2017年河北省石家庄市高三理科二模数学试卷

2017年河北省石家庄市高三理科二模数学试卷

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 设，，，则

A. B.

C. D.

2. 在复平面中，复数对应的点在

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 在中，角，，的对边为别为，，，则“”是“”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4. 若，且，则的值为

A. B. C. D.

5. 执行如图的程序框图，则输出的值为

A. B. C. D.

6. 李冶（），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在

封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：平方步为亩，圆周率按近似计算）

A. 步，步

B. 步，步

C. 步，步

D. 步，步

7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A. B. C. D.

8. 已知函数，是的导函数，则函数的一个单调递

减区间是

A. B. C. D.

9. 若，则在的展开式中，的幂指数不是整数的项共有

A. 项

B. 项

C. 项

D. 项

10. 在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积为，若，

满足上述约束条件，则的最小值为

A. B. C. D.

11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线

与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为，则取得最大值时该双曲线的离心率为

A. B. C. D.

12. 已知函数，其中，为自然对数的底数，若，

是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是

A. B.

C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 设样本数据，，，的方差是，若，则，，，

的方差为______．

14. 在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为______．

15. 设二面角的大小为，点在平面内，点在上，且，则

与平面所成角的大小为 ______．

16. 非零向量，的夹角为，且满足，向量组，，由一个和两个

排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为，则 ______．

三、解答题（共7小题；共91分）

17. 已知等差数列的前项和为，若，，（，且

）．

（1）求的值；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

18. 如图，三棱柱中，侧面是边长为的菱形，且，，四棱

锥的体积为，点在平面内的正投影为，且在上，点是在线段上，且．

（1）证明：直线 平面；

（2）求二面角的余弦值．

19. 交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用（基

准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：

座以下私家车的投保情况，随机抽取了辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续

保时的情况，统计得到了下面的表格：类型

数量

以这辆该品牌车的

投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）

（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损元，一辆非事故车盈利元：

①若该销售商一次购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故

车的概率；

②若该销售商一次购买辆（年龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．

20. 设，，是椭圆上三个点，，在直线上的射影分别为，．

（1）若直线过原点，直线，斜率分别为，，求证为定值；

（2）若，不是椭圆长轴的端点，点坐标为，与面积之比为，求中点的轨迹方程．

21. 已知函数，．

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）若与的图象有且仅有一条公切线，试求实数的值．

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以

为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程．

（1）若曲线与只有一个公共点，求的值；

（2），为曲线上的两点，且，求的面积最大值．

23. 设函数的最大值为．

（1）作出函数的图象；

（2）若，求的最大值．

答案

第一部分

1. C

2. D

3. C

4. A

5. B

6. B

7. B

8. A

9. C 10. D

11. D 12. A

第二部分

13.

14.

15.

16.

第三部分

17. （1）因为，，，

所以，，设数列的公差为，则，

所以．

因为，所以，

所以，

解得．

（2）由（I）知，

所以，即．

所以．

设数列的前项和为，

所以

所以

，得

所以．

18. （1）因为四棱锥的体积为，

即，

所以

又，

所以，