＝HF，EG＝GC，∴GH∥CF，∵CD＝DB，CG＝GE，∴DG∥BE，∴DG⊥GH，∴∠DGH＝90°．（3）如图3中，取AC的中点J，连接BJ，JG．由题意AJ＝JC＝3，AB＝6，∵∠BAJ＝90°，∴BJ＝＝＝3，∵AJ＝JC，EG＝CG，∴JG＝AE＝2，∵BG≤BJ+JG，∴BG≤3+2，∴BG的最大值为3+2．2．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AC的中点，EF＝EC，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，连接FG、FC；点D为BC中点，连接GD，直线GD与直线CF交于点N．（1）如图1，若∠FCA＝30°，DC＝，求CF的长；（2）连接BG并延长至点M，使BG＝MG，连接CM．①如图2，若NG⊥MB，求证：AB＝CM；②如图3，当点G、F、B共线时，∠BCH＝90°，连接CH，CH＝BC，请直接写出的值．【解答】解：（1）如图1中，连接DE，过点E作EJ⊥CF于J．∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AE＝EC，BD＝DC，∴DE∥AB，∴∠DEC＝∠A＝90°，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴ED＝EC，∵CD＝，∴EC＝ED＝EF＝，∵∠ECF＝30°，EJ⊥CF，∴CJ＝FJ＝EC•cos30°＝，∴CF＝2CJ＝3．（2）①如图2中，连接DE，EN．∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∵AE＝EC，BD＝DC，∴DE∥AB，∴∠DEC＝∠A＝90°，∴∠EDC＝∠ECD＝45°，∴ED＝EC，∵∠GEF＝∠DEC＝90°，∴∠GED＝∠FEC，∵EG＝EF，ED＝EC，∴△GED≌△FEC（SAS），∴∠EGD＝∠EDG＝∠EFC＝∠ECF，∵DG＝CF，∠EFC+∠EFN＝180°，∴∠EGN+∠EFN＝180°，∴E，G，N，F四点共圆，∴∠ENF＝∠EGF＝45°，∠GNE＝∠EFG＝45°∴∠ENC＝∠ENG＝45°，∴∠GNC＝90°，∵EG＝EC，∴△NEC≌△NEG（AAS），∴NG＝NC，∵NG⊥BM，∴∠NGB＝90°，∵BG＝GM，BD＝DC，∴DG∥CM，DG＝CM，∴∠M＝∠DGB＝90°，∴四边形CMGN是矩形，∵NG＝NC，∴四边形CMGN是正方形，∴NC＝CM＝GN＝MG＝2CF，设CF＝DG＝DN＝FN＝m，则BG＝GM＝2m，∴BD＝＝＝m，∴BC＝2DB＝2m，∴AB＝BC＝m，∴＝＝，∴AB＝CM．②如图3中，∵CH＝BC，∴可以假设BC＝5k，CH＝4k．则AC＝k，∴AE＝EC＝EF＝EG＝k，∴FG＝EG＝k，∵CH⊥CB，∠ACB＝45°，∴∠BCH＝90°，∴∠ACH＝45°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠HCF＝∠HCA+∠ECF＝45°+∠ECF，∠HFC＝∠EFG+∠EFC＝45°+∠EFC，∴∠HCF＝∠HFC，∴HF＝HC＝4k，∴＝＝．3．已知△ABC是等边三角形，CD⊥AB交AB于M，DB⊥BC，E是AC上一点，EH⊥BC，垂足为H，EH与CD交于点F，连接BE．（1）如图1，若EC＝AC，EH＝6，求BE的长；（2）如图2，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，AG交CD于Q，求证：BG＝CF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接FG，交BE于N，连接MN，若＝，△AGF的面积为49，求MN的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵EH⊥BC，∴tan∠ACB＝＝，∴HC＝＝2，∵cos∠ACB＝＝，∴EC＝4，∵EC＝AC，∴AC＝10，∴BC＝AC＝10，∴BH＝BC﹣CH＝8，∴BE＝＝＝2；（2）如图2，过点A作AP⊥BD，交BD的延长线于P，∴∠APB＝90°，∵△ABC是等边三角形，CD⊥AB，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BCD＝30°，AB＝AC＝BC，∠AMC＝∠BMC ＝90°，又∵BD⊥BC，∴∠ABP＝30°＝∠ACD，在△ACM和△ABP中，，∴△ACM≌△ABP（AAS），∴AP＝AM，BP＝CM，∵将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，∴AG＝AF，在Rt△APG和Rt△AMF中，，∴Rt△APG≌Rt△AMF（HL），∴PG＝MF，∴BP﹣PG＝CM﹣MF，∴BG＝CF；（3）如图3中，连接AD，延长BD到S，使得DS＝SD，则DB＝DS＝DA，∠ADS ＝2∠ABD＝∠S＝60°，则△ADS是等边三角形，∴∠ADC＝∠BDC＝∠S＝60°，∴DQ∥AS，∴AQ：QG＝SD：DG＝5：3，设AD＝DB＝5k，DG＝3k，则BG＝CF＝2k，∴EF＝FC＝2k，FH＝k，BE＝2k，∴CD＝2DA＝2k，FD＝8k，AB＝5k，AE＝3k，由（2）可知：Rt△APG≌Rt△AMF，∴∠P AB＝∠MAF，∴∠GAF＝∠P AB＝60°，又∵AG＝AF，∴△AGF是等边三角形，在△DFG中，∠FDG＝60°，由DG＝3k，DF＝8k，可得FG＝7k∵∠FCE＝∠FEC＝30°，∴EF＝FC，∵EH⊥BC，DB⊥BC，∴EF∥BG，∴∠NEF＝∠NBG，∵EF＝CF＝BG，∠ENF＝∠BNG，∴△NEF≌△NBG（ASA），∴BN＝NE，∵BM＝AM，∴MN＝AE＝，∵△AGF的面积为49，∴FG2＝49，∴FG＝7k＝14，∴k＝2，∴MN＝3．4．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．（1）如图1，点D在BC上，DE⊥BC于点D，连接BE，若∠DBE＝60°，AC＝4，BD＝2，求线段AE的长；（2）如图2，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，F是CD的中点，连接BF，若∠BAD＝∠CBF，求证：∠DBF＝45°；（3）如图3，A点关于直线BC的对称点为A'，连接A'C，点D是△A'AC内部一动点且∠ADC＝90°，若AC＝4，当线段A'D最短时，直接写出△ABD的面积．【解答】（1）解：如图1中，过点E作EQ⊥AB，交AB延长线于点Q，则四边形BQED 是矩形，∴BD＝QE＝，在Rt△BQE中，∠QBE＝30°，∴，，在Rt△ABC中，，∴AQ＝10，在Rt△AQE中，．（2）如图2中，在BF上取一点M，使得BM＝AD，并且延长MF至点H，使MF ＝FH，连接CM，DH．在△BAD和△CBM中，，∴△BAD≌△CBM（SAS），∴BD＝CM，∠ABD＝∠BCM，∵F是CD的中点，∴DF＝CF，在△DFH和△CFM中，，∴△DFH≌△CFM（SAS），∴DH＝CM，∠H＝∠FMC，∴DH＝BD，∠H＝∠FMC＝∠DBH，又∵∠FMC是△BMC的外角，∴∠FMC＝∠BCM+∠MBC＝∠ABD+∠MBC，∵∠ABD+∠MBC+∠DBF＝90°，∴2∠DBF＝90°，∴∠DBF＝45°．（3）如图3中，取AC的中点F，连接A′F，DF，过点F作FT⊥AB于T．∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AC＝4，∴AB＝AC＝AC＝2，∠BAC＝45°，∵AF＝FC＝2，FT⊥AB，∴AT＝FT＝AF＝，∵AB＝BA′＝2∴BT＝AT＝，A′T＝3，∴A′F＝＝＝2，∵∠ADC＝90°，AF＝CF，∴DF＝AC＝2，∵DA′≥A′F﹣DF，∴DA′≥2﹣2，∴当A'，D，F共线时，DA′的值最小，此时FD′＝DF＝2，过点D′作D′R⊥AA′于R，∵FT⊥AB，∴D′R∥FT，∴＝，∴＝，∴D′R＝﹣，∴S△D′AB＝×2×（﹣）＝．5．在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+A′C最小时，求S△A′BC．【解答】解：（1）过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，∴∠EBD＝90°，∵∠ABE＝75°，∴∠ABD＝15°，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝30°，∴在直角△BDG中有DG＝＝2，＝，∵∠ACB＝45°，∴在直角△DCG中，CG＝DG＝2，∴BC＝BG+CG＝，∴AC＝BC＝；（2）线段DC与线段HG的数量关系为：HG＝，证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G 作GM⊥AB于M，如图：∴∠END＝90°，由旋转可知∠EBD＝90°，∴∠EDB＝45°∴∠END＝∠EBD＝90°，∴E，B，D，N四点共圆，∴∠BNE＝∠EDB＝45°，∠NEB+∠BDN＝180°∵∠BDC+∠BDN＝180°，∠BCD＝45°，∴∠BEN＝∠BDC，∴∠BNE＝45°＝∠BCD，在△BEN和△BDC中，，∴△BEN≌△BDC（AAS），∴BN＝BC，∵∠BAC＝90°，在等腰△BNC中，由三线合一可知BA是CN的中线，∵∠BAC＝∠END＝90°，∴EN∥AB，∵A是CN的中点，∴F是EC的中点，∵G是BC的中点，∴FG是△BEC的中位线，∴FG∥BE，FG＝BE，∵BE⊥BD，∴FG⊥BD，∵∠ABD＝30°，∴∠BFG＝60°，∵∠ABC＝45°，∴∠BGF＝75°，设AC＝a，则AB＝a，在Rt△ABD中，AD＝，BD＝BE＝，∴FG＝BE，∴FG＝，∵GM⊥AB，∴△BGM是等腰三角形，∴MG＝MB＝，在Rt△MFG中，∠MFG＝60°，∴MF＝MG，∴MF＝，∴BF＝BM+MF＝，在Rt△BFH中，∠BFG＝60°，∴FH＝＝a，∴HG＝FG﹣FH＝﹣a＝，又∵CD＝＝，∴＝，∴HG＝；（3）设AB＝a，则BC＝，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，由旋转可知A′B＝AB＝a，∵＝＝，＝＝，∴，又∠A'BN＝∠CBA'，∴△A′BN∽△CBA′，∴＝，∴A'N＝A'C，根据旋转和两点之间线段最短可知，最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，∵D，N分别是AC，BC的中点，∴DN是△ABC的中位线，∴DN∥AB，∵AB⊥AC，∴DN⊥AC，∵∠A＝∠A''F A＝∠A''DA＝90°，∴四边形A''F AD是矩形，∴AF＝A''D，A''F＝AD＝2，∵又A''B＝AB＝4，设AF＝x，在直角三角形A''FB中，A''B2＝A''F2+BF2，∴42＝22+（4﹣x）2，解得x＝．∴此时S△A''BC＝S△ABC﹣S△AA''B﹣S△A''AC＝AB•AC﹣AB•A''F﹣AC•A''D＝×4×4﹣×4×2﹣×4×（4﹣2）＝4﹣4．6．△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面积．【解答】解：（1）如图1中，连接BE，CF．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AD＝BD＝4，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴∠EAG＝∠GAF＝30°，∴EG＝GF，∵AE＝2，∴DE＝AE＝2，∴BE＝＝＝2，∵△ABC，△AEF是等边三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴CF＝BE＝2，∵EN＝CN，EG＝FG，∴GN＝CF＝．（2）结论：∠DNM＝120°是定值．理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，∵EN＝NC，EM＝MF，∴MN∥CF，∴∠ENM＝∠ECF，∵BD＝DC，EN＝NC，∴DN∥BE，∴∠CDN＝∠EBC，∵∠END＝∠NDC+∠NCD，∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．（3）如图3﹣1中，取AC的中点，连接BJ，BN．∵AJ＝CJ，EN＝NC，∴JN＝AE＝，∵BJ＝AD＝4，∴BN≤BJ+JN，∴BN≤5，∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．∵KJ＝AJ•tan30°＝，JN＝，∴KN＝，在Rt△HKN中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，∴HN＝NK•sin60°＝×＝，∴S△ADN＝•AD•NH＝×4×＝7．7．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，过点B作BD⊥AC交AC 于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE＝BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．（1）若BF＝4，求△ADQ的面积；（2）求证：CH＝2BQ；（3）如图2，BE＝3，连接EF，将△EBF绕点B在平面内任意旋转，取EF的中点M，连接AM，CM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN，连接MN、CN，过点N作NR⊥AC交AC于点R．当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长．【解答】（1）解：∵AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝AB＝6，∵BD⊥AC，∴AD＝CD＝BD＝3，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴Q到AB，BC边的距离相等，∴＝＝＝＝，∴AQ＝AF，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝6，BF＝4，∴AF＝﹣＝2，∴AQ＝×2＝，在Rt△ADQ中，∠ADQ＝90°，DQ＝＝＝，∴S△ADQ＝•AD•DQ＝×3×＝，当BF＝4时，△ADQ的面积为；（2）证明：过点C作CG⊥AC，交AC的延长线于G，∵CG⊥AC，BD⊥AC，∴BD∥CG，∵AD＝CD，∴AQ＝GQ，∴DQ是△ACG的中线，∴CG＝2DQ，∵∠ACB＝∠BAC＝45°，∠DCG＝90°，∴∠BCG＝∠DCG﹣∠BCD＝45°，∴∠EAH＝∠GCF，∵AF⊥EH，∴∠BAF+∠AEH＝90°，∵∠BAF+∠BF A＝90°，∠BF A＝∠CFG，∴∠AEH＝∠CFG，∵BE＝BF，∴AB﹣BE＝BC﹣BF，∴AE＝CF，在△HAE与△GCF中，，∴△HAE≌△GCF（ASA），∴AH＝CG，∴AH＝2DQ，∵AC＝2BD＝AH+CH＝2（BQ+DQ）＝2BQ+2DQ，∴CH＝2BQ；（3）解：如图2中，连接BM，过点A作AK⊥AB，且AK＝AB，连接NK，∵BE＝BF＝3，∠EBF＝90°，∴EF＝BE＝3，∵M为EF中点，∴BM＝EM＝FM＝，∴∠BAK＝90°，∵AM绕点A逆时针旋转90°得AN，∴AM＝AN，∠MAN＝90°，∴∠BAM＝∠KAN，在△ABM与△AKN中，，∴△ABM≌△AKN（SAS），∴BM＝KN＝，∠ABM＝∠AKN，∴N在以K为圆心，为半径的圆上移动，∴当且仅当K，N，R三点共线时，NR长度最小，∵当NR取最小值时，∠RAK＝∠RNA＝45°，∴AR＝CR＝3，∠ABM＝∠AKN＝45°，∵NK＝，∴RN＝，AR＝CR＝3，∴AN＝CN＝＝＝，∵MN＝AN＝3，∠ABM＝45°，∠FBM＝45°，∴F在AB上，E在CB延长线上，如图3中，过M作MH⊥BE于H，∴∠MHB＝90°，∠HMB＝∠HBM＝45°，∴MH＝BH＝BM＝，∴CH＝BC+BH＝6+＝，在Rt△HCM中，∠MHC＝90°，MC＝＝＝，∴L△CMN＝CM+CN+MN＝++3，∴当NR最小时，△CMN的周长为：++3．8．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点F为DE中点，连接CF．（1）如图1所示，若点D正好在BC边上，求证：∠B＝∠ACE；（2）如图2所示，点D在BC边上，分别延长CF，BA，相交于点G，当tan∠EDC ＝3，CG＝5时，求线段BG的长度；（3）如图3所示，若AB＝4，AE＝2，取CF的中点N，连接BN，在△ADE 绕点A逆时针旋转过程中，求线段BN的最大值．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B．（2）解：如图2中．过点G作GH⊥BC于H．∵∠ACE＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝90°，∵tan∠EDC＝＝3，∴可以假设CD＝m，EC＝3m，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC＝3m，∴BC＝4m，AB＝AC＝2m，∵DF＝FE，∠DCE＝90°，∴CF＝DF＝EF，∴∠FDC＝∠FCH，∴tan∠GCD＝tan∠EDC＝3，∴＝3，∵HB＝GH，∴BH＝3CH，∴D与H共点，∴GD＝3m，CG＝＝m＝5，∴m＝，∴AC＝AB＝2，∴AG＝＝＝，∴BG＝AB+AG＝3．（3）解：如图3中，取AC的中点G，连接AF，BG，NG．∵AE＝AD＝2，∠EAD＝90°，∴DE＝AF＝2，∵EF＝FD，∴AF＝DE＝，∵AG＝GC，CN＝NF，∴GN＝AF＝，∵AB＝AC＝4，AG＝GC＝2，∠BAG＝90°，∴BG＝＝＝2，∵BN≤BG+GN，∴BN≤，∴BN的最大值为．9．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB＝AB+GC；（3）如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当GB﹣GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．【解答】（1）解：如图1中，过点F作FH⊥AE于H．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，∠C＝30°，∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，∵AE＝EC＝AC＝2，EG＝GC，∴EG＝CG＝1，∵∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，∴EF＝AE•cos30°＝，∴FH＝EF＝，HE＝FH＝，∴GH＝HE+EG＝，∴FG＝＝＝．（2）证明：如图2中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．∵AM＝MC，∠ABC＝90°，∴BM＝AM＝CM，∵AC＝2AB，∴AB＝AM＝BM，∴∠BAM＝∠AMB＝∠ABM＝60°，∴∠BMC＝120°，∵AE＝2AF，∠EAF＝60°，∴∠BAF＝120°+∠EAC，∵AM＝MC，EG＝GC，∴GM＝AE＝AF，GM∥AE，∴∠CMG＝∠EAC，∴∠BMG＝120°+∠CMG＝120°+∠EAC＝∠BAF，∴△BAF≌△BMG（SAS），∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，∴∠FBG＝∠ABM＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴BG＝FG，∴BG＝EF+EG＝AE+CG＝AB+CG．