2020-2021新课标高考理科数学圆锥曲线的热点问题高考核心考点突破(61张)

记 u＝ 1＋2 2k2，则 P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．
第9页
于是直线 QG 的斜率为2k，方程为 y＝2k(x－u)．
由xy42＝＋2ky22x＝－1u，
得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①
设 G(xG，yG)，则－u 和 xG 是方程①的解，故 xG＝u32k＋2＋k22， 由此得 yG＝2u＋k3k2.
第7页
1．(2019·新课标全国卷Ⅱ)已知点 A(－2,0)，B(2,0)，动点 M(x，y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为－12.记 M 的轨迹为 曲线 C.
(1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限， PE⊥x 轴，垂足为 E，连接 QE 并延长交 C 于点 G. ①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值．
第10页
从而直线 PG 的斜率为u232u＋k＋k23＋kk22－2u－k u＝－1k. 所以 PQ⊥PG，即△PQG 是直角三角形． ②由①得|PQ|＝2u 1＋k2，|PG|＝2uk2＋kk2＋2 1， 所以△PQG 的面积 S＝12|PQ||PG|＝1＋8k2k12＋2k＋2 k2＝1＋821k＋1k＋kk2.
第15页
由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－4k82k＋m1，x1x2＝44mk22＋－14. 则 k1＋k2＝y1x－1 1＋y2x－2 1＝kx1＋xm1 －1＋kx2＋xm2 －1 ＝2kx1x2＋mx1－x21x1＋x2. 由题设 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. ∴(2k＋1)·44mk22＋－14＋(m－1)·4－k28＋km1＝0.
第16页
解之得 m＝－2k－1，此时 Δ＝32(m＋1)>0，方程有解， ∴当且仅当 m>－1 时，Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝kx－2k－1，即 y＋1＝k(x－2)． 所以 l 过定点(2，－1)．
第17页
第18页
考点一 最值与范围问题 【例 1】 (2019·广东惠州三调)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0) 过点 P1，32，且左焦点与抛物线 y2＝－4x 的焦点重合．
第21页
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x，y)， 则x421＋y312＝1，x422＋y322＝1， 两式相减得x21－4 x22＝－y12－3 y22，即yx11－ －yx22＝－34·xy11＋ ＋xy22， ∴点 A 的坐标满足方程 y＝－43kx ①， 又∵直线 AG⊥MN 且直线 AG 过点 G18，0， ∴点 A 的坐标也满足方程 y＝－1kx－18 ②，
第11页
设 t＝k＋1k，则由 k>0 得 t≥2，当且仅当 k＝1 时取等号． 因为 S＝1＋8t2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当 t＝2，即 k ＝1 时，S 取得最大值，最大值为196. 因此，△PQG 面积的最大值为196.
第12页
2．(2017·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)， 四点 P1(1,1)，P2(0,1)，P3－1， 23，P41， 23中恰有三点在椭 圆 C 上．
第19页
(1)求椭圆的标准方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点 M、N， 线段 MN 的中点记为 A，且线段 MN 的垂直平分线过定点 G18，0，求 k 的取值范围．
第20页
【解】 (1)∵抛物线 y2＝－4x 的焦点坐标为(－1,0)， ∴椭圆的左、右焦点坐标分别为 F1(－1,0)，F2(1,0)， 又椭圆过点 P1，32， ∴由椭圆的定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝4， ∴a＝2，又 c＝1，∴b＝ 3， ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
第一篇 专题分层突破
第1页
层级二 高考核心考点突破
聚焦大视野，全力攻关
第2页
专题四 解析几何
第3页
第3讲 圆锥曲线的热点问题
第4页
考情研究·真题体验 考点分类·考向探究
专项检测
第5页
第6页
高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考 的问题之一，主要以解答题形式考查. 2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在 性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要 求，并突出数学思想方法考查.
第8页
解：(1)由题设得x＋y 2·x－y 2＝－12，化简得x42＋y22＝1(|x|≠2)，
所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右 顶点．
(2)①证明：设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 y＝kx(k>0)．
y＝kx， 由x42＋y22＝1
得 x＝±
2 1＋2k2.
在椭圆 C 上，因此ab1122＝ ＋143， b2＝1， 程为x42＋y2＝1.
解得ba22＝＝14.， 故 C 的方
第14页
(2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2. 如果直线 l 的斜率不存在，l 垂直于 x 轴． 设 l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)， k1＋k2＝yAm－1＋－ymA－1＝－m2＝－1，得 m＝2， 此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． 从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)． 将 y＝kx＋m 代入x42＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4 ＝0.
(1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．
第13页
பைடு நூலகம்
解：(1)由于点 P3，P4 关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3， P4.
又由a12＋b12>a12＋43b2知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2