集合概念与集合间关系

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集合的基本概念

一、集合的概念1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2．集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,} 2．描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3．常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、集合之间的关系1．若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2．简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3．真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4．相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅集合的概念及其关系6．子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、交集、并集、补集概念1．由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集．记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映：2．由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映：3．补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示：{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B BA ∅==（3）()();AB A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。

集合的概念与集合间的基本关系.pptx

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变式：
M
x
x
k 2
1 4
,k
Z ，N
x
x
k 4
1 2
,k
Z
，
P
x
x
k 4
1 4
,
k
Z
，
则M , N, P的关系为______
反思回顾：解答集合题目,认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.
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反思回顾：
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变式二：已知二次函数 f (x) ax2 x有最小值,不等式
f (x) 0的解集为A，设集合 B x x 4 a
若集合B是集合A的子集,求 a 的取值范围.
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课堂总结：
1、集合的基本概念及表示方法认识集合：一看代表元素二看元素性质
2、集合间的基本关系（1）包含关系：子集（真子集）（空集之误）（2）相等关系
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二：集合间的基本关系
1.包含关系：
(1)对任意的x∈A，都有x∈B，称集合A为集合B的子集
记作： A B （或 B A ）. 子集的性质： ①A A
AB
②A B, B C 则A C
(2)若A B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x A，
称集合A为集合B的真子集，
记作：______（或______）.
题型二：子集的个数问题：
例1：A x Z 6 x 1，B 3,2,1,0,1,2
则A B的子集有 ____ 个真子集有 _____ 个