（3）解：如图3中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．在MC上取一点D，使得MD＝MG，连接DG，BD．同法可证：△BAF≌△BMG（SAS），∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，∴∠FBG＝∠ABM＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴BG＝FG，∵AM＝CM，EG＝CG，∴MG＝AE，∵AB＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6，AM＝CM＝3，∵AE＝AC＝3，MG＝，∴MD＝MG＝，∵＝＝，∠DMG＝∠GMC，∴△MDG∽△MGC，∴＝＝，∴DG＝CG，∴GB﹣CG＝GB﹣DG≤BD，∴当B，D，G共线时，BG﹣CG的值最大，最大值为BD的长，∴直线AB，AC，BG围成的三角形为△ABD，∵AD＝AM+DM＝3+＝，∴S△ABD＝××＝，∴当GB﹣GC最大时，直线AB，AC，BG所围成三角形的面积为．10．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接BE，交CD于点F．（1）如图1，若∠ABE＝15°，BC＝+1，求DF的长；（2）如图2，若BF＝AC，过点D作DG⊥BE于点G，求证：BE＝CE+2DG；（3）如图3，若R为射线BA上的一个动点，以BR为斜边向外作等腰直角△BRH，M为RH的中点．在（2）的条件下，将△CEF绕点C旋转，得到△CE'F'，E，F的对应点分别为E'，F'，直线MF'与直线AB交于点P，tan∠ACD＝，直接写出当MF'取最小值时的值．【解答】（1）解：如图1中，过点F作FH⊥BC于H．∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠DBC＝45°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°，∵FH⊥CH，∴∠FHC＝90°，∴∠HFC＝∠HCF＝45°，∴CH＝FH，设FH＝CH＝m，∵∠ABE＝15°，∴∠FBC＝45°﹣15°＝30°，∴BH＝HF＝m，∴m+m＝+1，∴m＝1，∴CF＝CH＝，∵CD＝BC＝，∴DF＝CD﹣CF＝﹣＝．（2）证明：如图2中，连接DE，过点D作DH⊥DE交BE于H．∵∠ADC＝∠FDB＝90°，DB＝DC，BF＝AC，∴Rt△BDF≌Rt△CDA（HL），∴∠DBF＝∠ACD，∵∠BFD＝∠CFE，∴△BFD∽△CFE，∴＝，∴＝，∵∠DFE＝∠BFC，∴△DFE∽△BFC，∴∠DEF＝∠BCF＝45°，∵DH⊥DE，∴∠HDE＝90°，∴∠DHE＝∠DEH＝45°，∴DH＝DE，∵∠BDC＝∠EDH＝90°，∴∠BDH＝∠CDE，∵DB＝DC，DH＝DE，∴△BDH≌△CDE（SAS），∴BH＝EC，∵DH＝DE，DG⊥EH，∴GH＝EG，∴DG＝EH，∴BE＝BH+HE＝EC+2DG．（3）解：如图3中，过点M作MJ⊥BC于J，过点P作PK⊥BC于K．∵△BHR，△DBC都是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠HBR＝45°，∴∠HBC＝90°，∵∠H＝∠HBJ＝∠MJB＝90°，∴四边形BHMJ是矩形，∴BH＝MJ，HM＝BJ，∵BH＝HR，HM＝MR，∴MJ＝2BJ，∴tan∠MBJ＝＝2，∴点M的在射线BM上运动，∴当C，F′，M共线，且CM⊥BM时，F′M的值最小．设AD＝m，∵tan∠ACD＝＝，∴CD＝BD＝3m，DF＝AD＝m，CF＝CF′＝2m，BC＝3m，∵∠CMB＝90°，tan∠CBM＝＝2，∴BM＝m，CM＝m，∴BJ＝HM＝m，JM﹣BH＝HR＝m，∴MR＝m，设BK＝PK＝n，CK＝2n，∴n＝m，∴BK＝PK＝m，CK＝2m，PC＝m，∴PF′＝PC﹣CF′＝m﹣2m，∴＝＝．11．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC上一点，DE⊥AB 于点E，连接AD，F为AD中点，连接CF并延长交AB于点G，连接EF．（1）当∠DAB＝30°，BE＝2时，求DC的值；（2）如图2，当BE：AG＝3：4时，试判断AG2、GE2、CD2之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝4，M是AB中点，连接CM，三角形内有一点P到点M的距离是1，连接BP，将BP绕点P逆时针旋转90°得到PN，当线段AN长度取最大值时，设直线PN与直线BC的交点为H，请直接写出的值．【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，DE⊥AB，∴△DEB为等腰直角三角形，∴DE＝BE＝2，BD＝2，在Rt△DAE中，∠BAD＝30°，DE＝2，∴AE＝2，AD＝4，∴AB＝AE+BE＝2+2，∴BC＝AB•sin45°＝AB＝，∴DC＝BC﹣BD＝＝；（2）如图2，过点B作BM⊥AB，且BM＝AG，连接CE、CM、EM，∵F是AD的中点，△ACD和△AED是直角三角形，∴AF＝DF＝CF＝EF，∴∠F AC＝∠FCA，∠F AE＝∠FEA，∴∠CFD＝∠F AC+∠FCA＝2∠F AC，∠EFD＝∠F AE+∠FEA＝2∠F AE，∴∠CFE＝∠CFD+∠EFD＝2∠F AC+2∠F AE＝2（∠F AC+∠F AE）＝2∠CAB＝90°，∴∠FCE＝∠FEC＝45°，∵∠ABM＝90°，∴∠CBM＝45°，在△CAG和△CBM中，，∴△CAG≌△CBM（SAS），∴CG＝CM，∠ACG＝∠BCM，∵∠ACG+∠BCG＝90°，∴∠BCM+∠BCG＝90°，即∠MCG＝90°，∴∠GCE＝∠MCE＝45°，在△GCE和△MCE中，，∴△GCE≌△MCE（SAS），∴GE＝ME，根据题意，设BE＝3x，则AG＝BM＝4x，∴ME＝＝5x，∴GE＝ME＝5x，∴AB＝AG+GE+BE＝4x+5x+3x＝12x，∴AC＝BC＝AB＝6x，∵BD＝BE＝3x，∴CD＝BC﹣BD＝6x﹣3x＝3x，∴AG2＝（4x）2＝16x2，CD2＝（3x）2＝18x2，GE2＝（5x）2＝25x2，即AG2+CD2＝GE2；（3）如图3，连接CN、BN，∵△ABC为等腰直角三角形，M为AB的中点，∴AM＝BM＝CM＝2，CM⊥AB，BC＝AB＝2，根据题意可知，BP＝PN，∠BPN＝90°，∴BN＝BP，∠PBN＝∠PNB＝45°，∴∠MBC﹣∠PBC＝∠PBN﹣∠PBC，即∠MBP＝∠CBN，∵＝＝，∴△BMP∽△BCN，∴∠BMP＝∠BCN，＝，∵MP＝1，∴CN＝，∴点N的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，∴当且仅当A、C、N三点共线时AN取最大值，如图4，过点N作NQ⊥MC交MC延长线于Q，过H作HO⊥BN于点O，∵AN取最大值时∠BNP＝∠BCN＝90°，∴P点在CM上，∵∠BPN＝90°，∴∠NPQ＝∠PBM，在△PQN和△BMP中，，∴△PQN≌△BMP（AAS），∴BM＝PQ＝2，PM＝QN＝1，∴CP＝1，∴S△APN＝S△APC+S△NPC＝CP•AM+CP•QN＝×1×（2+1）＝，∵∠BOH＝∠BCN＝90°，∠OBH＝∠CBN，∴△OBH∽△CBN，∴＝，即＝，∴BO＝2OH，∵∠PNB＝45°，∴OH＝ON，∴BO＝2ON，∵BN＝＝＝，∴BO+ON＝3ON＝3OH＝，即OH＝，∴S△BHN＝BN•OH＝＝，∴＝＝．12．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．（1）如图1所示，若BC＝4，在D点运动过程中，当tan∠BDE＝时，求线段CD的长；（2）如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF＝CF；（3）如图3，若AB＝2，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′＝PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．【解答】解：（1）如图1，连接BE，∵AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAD+∠BAE，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BAE（同角的补角相等），在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE＝∠C，BE＝CD，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠C+∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠ABC＝90°，∴BE⊥BC，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝＝，设BE＝8x＝CD，则BD＝11x，∵BC＝BD+CD，BC＝4，∴11x+8x＝4，解得x＝，∴CD＝8×＝；（2）证明：如图2，连接BE，过点A作AG⊥AF，交CF于点G，由（1）得，BE⊥BC，∵点F是DE的中点，∴BF＝DE（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半），同理AF＝DE，∴BF＝AF，∴∠ABF＝∠BAF，∵∠BAC＝90°，点M在CA的延长线上，∴∠BAM＝90°＝∠BAF+∠MAF，在Rt△ABM中，∠ABM+AMB＝90°，∴∠AMB＝∠MAF，∴FM＝AF，∴FM＝BF＝DF，∴∠BMD＝∠FDM，∠MBD＝∠FDB，在△BDM中，∠BMD+∠MBD+∠BDM＝180°，∴∠BMD+∠MBD+∠FDB+∠FDM＝180°，∴2∠FDM+2∠FDB＝180°，∴∠FDM+∠FDB＝90°＝∠BMD，∴MD⊥BD，∴∠AMN＝∠ANM＝∠BMD＝45°，∴AM＝AN，在△ABM和△ACN中，，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴∠ABM＝∠ACN，同理△ABF≌△ACG（ASA），∴BF＝CG，AF＝AG，EG＝AF，∵AD＝AF，∴CG＝AD，∴AD+BE＝GF+BF＝GF+CG＝CF，故AD+BF＝CF；（3）如图3，在AC上取点M，使AC＝AM，即构造∠ABM＝30°，∠AMB＝60°的Rt△ABM，将BM绕点B顺时针旋转60°得BN，连接MN，R为MN的中点，∵AB＝2，AB＝AC，∴AM＝MR＝2，CM＝AC﹣AM＝2﹣2，过点C作CT⊥MR于点T，由BM绕点B顺时针旋转60°得BN知，△BMN为等边三角形，∴∠BMN＝60°，∴∠CMT＝180°﹣∠AMB﹣∠BMN＝60°，∴MT＝CM•cos60°＝CM＝﹣1，CT＝MT•tan60°＝MT•＝3﹣，∵RT＝MR﹣MT＝3﹣，∴CT＝RT，即△RCT为等腰直角三角形，∴CR＝CT＝3﹣，∵∠MCP＝∠ACC'，∠CAC'＝∠CMT＝60°，∴△MCD∽△ACC'，∴PM＝CM＝2﹣2，由旋转知△BMN和△BPQ都是等边三角形，R和K分别是它们一条边上的中点，∴＝，∠MBR＝∠PBK＝30°，即∠MBP+∠PBR＝∠RBK+∠PBR，∴∠MBP＝∠RBK，∴△BKR∽△BPM，∴＝＝，即RK＝PM＝3﹣，若C、K、R三点不共线则围成三角形，根据三角形三边关系CR+RK＞CK，∴当点C、K、R三点共线时，CK值最大，此时CK＝CR+RK＝3﹣+3﹣．13．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．现将△DCE绕点C旋转．（1）如图1，若A、D、E三点共线，AD＝，求点B到直线CE的距离；（2）如图2，连接AE、BD，点F为线段BD的中点，连接CF，求证：AE⊥CF；（3）如图3，若点G在线段AB上，且AC＝8，AG＝7，在△ACG内部有一点O，请直接写出OC+OA+OG的最小值．【解答】解：（1）如图1，作BG⊥CE交CE延长线于G，∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△CDA≌△CEB（SAS），∴BE＝AD＝，∠CEB＝∠CDA，∵∠CDE＝45°，∴∠CDA＝135°＝∠CEB，∴∠GEB＝180°﹣∠CEB＝180°﹣135°＝45°，∴BG＝BE•sin45°＝×＝，即点B到直线CE的距离为；（2）如图2，延长DC，使CH＝DC，连接BH，设EA交CF于O，∵＝＝，∠CDF＝∠HDB，∴△CDF∽△HDB，∴∠FCD＝∠BHD，∴BH∥CF，∵∠HCB＝∠ECH+∠ECB，∠ECA＝∠ECB+∠BCA，∠ECH＝∠BCA＝90°，∴∠HCB＝∠ECA，又∵CH＝CE，BC＝AC，∴△HCB≌△EAC（SAS），∴∠BHC＝∠CEA，∵∠BHC＝∠FCD，∴∠BHC＝∠FCD＝∠CEA，∵∠ECF+∠FCD＝∠ECD＝90°，∴∠ECA+∠ECF＝90°，∵∠CEA+∠ECF+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，OG逆时针旋转90°且O'G＝2OG，即OO'＝OG，作A'G⊥AG，且A'G＝2AG，并延长A'G交BC于M，∵∠OGA+∠AGO'＝90°，∠A'GO+∠AGO'＝90°，∴△AOG∽△A'O'G，且相似比为1：2，∴O'A'＝2OA，即OC+OO'+O'A'＝OC+2OA+OG，∵OC+OA+OG＝（OC+2OA+OG），∴当OC+OO'+O'A'最小时，OC+OA+OG有最小值，即当OO'在线段CA'上时OC+OA+OG有最小值，最小值为A'C，作A'H⊥CB延长线于H，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠MBG＝45°，又∵GM⊥AB，∴△MGB为等腰直角三角形，∵AC＝8，AG＝7，∴AB＝8，MG＝BG＝AB﹣AG＝8﹣7＝，MB＝BG＝2，∵A'G＝2AG＝14，∴A'M＝A'G+MG＝15，∵HMA'＝45°，∴△A'MH为等腰直角三角形，∴A'H＝MH＝A'M＝15，∴CH＝BC+MH﹣MB＝21，∴A'C＝＝＝3，∴OC+OA+OG的最小值为A'C＝×＝3．14．已知，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）如图1，当∠CDE＝30°，AD＝1，BD＝3时，求线段DE的长；（2）如图2，当CE＝DE时，求证：点E为线段AF的中点；（3）如图3，当点D与点A重合，AB＝4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．【解答】解：（1）如图1，过点C作CG⊥AB于点G，∵AD＝1，BD＝3，∴AB＝4，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，CG⊥AB，∴CG＝AG＝AB＝2，∴DG＝1，∴CD＝＝＝，∵∠CDE＝30°，∠CED＝90°，∴DE＝CD•cos∠CDE＝•cos30°＝×＝；（2）过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DM⊥CD交CE的延长线于点M，连接AM，在CG上截取GN＝DG，连接DN，∵CG⊥AB，GN＝DG，∴△DGN是等腰直角三角形，∴∠DNG＝45°，∴∠CND＝135°，∵DM⊥CD，∴∠CDM＝∠AGC＝∠ACB＝90°，∴∠DCG+∠CDG＝∠CDG+∠ADM＝90°，∴∠DCG＝∠ACM，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，CG⊥AB，∴AG＝CG，∴AG﹣DG＝CG﹣GN，即DA＝CN，∵∠CED＝∠CDM＝∠DEM＝90°，CE＝DE，∴∠DCE＝∠CDE＝∠EDM＝∠DME＝45°，∴CE＝DE＝EM，∴CD＝DM＝DE，∴△CDN≌△DMA（SAS），∴∠AND＝∠DAM＝135°，∴∠CAM＝∠DAM﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，∴∠CAM＝∠ACB，∴AM∥BC，∴∠AME＝∠FCE，∵∠AEM＝∠FEC，∴△AEM≌△FEC（ASA），∴AE＝EF，∴点E为线段AF的中点；（3）如图3，延长EH至点E′，使HE′＝EH，延长EG至点E″，使GE″＝EG，连接E′E″，取AC中点Q，连接EQ，BQ，∵AB＝4，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC＝BC＝2，∵点Q是AC中点，∴CQ＝，∴BQ＝＝＝，∵∠AEC＝90°，点Q是AC中点，∴EQ＝AC＝，∴BE的最大值为+，∵HE′＝EH，GE″＝EG，∴HG＝E′E″，∵EH⊥BC，EG⊥AB，∴E、E′关于BC对称，E、E″关于AB对称，∴∠E′BH＝∠EBH，∠E″BG＝∠EBG，BE′＝BE″＝BE，∴∠E′BE″＝2∠ABC＝90°，∴E′E″＝BE，∴HG＝BE，∵要使GH最大，必须BE最大，BE的最大值为+，∴GH长度的最大值为×（+）＝+1．15．等腰直角△ACB中，∠C＝90°，点D为CB延长线上一点，连接AD，以AD为斜边构造直角△AED（点E与点C在直线AD的异侧）．（1）如图1，若∠EAD＝30°，AE＝，BD＝2，求AC的长；（2）如图2，若AE＝DE，连接BE，猜想线段BE与线段AD之间的数量关系并证明；（3）如图3，若AC＝4，tan∠BAD＝，连接CE，取CE的中点P，连接DP，当线段DP最短时，直接写出此时△PDE的面积．【解答】解：（1）∵∠EAD＝30°，AE＝，∠E＝90°，∴DE＝，AD＝2DE＝，∵AD2＝AC2+CD2，∴10＝AC2+（AC+2）2，∴AC＝1或AC＝﹣3（舍去），∴AC＝1；（2）BE＝AD，理由如下：如图2，取AD的中点H，连接CH，∵AE＝DE，BC＝AC，∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠ADE＝∠DAE＝∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝AC，AD＝AE，∴∠CAD＝∠BAE，∵H是AD的中点，∴AH＝AE，CH＝AD∴AE＝AH，∵，∴△EAB∽△HAC，∴，∴BE＝×＝AD；（3）如图3，过点B作BG⊥AD于G，∵AC＝AB＝4，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴AB＝＝＝4，∵tan∠BAD＝，∴＝tan∠BAD＝，设BG＝m，AG＝3m，且m＞0，∵BG2+AG2＝AB2，∴m2+（3m）2＝（4）2，解得：m＝，∴BG＝，AG＝，∵∠DGB＝∠DCA＝90°，∠BDG＝∠ADC，∴△BDG∽△ADC，∴＝＝，即＝＝，∴BD+4＝DG，BD＝DG+，∴BD＝4，DG＝，∴AD＝4，CD＝8，延长CD至F，使DF＝CD＝8，连接EF，以AD为直径作⊙O，连接OB，OF，OF与⊙O交于点E′，∵点P是线段CE的中点，点D是CF的中点，∴DP＝EF，当线段DP最短时，EF最短，∵点E在⊙O上，∴EF最短时，点E为OF与⊙O的交点，即E与E′重合，∵CB＝DB＝4，AO＝DO，∴OB∥AC，OB＝AC＝2，BF＝BD+DF＝4+8＝12，∴∠FBO＝∠ACB＝90°，∴OF＝＝＝2，∴E′F＝OF﹣OE′＝2﹣2，∴DP的最小值为×（2﹣2）＝﹣，过点E′作E′H⊥CF于点H，则E′H∥OB，∴＝，即＝，∴E′H＝，∴S△PDE′＝S△CDE′＝×CD•E′H＝×8×＝；∴当线段DP最短时，S△PDE＝．。

