高中数学专题二次函数综合问题

二次函数综合问题例谈
1.代数推理
由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.
1.1二次函数的一般式 中有三个参数 . 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.
例1已知，满足1且，求的取值围.
2. 数形结合
二次函数 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.
2.1二次函数的图像关于直线 对称， 特别关系 也反映了二次函数的一种对称性.
例5 设二次函数，方程的两个根满足.且函数的图像关于直线对称，证明：.
，
于是
即
（3） .
设 ，则 .
问题转化为： 对 恒成立.即
对 恒成立.（*）
故必有 .（否则，若 ，则关于 的二次函数 开口向下，当 充分大时，必有 ；而当 时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数 的对称轴 ，所以，问题等价于 ，即 ，
解之得： .
此时， ，故 在 取得最小值 满足条件.
例7 已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.
分析：研究 的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数 . 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑 ， ， ，这样做的好处有两个：一是 的表达较为简洁，二是由于 正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数围的目的.
解：由题意 .
由方程的两个根满足,可得
且 ,
∴ ，
即 ，故.
2.2二次函数 的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数 使得 且 在区间 上，必存在 的唯一的实数根.
例6 已知二次函数 ，设方程 的两个实数根为 和 .
（1）如果 ，设函数 的对称轴为 ，求证： ；
（2）如果 ， ，求 的取值围.
又 ,
∴ ,
综上可知，所给问题获证.
1.3紧扣二次函数的顶点式 对称轴、最值、判别式显合力
例4已知函数 。
（1）将 的图象向右平移两个单位，得到函数 ，求函数 的解析式；
（2）函数 与函数 的图象关于直线 对称，求函数 的解析式；
（3）设 ，已知 的最小值是 且 ，数 的取值围。
解：(1)
(2)设 的图像上一点 ，点 关于 的对称点为 ，由点Q在 的图像上，所以
解：∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 当 时，
当 时，
综上，问题获证.
1.2利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式
例３ 设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明.
分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数 的表达式，从而得到函数 的表达式.
证明：由题意可知 .
,
∴ ,
∴ 当时， .
分析：本题中，所给条件并不足以确定参数 的值，但应该注意到：所要求的结论不是 的确定值，而是与条件相对应的“取值围”，因此，我们可以把1和 当成两个独立条件，先用 和 来表示 .
解：由 ， 可解得：
（*）
将以上二式代入，并整理得
,
∴ .
又∵ ， ,
∴ .
例2 设，若，，,试证明：对于任意，有.
分析：同上题，可以用 来表示 .
分析：条件 实际上给出了 的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.
解：设 ，则 的二根为 和 .
（1）由 及 ，可得 ，即 ，即
两式相加得 ，所以， ;
（2）由 ,可得 .
又 ，所以 同号.
∴ ， 等价于 或 ,
即 或
解之得 或 .
2.3因为二次函数 在区间 和区间 上分别单调，所以函数 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.
要考虑 在区间 上函数值的取值围，只需考虑其最大值，也即考虑 在区间端点和顶点处的函数值.
解：由题意知： ，
∴ ，
∴ .
由时，有，可得 .
∴ ,
.
（1）若 ，则 在 上单调，故当 时，
∴此时问题获证.
（2）若 ，则当 时，
又 ，பைடு நூலகம்
∴此时问题获证.
综上可知：当时，有.