集合的概念、集合间的基本关系

第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系【考情分析】不同的具体问题.别给定集合的子集.（2）在具体环境中，了解全集与空集的含义. 【知识清单】1. 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.2. 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号€醒 €/表示3. 集合的表示法：列举法、描述法、图示法.4. 集合间的基本关系对任意的x€ A,都有x€ B,贝J A Q B （或B 二A ）. 若A 匸B ，且在B 中至少有一个元素X 芒A,则A 訓若A 匸B 且BQA ，贝J A= B.5. 有关数集：自然数集记作 N ，正整数集记作N *或N +，整数集记空真子集.【课前预习】考试要求 1.集合及其表示，A 级要求;2.子集，B 级要求.集合的含义与表示: （1）了解集合的含义、元素与集合的属于” 关系.⑵能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述集合间的基本关系: （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R ，复数集记作C .6•含有n 个元素的集合有 2n个子集，有22丄个真子集，有22个非7.空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集1.集合Amx|x2-3x +2=0,x壬R}，贝J A =答案：{1，2} 2.（必修1P 10.4改编）判断下列表示是否准确（1） a 匸{a}; （2）{1}迂{1,2,3 }；（ 3）{a,b}cfo,a} ；（ 4）0匚{讣请将正确判断的序号填在横线答案：（3），（ 4）解析：（1）应为a亡右} ；（ 2）应为{1}g{1,2,3}.3.（必修1P 10.5）已知数集A J O,1,X+2}，则实数x不能取到的值为答案：幺-1解析：根据集合中元素的互异性知：X+2H0, X + 2H^心―1且XH—2，所以，实数X不能取到的值为2 -1 .4._________________ 已知A={X I X2—3X+ 2< 0}, B = {X|1<X< a}，若A? B,则实数 a 的取值范围是.答案：［2,+乂）解析：因为A={X|X2—3X+2V0} = {X|1<XV2}? B,所以 a>2.5.下列关系中：①一4^ R 疋Q;③—20梓N* :④I —Q;⑤—5芒Z;⑥0€ N .其中正确的是解析：③；④；⑤是错误的，相应改成正确的应为：③I —20|€ N*;④—^2|0 Q;⑤—5€ 乙【典型例题】目标1兀素与集合的关系例1 已知集合 A = {1 , a2 + 3a + 3｝，则实数a不能取到的值为•答案：—1 和—2解析：由题设可知，a2+ 3a +3H1 ,解之可得a工―1且a H-2 ,即实数a不能取到的值为一 1 和—2.【借题发挥】变式1 已知集合A= {1 , a + 2, a2 + 3a+ 3｝，则实数a不能取到的值为•答案：—1 和—2解析：由题设可知， a + 2工1且a+3a + 3 H1且a+3a + 3 H a +2 ,解之可得a 1且a H-2 ,即实数a不能取到的值为一 1 和—2.变式2 已知集合 A= {a+ 2, (a + 1)2, a2 + 3a + 3}，且1€ A,则 2017"答案：1解析：当a+2= 1, 即卩a=- 1时,(a+ 1)2= 0, a2 + 3a+ 3 = 1 与 a + 2 = 1 相冋，不符合题意.当(a+ 1)2= 1, 即卩 a = 0 或 a=- 2 时, ①a= 0时，符合要求.②a= — 2时，a 2+ 3a+ 3 = 1与（a+ 1）2= 1相同，不符合题意.当 a 2+3a+ 3= 1, 即卩 a= — 2 或 a=— 1.①当a= — 2时，a 2+3a+ 3 = (a +1)2= 1,不符合题意. ②当a= — 1时，a 2+ 3a+ 3 = a + 2 = 1,不符合题意. 综上所述，a= 0. 所以，2 01尸=1.【规律方法】集合中的元素具有确定性、互异性和无序性等特性 .在元素与集合的关系试题中，用互异性筛除不具备条件的解是解题过程中不可缺少的步骤. 【拓展训练】1 + a数集M 满足条件：若a€ M，则1—a € M （a^±且a^0）已知3€ M , 试把由此确定的集合 M 的元素全部求出来. 解析：因为a= 3 € M,,1 , 1 1—211—3 1 1+2 =—2€ M ，二=—3€ M I =2€ M I 1 + 31 —2=3€ M .以下循环.目标2集合间的基本关系例 2 已知集合 A= {x|x 2— 3x —10<0}，集合 B= {x|m+ 1<x<2m — 1}.若B ^A,求实数m 的取值范围.解析：由 x 2— 3x — 10< 0 得一2< x< 5.所以 A= [ — 2, 5].①当B 老时，即m+ 1<2m — 1,所以，m 》2.由 B G A 得一2< m+ 1 且 2m — 1< 5.得一3< m< 3. 所以2< m< 3.矿门1+ a 1+3所以U即 M=l3,— 2,1 1— —$②当B=0时，即m+ 1>2m— 1,所以mv2, B匸A成立.综上得mW3.【借题发挥】变式1在例2中，将集合B修改为：集合B={x(x —m—1I x —2m+1)E0}解析：解法一：(1)当 m+ 1>2m— 1 时，B = [2m_1,m+1]CA ,j m+ 1>2m— 1,则彳m+1 w 5, 解得—2w m<2;'2m— 1》—2,(2)当 m+1 =2m— 1,即卩 m= 2 时，B={3}, B^A 成立;(3)当 m+ 1<2m— 1 时，B = Im+i,2m-i]匸A,[m+ 1<2m— 1,则 4 m+ 1》—2,解得 2<mW 3.【2m— K 5,1综上：—2= mW 3.解法二：为使B匸A成立，由于集合B ={x|(x-m-1 "-2m+1戶o}中对应的不等式的解集是两根之间，所以只要让两个端点值在区间 [-2,5]之间就可以了: !m F-2=- — mg2mT 兰5 2 变式2:在例2中，若A? B,如何求解?‘m >2 « m <-3= m €0 .m >3m 的取值范围为0.变式3:若将例2中的集合A 改为A={x|xv — 2或x>5}，如何求解? 