专题02 几何多解问题(解析版)

【2019年中考数学填选重点题型突破】专题二：几何多解问题【备考指南】“几何多解题”是指由于试题条件的不明确性，或题意中含有不确定的参数或图形时，导致结果有多种可能性，从而使答案不唯一．而此类问题因其能更好的体现学生分析问题和解决问题的能力，所以此类问题往往会出现在中考的试卷中，同时，许多考生因忽视问题中的“不确定性”而导致所得出的答案不全，从而失分．应如何解决此类问题呢？解决此类问题最好的方法就是应用分类讨论思想．分类讨论思想就是人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决．其解题步骤为：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论．【典例引领】例1：已知△ABC中，tan B＝23，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为.【答案】8或24【分析】根据高线在△ABC的内部还是外部进行分类讨论.【解答】解：有两种情况：（1）如图1所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，∴BD＝4，∵AD ⊥BC ，tan B∴AD∴S △ABC •AD 68；（2）如图2所示：∵BC ＝6，BD ：CD ＝2：1，∴BD ＝12，∵AD ⊥BC ，tan B∴AD ＝8，∴S △ABC •AD 6×8＝24；综上，△ABC 面积的所有可能值为8或24，故答案为：8或24.【解题指导】本题考查了三角函数、三角形的面积等知识.确定三角形的高线的位置是解题的关键.变式训练1：某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a ＝6米，b ＝8米.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以b 为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长为________米.【答案】32或803或20＋【分析】由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD ，则应分为①AB ＝AD ，②AD＝BD ，③ AB ＝BD 这三种情况进行分类讨论.【解答】解：如图所示：在Rt△ABC中，∵AC＝8m，BC＝6m，∴AB＝10m，如图1，当AB＝AD时，CD＝BC＝6m，此时等腰三角形花圃的周长＝10＋10＋6＋6＝32(m)；如图2：当AD＝BD时，设AD＝BD＝xm；Rt△ACD中，BD＝xm，CD＝(x﹣6)m；由勾股定理，得AD2＝DC2＋CA2，即(x﹣6)2＋82＝x2，解得x＝253；此时等腰三角形绿地的周长＝253×2＋10＝803(m).如图3：当AB＝BD时，在Rt△ACD中，AD==∴等腰三角形绿地的周长＝2×10＋20＋【解题指导】本题考查了等腰三角形的性质.明确是哪两条边相等是解题的关键.变式训练2：已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm则此三角形的面积为cm².【答案】(或(【分析】根据第三边上的高是在三角形的内部还是外部，即可进行分类解决.【解答】解：设AB＝30cm，AC＝20cm，AD＝10cm，由题意作图，有两种情况：第一种：如图①，在Rt △ABD 中，利用勾股定理BD ==cm ，同理求出CD ＝cm ，则三角形面积＝12BC •AD ＝12(＋10＝()cm 2 第二种：如图②，在Rt △ABD 中，BD ==在Rt △ACD 中，CD =则BC ＝cm所以三角形面积＝12BC •AD ＝12(10＝cm 2故答案为：(或(【解题指导】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识.确定第三边上的高的位置是解题的关键.例2：在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为 .【答案】105°或45°【分析】根据点E 在BD 的左侧还是右侧，可进行分类讨论，如图当点E 在BD 右侧时，求出∠EBD ，∠DBC 即可解决问题，当点E 在BD 左侧时，求出∠DBE ′即可解决问题.【解答】解：如图，当点E 在BD 右侧时，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠A＝∠C＝30°，∠ABC＝∠ADC＝150°，∴∠DBA＝∠DBC＝75°，∵ED＝EB，∠DEB＝120°，∴∠EBD＝∠EDB＝30°，∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝105°，当点E′在BD左侧时，∵∠DBE′＝30°，∴∠E′BC＝∠DBC﹣∠DBE′＝45°，∴∠EBC＝105°或45°，【解题指导】本题考查了菱形的性质.明确点E在BD的两侧这两种情况是解题的关键.变式训练1：如图，在一张长为6cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为_____cm2.【答案】8【分析】根据题意，利用分类讨论，有三种情况(如图所示)，对这三种情况分别进行计算即可得出答案.【解答】解：如图所示，有三种情况：(1)当AE＝AF＝4cm时，△AEF是等腰直角三角形，cm；所以S△AEF•AF4×4＝82(2)如图，当AE＝EF＝4cm时，因为AB＝5，所以BE＝1，所以BF所以S△AEF•BF4(3)如图,当AE＝EF＝4厘米时,因为AD＝6cm，所以DE＝6－4＝2cm，所以DF＝所以S△AEF•DF4综上所述，剪下的等腰三角形的面积为：8【解题指导】本题考查了矩形、等腰三角形的性质、勾股定理等知识.明确等腰三角形的哪两条边长为4cm是解题的关键. 变式训练2：在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为.【答案】5.5或0.5【分析】本题需要分两种情况来进行分类讨论：(1)当点F在射线AD上时，(2)当点E在射线DA上时进行求解，即①当点F在射线AD上时，由矩形的性质得出CD＝AB＝4，BC＝AD＝5，∠ADB＝∠CDF＝90°，由菱形的性质得出CF＝EF＝BE＝BC＝5，由勾股定理求出DF，得出MF，即可求出AM；②同①得出AE＝3，求出ME，即可得出AM的长.【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝5，∠ADB＝∠CDF＝90°，∵四边形BCFE为菱形，∴CF＝EF＝BE＝BC＝5，∴DF=＝3，∴AF＝AD＋DF＝8，∵M是EF的中点，∴MF＝12EF＝2.5，∴AM＝AF﹣DF＝8﹣2.5＝5.5；②当点E在射线DA上时，如图2所示：同①得：AE＝3，∵M是EF的中点，∴ME＝2.5，∴AM＝AE﹣ME＝0.5；综上所述：线段AM的长为：5.5，或0.5；故答案为：5.5，或0.5.【解题指导】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识.利用分类讨论确定点F的位置是解题的关键.【强化训练】1．在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为________【答案】5cm或3cm【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．【解答】当直线c在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4-1=3（cm）；当直线c不在a、b之间时，∵a、b、c是三条平行直线，而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，∴a与c的距离=4+1=5（cm），综上所述，a与c的距离为3cm或5cm．故答案为：3cm或5cm ．【解题指导】本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．2．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是_________【答案】60°或120°【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB的度数，再根据圆周定理求出∠C的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E的度数即可．【解答】由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=√OA2−OD2=5√3，=√3，∴∠1=60°，∴tan∠1=ADOD同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴∠C=60°，∴∠E=180°-60°=120°,即弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°，故答案为：60°或120°．【解题指导】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.3．已知⊙O 的直径CD =10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB =8cm ，则AC 的长为________【答案】2√5cm 或4√5cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD =10cm ，AB ⊥CD ，AB =8cm ，∴AM =12AB =12×8=4（cm ），OD =OC =5cm ，当C 点位置如图1所示时，∵OA =5cm ，AM =4cm ，CD ⊥AB ，∴OM =√OA 2−AM 2=√52−42=3（cm ），∴CM=OC +OM =5+3=8（cm ），∴AC =√AM 2+CM 2=√42+82=4√5（cm ）；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5-3=2（cm），在Rt△AMC中，AC=√AM2+MC2=√42+22=2√5（cm）．故答案为：2√5cm或4√5cm．【解题指导】本题考查的是垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧），根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2√3+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM 沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△D CM为直角三角形时，折痕MN的长为__．或√6【答案】2√3+43【分析】依据△D CM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CM D=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =60°，AC =2√3+4，∴∠C =30°，AB =12AC =√3+2，由折叠可得，∠MDN =∠A =60°，∴∠BDN =30°，∴BN =12DN =12AN ， ∴BN =13AB =√3+23， ∴AN =2BN =2√3+43， ∵∠DNB =60°，∴∠ANM =∠DNM =60°，∴∠AMN =60°，∴AN =MN =2√3+43； ②如图，当∠CM D =90°时，△CDM 是直角三角形，由题可得，∠CDM =60°，∠A =∠MDN =60°，∴∠BDN =60°，∠BND =30°，∴BD =12DN =12AN ，BN =√3BD ，又∵AB =√3+2，∴AN =2，BN =√3，过N 作NH ⊥AM 于H ，则∠ANH =30°，∴AH =12AN =1，HN =√3，由折叠可得，∠AMN =∠DMN =45°，∴△MNH 是等腰直角三角形，∴HM =HN =√3，∴MN =√6，故答案为：2√3+43或√6．【解题指导】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 5．如图，∠MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A ′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A ′B 所在直线于点F ，连接A ′E ．当△A ′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．【答案】4√3或4【分析】当△A ′EF 为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A 'EF =90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A 'C =A 'E =4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC =2A 'B =8，最后利用勾股定理可得AB 的长；②当∠A 'FE =90°时，如图2，证明△ABC 是等腰直角三角形，可得AB =AC =4．【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF=90°时，如图1，.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE=∠MAN=90°，∴∠CDE=∠A'EF，∴AC∥A'E，∴∠ACB=∠A'EC，∴∠A'CB=∠A'EC，∴A'C=A'E=4，Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC=2A'E=8，由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，∴AB=√82−42=4√3；②当∠A'FE=90°时，如图2，.∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，∴∠ABF=90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC=∠CBA'=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=4；.综上所述，AB的长为4√3或4；故答案为：4√3或4.【解题指导】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．6．在正方形ABCD中，AB=6，连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为____________ .【答案】2，2√3，√14−√2【分析】根据题意分情况画出符合题意的图形，然后针对每一个图形进行求解即可得.【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°，AC=BD=6√2；如图1，当点P在AD上时，∵AP+PD=AD=6，PD=2AP，∴AP=2；如图2，当点P在AB上时，∵∠P AD=90°，∴AP2+AD2=AP2，∵AD =6，PD =2AP ，∴AP 2+36=4AP 2，∴AP =2√3；如图3，当点P 在AC 上时，作PN ⊥AD 于点N ，设AN =x ，则有DN =6-x ，PN =x ，由勾股定理则有AP =√2x ，PD =√x 2+(6−x )2，∵PD =2AP ，∴√x 2+(6−x )2=2√2x ，∴x =√7−1或x =−√7−1（不符合题意，舍去），∴AP =√2x =√14−√2，当点P 在其余边可对角线上时，不存在可以使PD =2AP 的点，综上，AP 的长为2，2√3 ，√14−√2，故答案为：2，2√3 ，√14−√2.【解题指导】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用等，难度较大，解题的关键是正确画出符合题意的图形.7．如图，在直角△ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，P 、Q 分别为边BC 、AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ =________．【答案】154或307【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ =PQ ，∠QPB =90°时，②当AQ =PQ ，∠PQB =90°时；【解答】解：①如图1中，当AQ =PQ ，∠QPB =90°时，设AQ =PQ =x ，∵PQ ∥AC ，∴△BPQ ∽△BCA ， ∴BQ BA =PQ AC ， ∴10−x 10=x 6， ∴x =154，∴AQ =154．②当AQ =PQ ，∠PQB =90°时，如图2，设AQ =PQ =y ．∵△BQP ∽△BCA ，∴PQ AC =BQ BC ，∴y 6=10−y 8， ∴y =307．综上所述，满足条件的AQ 的值为154或307．【解题指导】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．8．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，sin A =513，AC =12，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A 'B 'C ，P 为线段A ′B '上的动点，以点P 为圆心，P A ′长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为_____．【答案】15625或10213【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P 与直线AC 相切于点Q 时，如图2中，当⊙P 与AB 相切于点T 时，【解答】解：如图1中，当⊙P 与直线AC 相切于点Q 时，连接PQ ．设PQ =P A ′=r ，∵PQ ∥CA ′，∴PQ CA ′=PB ′A ′B ′，∴r 12=13−r 13，∴r =15625．如图2中，当⊙P 与AB 相切于点T 时，易证A ′、B ′、T 共线，∵△A ′BT ∽△ABC ，∴A ′T AC=A ′B AB ， ∴A ′T 12=1713，∴A ′T =20413，∴r =12A ′T =10213．综上所述，⊙P 的半径为15625或10213．【解题指导】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．等腰三角形ABC 中，顶角A 为40∘，点P 在以A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且BP =BA ，则∠PBC 的度数为__________．【答案】30∘或110∘【分析】画出示意图，分两种情况进行讨论即可.【解答】如图：分两种情况进行讨论.易证△ABP ≌△ABC ，∴∠ABP =∠BAC =40°,∠ABC =180°−40°2=70°.∴∠PBC =∠ABP +∠ABC =110°.同理：△ABP ′≌△BAC ，∴∠ABP ′=∠BAC =40°,∠ABC =180°−40°2=70°.∴∠P ′BC =∠ABC −∠ABP =30°.故答案为：30∘或110∘【点评】考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在数学中的应用.10．如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A （8，0），O （0，0），B （8，﹣6），点M 为OB 的中点．以点O 为位似中心，把△AOB 缩小为原来的12，得到△A ′O ′B ′，点M ′为O ′B ′的中点，则MM ′的长为_____．【答案】52或152【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题；【解答】如图，在Rt △AOB 中，OB =√62+82=10，∴OM =5，OM ′=52，①当△A ′OB ′在第三象限时，MM ′=5-52=52；②当△A ″OB ″在第二象限时，MM ′=5+52=152，故答案为：52或152．【解题指导】本题考查不位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 11．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．【答案】180°或360°或540°【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.【解答】解： n 边形的内角和是（n -2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°.【解题指导】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.12．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．【答案】3.6或4.32或4.8【分析】在Rt △ABC 中，通过解直角三角形可得出AC =5、S △ABC =6，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【解答】在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =3，BC =4，∴AB =√AB 2+BC 2=5，S △ABC =12AB •BC =6．沿过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB =AP =3时，如图1所示，S 等腰△ABP =AP AC •S △ABC =35×6=3.6；②当AB =BP =3，且P 在AC 上时，如图2所示，作△ABC 的高BD ，则BD =AB·BC AC =3×45=2.4，∴AD=DP=√32−2.42=1.8，∴AP=2AD=3.6，∴S等腰△ABP=APAC •S△ABC=3.65×6=4.32；③当CB=CP=4时，如图3所示，S等腰△BCP=CPAC •S△ABC=45×6=4.8；综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8，故答案为：3.6或4.32或4.8．【解题指导】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．13．如图，若直线L与x轴、y轴分别交于点A、B，并且OB=4，∠ABO=30∘，一个半径为1的⊙O，圆心C从点(0,1)开始沿y轴向下运动，当⊙C与直线L相切时，⊙C运动的距离是__________．【答案】3或7【分析】分圆运动到第一次与AB相切，继续运算到第二次与AB相切两种情况，画出图形进行求解即可得.【解答】设第一次相切的切点为E，第二次相切的切点为F，连接EC′，FC″，在Rt△BEC′中，∠ABC＝30°，EC′＝1，∴BC′＝2EC′＝2，∵BC＝5，∴CC′＝3，同法可得CC″＝7，故答案为：3 或7．【解题指导】本题考查了切线的性质、含30度角的直角三角形的性质，会用分类讨论的思想解决问题是关键，注意数形结合思想的应用.14．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______．【答案】3或4√3【分析】分两种情况：⊙P与直线CD相切、⊙P与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得.【解答】如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m，在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+(8−x)2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC−PC=8−5=3；如图2中当⊙P与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形，∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB=√82−42=4√3，综上所述，BP的长为3或4√3．【解题指导】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键．15．已知等腰三角形的一个外角为130∘，则它的顶角的度数为______．【答案】50∘或80∘【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可得．【解答】∵等腰三角形的一个外角为130∘，∴与130°相邻的内角为50°，当50∘为顶角时，其他两角都为65∘、65∘，当50∘为底角时，其他两角为50∘、80∘，所以等腰三角形的顶角为50∘或80∘，故答案为：50∘或80∘．【解题指导】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题.16．在ΔABC 中，AB =AC =5√2，∠BAC =90°，点D 在BC 边上，DE ⊥BC ，分别交射线BA 、射线CA 于点E 、F ，若DE =2EF ，则线段BD 的长为_________.【答案】203或4【分析】画出图形，利用勾股定理和一元一次方程进行求解即可.【解答】如图，符合题意的情况有两种。

2019届深圳中考复习《多结论几何综合题》专题试卷含解析

2017届中考复习多结论几何综合题专题试卷一、单选题1、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②=;③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；④BE2+DC2=DE2⑤BE+DC=DE;其中正确的是( )A、①②④B、③④⑤C、①③④D、①③⑤3、如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD ，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE；其中正确的个数是（）.A、1B、2C、3D、44、如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③＝④AD=BD•cos45°．其中正确的一组是（）A、①②B、②③C、①④D、③④5、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD= ，④S△ODC=S四边形BEOF中，正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个6、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，正确的有（）A、1B、2C、3D、47、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个8、如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（）A、②③B、②④C、①③④D、②③④9、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个10、如图，PA=PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE=PF③CA=BD；④CD∥AB；其中正确的有（）个．A、4B、3C、2D、111、如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个12、如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A、0B、1C、2D、313、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、414、如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB=60°，FO=FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE=EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个15、（2016•攀枝花）如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan ∠AED=2；③S △AGD =S △OGD ；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ；⑥若S △OGF =1，则正方形ABCD 的面积是6+4 ，其中正确的结论个数为（）A 、2B 、3C 、4D 、516、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（）①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP= ；④S四边形ECFG=2S △BGE ．A 、4B 、3C 、2D 、117、如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ，在直线上取点D ，使MD=MC ，连接AC 、BC 、AD 、BD ，某同学根据图象写出下列结论： ①a ﹣b=0；②当﹣2＜x ＜1时，y ＞0； ③四边形ACBD 是菱形； ④9a ﹣3b+c ＞你认为其中正确的是（）A、②③④B、①②④C、①③④D、①②③18、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论的个数是（）A、2B、3C、4D、519、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足= ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tanE= ；④S△DEF=4 ，其中正确的是（）A、①②③B、②③④C、①②④D、①③④20、如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB 于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE•AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（）A、①③⑤B、②④⑤C、①②⑤D、①③④答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】等腰三角形的性质，梯形中位线定理，锐角三角函数的定义【解析】【分析】①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=；②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a=b时取等号)解答；③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°；∵△ABC∽△CDE∴①∴tan∠AEC=，∴tan∠AEC=；故本选项正确；②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b)2，∴S△ACE=S梯形ABDE-S△ABC-S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=（a2+b2)≥ab（a=b时取等号)，∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM=DM；故本选项正确；③又MN=（AB+ED)=（BC+CD)，∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故本选项正确．故选D．【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2、【答案】C【考点】全等三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定，旋转的性质【解析】【分析】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立；③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD 的面积；④据①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确；【解答】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°．∴∠EAF=45°，∴△AED≌△AEF；故本选项正确；②∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD；∴当∠BAE=∠CAD时，△ABE∽△ACD，∴=；当∠BAE≠∠CAD时，△ABE与△ACD不相似，即≠；∴此比例式不一定成立；故本选项错误；③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB，∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四边形AFBD，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积；故本选项正确；④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2，∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，又∵EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故本选项正确；⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE，故本选项错误；综上所述，正确的说法是①③④；故选C．【点评】此题主要考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，解题时注意旋转前后对应的相等关系．3、【答案】D【考点】等边三角形的性质，菱形的判定与性质，平移的性质【解析】【解答】∵△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC ＝CD ，∴∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC ，故①正确；由①可得AD＝BC ，∵AB＝CD ，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD＝AC＝CE＝DE ，故四边形ACED是菱形，即③正确；∵四边形ACED是菱形，∴AC⊥BD ，∵AC∥DE ，∴∠BDE＝∠COD＝90°，∴BD⊥DE ，故④正确；综上可得①②③④正确，共4个，故选D．【分析】先求出∠ACD＝60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD ，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE＝∠COD＝90°，进而判断④正确．4、【答案】B【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值【解析】【解答】①∵△ABD为直角三角形，∴BD2=AD2+AB2，不是BD=AD2+AB2，故说法错误；②根据折叠可知：DE=CD=AB，∠A=∠E，∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF，故说法正确；③根据②可以得到△ABF∽△EDF，∴＝，故说法正确；④在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BD•cos45°，故说法错误．所以正确的是②③．故选B．【分析】①直接根据勾股定理即可判定是否正确；②利用折叠可以得到全等条件证明△ABF≌△EDF；③利用全等三角形的性质即可解决问题；④在Rt△ABD中利用三角函数的定义即可判定是否正确．此题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的性质及三角函数的定义，它们的综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高，平时加强训练．5、【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3，在△EBC和△FCD中，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE，∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC= = ，故③正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故④正确．故选C．【分析】由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得③正确；由①易证得④正确．6、【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【解答】由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；S△GBE=×6×8=24，S△BEF=•S△GBE==，④正确．故选：C．【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．7、【答案】C【考点】等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，平行四边形的性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选：C．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．8、【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定【解析】【解答】如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，∴①不正确；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD∠FAD，在△AED和△AFD 中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，DE=DF，∴AE+DF=AF+DE，∴④正确；在△AEO和△AFO中，，∴△AE0≌△AF0（SAS），∴EO=FO，又∵AE=AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE=DF，∴四边形AEDF是正方形，∴③正确．综上，可得正确的是：②③④．故选：D．【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可．9、【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE ，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．10、【答案】A【考点】全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】连接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．∵PC•PA=PD•PB（相交弦定理），PA=PB（已知），∴PC=PD，∴AC=BD；在△AOC和△BOD中，∵∠AOC=∠BOD（等弦对等角），OA=OB（半径），OD=OC（半径），∴△AOC≌△BOD，∴③CA=BD；OE=OF；又∵OE⊥PA，OF⊥PB，∴①OP是∠APB的平分线；∴②PE=PF；在△PCD和△PAB中，PC：PA=PD：PB，∠DPC=∠BPA，∴△PCD∽△PAB，∴∠PDC=PBA，∴④CD∥AB；综上所述，①②③④均正确，故答案选A．【分析】①通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应高相等求得OE=OF；再根据角平分线的性质证明OP是∠APB的平分线；②由角平分线的性质证明PE=PF；③通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应边相等求得CA=BD；④通过证明△PCD∽△PAB，再根据相似三角形的性质对应角相等证得∠PDC=PBA；然后由平行线的判定得出结论CD∥AB．11、【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义【解析】【解答】①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误；②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知) ∵OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB=90°，在Rt△AOB和Rt△COB中，AB="CB" ,BO=BO ，∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL)，则全等三角形共有4对，故②正确；③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；④∵OB⊥AC，且AB=CB，∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，又∵∠BFD为三角形ABF的外角，∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，易得∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠BFD=∠BDF，∴BD=BF，故④正确；⑤连接CF，∵△AOF和△COF等底同高，∴S△AOF=S△COF，∵∠AEF=∠ACD=45°，∴EF∥CD，∴S△EFD=S△EFC，∴S四边形DFOE=S△COF，∴S四边形DFOE=S△AOF，故⑤正确；故正确的有3个．故选C．12、【答案】D【考点】等边三角形的性质，菱形的判定，旋转的性质【解析】【解答】解：∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，∴∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，∴∠ACD=120°﹣60°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD，AC=AD=DE=CE，∴四边形ACED是菱形，∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC=AD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，故选D．【分析】根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD=AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD．本题考查了旋转的性质，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．13、【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．14、【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质【解析】【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵FB垂直平分OC，∴△CMB≌△OMB，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，易得OB⊥EF，∴△OMB≌△OEB，∴△EOB≌△CMB，故②正确；③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，∴△BEF是等边三角形，∴BF=EF，∵DF∥BE且DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF，∴DE=EF，故③正确；④在直角△BOE中∵∠3=30°，∴BE=2OE，∵∠OAE=∠AOE=30°，∴AE=OE，∴BE=2AE，∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2，故④错误；所以其中正确结论的个数为3个；故选B【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE，得出结论S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2．本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．15、【答案】B【考点】菱形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG= ∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF= OG，∴BE= EF= ×OG=2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF．∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF时等腰直角三角形．∵S△OGF=1，∴OG2=1，解得OG= ，∴BE=2OG=2 ，GF= ==2，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2 +2，∴S正方形ABCD=AB2=（2 +2）2=12+8 ，故⑥错误．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选B．【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．16、【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x= ，∴sin=∠BQP= = ，故③正确；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE= BC，BF= BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．故选：B．【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．17、【答案】D【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，菱形的判定【解析】【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），∴该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，∴a=b，a﹣b=0，①正确；②∵抛物线开口向下，且抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），∴当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；③∵点A、B关于x=0.5对称，∴AM=BM，又∵MC=MD，且CD⊥AB，∴四边形ACBD是菱形，③正确；④当x=﹣3时，y＜0，即y=9a﹣3b+c＜0，④错误．综上可知：正确的结论为①②③．故选D．【分析】①由抛物线与x轴的两交点坐标即可得出抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，由此即可得出a=b，①正确；②根据抛物线的开口向下以及抛物线与x轴的两交点坐标，即可得出当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；③由AB关于x=0.5对称，即可得出AM=BM，再结合MC=MD以及CD⊥AB，即可得出四边形ACBD是菱形，③正确；④根据当x=﹣3时，y＜0，即可得出9a﹣3b+c＜0，④错误．综上即可得出结论．本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质以及菱形的判定，解题的关键是逐条分析四条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的函数图象结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．18、【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，∴DE=2，EC=4，∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，∴∠GAE=∠FAE+∠FAG= ∠BAD=45°，所以①正确；设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，∵CG2+CE2=GE2，∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：= ，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC= ×3×4﹣×4×（×3）= =3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选：D．【分析】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE= ∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和正方形的性质．19、【答案】C【考点】垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵= ，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；故②正确；③∵AF=3，FG=2，∴AG= = ，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= = ，∴tan∠E= ；故③错误；④∵DF=DG+FG=6，AD= = ，∴S△ADF= DF•AG= ×6×=3 ，∵△ADF∽△AED，∴=（）2，∴= ，∴S△AED=7 ，∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4 ；故④正确．故选C．【分析】①正确．由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②正确．由= ，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③错误．由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=．④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4 ．20、【答案】D【考点】垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵在⊙O中，点C是的中点，∴= ，∴∠CAD=∠ABC，故①正确；∵≠ ，∴≠ ，∴AD≠BC，故②错误；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠ABC，又∵C为的中点，∴= ，∴∠CAP=∠ABC，∴∠ACE=∠CAP，∴AP=CP，∵∠ACQ=90°，∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AB∴根据射影定理，可得AC2=AE•AB，故④正确；如图，连接BD，则∠ADG=∠ABD，∵≠ ，∴≠ ，∴∠ABD≠∠BAC，∴∠ADG≠∠BAC，又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，∴∠ADG≠∠PQC，∴CB与GD不平行，故⑤错误．故答案为：D．【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，据此推理可得①正确，②错误；通过推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根据∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，进而得到AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，故P为Rt△ACQ 的外心，即可得出③正确；连接BD，则∠ADG=∠ABD，根据∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，进而得到CB与GD不平行，可得⑤错误．。

专题02 几何图形的多结论问题(解析版)

专题二几何图形的多结论问题【专题解读】几何类多结论判断题考查的知识点较多，主要以圆和四边形为核心开放研究型问题，所谓“开放”简单来说就是答案不唯一的，解题的方向不确定，条件或者结论不止一种情况的试题，解答此类试题时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法，根据开放性的试题的特点，主要有如下几种类型：条件开放性、结论开放性、选择开放型、综合开放型，属于中考必考题型.（2020•广东二模）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC 交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连结OE．下列结论：①OE∥AB；②S平行四边形ABCD＝BD•CD；③AO＝2BO；④S△DOF＝2S△EOF．其中成立的个数有（C）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】①证明BE＝CE，OA＝OC，根据三角形中位线定理可得结论正确；②证明BD⊥CD，可得结论正确；③设AB＝x，分别表示OA和OB的长，可以作判断；④先根据平行线分线段成比例定理可得：DF＝2EF，由同高三角形面积的比等于对应底边的比可作判断．【自主解答】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝60°＝∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝CD，∵BC＝2CD，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE∥AB；故①正确；②∵△DEC是等边三角形，∴∠DEC＝60°＝∠DBC+∠BDE，∵BE＝EC＝DE，∴∠DBC＝∠BDE＝30°，∴∠BDC＝30°+60°＝90°，∴BD⊥CD，∴S平行四边形ABCD＝BD•CD；故②正确；③设AB＝x，则AD＝2x，则BD=√3x，∴OB=√32x，由勾股定理得：AO=(√3x2)=√72x，故③不正确；④∵AD ∥EC ，∴AD EC =DF EF =21，∴DF ＝2EF ，∴S △DOF ＝2S △EOF ．故④正确；故选：C ．1．（2020•深圳模拟）在边长为2的正方形ABC D 中，P 为AB 上的一动点，E 为A D 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作EF ⊥PQ 交BC 的延长线于F ，则下列结论：①△APE ≌△DQE ；②PQ ＝EF ；③当P 为A B 中点时，CF =√2；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为1，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【接卸】①∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠A ＝∠B ＝∠ADC ＝90°，∴∠A ＝∠EDQ ＝90°，∵E 为A D 中点，∴AE ＝ED ，在△APE 和△DQE 中，{∠A =∠EDQAE =ED ∠AEP =∠DEQ，∴△APE ≌△DQE （ASA ），故①正确；②作PG ⊥CD 于G ，EM ⊥BC 于M ，如图1所示：∴∠PGQ ＝∠EMF ＝90°，∵EF ⊥PQ ，∴∠PEF ＝90°，∴∠PEM +∠MEF ＝90°，∵∠GPE +∠MEP ＝90°，∴∠GPE ＝∠MEF ，在△EFM 和△PQG 中，{∠EMF =∠PGQEM =PG ∠MEF =∠GPQ，∴△EFM ≌△PQG （ASA ），∴EF ＝PQ ，故②正确；③连接QF ，如图2所示：则QF ＝PF ，PB 2+BF 2＝QC 2+CF 2，设CF ＝x ，则（2+x ）2+12＝32+x 2，∴x ＝1，故③错误；④如图3所示：当P 在A 点时，Q 与D 重合，QC 的中点H 在DC 的中点S 处，当P 运动到B 时，QC 的中点H 与D 重合，故EH 扫过的面积为△ESD 的面积为12，故④错误；故选：B ．2．（2020•灌南县一模）如图，正方形ABC D 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，AF 与DE 交于点G ．则下列结论中：①AF ⊥DE ；②AD ＝BG ；③GE +GF =√2GC ；④S △AGB ＝2S 四边形ECFG ．其中正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】∵正方形ABCD ，E ，F 均为中点,∴AD ＝BC ＝DC ，EC ＝DF =12BC,∵在△ADF 和△DCE 中，{AD =DC∠ADF =∠DCE DF =CE，∴△ADF ≌△DCE （SAS ），∴∠AFD ＝∠DEC ，∵∠DEC +∠CDE ＝90°，∴∠AFD +∠CDE ＝90°＝∠DGF ，∴AF ⊥DE ，故①正确；如图1，过点B 作BH ∥DE 交AD 于H ，交AF 于K ，∵AF ⊥DE ，BH ∥DE ，E 是BC 的中点，∴BH ⊥AG ，H 为AD 的中点，∴BH 是AG 的垂直平分线，∴BG ＝AB ＝AD ，故②正确，如图2，延长DE 至M ，使得EM ＝GF ，连接CM ，∵∠AFD ＝∠DEC ，∴∠CEM ＝∠CFG ，又∵E ，F 分别为BC ，DC 的中点，∴CF ＝CE ，∵在△CEM 和△CFG 中，{CE =CF∠CEM =∠CFG EM =FG，∴△CEM ≌△CFG （SAS ），∴CM ＝CG ，∠ECM ＝∠GCF ，∵∠GCF +∠BCG ＝90°，∴∠ECM +∠BCG ＝∠MCG ＝90°，∴△MCG 为等腰直角三角形，∴GM ＝GE +EM ＝GE +GF =√2GC ，故③正确；如图3，过G 点作TL ∥AD ，交AB 于T ，交DC 于L ，则GL ⊥AB ，GL ⊥DC ，设EC ＝x ，则DC ＝2x ，DF ＝x ，由勾股定理得DE =√5x ，由DE ⊥GF ，易证得△DGF ∽△DCE ， ∴DE DF =GF EC =√5x x ，∴S △DEC S △DGF =(√51)2=51， ∴S △DGF =15S △DEC ，∴S 四边形ECFG ＝S △DEC ﹣S △DGF =45S △DEC ，∵S △DEC =12⋅2x ⋅x =x 2，∴S 四边形ECFG =45x 2，S △DGF =15x 2∵DF ＝x ， ∴GL =15x 212x =25x ，∴TG ＝2x −25x =85x ，∴S △AGB =12•AB •TG =12•2x •85x =85x 2，∴S △AGB ＝2S 四边形ECFG 故④正确，故选：D ．3．（2020•东莞市一模）如图，在菱形ABC D 中，∠BAD ＝60°，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝DE ，连接BE 分别交AC 、AD 于点F 、G ，连接OG ，则下列结论中一定成立的是 ①④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG =12AB ；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF ＞S △ABF ； ④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．【答案】①④【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，∴∠BAG ＝∠EDG ，△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ，∵CD ＝DE ，∴AB ＝DE ，在△ABG 和△DEG 中，{∠BAG =∠EDG ∠AGB =∠DGE AB =DE，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴AG ＝DG ，∴OG 是△ACD 的中位线，∴OG =12CD =12AB ，①正确；∵AB ∥CE ，AB ＝DE ，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，{OD=AG∠ODC=∠BAG=60°AB=DC，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG=12AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积=14△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；不正确；正确的是①④．故答案为：①④．4．（2020•天河区一模）如图，在正方形ABC D中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在AB，BD上，且△ADE≌△FDE，DE交AC于点G，连接GF．得到下列四个结论：①∠ADG＝22.5°；②S△AGD＝S△OGD；③BE＝2OG；④四边形AEFG是菱形，其中正确的结论是①③④．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④．【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠ADO＝45°，∴由△ADE≌△FDE，可得：∠ADG=12∠ADO＝22.5°，故①正确；∵△ADE≌△FDE，∴AD＝FD，∠ADG＝∠FDG，又∵GD＝GD，∴△ADG≌△FDG（SAS），∴S△AGD＞S△OGD，故②错误；∵△ADE≌△FDE，∴EA＝EF，∵△ADG≌△FDG，∴GA＝GF，∠AGD＝∠FGD，∴∠AGE＝∠FGE．∵∠EFD＝∠AOF＝90°，∴EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，∴EF＝GF＝EA＝GA，∴四边形AEFG是菱形，故④正确；∵四边形AEFG是菱形，∴AE∥FG，∴∠OGF＝∠OAB＝45°，∴△OGF为等腰直角三角形，∴FG=√2OG，∴EF=√2OG，∵△BFE为等腰直角三角形，∴BE=√2EF=√2×√2OG＝2OG，∴③正确．综上，正确的有①③④．故答案为：①③④．5．（2020•福田区一模）如图，正方形ABC D中，E是BC延长线上一点，在AB上取一点F，使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM．则下列结论，①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③GD=√2CM；④若AG＝1，GD ＝2，则BM=√5，其中正确的是．.【答案】①②③④【解析】如图1中，过点B作BK⊥GH于K．∵B，G关于EF对称，∴EB＝EG，∴∠EBG＝∠EGB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∴∠AGB＝∠EBG，∴∠AGB＝∠BGK，∵∠A＝∠BKG＝90°，BG＝BG，∴△BAG≌△BKG（AAS），∴BK＝BA＝BC，∠ABG＝∠KBG，∵∠BKH＝∠BCH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BHK≌Rt△BHC（HL），∴∠1＝∠2，∠HBK＝∠HBC，故①正确，∴∠GBH＝∠GBK+∠HBK=1∠ABC＝45°，2过点M作MQ⊥GH于Q，MP⊥CD于P，MR⊥BC于R．∵∠1＝∠2，∴MQ＝MP，∵∠MEQ＝∠MER，∠BCD＝45°，∴MQ＝MR，∴MP＝MR，∴∠4＝∠MCP=12∴∠GBH＝∠4，故②正确，如图2中，过点M作MW⊥AD于W，交BC于T．∵B，G关于EF对称，∴BM＝MG，∵CB＝CD，∠4＝∠MCD，CM＝CM，∴△MCB≌△MCD（SAS），∴BM＝DM，∴MG＝MD，∵MW⊥DG，∴WG＝WD，∵∠BTM＝∠MWG＝∠BMG＝90°，∴∠BMT+∠GMW＝90°，∵∠GMW+∠MGW＝90°，∴∠BMT＝∠MGW，∵MB＝MG，∴△BTM≌△MWG（AAS），∴MT＝WG，∵MC=√2TM，DG＝2WG，∴DG=√2CM，故③正确，∵AG＝1，DG＝2，∴AD＝AB＝TM＝3，EM＝WD＝TM＝1，BT＝AW＝2，∴BM=√BT2+MT2=√22+12=√5，故④正确，故答案为：①②③④．。

上八年级多结论问题

专题几何多结论问题1.如图，已知：△ABE 是等边三角形，BC 平分∠GBE, DF ∥AB. 下列结论：①△BGC 是等边三角形；②BO+OC=GO;③BO 平分∠AOG;④AF-EF=BF ，成立的是( ) A ．①②③④ B ．①②④ C ．①②③ D ．①③2.如图4，Rt△ACB 中，∠ACB=90°，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点p ，过p 作PF⊥AD交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①∠A PB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S 四边形ABDE =23S △ABP ，其中正确的是（） A ．①③ B ．①②④C ．①②③D ．②③3.如图，P 为等腰RT △ABC 外一点，∠BAC=90°，连PB 、PC 、PA ，PA 交BC 于E 点，且∠APC=45°。

下列结论：①∠BPA=45°；②PCPBS S ACE ABE =∆∆；③PB+PC=PA. 其中正确的是（）.A ．①B ．①②C ．②D ．①②③ 4.如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD =BE ；② PQ ∥AE ；③ AP =BQ ；④ DE =DP ；⑤ ∠AOB =60°．一定成立的结论有____________（把你认为正确的序号都填上）．5.如图,在⊿ABC 中,AB=AC,D 为BC 上的一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF=( ) A.90°-½∠A B.90°-∠A C.180°-∠A D.45°-∠AA BF ED EB DC F C A (第11题图) (第12题图)6.如图,在⊿ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,AD 平分∠BAC,BE ⊥AD,交AC 的延长线于点F,且垂足为E ，则下结论：①AD=BF ， CF=CD ， AC+CD=AB ，④BE=CF ，⑤BF=2BE.其中正确的结论的D C B AE F PHPECBAABCEDO PQ个数是( )个. A.1 B.2 C.3 D.47.如图：D 、E 分别是△ABC 的边BC ，AC 上的点，若∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，则（） A.当∠B 为定值时，∠CDE 为定值 B.当∠α为定值时，∠CDE 为定值C.当∠β为定值时，∠CDE 为定值D.当∠γ为定值时，∠CDE 为定值8．已知，如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是角平分线，BE =CF ，则下列说法正确的有几个（）（1）AD 平分∠EDF ；（2）△EBD ≌△FCD ；（3）BD =CD ；（4）AD ⊥BC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9.如图，在Rt △AEB 和Rt △AFC 中，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠E =∠F=90°，∠EAC=∠FAB ，AE=AF ．给出下列结论：①∠B=∠C ；②CD=DN ；③BE =CF ；④△CAN ≌△ABM ．其中正确的结论是（）A ．①③④ B ．②③④ C ．①②③ D ．①②④10.在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC AB BC E ∠==°，，为AB 边上一点，15BCE ∠=°，且AE AD =．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论：①ACD ACE △≌△； ②CDE △为等边三角形； ③2EH BE =； ④EDC EHC S AHS CH=△△．其中结论正确的是（）A ．只有①②B ．只有①②④C ．只有③④D ．①②③④11.如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（） A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①③④ D ．③④⑤DCBE AHa γβE A B C D AB CE MF D N第11题D FE B A C 第12题EF DC B A12．如图，∠BAC 与∠CBE 的平分线相交于点P ，BE=BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，下列结论：①GA=GP ；②::PAC PAB S S AC AB V V ；③BP 垂直平分CE ；④FP=FC ；其中正确的判断有（）A.只有①②B.只有③④C.只有①③④D.①②③④13.如图，将30°的直角三角尺ABC 绕直角顶点A 逆时针旋转到ADE 的位置，使B 点的对应点D 落在BC 边上，连接EB 、EC ，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED 为AC 的垂直平分线；③EB 平分∠AED；④ED＝2AB 。

几何综合之多结论问题(通用版)

几何综合之多结论问题（通用版）单选题(本大题共8小题，共100分)1.(本小题12分)如图,在平行四边形ABCD中,分别以AB,AD为边向外作等边三角形ABE和等边三角形ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CE,CF,EF,有下列四个结论:①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF是等边三角形;④CG⊥AE.其中一定正确的是( )A. 只有①②B. 只有①②③C. 只有③④D. ①②③④2.(本小题12分)如图,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,有下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③AO=OE;④.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3.(本小题12分)如图,CB,CD分别是钝角三角形AEC和锐角三角形ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论:①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB平分∠DCE.其中一定正确的结论序号为( )A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④4.(本小题12分)如图,O为正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使FC=EC,连接DF交BE的延长线于点H,连接OH交DC于点G,连接HC.下列结论:①OH∥BF;②∠CHF=45°;③;④.其中正确结论的序号为( )A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④5.(本小题13分)如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,且C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.(本小题13分)在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB,AC为一边,向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接CE,BG和EG,HA的延长线交EG于点M,下列结论:①BG=CE;②BG⊥CE;③∠EAM=∠ABC;④AM是△AEG的中线.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.(本小题13分)如图,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,O是斜边AB的中点,点D,E分别在直角边AC,BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P.则下列结论:①图形中全等的三角形只有两对;②△ABC 的面积等于四边形CDOE的面积的2倍;③;④.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.(本小题13分)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC 交EF于G,下列结论:①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤.其中正确的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个与中点相关的证明、计算（通用版）单选题(本大题共10小题，共100分)1.(本小题10分)如图,正方形ABCD,正方形CGEF的边长分别是2,3,且点B,C,G在同一直线上,M是线段AE中点,连接FM,则FM的长为( )A.B.C.D.2.(本小题10分)如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边中点,过点D作DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F.若,则AB的长为( )A. 3B. 6C. 9D. 183.(本小题10分)两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板BAC按如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.则△EMC的形状是( )A. 等腰(非直角)三角形B. 直角(非等腰)三角形C. 等腰直角三角形D. 形状不确定4.(本小题10分)如图,在△ABC中,BE,CF分别为边AC,AB上的高,D为BC的中点,DM⊥EF于点M,若BC=10,DM=3,则EF的长为( )A. 6B. 9C. 7D. 85.(本小题10分)如图,在ΔABC中,D是BC边的中点,点E,F分别在边AB,AC上（不与两端点重合）,且DE⊥DF.则下列说法正确的是( )A.B.C.D.6.(本小题10分)如图所示,在△ABC中,,M为BC边的中点,AD平分∠BAC,交BC于点D.若CF⊥AD交AD的延长线于点F,连接FM,则下列说法正确的是( )A.B.C.D.7.(本小题10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为( )A.B. 24C. 20D. 168.(本小题10分)如图,在菱形ABCD中,∠A=100°,M,N分别是AB,BC的中点,于点P,则的度数为( )A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°9.(本小题10分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,连接EF,下列说法正确的是( )A.B. EF=2ADC.D. EF=AD10.(本小题10分)如图,在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于点E,CF平分∠AC B交AB于点F,且BE,CF相交于点O,AG⊥BE于点G,AH⊥CF于点H.若AB=9,AC=14,BC=18,则GH的长为( )A.B. 5C. 3D. 6与角相关的模型证明及应用（通用版）单选题(本大题共9小题，共100分)1.(本小题11分)如图,等腰直角三角形ABC的直角边长为3,P为斜边BC上一点,且BP=1,D 为AC上一点.若∠APD=45°,则CD的长为( )A.B.C.D.2.(本小题11分)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,O是AB上的一点,且,点P是AC 上的一个动点,交线段BC于点Q(不与点B,C重合).若AP=2,则CQ的长为( )A.B.C.D. 23.(本小题11分)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,M为BC中点.若AB=10,则MD的长为( )A. 3B. 5C. 6D. 84.(本小题11分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=8,点O在AC上,且AO=2,点P 是AB上一动点.连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,则AP的长度为( )A.B. 6C. 5D. 45.(本小题11分)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=6cm,BC=14cm,∠B=60°.P为下底BC 上一点(不与点B,C重合),连接AP,过点P作射线PE交线段DC于点E,使得∠APE=∠B.若DE:EC=5:3,则BP=( )A. 4或6B. 3或8C. 或D. 2或126.(本小题11分)在△ABC中,AB=7,AC=8,且∠A是∠C的2倍,则BC=( )A.B. 10C.D.7.(本小题11分)已知直线,且与的距离为1,与的距离为3,把一块含有45°角的直角三角板如图放置,顶点A,B,C恰好分别落在这三条直线上,且AC与直线交于点D,则线段BD的长度为( )A.B.C.D.8.(本小题11分)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°.以D为顶点作一个60°的角,使其两边分别交AB,AC于点M,N,连接MN,则△AMN的周长为( )A. 5B. 6C. 7D. 89.(本小题12分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A的坐标是(0,2),顶点B 在x轴负半轴上,对角线AC,BD交于点M,,则点D的坐标是( )A.B.C.D.图形面积的计算（通用版）一. 单选题(本大题共8小题，共64分)1.(本小题8分)由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格如图所示,正六边形的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长均为1,△ABC的顶点都在格点上,则△ABC的面积为( )A. 2B.C.D.2.(本小题8分)如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积为( )A.B.C.D.3.(本小题8分)如图,四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,则四边形ABCD的面积为( )A.B.C.D.4.(本小题8分)如图,菱形ABCD和菱形EFGD的边长分别为4和6,∠A=120°,则图中阴影部分的面积为( )A.B.C.D.5.(本小题8分)正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示,点G在线段DK上,且G为BC的三等分点,R为EF中点.若正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为( )A. 12B. 16C. 20D. 246.(本小题8分)如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到,点B经过的路径为弧.若∠BAC=60°,AC=1,则图中阴影部分的面积为( )A.B.C.D.7.(本小题8分)如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=3cm,点P是AB上除A,B外任一点,对角线AC,BD相交于点O,DP,CP分别交AC,BD于点E,F.若△ADE和△BCF的面积之和为,则四边形PEOF的面积为( )A.B.C.D.8.(本小题8分)如图,在中,是斜边的中点,过作于,连接交于;过作于,连接交于;过作于,连接交于;…;如此继续.若分别记,,,…,的面积为,则( )A.B.C.D.二. 填空题(本大题共4小题，共36分)9.(本小题9分)如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，若，则阴影部分的面积为____．10.(本小题9分)如图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中点E在BC上，AC与DE交于点F，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=____．11.(本小题9分)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6，则矩形ABCD的面积为____．12.(本小题9分)如图，已知正方形ABCD的面积为120，E是AB的中点，F是BC的中点，EC 分别交BD，DF于点G，H．则四边形BGHF的面积为____．几何结构综合检测（通用版）单选题(本大题共8小题，共100分)1.(本小题12分)如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CE⊥AB于E,F为AD的中点,若∠AEF=52°,则∠B=( ).A. 52°B. 54°C. 72°D. 76°2.(本小题12分)如图,正方形ABCD的周长为24,△BCE是等边三角形,F是CE的中点,AE,BF 交于点G,连接CG,则CG的长为( )A.B.C.D.3.(本小题12分)如图,平行四边形ABCD中,AB:BC=3:2,∠DAB=60°,E在AB上,且AE:EB=1:2,F是BC的中点,过D分别作DP⊥AF于P,DQ⊥CE于Q,则DP:DQ等于( )A. 3:4B.C.D.4.(本小题12分)如图,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=120°,,AB=6.在边AB 上取点E,在射线DC上取点F,使得∠DEF=120°.若射线EF经过点C,则AE的长为( )A. 2B. 2或4C. 2或5D. 3或55.(本小题13分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上一动点(不与点B,C重合),过点D作DE⊥BC,交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在直线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为( )A. 1B. 2C. 1或2D. 2或46.(本小题13分)在等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,A C=1,过点C作直线l∥AB,P为直线l 上一点,且AP=AB,则点P到BC所在直线的距离是( )A.B. 或C. 或D. 或7.(本小题13分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=2,点E为线段AB上任意一点(E不与B重合),以CE为斜边作等腰直角三角形CDE,连接AD,下列结论:①∠BCE=∠ACD;②BE=AD;③AD∥BC;④四边形ABCD的面积有最大值,且最大值为.其中正确的结论有( )个.A. 1B. 2C. 3D. 48.(本小题13分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,点P是BA 延长线上一点,点O是线段AD上一点,OP=OC,下面的结论:①∠APO+∠DCO=30°;②△OPC是等边三角形;③AC=AO+AP;④.其中所有正确结论的序号为( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④角度、长度、周长及面积的计算（北师版）一. 单选题(本大题共13小题，共81分)1.(本小题6分)如图，在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线．若AE平分∠BAD，交BC于点E，DF∥AB，交AE延长线于点F，则DF的长为( )A.B. 3C.D. 42.(本小题6分)在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为( )A.B.C. 11D.3.(本小题6分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=CD，M是AB的中点．若∠MCB=40°，则∠ADM的度数为( )A. 50°B. 100°C. 40°D. 60°4.(本小题6分)如图，点A，C在直线上，点B在射线AD上，，分别是∠BAE，∠CBD的平分线．若，则∠BAE的度数为( )A. 150°B. 168°C. 135°D. 160°5.(本小题6分)如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B 逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，则△AED的周长是( )A.B. 18C. 19D. 206.(本小题6分)如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AC上一点．若AB=9，AD=6，AE=4，则∠CDE的度数为( )A. 50°B. 35°C. 25°D. 20°7.(本小题6分)如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，，那么AC的长为( )A. 12B. 16C.D.8.(本小题6分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G．若，则ΔCEF的周长为( )A. 8B.C. 10D.9.(本小题6分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为斜边AC上一点，连接BD．E为BD 上一点，过点E作正方形EFGH和正方形EIJK，使得点F，G在BC边上，点H，I在AC边上，点J，K在AB边上．若EF=3，EK=2，则AC的长为( )A.B.C.D.10.(本小题6分)如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，且AE=6，EF=8，FC=10，则该正方形的面积为( )A. 120B. 140C. 150D. 16011.(本小题7分)如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，且AF，CE交于点K，AG，CH交于点L，则的值为( )A.B.C.D.12.(本小题7分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，，点E是BC边的中点．若△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为( )A.B.C.D. 413.(本小题7分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，将纸片折叠，使点B落在边AD 上的点处，折痕为CE．在折痕CE上存在一点P到边AD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为( )A. 3B. 4C.D. 5二. 填空题(本大题共3小题，共19分)14.(本小题6分)如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=____度．15.(本小题6分)如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且，则平行四边形ABCD的周长为____．16.(本小题7分)如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则平行四边形ABCD的面积为____．路径长问题（通用版）一. 单选题(本大题共5小题，共80分)1.(本小题15分)如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作CA⊥AB，BD⊥AB，且AC=AP，BD=BP，连接CD．当点P从点A移到点B时，CD的中点的位置( )A. 在平分AB的某直线上移动B. 在垂直AB的某直线上移动C. 在弧AB上移动D. 保持固定不移动2.(本小题15分)如图，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，它的中心O 点所经过的路径长为( )A. 6aB. 5aC. 2πaD.3.(本小题15分)如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，按A→B→C→D→A的方向滑动到A停止，同时点R从点B出发，按B→C→D→A→B的方向滑动到B停止，在这个过程中，线段QR的中点M 所经过的路线与正方形围成的图形面积为( )A. 2B. 4-πC. πD. π-14.(本小题15分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记点Q的位置为B，则当点P从运动到时，点Q运动的路径长为( )A. 2B. 2πC. 4D. 4π5.(本小题20分)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA=60°，点D是线段AB上一动点（可与端点重合），过点B作BN⊥CD于点N（可与端点重合），当点D从点A运动到点B的过程中，点N运动的路径长为( )A.B.C.D. 2二. 填空题(本大题共1小题，共20分)6.(本小题20分)如图，MN=16，点P，Q在线段MN上，且PM=2，NQ=4．C是线段MN上的动点，分别以CM，CN为斜边在线段MN的同侧作Rt△ACM和Rt△BCN，使∠AMC=∠BCN=30°，连接AB，设AB的中点为D，当点C从点P运动到点Q时，点D的运动路径长为____．。

专题06 多结论判断问题2(几何图形的多结论判断)(原卷版)-2021年中考数学选填压轴题专项复习

【2021年中考数学填选重点题型突破】专题六：结论判断问题几何图形的多结论判断【备考指南】结论判断问题是近几年来中考的一个热点问题，往往以压轴题的形式出现在填空题与选择题中．这类问题是由多项选择演变而来，试题中包含多个正确或错误的结论，考生对给定的条件通过综合分析、推理、计算等形式来论证题中所给出的结论的真伪性．试题的题境常以代数结论判断题和几何结论判断题为主，在代数结论判断题中，通常以函数的多结论判断来考察，尤其是以二次函数为主的来考查函数知识，在几何结论判断题中，通过点的运动或图形的三大变换〔平移、旋转、轴对称〕，得出假设干结论。

以考查三角形和四边形性质居多．这类试题的合性很强，难度很大，易错，不易得分，对考生综合运用知识解决问题的能力要求高.解决这类问题，第一要有足够的知识积累和结论储藏〔例如：手拉手模型，半角模型，对角互补模型等〕，并且分析能力较强。

而综合分析所给出的条件是解决此类问题的关健，同时要将已论证出来成立的结论直接应用于后继证明之中，在分析、推理过程中，要以数学思想为魂，注重灵活运用各种方法〔如特殊值法、特殊图形法，反证法、直接测量等〕，同时要注重计算的准确性．【典例引领】例1：〔2021四川遂宁〕如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，连接AE 、DE ，分别交BD 、AC 于点P 、Q ，过点P 作PF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，以下结论：①∠AED +∠EAC +∠EDB ＝90°，②AP ＝FP ，③AE ＝2AO ， ④假设四边形OPEQ 的面积为4，那么该正方形ABCD 的面积为36，⑤CE •EF ＝EQ •DE ．其中正确的结论有〔〕A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个变式训练1：.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，BE ＝1，∠DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF ＝，过点F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EG 、EF ．以下结论：①△ECF 的面积为；②△AEG 的周长为8；③EG 2＝DG 2+BE 2；其中正确的选项是〔〕 A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③变式训练2：〔2021山东泰安〕如图，矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，过点B 作BF AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接,FN EM ．那么以下结论：①DN BM =；②//EM FN ；③AE FC =；④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【强化训练】1．〔2021湖北咸宁〕如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点E 是边BC 上一动点〔不与点B ，C 重合〕，90AEF ∠=︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ，交CD 于点G ，连接AF ，有以下结论： ①ABE ECG ∽；②AE EF =；③DAF CFE ∠=∠；④CEF △的面积的最大值为1．其中正确结论的序号是_____________．〔把正确结论的序号都填上〕2.〔2021·东营〕如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点〔不与A 、B 重合〕，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N ，以下结论：①△APE ≌△AME ；②PM+PN=AC ；③222PE PF PO ；④△POF ∽△BNF ；⑤点O 在M 、N 两点的连线上．其中正确的选项是〔〕A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②③④⑤D. ③④⑤3.〔2021浙江绍兴〕将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片〔无余纸片〕，各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是以下数中的〔填序号〕．①，②1，③﹣1，④，⑤．4.如图，等边三角形ABC 的边长为4,点O 是△ABC 的中心，∠FOG =120∘.绕点o 旋转∠FOG ,分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ,给出以下四个结论：①OD =OE ;②S ΔODE =S ΔBDE ;③四边形ODBE 的面积始终等于43√3;④△BDE 周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45..〔2021内蒙古包头〕如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BC AC >，按以下步骤作图：〔1〕分别以点,A B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于,M N 两点〔点M 在AB 的上方〕；〔2〕作直线MN 交AB 于点O ，交BC 于点D ；〔3〕用圆规在射线OM 上截取OE OD ．连接,,AD AE BE ，过点O 作OF AC ⊥，垂足为F ，交AD 于点G ．以下结论：①2CD GF =；②222BD CD AC -=；③2BOE AOG S S =；④假设6,9AC OF OA =+=，那么四边形ADBE 的周长为25．其中正确的结论有〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.如图，在正方形ABCD 中，连接AC ，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、AC 于点M ，N ，分别以M ，N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，两弧交于点H ，连结AH 并延长交BC 于点E ，再分别以A 、E 为圆心，以大于AE 长的一半为半径画弧，两弧交于点P ，Q ，作直线PQ ，分别交CD ，AC ，AB 于点F ，G ，L ，交CB 的延长线于点K ，连接GE ，以下结论：①∠LKB =22.5°，②GE ∥AB ，③tan ∠CGF =KB LB，④S △CGE ：S △CAB =1：4．其中正确的选项是〔〕A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④7.〔2021四川达州〕如图，45BOD ∠=︒，BO DO =，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F ．以下4个判断：①OE 平分BOD ∠；②OF BD =；③DF =；④假设点G 是线段OF 的中点，那么AEG △为等腰直角三角形．正确判断的个数是〔〕A. 4B. 3C. 2D. 18.〔2021湖北鄂州〕如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD ︒∠=∠=．连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ．以下结论：①36AMB ︒∠=；②AC BD =；③OM 平分AOD ∠；④MO 平分AMD ∠其中正确的结论个数有〔〕个．A. 4B. 3C. 2D. 19.〔2021四川广元〕如下图，,ABC ECD 均为等边三角形，边长分别为5cm,3cm ，B 、C 、D 三点在同一条直线上，那么以下结论正确的________________．〔填序号〕①AD BE = ②7cm BE = ③CFG △为等边三角形 ④13cm 7CM = ⑤CM 平分BMD ∠ 10.如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是AB 上的一个动点〔不与点A ，B 重合〕，连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，连接DE ，DE 与AC 相交于点F ，连接AE ．以下结论：①△ACE ≌△BCD ；②假设∠BCD =25°，那么∠AED =65°；③DE 2=2CF •CA ；④假设AB =3√2，AD =2BD ，那么AF =53．其中正确的结论是______．〔填写所有正确结论的序号〕11.〔2021深圳〕如图，矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =12.将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上。

全等三角形的应用(多结论问题)(人教版)(含答案)

全等三角形的应用（多结论问题）（人教版）试卷简介:本套试卷考查全等三角形在几何综合题中的用法，同时检测学生对于多结论问题的处理方法：先集中精力解决第一个结论，再用已经证明过的结论当条件来验证剩下的结论。

一、单选题(共8道，每道12分)1.如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE.下列结论:①△BDF≌△CDE;②CE=BF;③BF∥CE;④△ABD和△ACD面积相等.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：①∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE；①正确．②∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF；②正确．③∵△BDF≌△CDE，∴∠CED=∠BFD，∴BF∥CE；③正确④∵AD是△ABC的中线，，④正确．四个结论均正确，故选D．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质2.如图,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E,F分别在AC,BC边上运动(点E 不与点A,C重合),且保持AE=CF,连接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:①四边形CEDF有可能成为正方形;②△DFE是等腰直角三角形;③四边形CEDF的面积是定值;其中正确的结论是( )A.①③B.②③C.①②D.①②③答案：D解题思路：①当E，F分别为AC，BC中点时，四边形CEDF是正方形，故选项①正确．②连接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故选项②正确．③∵△ADE≌△CDF，∴四边形CEDF的面积是定值4，故选项③正确．①②③均正确，故选D试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质3.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,且EH=EB,小彤在研究时得到四个结论:①∠ABC=45°;②AH=BC;③AE-BE=CH;④△AEC是等腰直角三角形.你认为正确的序号是( )A.①②③④B.②③④C.①②③D.②③答案：B解题思路：①∵AD⊥BC，若∠ABC=45°，则∠BAD=45°，由题意可知：∠BAC=45°，所以∠ABC=45°不成立，故选项①错误；②∵CE⊥AB，∠BAC=45°，∴AE=EC，在△AEH和△CEB中，∴△AEH≌△CEB（SAS），∴AH=BC，故选项②正确；③又EC-EH=CH，∴AE-EH=CH，故选项③正确．④∵AE=CE，CE⊥AB，所以△AEC是等腰直角三角形，故选项④正确．∴②③④正确．故选B．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质4.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线与∠BAC的外角平分线相交于点D,DE⊥AC于E,DF⊥BA 交BA的延长线于 F.则下列结论:①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC;④∠DAF+∠CBD=90°.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④答案：A解题思路：如图，过点D作DG⊥BC，连接AD∵DG垂直平分BC，∴BD=CD又AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB∴DE=DF在Rt△CDE和Rt△BDF中∴Rt△CDE≌Rt△BDF(HL)，选项①正确∴∠BDF=∠CDE，CE=BF，∠FBD=∠DCE，在Rt△AED和Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE=AF，∴CE=BF=AB+AF=AB+AE，选项②正确∴∠BDC=∠180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-(∠DBC+∠ACB+∠DCA)=180°-(∠FBD+∠DBC+∠ACB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=∠BAC选项③正确∴①②③正确，故选A．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质5.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,DH⊥BC于H,交BE于G.下列结论:①BD=CD;②AD+CF=BD;③;④AE=BG,其中正确的是( )A.①②B.①③C.①②③D.①②③④答案：C解题思路：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD=CD．故①正确．∵CD⊥AB，DH⊥BC∠DBF+∠BFD=90°，∠DCA+∠EFC=90°，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．在△DFB和△DAC中，∴△DFB≌△DAC(ASA)．∴BF=AC；DF=AD．∵CD=CF+DF，∴AD+CF=BD；故②正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．在△BEA和△BEC中∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA)又BF=AC，；故③正确．连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC．∴BG=CG在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE<CG．∵CE=AE，∴AE<BG，故④错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CBA的外角平分线,交AC的延长线于F,交斜边上的高CD的延长线于E,EG∥AC交AB的延长线于G.则下列结论:①CF=CE;②GE=CF;③EF是CG的垂直平分线;④BC=BG,其中正确的是( )A.①②③④B.①③④C.②③④D.①②答案：A解题思路：∵BF平分∠GBC，∴∠GBF=∠CBF，而∠GBF=∠EBD，∴∠CBF=∠EBD，∵∠BCA=90°，CD为高，∴∠F=∠BED，∴CF=CE，所以①正确．又∵GE∥AF，∴∠F=∠GEB，∴∠GEB=∠CEB，而∠GBF=∠CBF，∴∠GBE=∠CBE，在△BEG和△BEC中∴△BEG≌△BEC(ASA)，∴GE=CE，∴GE=CF，所以②正确．在△EGC中，EC=EG，EB平分∠CEG，∴EB垂直平分GC，所以③正确．∴BG=BC，所以④正确．①②③④均正确，故选A．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质7.如图,在长方形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D恰好落在BE上的点M处,延长BC,EF交于点N.有下列四个结论:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④.其中正确的结论是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④答案：B解题思路：（1）由折叠性质可知，△DEF≌△MEF∴DF=MF，∠D=∠FME=90°∴∠FMB=90°∵BF平分∠EBC，∴∠FBM=∠FBC在△FBM和△FBC中∴△FBM≌△FBC（AAS）∴CF=MF∵MF=DF∴DF=CF，故①正确．（2）由（1）可知：△DEF≌△MEF，△FBM≌△FBC∴∠DFE=∠MFE，∠BFM=∠BFC∴∠BFE=∠MFE+∠BFM=∠DFE+∠BFC=90°∴BF⊥EN，故②正确．（3）由BF⊥EN，BF平分∠NBE，可知△EBN是等腰三角形，EB=NB，但是不能确定角的度数，故不能确定△BEN是等边三角形．故③正确．（4）由△DEF≌△MEF，△FBM≌△FBC可得：，且DE=EM，BM=BC，∵点E是AD的中点∴BE=3EM，故④正确．综上，正确选项为①②④故选B．试题难度：三颗星知识点：折叠的性质8.在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB,AC为一边,向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M.下列结论:①BG=CE;②BG⊥CE;③AM 是△AEG的中线;④∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：A解题思路：在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，∵在△ABG和△AEC中，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG=CE，故①正确；设BG，CE相交于点N，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE=∠AGB，∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，∴∠CNG=360°-（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°-（180°+90°）=90°，∴BG⊥CE，故②正确；如图，过点E作EP⊥HA,交HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，∴∠ABH=∠EAP，即∠ABC=∠EAM，故④正确.∵在△ABH和△EAP中，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴EP=AH，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM=GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确．综上所述，①②③④都正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质第 11 页共 11 页。

2019年深圳中考复习《几何多结论》综合题专题

2019年深圳中考复习多结论几何综合题专题一、单选题1、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=CDBC；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②=;③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；④BE2+DC2=DE2⑤BE+DC=DE;其中正确的是( )A、①②④B、③④⑤C、①③④D、①③⑤3、如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD ，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE；其中正确的个数是（）.A、1B、2C、3D、4 4、如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③＝④AD=BD•cos45°．其中正确的一组是（）A、①②B、②③C、①④D、③④5、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD= ，④S△ODC=S四边形BEOF中，正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个6、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，正确的有（）A、1B、2C、3D、47、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个8、如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（）A、②③B、②④C、①③④D、②③④9、如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个10、如图，PA=PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE=PF③CA=BD；④CD∥AB；其中正确的有（）个．A、4B、3C、2D、111、如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC 上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个12、如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A、0B、1C、2D、313、如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、414、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个15、（2016•攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4 ，其中正确的结论个数为（）A、2B、3C、4D、516、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP= ；④S四边形ECFG=2S△BGE．A、4B、3C、2D、117、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论：①a﹣b=0；②当﹣2＜x＜1时，y＞0；③四边形ACBD是菱形；④9a﹣3b+c＞0你认为其中正确的是（）A、②③④B、①②④C、①③④D、①②③18、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论的个数是（）A、2B、3C、4D、519、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足= ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tanE= ；④S△DEF=4 ，其中正确的是（）A、①②③B、②③④C、①②④D、①③④20、如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB 于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE•AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（）A、①③⑤B、②④⑤C、①②⑤D、①③④答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】等腰三角形的性质，梯形中位线定理，锐角三角函数的定义【解析】【分析】①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=；②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a=b时取等号)解答；③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°；∵△ABC∽△CDE∴①∴tan∠AEC=，∴tan∠AEC=；故本选项正确；②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b)2，∴S△ACE=S梯形ABDE-S△ABC-S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=（a2+b2)≥ab（a=b时取等号)，∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM=DM；故本选项正确；③又MN=（AB+ED)=（BC+CD)，∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故本选项正确．故选D．【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2、【答案】C【考点】全等三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定，旋转的性质【解析】【分析】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED；②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立；③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；④据①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确；【解答】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°．∴∠EAF=45°，∴△AED≌△AEF；故本选项正确；②∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD；∴当∠BAE=∠CAD时，△ABE∽△ACD，∴=；当∠BAE≠∠CAD时，△ABE与△ACD不相似，即≠；∴此比例式不一定成立；故本选项错误；③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB，∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四边形AFBD，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积；故本选项正确；④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2，∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，又∵EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故本选项正确；⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞DE，故本选项错误；综上所述，正确的说法是①③④；故选C．【点评】此题主要考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，解题时注意旋转前后对应的相等关系．3、【答案】D【考点】等边三角形的性质，菱形的判定与性质，平移的性质【解析】【解答】∵△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC ＝CD ，∴∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC ，故①正确；由①可得AD＝BC ，∵AB＝CD ，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD＝AC＝CE＝DE ，故四边形ACED是菱形，即③正确；∵四边形ACED是菱形，∴AC⊥BD ，∵AC∥DE ，∴∠BDE＝∠COD＝90°，∴BD⊥DE ，故④正确；综上可得①②③④正确，共4个，故选D．【分析】先求出∠ACD＝60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断③正确；根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD ，再根据平移后对应线段互相平行可得∠BDE＝∠COD＝90°，进而判断④正确．4、【答案】B【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值【解析】【解答】①∵△ABD为直角三角形，∴BD2=AD2+AB2，不是BD=AD2+AB2，故说法错误；②根据折叠可知：DE=CD=AB，∠A=∠E，∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF，故说法正确；③根据②可以得到△ABF∽△EDF，∴＝，故说法正确；④在Rt△ABD中，∠ADB≠45°，∴AD≠BD•cos45°，故说法错误．所以正确的是②③．故选B．【分析】①直接根据勾股定理即可判定是否正确；②利用折叠可以得到全等条件证明△ABF≌△EDF；③利用全等三角形的性质即可解决问题；④在Rt△ABD中利用三角函数的定义即可判定是否正确．此题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的性质及三角函数的定义，它们的综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高，平时加强训练．5、【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3，在△EBC和△FCD中，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE，∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC= = ，故③正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故④正确．故选C．【分析】由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得③正确；由①易证得④正确．6、【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【解答】由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；S△GBE=×6×8=24，S△BEF=•S△GBE==，④正确．故选：C．【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．7、【答案】C【考点】等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，平行四边形的性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选：C．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．8、【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定【解析】【解答】如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，∴①不正确；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD∠FAD，在△AED和△AFD 中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，DE=DF，∴AE+DF=AF+DE，∴④正确；在△AEO和△AFO中，，∴△AE0≌△AF0（SAS），∴EO=FO，又∵AE=AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE=DF，∴四边形AEDF是正方形，∴③正确．综上，可得正确的是：②③④．故选：D．【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF．③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可．④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可．9、【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．10、【答案】A【考点】全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】连接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．∵PC•PA=PD•PB（相交弦定理），PA=PB（已知），∴PC=PD，∴AC=BD；在△AOC和△BOD中，∵∠AOC=∠BOD（等弦对等角），OA=OB（半径），OD=OC（半径），∴△AOC≌△BOD，∴③CA=BD；OE=OF；又∵OE⊥PA，OF⊥PB，∴①OP是∠APB的平分线；∴②PE=PF；在△PCD和△PAB中，PC：PA=PD：PB，∠DPC=∠BPA，∴△PCD∽△PAB，∴∠PDC=PBA，∴④CD∥AB；综上所述，①②③④均正确，故答案选A．【分析】①通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应高相等求得OE=OF；再根据角平分线的性质证明OP是∠APB的平分线；②由角平分线的性质证明PE=PF；③通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应边相等求得CA=BD；④通过证明△PCD∽△PAB，再根据相似三角形的性质对应角相等证得∠PDC=PBA；然后由平行线的判定得出结论CD∥AB．11、【答案】C【考点】全等三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），锐角三角函数的定义【解析】【解答】①由折叠可得BD=DE，而DC＞DE，∴DC＞BD，∴tan∠ADB≠2，故①错误；②图中的全等三角形有△ABF≌△AEF，△ABD≌△AED，△FBD≌△FED，（由折叠可知)∵OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB=90°，在Rt△AOB和Rt△COB中，AB="CB" ,BO=BO ，∴Rt△AOB≌Rt△COB（HL)，则全等三角形共有4对，故②正确；③∵AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，∴∠ABO=∠CBO=45°，∠FBD=∠DEF，∴∠AEF=∠DEF=45°，∴将△DEF沿EF折叠，可得点D一定在AC上，故③错误；④∵OB⊥AC，且AB=CB，∴BO为∠ABC的平分线，即∠ABO=∠OBC=45°，由折叠可知，AD是∠BAC的平分线，即∠BAF=22.5°，又∵∠BFD为三角形ABF的外角，∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，易得∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠BFD=∠BDF，∴BD=BF，故④正确；⑤连接CF，∵△AOF和△COF等底同高，∴S△AOF=S△COF，∵∠AEF=∠ACD=45°，∴EF∥CD，∴S△EFD=S△EFC，∴S四边形DFOE=S△COF，∴S四边形DFOE=S△AOF，故⑤正确；故正确的有3个．故选C．12、【答案】D【考点】等边三角形的性质，菱形的判定，旋转的性质【解析】【解答】解：∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，∴∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，∴∠ACD=120°﹣60°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD，AC=AD=DE=CE，∴四边形ACED是菱形，∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC=AD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，故选D．【分析】根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD=AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD．本题考查了旋转的性质，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．13、【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．14、【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质【解析】【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵FB垂直平分OC，∴△CMB≌△OMB，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，易得OB⊥EF，∴△OMB≌△OEB，∴△EOB≌△CMB，故②正确；③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，∴△BEF是等边三角形，∴BF=EF，∵DF∥BE且DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE=BF，∴DE=EF，故③正确；④在直角△BOE中∵∠3=30°，∴BE=2OE，∵∠OAE=∠AOE=30°，∴AE=OE，∴BE=2AE，∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2，故④错误；所以其中正确结论的个数为3个；故选B【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE，得出结论S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2．本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．15、【答案】B【考点】菱形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=45°，由折叠的性质可得：∠ADG= ∠ADO=22.5°，故①正确．∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，∴AE=EF＜BE，∴AE＜AB，∴＞2，故②错误．∵∠AOB=90°，∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误．∵∠EFD=∠AOF=90°，∴EF∥AC，∴∠FEG=∠AGE，∵∠AGE=∠FGE，∴∠FEG=∠FGE，∴EF=GF，∵AE=EF，∴AE=GF，故④正确．∵AE=EF=GF，AG=GF，∴AE=EF=GF=AG，∴四边形AEFG是菱形，∴∠OGF=∠OAB=45°，∴EF=GF= OG，∴BE= EF= ×OG=2OG．故⑤正确．∵四边形AEFG是菱形，∴AB∥GF，AB=GF．∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，∴△OGF时等腰直角三角形．∵S△OGF=1，∴OG2=1，解得OG= ，∴BE=2OG=2 ，GF= ==2，∴AE=GF=2，∴AB=BE+AE=2 +2，∴S正方形ABCD=AB2=（2 +2）2=12+8 ，故⑥错误．∴其中正确结论的序号是：①④⑤．故选B．【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．16、【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），则PB=2k在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x= ，∴sin=∠BQP= = ，故③正确；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE= BC，BF= BC，∴BE：BF=1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．故选：B．【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB ，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．本题主要考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质的知识点，解决的关键是明确三角形翻转后边的大小不变，找准对应边，角的关系求解．17、【答案】D【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，菱形的判定【解析】【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），∴该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，∴a=b，a﹣b=0，①正确；②∵抛物线开口向下，且抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），∴当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；③∵点A、B关于x=0.5对称，∴AM=BM，又∵MC=MD，且CD⊥AB，∴四边形ACBD是菱形，③正确；④当x=﹣3时，y＜0，即y=9a﹣3b+c＜0，④错误．综上可知：正确的结论为①②③．故选D．【分析】①由抛物线与x轴的两交点坐标即可得出抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，由此即可得出a=b，①正确；②根据抛物线的开口向下以及抛物线与x轴的两交点坐标，即可得出当﹣2＜x＜1时，y＞0，②正确；③由AB关于x=0.5对称，即可得出AM=BM，再结合MC=MD以及CD⊥AB，即可得出四边形ACBD是菱形，③正确；④根据当x=﹣3时，y＜0，即可得出9a﹣3b+c＜0，④错误．综上即可得出结论．本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质以及菱形的判定，解题的关键是逐条分析四条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的函数图象结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．18、【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，∴DE=2，EC=4，∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，∴∠GAE=∠FAE+∠FAG= ∠BAD=45°，所以①正确；设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，∵CG2+CE2=GE2，∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：= ，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC= ×3×4﹣×4×（×3）= =3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选：D．【分析】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE= ∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和正方形的性质．19、【答案】C【考点】垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵= ，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；故②正确；③∵AF=3，FG=2，∴AG= = ，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= = ，∴tan∠E= ；故③错误；④∵DF=DG+FG=6，AD= = ，∴S△ADF= DF•AG= ×6×=3 ，∵△ADF∽△AED，∴=（）2，∴= ，∴S△AED=7 ，∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4 ；故④正确．故选C．【分析】①正确．由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②正确．由= ，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③错误．由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=．④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4 ．20、【答案】D【考点】垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵在⊙O中，点C是的中点，∴= ，∴∠CAD=∠ABC，故①正确；∵≠ ，∴≠ ，∴AD≠BC，故②错误；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠ABC，又∵C为的中点，∴= ，∴∠CAP=∠ABC，∴∠ACE=∠CAP，∴AP=CP，∵∠ACQ=90°，∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵CE⊥AB∴根据射影定理，可得AC2=AE•AB，故④正确；如图，连接BD，则∠ADG=∠ABD，∵≠ ，∴≠ ，∴∠ABD≠∠BAC，∴∠ADG≠∠BAC，又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，∴∠ADG≠∠PQC，∴CB与GD不平行，故⑤错误．故答案为：D．【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，据此推理可得①正确，②错误；通过推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根据∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，进而得到AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，故P为Rt△ACQ 的外心，即可得出③正确；连接BD，则∠ADG=∠ABD，根据∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，进而得到CB与GD不平行，可得⑤错误．。

专题1.1 多结论问题(强化)(解析版)

专题1.1 多结论问题【例题精讲】【例1】如图所示，矩形ABC D 中，AE 平分B A D Ð交BC 于E ，15CAE Ð=°，则下面的结论：①ODC D 是等边三角形；②2BC AB =；③135AOE Ð=°；④AOE COE S S D D =，其中正确结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：Q 四边形ABC D 是矩形，90BAD \Ð=°，OA OC =，OD OB =，AC BD =，OA OD OC OB \===，AE Q 平分B A D Ð，45DAE \Ð=°，15CAE Ð=°Q ，30DAC \Ð=°，OA OD =Q ，30ODA DAC \Ð=Ð=°，60DOC \Ð=°，OD OC =Q ，ODC \D 是等边三角形，\①正确；Q 四边形ABC D 是矩形，//AD BC \，90ABC Ð=°30DAC ACB \Ð=Ð=°，2AC AB \=，AC BC >Q ，2AB BC \>，\②错误；//AD BC Q ，30DBC ADB \Ð=Ð=°，AE Q 平分D A B Ð，90DAB Ð=°，45DAE BAE \Ð=Ð=°，//AD BC Q ，DAE AEB \Ð=Ð，AEB BAE \Ð=Ð，AB BE \=，Q 四边形ABC D 是矩形，60DOC \Ð=°，DC AB =，DOC D Q 是等边三角形，DC OD \=，BE BO \=，1(180)752BOE BEO OBE \Ð=Ð=°-Ð=°，60AOB DOC Ð=Ð=°Q ，6075135AOE \Ð=°+°=°，\③正确；OA OC =Q ，\根据等底等高的三角形面积相等得出AOE COE S S D D =，\④正确；故选：C ．【题组训练】1．如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边的中点，DE 与AC 相交于点F ，连接BF ，下列结论：①A B F A D F S S D D =；②4C D F C E F S S D D =；③2AD F CEF S S D D =；④2A D F C D F S S D D =，其中正确的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【解答】解：Q 四边形ABCD 是正方形，//AD CB \，AD BC AB ==，FAD FAB Ð=Ð，在AFD D 和AFB D 中，AF AF FAD FAB AD AB =ìïÐ=Ðíï=î，AFD AFB \D @D ，ABF ADF S S D D \=，故①正确，1122BE EC BC AD ===Q ，//AD EC ，\12EC CF EF AD AF DF ===，2CDF CEF S S D D \=，4AD F CEF S S D D =，2A D F C D F S S D D =，故②③错误④正确，故选：C ．2．如图，在正方形ABC D 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作//EF AD ，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，DH ，FH ．下列结论：①EG DF =；②180AEH ADH Ð+Ð=°；③EHF DHC D @D ；④若23AE AB =，则313EDH DHC S S D D =，其中结论正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①Q 四边形ABC D 为正方形，//EF AD ，EF AD CD \==，45ACD Ð=°，90GFC Ð=°，CFG \D 为等腰直角三角形，GF FC \=，EG EF GF =-Q ，DF CD FC =-，EG DF \=，故①正确；②CFG D Q 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，FH CH \=，1452GFH GFC HCD Ð=Ð=°=Ð，在E HF D 和DHC D 中，EF CD EFH DCH FH CH =ìïÐ=Ðíï=î，()EHF DHC SAS \D @D ，HEF HDC \Ð=Ð，180AEH ADH AEF HEF ADF HDC AEF ADF \Ð+Ð=Ð+Ð+Ð-Ð=Ð+Ð=°，故②正确；③CFG D Q 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，FH CH \=，1452GFH GFC HCD Ð=Ð=°=Ð，在E HF D 和DHC D 中，EF CD EFH DCH FH CH =ìïÐ=Ðíï=î，()EHF DHC SAS \D @D ，故③正确；④Q 23AE AB =，2AE BE \=，CFG D Q 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，FH GH \=，90FHG Ð=°，90EGH FHG HFG HFG HFD Ð=Ð+Ð=°+Ð=ÐQ ，在EGH D 和DFH D 中，EG DF EGH HFD GH FH =ìïÐ=Ðíï=î，()EGH DFH SAS \D @D ，EHG DHF \Ð=Ð，EH DH =，90DHE EHG DHG DHF DHG FHG Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，EHD \D 为等腰直角三角形，过H 点作H M 垂直于CD 于M 点，如图所示：设HM x =，则5DM x =，D H =，6CD x =，则2132DHC S HM CD x D =´´=，221132EDH S DH x D =´=，313EDH DHC S S D D \=，故④正确；故选：D ．3．如图，在正方形ABC D 中，E 为AD 的中点，DF CE ^于M ，交AC 于点N ，交AB 于点F ，连接EN 、BM ．有如下结论：①ADF DCE D @D ；②MN FN =；③2CN AN =；④:2:5AD N C N FB S S D =四边形；⑤AD F BM F Ð=Ð．其中正确结论的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：①ABCD Q 是正方形，AD DC \=，DAF EDC Ð=Ð,DF CE ^Q ，90EDM DEM \Ð+Ð=°，90DEM DCE Ð+Ð=°Q ,ADF DCE \Ð=Ð，在A DF D 和D C E D 中，ADF DCE DAF EDC AD CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ADF DCE \D @D ，故本选项正确；②ADF DCE D @D Q ，D E AF \=，AE D E =Q ，AE AF \=，在ANF D 和ANE D 中AE AF NAF NAE AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，ANF ANE \D @D ，NF NE \=，NM CE ^Q ，NE MN \>，NF MN \>，MN FN \=错误，故本选项错误；③//AF CD Q ，CDN NFA \Ð=Ð，DCN NAF Ð=Ð，DCN FAN \D D ∽，又ADF DCE D @D Q ，且四边形ABC D 为正方形，1122AF AB DC \==，\2CN CD AN AF ==，2CN AN \=，故本选项正确；④连接CF ，设1AN F S D =，则3ACF S D =，2ADN S D =，6ACB S D \=，5CNFB S \=四边形，:2:5AD N C N FB S S D \=四边形，故本选项正确；⑤延长DF 与C B 交于G ，则ADF G Ð=Ð，根据②的结论F 为AB 中点，即AF BF =，在DA F D 与G BF D 中，90ADF G DAB GBF AF BF Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()DAF GBF AAS \D @D ，BG AD \=，又AD BC =，BC BG \=，又ADF DCE Ð=ÐQ ，90ADF CDM Ð+Ð=°，90DCE CDM \Ð+Ð=°，90DMC CMG \Ð=Ð=°，CMG \D 是直角三角形，MB BG BC \==（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），G BMF \Ð=Ð，因此AD F BM F Ð=Ð，故选项正确．所以正确的有①③④⑤共4个．故选：C ．4．如图，菱形ABC D 中，60BAD Ð=°，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连接BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连接OG ，则下列结论：①12OG AB =；②与EG D D 全等的三角形共有5个；③A B F O D G F S S D >四边形；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．其中正确的是( )A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【解答】解：Q 四边形ABC D 是菱形，AB BC CD DA \===，//AB CD ，OA OC =，OB OD =，AC BD ^，BAG EDG \Ð=Ð，ABO CBO CDO ADO D @D @D @D ，CD DE =Q ，AB D E \=，在ABG D 和D EG D 中，BAG EDG AGB DGEAB DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ABG DEG AAS \D @D ，AG DG \=，OG \是ACD D 的中位线，1122OG CD AB \==，\①正确；//AB CE Q ，AB DE =，\四边形A B D E 是平行四边形，60BCD BAD Ð=Ð=°Q ，A B D \D 、BCD D 是等边三角形，AB BD AD \==，60ODC Ð=°，OD AG \=，四边形A B D E 是菱形，④正确；A DB E \^，由菱形的性质得：ABG DBG DEG D @D @D ，在ABG D 和DCO D中，60OD AG ODC BAG AB DC =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABG DCO SAS \D @D ，ABO CBO CDO ADO BAG DBG EDG \D @D @D @D @D @D @D ，\②不正确；OB OD =Q ，AG DG =，OG \是A B D D 的中位线，//OG AB \，12OG AB =，GOD ABD \D D ∽，ABF OGF D D ∽，GOD \D 的面积14ABD =D 的面积，A B F D 的面积OGF =D 的面积的4倍，:2:1AF OF =，AFG \D 的面积OGF =D 的面积的2倍，又GOD D Q 的面积AOG =D 的面积BOG =D 的面积，ABF O D G F S S D \=四边形；③不正确；正确的是①④．故选：A ．5．如图，已知E 、F 分别为正方形ABC D 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，O 为BD 的中点，则下列结论：①90AME Ð=°；②BAF EDB Ð=Ð；③90BMO Ð=°；④24M D AM EM ==；⑤23AM MF =．其中正确结论的个数是( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解答】解：在正方形ABC D 中，AB BC AD ==，90ABC BAD Ð=Ð=°，E Q 、F 分别为边AB ，BC的中点，12AE BF BC \==，在A B F D 和DA E D 中，AE BF ABC BAD AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABF DAE SAS \D @D ，BAF ADE \Ð=Ð，90BAF DAF BAD Ð+Ð=Ð=°Q ，90ADE DAF BAD \Ð+Ð=Ð=°，180()1809090AMD ADE DAF \Ð=°-Ð+Ð=°-°=°，1801809090AME AMD \Ð=°-Ð=°-°=°，故①正确；DE Q 是A B D D 的中线，AD E ED B \Ð¹Ð，BAF ED B \Ð¹Ð，故②错误；90BAD Ð=°Q ，AM DE ^，AED M AD M EA \D D D ∽∽，\2AM MD AD EM AM AE===，2AM EM \=，2MD AM =，24M D AM EM \==，故④正确；设正方形ABC D 的边长为2a ，则BF a =，在Rt ABF D中，AF =，BAF M AE Ð=ÐQ ，90ABC AME Ð=Ð=°，AME ABF \D D ∽，\AM AE AB AF=，即2AM a =解得AM，MF AF AM \=-==，23AM MF \=，故⑤正确；如图，过点M 作MN AB ^于N ，则MN ANBF AB =即2MN AN a a ==，解得25MN a =，45AN a =，46255NB AB AN aa a \=-=-=，根据勾股定理，BM ===，过点M 作//GH AB ，过点O 作OK GH ^于K ，则2355OK a a a =-=，6155MK a a a =-=，在Rt MKO D 中，MO ===，根据正方形的性质，2BO a =´=，22222))2BM MO a +=+=Q ，222)2B O a ==，222BM MO BO \+=，BMO \D 是直角三角形，90BMO Ð=°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：B ．6．如图，在矩形ABC D 中，O 为AC 中点，EF 过O 点且EF AC ^分别交DC 于F ，交AB 于E ，点G 是AE 中点且30AOG Ð=°，则下列结论正确的个数为( )（1）3DC OG =；（2）12OG BC =；（3）O G E D 是等边三角形；（4）16AOE ABCD S S D =矩形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：EF AC ^Q ，点G 是AE 中点，12OG AG GE AE \===，30AOG Ð=°Q ，30OAG AOG \Ð=Ð=°，90903060GOE AOG Ð=°-Ð=°-°=°，OGE \D 是等边三角形，故（3）正确；设2AE a =，则OE OG a ==，由勾股定理得，AO ，O Q 为AC 中点，2AC AO \==，1122BC AC \==´，在Rt ABC D 中，由勾股定理得，3AB a ==，Q 四边形ABC D 是矩形，3CD AB a \==，3DC OG \=，故（1）正确；OG a =Q ，12BC =，12OG BC \¹，故（2）错误；212AOE S a D ==Q ，23ABCD S a ==，16AOE ABCD S S D \=，故（4）正确；综上所述，结论正确的是（1）（3）（4）共3个．故选：C ．7．如图，在矩形ABC D 中，AD =，B A D Ð的平分线交BC 于点E ，DH AE ^于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①AED CED Ð=Ð；②OE OD =；③B H H F =；④2BC CF HE -=；⑤AB H F =，其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：Q 在矩形ABC D 中，AE 平分B A D Ð，45BAE DAE \Ð=Ð=°，A B E \D 是等腰直角三角形，AE \=，AD =Q ，AE AD \=，在A B E D 和A HD D 中，90BAE DAE ABE AHD AE AD Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()ABE AHD AAS \D @D ，B E D H \=，AB BE AH H D \===，1(18045)67.52ADE AED \Ð=Ð=°-°=°，1804567.567.5CED \Ð=°-°-°=°，AED CED \Ð=Ð，故①正确；A B A H =Q ，1(18045)67.52AHB Ð=°-°=°Q ，OHE AHB Ð=Ð（对顶角相等），67.5OHE AED \Ð=°=Ð，OE OH \=，9067.522.5DHO Ð=°-°=°Q ，67.54522.5ODH Ð=°-°=°，DHO ODH \Ð=Ð，OH OD \=，OE OD OH \==，故②正确；9067.522.5EBH Ð=°-°=°Q ，EBH OHD \Ð=Ð，在B E H D 和HDF D 中，22.545EBH OHD BE DHAEB HDF Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ð=°î，()BEH HDF ASA \D @D ，BH HF \=，H E D F =，故③正确；HE AE AH BC CD =-=-Q ，()()()2BC CF BC CD DF BC CD HE BC CD HE HE HE HE \-=--=--=-+=+=．故④正确；A B A H =Q ，45BAE Ð=°，ABH \D 不是等边三角形，A B B H \¹，\即AB H F ¹，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：C ．8．如图，矩形ABC D 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE 、BO ．若60COB Ð=°，FO FC =，则下列结论：①F B 垂直平分OC ；②EOB CMB D @D ；③D E EF =；④:2:3AOEBCM S S D D =．其中正确结论的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】解：①Q 矩形ABC D 中，O 为AC 中点，OB OC \=，60COB Ð=°Q ，OBC \D 是等边三角形，OB BC \=，FO FC =Q ，FB \垂直平分OC ，故①正确；②BOC D Q 为等边三角形，FO FC =，BO EF \^，BF OC ^，90CMB EOB \Ð=Ð=°，BO BM \¹，EOB \D 与CMB D 不全等；故②错误；③易知ADE CBF D @D ，12330Ð=Ð=Ð=°，30ADE CBF \Ð=Ð=°，60BEO Ð=°，60CDE \Ð=°，60DFE BEO Ð=Ð=°，CDE DFE \Ð=Ð，D E EF \=，故③正确；④易知AOE COF D @D ，AOE COF S S D D \=，2COF CMF S S D D =Q ，2:2:AOE BCM CMF BCM FM S S S S BMD D D D \==，30FCO Ð=°Q ，FM \，BM =，\13FM BM =，:2:3AOE BCM S S D D \=，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选：B ．9．如图，在菱形ABC D 中，E 是AB 边上一点，且60A EDF Ð=Ð=°，有下列结论：①AE BF =；②D E F D 是等边三角形；③B E F D 是等腰三角形；④ADE BEF Ð=Ð，其中结论正确的个数是( )A ．3B ．4C ．1D ．2【解答】解：连接BD ，Q 四边形ABC D 是菱形，AD AB \=，12ADB ADC Ð=Ð，//AB CD ，60A Ð=°Q ，120ADC \Ð=°，60ADB Ð=°，同理：60DBF Ð=°，即A DBF Ð=Ð，A B D \D 是等边三角形，AD BD \=，60ADE BDE Ð+Ð=°Q ，60BDE BDF EDF Ð+Ð=Ð=°，AD E BD F \Ð=Ð，Q 在A D E D 和B D F D 中，ADE BDFAD BD A DBFÐ=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE BDF ASA \D @D ，D E D F \=，AE BF =，故①正确；60EDF Ð=°Q ，EDF \D 是等边三角形，\②正确；60DEF \Ð=°，120AED BEF \Ð+Ð=°，180120AED ADE A Ð+Ð=°-Ð=°Q ，AD E BEF \Ð=Ð；故④正确．ADE BDF D @D Q ，AE BF \=，同理：BE CF =，但BE 不一定等于BF ．故③错误．综上所述，结论正确的是①②④．故选：A ．10．在正方形ABC D 中，P 为AB 的中点，BE D P ^的延长线于点E ，连接AE ，FA AE ^交DP 于点F ，连接BF 、FC ．下列结论：①ABE ADF D @D ；②FB AB =；③CF DP ^；④FC EF =．其中正确的结论为( )A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④【解答】解：Q 正方形ABC D ，BE ED ^，EA FA ^，AB AD CD BC \===，90BAD EAF BEF Ð=Ð=°=Ð，APD EPB Ð=ÐQ ，EAB D AF \Ð=Ð，EBA ADP Ð=Ð，AB AD =Q ，()ABE ADF ASA \D @D ，\①正确；AE AF \=，BE D F =，45AEF AFE \Ð=Ð=°，取EF 的中点M ，连接AM ，BM ，如图：AM EF \^，AM EM FM ==，//BE AM \，AP BP =Q ，AM BE DF \==，45EMB EBM \Ð=Ð=°，9045135AMB FMB \Ð=°+°=°=Ð，BM BM =Q ，AM MF =，()ABM FBM SAS \D @D ，AB BF \=，\②正确；BAM BFM \Ð=Ð，90BEF Ð=°Q ，AM EF ^，90BAM APM \Ð+Ð=°，90EBF EFB Ð+Ð=°，APF EBF \Ð=Ð，//AB CD Q ，APD FDC \Ð=Ð，EBF FDC \Ð=Ð，BE D F =Q ，BF CD =，()BEF DFC SAS \D @D ，CF EF \=，90DFC FEB Ð=Ð=°，\③正确；④正确；故选：A ．11．已知菱形ABC D ，E 、F 是动点，边长为4，BE AF =，120BAD Ð=°，则下列结论正确的有几个( )①BEC AFC D @D ；②ECF D 为等边三角形；③AGE AFC Ð=Ð；④若1A F =，则13GF EG =．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①Q 四边形ABC D 是菱形，AB BC CD AD \===，//AB CD ，180B BCD \Ð+Ð=°，120BCD Ð=°Q ，60B \Ð=°，ABC \D ，ACD D 是等边三角形，60B CAF \Ð=Ð=°，BE AF =Q ，BC AC =，BEC AFC \D @D ()SAS ，正确；②BEC AFC D @D Q ，CE CF \=，BCE ACF Ð=Ð，60BCE ECA BCA Ð+Ð=Ð=°Q ，60ACF ECA \Ð+Ð=°，CEF \D 是等边三角形，故②正确；③60AGE CAF AFG AFG Ð=Ð+Ð=°+ÐQ ；60AFC CFG AFG AFG Ð=Ð+Ð=°+Ð，AGE AFC \Ð=Ð，故③正确；④过点E 作//EM BC 交AC 于点M ，易证AEM D 是等边三角形，则3EM AE ==，//AF EM Q ，\则13GF AF EG EM ==．故④正确，故①②③④都正确．故选：D ．12．如图，已知E ，F 分别为正方形ABC D 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，O 为BD 的中点，则下列结论：①90AME Ð=°，②BAF EDB Ð=Ð，③23AM MF =，④ME MF +=．其中正确结论的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】解：在正方形ABC D 中，AB BC AD ==，90ABC BAD Ð=Ð=°，E Q 、F 分别为边AB ，BC 的中点，12AE BF BC \==，在A B F D 和DA E D 中，AE BF ABC BAD AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABF DAE SAS \D @D，BAF ADE \Ð=Ð，90BAF DAF BAD Ð+Ð=Ð=°Q ，1801809090AME AMD \Ð=°-Ð=°-°=°，故①正确；DE Q 是A B D D 的中线，AD E ED B \Ð¹Ð，BAF ED B \Ð¹Ð，故②错误；设正方形ABC D 的边长为2a ，则BF a =，在Rt ABF D中，A F ==，BAF M AE Ð=ÐQ ，90ABC AME Ð=Ð=°，AME ABF \D D ∽，\AM AE AB AF =，即2AM a =，解得：AM =，MF AF AM \=-==，23AM MF \=，故③正确；如图，过点M 作MN AB ^于N ，则MN ANBF AB =即2MN AN a a ==，解得25MN a =，45AN a =，46255NB ABAN a a a \=-=-=，根据勾股定理，BM==，ME MF+=+=Q==，ME MF \+=．综上所述，正确的结论有①③④共3个．故选：B ．13．如图，在正方形ABC D 中，点E 是CD 的中点，点F 是AD 的中点，BE 与CF 相交于点P ，设AB a =．得到以下结论：①BE CF ^；②AP a =；③CP =则上述结论正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：在C D F D 和BCE D 中CE DF D BCDCD BC =ìïÐ=Ðíï=î()CDF BCE SAS \D @D CEB CFD\Ð=Ð90DCF CFD Ð+Ð=°Q 90DCF CEB \Ð+Ð=°90EPC \Ð=°\①正确；如图延长CF 交BA 延长线于点M ，在CFD D 和MF A D中D FAM DF AFCFD AFM Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()CFD MFA ASA \D @D CD MA AB a \===，BP CF^Q AP \为Rt MPB D 斜边BM 上的中线，是斜边的一半，即11222AP BM a a ==´=，\②正确；CP BE^Q 212CP BE CE BCa \´=´=BE===Q CE BC CP BE ´\=\③正确故选：D ．14．如图，分别以直角ABC D 的斜边AB ，直角边AC 为边向ABC D 外作等边A B D D 和等边ACE D ，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G ，EF 与AC 交于点H ，90ACB Ð=°，30BAC Ð=°．给出如下结论：①EF AC ^；②四边形A DF E 为菱形；③4AD AG =；④14FH BD =；其中正确结论的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【解答】解：ACE D Q 是等边三角形，60EAC \Ð=°，AE AC =，30BAC Ð=°Q ，90FAE ACB \Ð=Ð=°，2AB BC =，F Q 为AB 的中点，2AB AF \=，BC AF \=，ABC EFA \D @D ，FE AB \=，30AEF BAC \Ð=Ð=°，EF AC \^，故①正确，EF AC ^Q ，90ACB Ð=°，//HF BC \，F Q 是AB 的中点，12HF BC \=，12BC AB =Q ，AB BD =，14HF BD \=，故④说法正确；AD BD =Q ，BF AF =，90DFB \Ð=°，30BDF Ð=°，90FAE BAC CAE Ð=Ð+Ð=°Q ，D FB EAF \Ð=Ð，EF AC ^Q ，30AEF \Ð=°，BD F AEF \Ð=Ð，()DBF EFA AAS \D @D ，AE D F \=，FE AB =Q ，\四边形A D F E 为平行四边形，AE EF ¹Q ，\四边形A D F E 不是菱形；故②说法不正确；12AG AF \=，14AG AB \=，AD AB =Q ，则4AD AG =，故③说法正确，故选：C ．。

中考数学几何多结论问题

∴正确的有4个．故选D.
3. 如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一
点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，
连接EF.给出以下4个结论：
①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③
AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP.
其中，所有正确的结论是( )
A. ①②
B. ①④
C. ①②④
D. ①③④
∴FH≠FD， ∴S△EFH≠S△EFD， ∴S四边形EFHG＝S△HEG＋S△EFH＝S△AHG＋ S△EFH≠S△DEF＋S△AGH，故③错误，
18. 如图，点E，F分别为正方形ABCD的边BC，
CD上一点，AC，BD交于点O，且∠EAF＝
45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，
则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝
∵CG＝GF，∴∠CFG＝∠FCG， ∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF， ∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF， ∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG， ∴∠AGB＝∠FCG， ∴AG∥CF， ∴④正确；
8. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝
60°，AE分别交BC，BD于点E，F，CE＝2，
连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②
点E到AB的距离是；③AF＝CF；④△ABF
的面积为 .其中一定成立的有( )个
A. 1
B. 2
C. 3 D. 4
10. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，
CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF
11. 如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中
点，连接AE，以AE为边在正方形内部作
∠EAF＝45°，边AF交CD于F，连接EF.则下

2022年九年级数学中考专题十一几何多结论题

专题11 几何多结论选择题一．试题（共14小题）1．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE ∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①③④D．①②③④2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．43．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和CE是高，∠ACE＝45°，点F是AC的中点，AD与FE，CE分别交于点G、H，∠BCE＝∠CAD，有下列结论：①图中存在两个等腰直角三角形；②△AHE≌△CBE；③BC•AD=√2AE2；④S△ABC＝4S△ADF．其中正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知如图等腰△ABC ，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点D ．点P 是BA 延长线上一点，O 点是线段AD 上一点，OP ＝OC ，下面的结论：①AC 平分∠P AD ；②∠APO ＝∠DCO ；③△OPC 是等边三角形；④AC ＝AO +AP ；⑤S △ABC ＝S 四边形AOCP ．其中正确的序号是．6．如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边△ABD 和等边△ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ，若∠BAC ＝30°，下列结论：①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为菱形；③AD ＝4AG ；④△DBF ≌△EF A ．其中正确结论的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在矩形ABCD 中，AD =√2AB ，AE 平分∠BAD ，DF ⊥AE 于F ，BF 交DE 、CD 于O 、H ，下列结论：①∠DEA ＝∠DEC ；②BF ＝FH ；③OE ＝OD ；④BC ﹣CH ＝2EF ；⑤AB ＝HF ，其中正确结论的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 8．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，分别交BC ，BD 于点E ，P ，连接OE ，∠ADC ＝60°，AB =12BC ＝2，下列结论：①∠CAD ＝30°；②BD ＝2√7；③S 四边形ABCD ＝AB •AC ；④OE =14AD ；⑤S △BOE =√32．其中正确的个数有（）个A．2B．3C．4D．59．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，过A作直线交BC于G，BG＜GC，BD⊥AG于D，CE⊥AD于E，F 为BC边中点，则下列结论中：①∠BAD＝∠ACE；②BD＝CE﹣ED；③FE＝FD；④EF⊥DF，其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE：S△BCM＝3：2．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．514．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD＝DC；②CF＝EF；③弧AE＝弧DE；④∠A＝2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个专题11 几何多结论选择题参考答案与试题解析一．试题（共14小题）1．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∠DAE ＝∠BCF ＝90°，OD ＝OB ＝OA ＝OC ，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠DAN ＝∠BCM ，∵BF ⊥AC ，DE ∥BF ，∴DE ⊥AC ，∴∠DNA ＝∠BMC ＝90°，在△DNA 和△BMC 中，{∠DAN =∠BCM ∠DNA =∠BMC AD =BC，∴△DNA ≌△BMC （AAS ），∴DN ＝BM ，∠ADE ＝∠CBF ，故①正确；在△ADE 和△CBF 中，{∠ADE =∠CBF AD =BC ∠DAE =∠BCF，∴△ADE ≌△CBF （ASA ），∴AE ＝FC ，DE ＝BF ，故③正确；∴DE ﹣DN ＝BF ﹣BM ，即NE ＝MF ，∵DE ∥BF ，∴四边形NEMF 是平行四边形，∴EM ∥FN ，故②正确；∵AB ＝CD ，AE ＝CF ，∴BE ＝DF ，∵BE ∥DF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵AO ＝AD ，∴AO ＝AD ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∴∠ADO ＝∠DAN ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠ADO ＝30°，∵DE ⊥AC ，∴∠ADN ＝∠ODN ＝30°，∴∠ODN ＝∠ABD ，∴DE ＝BE ，∴四边形DEBF 是菱形；故④正确；故选：D ．2．【解答】证明：∵BC ＝EC ，∴∠CEB ＝∠CBE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．故选：D．3．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，{OA=OB∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG ＝OH ，∴MO 平分∠AMD ，故④正确；法二：∵△AOC ≌△BOD ，∴∠OAC ＝∠OBD ，∴A 、B 、M 、O 四点共圆，∴∠AMO ＝∠ABO ＝72°，同理可得：D 、C 、M 、O 四点共圆，∴∠DMO ＝∠DCO ＝72°＝∠AMO ，∴MO 平分∠AMD ，故④正确；假设MO 平分∠AOD ，则∠DOM ＝∠AOM ，在△AMO 与△DMO 中，{∠AOM =∠DOMOM =OM ∠AMO =∠DMO，∴△AMO ≌△DMO （ASA ），∴AO ＝OD ，∵OC ＝OD ，∴OA ＝OC ，而OA ＜OC ，故③错误；正确的个数有3个；故选：B ．4．【解答】解：∵CE ⊥AB ，∠ACE ＝45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∵AF ＝CF ，∴EF ＝AF ＝CF ，∴△AEF ，△EFC 都是等腰直角三角形，∴图中共有3个等腰直角三角形，故①错误，∵∠AHE +∠EAH ＝90°，∠DHC +∠BCE ＝90°，∠AHE ＝∠DHC ，∴∠EAH ＝∠BCE ，∵AE ＝EC ，∠AEH ＝∠CEB ＝90°，∴△AHE ≌△CBE ，故②正确，∵S △ABC =12BC •AD =12AB •CE ，AB ＝AC =√2AE ，AE ＝CE ，∴BC •AD =√2CE 2，故③正确，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝DC ，∴S △ABC ＝2S △ADC ，∵AF ＝FC ，∴S △ADC ＝2S △ADF ，∴S △ABC ＝4S △ADF ．故选：C ．5．【解答】解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；∴∠CAD=12∠BAC＝60°，∠P AC＝180°﹣∠CAB＝60°，∴∠P AC＝∠DAC，∴AC平分∠P AD故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；④如图2，在AC上截取AE＝P A，连接PB，∵∠P AE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝P A，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OP A和△CPE中，{PA=PE∠APO=∠CPE OP=CP，∴△OP A≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故④正确；如图3，过点C作CH⊥AB于H，∵∠P AC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，∴CH＝CD，∴S△ABC=12AB•CH，S 四边形AOCP ＝S △ACP +S △AOC =12AP •CH +12OA •CD =12AP •CH +12OA •CH =12H •（AP +OA ）=12CH •AC ， ∴S △ABC ＝S 四边形AOCP ；故⑤正确．本题正确的结论有：①③④⑤故答案为：①③④⑤．6．【解答】解：连接FC ，如图所示：∵∠ACB ＝90°，F 为AB 的中点，∴F A ＝FB ＝FC ，∵△ACE 是等边三角形，∴EA ＝EC ，∵F A ＝FC ，EA ＝EC ，∴点F 、点E 都在线段AC 的垂直平分线上，∴EF 垂直平分AC ，即EF ⊥AC ；∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形，F 为AB 的中点，∴DF ⊥AB 即∠DF A ＝90°，BD ＝DA ＝AB ＝2AF ，∠DBA ＝∠DAB ＝∠EAC ＝∠ACE ＝60°． ∵∠BAC ＝30°，∴∠DAC ＝∠EAF ＝90°，∴∠DF A ＝∠EAF ＝90°，DA ⊥AC ，∴DF ∥AE ，DA ∥EF ，∴四边形ADFE 为平行四边形而不是菱形；∵四边形ADFE 为平行四边形，∴DA ＝EF ，AF ＝2AG ，∴BD ＝DA ＝EF ，DA ＝AB ＝2AF ＝4AG ；在△DBF 和△EF A 中，{BD =FE ∠DBF =∠EFA BF =FA，∴△DBF ≌△EF A ；综上所述：①③④正确，故选：C ．7．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB＝45°，∵∠AFD＝∠ABE＝90°，∴△AFD与△ABE都为等腰直角三角形，即AF＝DF，AB＝BE，∴AE=√2AB，又∵AD=√2AB，∴AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝67.5°，∴∠DEC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DEA＝∠DEC，选项①正确；过F作GM⊥AD，与AD交于G点，与BC交于M点，利用三线合一得到G为AD中点，∴F为BH中点，M为BC中点，∴BF＝FH，选项②正确；∵AD=√2AF，AD=√2AB，∴AF＝AB，∴∠AFB＝67.5°，∴∠OFE＝∠OEF＝67.5°，∴OE＝OF，∴∠ODF＝∠OFD＝22.5°，∴OF＝OD，∴OD＝OE，选项③正确；∴∠DEF＝67.5°﹣45°＝22.5°，∠EDC＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠EDF＝∠DEC，∵EF⊥DF，EC⊥CD，∴EF＝EC，∵△EFM为等腰直角三角形，∴FM＝ME，∴BC﹣CH＝2CM﹣2FM＝2CM﹣2ME＝2EF，选项④正确；∵AB＝AF，∠BAE＝45°，∴△ABF不是等边三角形，∴AB≠BF，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④．则正确的序号有4个．故选：C．8．【解答】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝2，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝2，∵BC＝4，∴EC＝2，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正确；②∵BE＝EC，OA＝OC，∴OE=12AB＝1，OE∥AB，∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，Rt△EOC中，OC=√EC2−OE2=√3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACB＝30°，∴∠ACD＝90°，Rt△OCD中，OD=√OC2+CD2=√7 BD＝2OD＝2√7故②正确③由②知：∠BAC＝90°，∴S▱ABCD＝AB•AC，故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线，∴OE=12AB，∵AB=12BC，∴OE=14BC=14AD，故④正确；⑤∵BE＝EC＝2∴S△BOE＝S△EOC=12OE•OC=√32故⑤正确故选：D．9．【解答】解：如图连接AF．∵AB＝AC，BF＝FC，∴AF⊥BC，∵BD⊥AD，CE⊥AD，∴∠ADB＝∠AEC＝∠BAC＝90°，∵∠CAE+∠BAD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，故①正确，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴CE﹣ED＝AD﹣DE＝AE＝BD，故②正确，∵∠BAC＝90°，BF＝FC，∴AF＝BF＝FC，∵∠AGF＝∠BGF，∠BDG＝∠AFG＝90°，∴∠DBG＝∠GAF，∵AE＝BD，∴△FBD≌△FEA（SAS），∴EF＝DF，∠AFE＝∠BFD，∴∠AFB＝∠EFD＝90°，∴EF⊥DF，故③④正确．故选：D．10．【解答】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确∵∠DOF＝∠AOE，∴∠DFO＝∠EAO＝90°，∴BD⊥EC，故②正确，∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，∴AM＝AN，∴F A平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故④正确，若③成立，则∠EAF＝∠BAF，∵∠AFE＝∠AFB，∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故③错误，故选：C．11．【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵FO＝FC，∴FB垂直平分OC，故①正确；②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB＝∠EOB＝90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故②错误；③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，∴∠CDE＝∠DFE，∴DE＝EF，故③正确；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∵S△COF＝2S△CMF，∴S△AOE：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM=2FMBM，∵∠FCO＝30°，∴FM=CM√3，BM=√3CM，∴FMBM=13，∴S△AOE：S△BCM＝2：3，故④错误；所以其中正确结论的个数为2个；故选：C．12．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点F、G分别是AD、BC的中点，∴AF=12AD，BG=12BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四边形ABGF是菱形，故②正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，{∠A=∠FDM AF=DF∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，故③正确；∴∠FCD＝∠M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确，故选：D．13．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，故①正确；∵∠AEC＝∠DAB+∠EBA，∠AOC＝2∠EBA，∴∠AOC≠∠AEC，故②不正确；∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠CBD，即BC平分∠ABD，故③正确；∴OC⊥AD，∴AF＝FD，故④正确；∴OF为△ABD的中位线，∴BD＝2OF，故⑤正确，综上可知正确的有4个，故选：C．14．【解答】解：连接OD，AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴AD⊥BC；而在△ABC中，AB＝AC，∴AD是边BC上的中线，∴BD＝DC（正确）；∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，即：OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切线（正确）；∵DF⊥AC，AD⊥BC，∴∠FDC+∠C＝∠CAD+∠C＝90°，∴∠FDC＝∠CAD，又AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠A＝2∠CAD＝2∠FDC（正确）；∵DF是⊙O的切线，∴∠FDE＝∠CAD＝∠FDC，∴∠C＝∠DEC，∴DC＝DE，又DF⊥AC，∴CF＝EF（正确）；̂=DÊ，此时△ABC为等边三角形，当∠EAD＝∠EDA时，AE当△ABC不是等边三角形时，∠EAD≠∠EDA，̂≠DÊ，则AÊ=DÊ（不正确）；∴AE综上，正确结论的序号是①②④⑤，故选：B．。

2018年中考数学（二）之多结论几何专题试卷，有了它几何题至少涨10分请提前收藏、打印

2018年中考数学（二）之多结论几何专题试卷，有了它几何
题至少涨10分请提前收藏、打印
前面小编给大家整理了一套中考反比例综合试卷，深受大家欢迎。

小编深受鼓舞今天给大家整理了一套中考几何问题中多结论综合试卷与大家分享。

多几论综合试题在中考中的地位
几何多结论综合试题一般以选择、填空形式出现，这类题得分率是比较低，耗时较长。

因为，多选一个少选一个都无法得分，要想做完全正确就必须有完整的思维过程耗时自然就长了，所以这类题丝毫不亚于一道压轴题的难度。

这类题如果能顺利完成那么相应的几何压轴题就不在话下了。

试卷推荐理由：
1.本试卷此类题型涵盖全面，共计20道。

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注：本试卷由于有详细的解题过程共计20道15页为了节约篇幅，共计上传5页，其他参看电子版。

由于截屏时试卷排版有点一些小错误请谅解。

请大家根据情况进行参考。

初中几何多结论问题

专题—几何多结论问题【考题研究】以函数/几何为背景多结论问题自13年以来深圳广州等地每年必考，出现的位置是选择题或者填空题的压轴题.其难度不言自于，对学生综合分析问题的能力要求比较高.【解题策略】常见类型有：(1)代数中的多结论题;特别是有关二次函数中的多结论选填题是综合性比较强的题目，解决此类题目不仅要掌握二次函数的图象与性质、抛物线位置与字母系数的关系、二次函数与方程、不等式的关系等知识，还要学会代入特殊值的方法并结合二次函数的图象去验证一些不等式的正误;(2)几何中的多结论题;几何中的多结论选填题则结合了三角形、四边形、圆的有关性质和判定，是几何中综合性很强的题目，掌握三角形、四边形、圆的有关性质并能熟练的运用才能解决此类问题.具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果;二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.常用方法有以下几种：1.直接法从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。

运用此种方法解题需要扎实的数学基础.2.特例法运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。

用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好.3.筛选法(也叫排除法、淘汰法)运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件和各选项之间的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰逐一排除从而获得正确结论的方法。

使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.4.逆推代入法将选择项中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的择题项的一种方法. 在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度. 5.直观选择法利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。

几何多结论选择题填空题的解题方法

几何多结论选择题填空题的解题方法几何多结论选择题填空题基本方向：①找全等；②找特殊角；③分析数量关系；④确定位置关系；⑤确定图形形状；⑥特殊—一一般——特殊.几何多结论选择题填空题基本方法：①常见辅助线构造基本图形；②②代数方法解决几何计算证明；③面积与线段的比值转化；A定正确的结论有（） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④考点：等腰直角三角形；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【思路引导】①利用SAS 证明△BAD ≌△CAE ，可得到CE=BD ，②利用平行四边形的性质可得AE=CD ，再结合△ADE 是等腰直角三角形可得到 △ADC 是等腰直角三角形；③利用SAS 证明△BAE ≌△BAD 可得到∠ADB=∠AEB ；④由②△ADC 是等腰直角三角形和四边形ACDE 是平行四边形，可得EF=CF ，AF=DF ，所以得△CFD 为等腰直角三角形且∠CFD=90°，即得CD ≠CF ，即CD ≠EF ．故④CD=EF 错误；所以一定正确的结论有①②③，故选A ．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，是解决问题的关键．练习一：1．如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，A 、B 、D 三点共线，下列结论：①AE=CD ； ②BF=BG ；③HB 平分∠AHD ；④∠AHC=60°；⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ，其中正确的有（） A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个2.如图，Rt ABC 中，AC BC ⊥，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AD ⊥交AB 于点E ，M 为AE 的中点，BF ⊥BC 交CM 的延长线于点F ，BD=4，CD=3．下列结论：①AED ADC ∠=∠；②3 4DE DA =；③AC BE 12⋅=；④3BF 4AC =；其中结论正确的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，CD 与BE ，AE分别交于点P ，M.对于下列结论：①△BAE ∽△CAD ；②MP ·MD ＝MA ·ME ；③2CB 2＝CP ·CM.其中正确的是( )A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③题型二：以四边形为背景（平行四边形、矩形、菱形）例3.如图，在□ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）A．1个 B．2个 C．3个D．4个考点：平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、菱形的判定、直角三角形的斜边上的中线。

几何多结论选择题

几何多结论选择题方法突破【1】.（2013•齐）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM，从而得到AM是△AEG的中线．解答：解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，∵在△ABG和△AEC中，AB＝AE，∠CAE ＝∠BAG， AC＝AG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG=CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE=∠AGB，∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，∴∠CNG=360°-（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°-（180°+90°）=90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，∴∠ABH=∠EAP，∵在△ABH和△EAP中，∠ABH＝∠EAP，∠AHB＝∠P＝90°，AB＝AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴∠EAM=∠ABC，故④正确，EP=AH，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∠P＝∠MQG＝90°，∠EMP＝∠GMQ，EP＝GQ，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM=GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故选：A．点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．【2】.（2012•黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）= 2 /2BC；②S△A E F≤14S△A B C；③S四边形A E D F=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF 可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．专题：几何综合题．分析：先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB= 2 /2BC，从而判断①；设AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出S△A E F=-12（x-12 a）2+18a2，14S△A B C=14×12a2=18a2，再根据二次函数的性质即可判断②；由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为= 2 /2a，而AD= 2 /2a，所以EF ≥AD，从而④错误；先得出S四边形A E D F=S△A D C=12AD，再由EF≥AD得到AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形A E D F，所以③错误；如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DF∥AB，DE∥AC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤．解答：解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，∵∠MDN=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中，∵∠EAD＝∠C，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE=CF，在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=√AD2+BD2= 2 BD= 2 /2BC．故①正确；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．∵S△A E F=12AE•AF=12x（a-x）=-12（x-12a）2+18a2，∴当x=12a时，S△A E F有最大值18a2，又∵14S△A B C=14×12a2=18a2，∴S△A E F≤14S△A B C．故②正确；EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x-12a）2+12a2，∴当x=12a时，EF2取得最小值12a2，∴EF≥ 2 /2a（等号当且仅当x=12a时成立），而AD= 2 /2a，∴EF≥AD．故④错误；由①的证明知△AED≌△CFD，∴S四边形A E D F=S△A E D+S△A D F=S△C F D+S△A D F=S△A D C=12AD2，∵EF≥AD，∴AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形A E D F故③错误；当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．故⑤正确．综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．故选C．点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积，函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．【3】．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE 是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD=EF．一定正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：等腰直角三角形；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；④由②△ADC是等腰直角三角形和四边形ACDE是平行四边形，可得EF=CF，AF=DF，所以得△CFD为等腰直角三角形且∠CFD=90°，即得CD≠CF，即CD≠EF．解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即：∠BAD=∠CAE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE=BD，∴故①正确；②∵四边形ACDE是平行四边形，∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，∵△ADE都是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=CD，∴△ADC是等腰直角三角形，∴②正确；③∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°，又AB=AB，AD=AE，∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB=∠AEB；故③正确；④已知四边形ACDE是平行四边形，∴EF=CF，AF=DF，又证得②△ADC是等腰直角三角形，∴△CFD为等腰直角三角形且∠CFD=90°，∴CD≠CF，即CD≠EF，故④CD=EF错误；所以一定正确的结论有①②③，故选A．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，是解决问题的关键．【3】.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE，下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG．【分析】①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；④利用得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+GFD=90°，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．【解答】①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即：∠BAD=∠CAE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE=BD，∴故①正确；②∵四边形ACDE是平行四边形，∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，∵△ADE都是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=CD，∴△ADC是等腰直角三角形，∴②正确；③∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°，又AB=AB，AD=AE，∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB=∠AEB；故③正确；④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，∴△CAE≌△BAE，∴∠BEA=∠AEC=∠BDA，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE+∠BEA=90°，∵∠GFD=∠AFE，∴∠GDF+GFD=90°，∴∠CGD=90°，∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，∴△CGD∽△EAF，∴CD/EF=CG/AE，∴CD•AE=EF•CG．故④正确，故正确的有4个．【4】.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB 于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．解答：1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC= DB2+CD2 =2 2 ，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG=1 2 BC= 2 ．答：EG的长是 2 ．2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°，∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．（解法二）证明：延长BA与CD延长线交于M，∵△BFE和△CFD中，∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，∴∠MBD=∠FCD，∵△BCD中∠DCB=45°，BD⊥CD，∴BD=CD，△BMD和△CFD中，∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，∴△BMD≌△CFD，∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°，∴∠ADM=∠ADF=45°，∴△AFD≌△AMD，∴AM=AF，∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF．【5】. （2009•烟台）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF 于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DE=CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD=∠CAF 其中正确的结论是①③④．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．解答：解：在△ABC与△AEF中∵AB=AE，BC=EF，∠B=∠E∴△AEF≌△ABC，所以AF=AC，则∠AFC=∠C；由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，可知：△ADE∽△FDB；由于∠EAF=∠BAC，所以∠EAD=∠CAF，由△ADE∽△FDB可得∠EAD=∠BFD，所以∠BFD=∠CAF．综上可知：①③④正确．点评：本题是一道基础题，但考查的知识点较多，需要根据条件仔细观察图形，认真解答．①正确。

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