解析：因为B? A,所以:①当B = 0时，即2m — 1<m + 1时，mv2,符合题意. l m+ 1 < 2m — 1, (m+ 1 < 2m — 1, ②当 B^，l m+ 1>5,或b m —1v —2, r A2 f m>2, 解得$m ‘或{ 1即m>4.I m>4, (mv — 2综上可知，实数m 的取值范围为（—汽2）U （4,+^）.【规律方法】（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题.【拓展训练】 1.设 A ={Xx 2-8x +15=0} , B ={x |ax -1=0}，若 B 匸 A,求实数 a 组成的集合C.解析：A ^g x 2-8x +15=0}= {3,5},由于B G A,所以①若B=0，满足B ",此时a =0;②若B H 0，此时aH0，方程ax-1=0的根为xJa1 1 1 1 又因为BcA ，所以-=3或-=5,所以a =1或-; a a 3 5综上，适合题意的实数a 组成的集合为{o *1}.解析：若A?B,由于集合A 不是空集，则集合B 也不是空集，则:'m +1 <2m -1 *m+1<-2 = I 2m-135所以,2._____________________________________ 已知集合 A={x|x2—3x+ 2 = 0, x€ R} , B= {x|0<x<5, x€ N}，则满足条件A? C? B的集合C的个数为 ______________________________ .答案：4 解析：由题意知：A= {1 , 2} , B= {1 , 2, 3, 4}.又 A? C? B, 解法一：列举法：集合 C可能为{1 , 23}, {1 , 2, 3} , {1 , 2, 4}, {1 , 2, 3, 4}.解法二：等价转化：集合 C中必定含有数字1,2，则数字1,2不影响集合C的个数，所以集合C的个数就在于取不取3, 4与取几个的问题，因此，集合C的个数就相当于集合{3,4}的子集个数，故共有22=4 个•此方法当集合中的元素个数偏多时采用较有优势.目标3以集合为载体的创新问题例3若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可(1)判断集合A={ — 1, 1, 2}是否为可倒数集”；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集”.1解析：(1)由于2的倒数为2不在集合A中，故集合A不是可倒数集.1⑵若a€ A,则必有ze A,说明集合中的元素是成对出现的,a1现已知集合A中含有3个元素，故必有一对元素满足：a=-即a = a士 1,故可以取集合A= ｛1 , 2,舟｝或｛— 1, 2,寺或｛1 , 3,£｝等.【规律方法】解决集合创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.【拓展训练】已知集合A, B,定义集合A与B的一种运算A㊉B,其结果如下表所示:按照上述定义，若 M = { — 2 016, 0, 2 017} , N = { — 2 017, 0, 2 018},解析：由给出的定义知，集合 A㊉B的元素是由所有属于集合 A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即并集中去掉交集的部分，故 A㊉B= {x|x€ A且x/ B,或x€ B且x/ A},故 MH N = { — 2 016, 2 017,— 2 017, 2 018}.【归纳分析】1•认清元素的属性：解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.2•注意元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.3.防范空集：在解决有关 AQB = 0, A? B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑0是否成立，以防漏解.【课后作业】 1.设集合 A ={1,2,3} , B ={1,3,9}, X"且X芒B，则x = 答案：2 解析：由于集合A ={1,2,3} , B ={1,3,9} , X"且X艺B，则x在集合A 中,不在集合B中，可知x=2 .2.设集合A={(x, y)|x + 2y= 1, x€ N , y€ N}，用列举法表示集合A答案：{(1 , 0)}解析：集合A= {(1 , 0)}.3.已知集合A={x|x2— 2x+ a>0}，且1 0 A,则实数a的取值范围是 2 3 5.已知集合 M = {1 , m}, N= {n, log?n}，若 M = N,则(m— n)2 018答答案：(―=,1]解析：因为 1/{x|x2— 2x+ a>0}，所以1€ {x|x2— 2x+ a< 0}，即 1-2+ aw0,所以 aw 1.34.已知集合A =4xx0 Z,且0 Z，则集合A中的元素个数2——X答案：43解析：因为2—Z, 2-x的取值有-3，- 1, 1 3'又X0乙所以x值分别为5, 3, 1,- 1,故集合A中的元素个数为4.案：1或0r n= 1, f n = m, f n= 1,解析：由M = N 知，1 或1 所以，[IJ og 2 n = m, IJ og 2 n= 1, [m= 0, F 2、故(m-n)2 018= 1 或 0.I n = 2.--6.已知集合 A= {1 , 2, 3} , B= {1 , 2, 3, 4, 5, 6}.则满足条件 A 呈C? B 的集合C 的个数为 _________ .答案：7 解析: 解法一：列举法解法二：等价转化：集合C 中必定含有数字1,2,3,则数字1,2,3不影响集合C 的个数，所以集合C 的个数就在于取不取4,5,6与取几个的问题，因此，集合C 的个数就相当于集合{4,5,6}的非空子集个数，故共有23-1=7个.7.定义：满足任意元素X %，则4 —x |<^A 的集合称为优集，若集合则实数a 的值为答案：3 解析：依题意，当x=1时，4_x=3壬A ，当x = 7时，|4_X=3壬A ，所以, a =3时符合条件.8. 给定集合A,若对于任意a, b€ A, 有 a + b € A, 且 a-b€ A,贝S 称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合 A={ — 4,- 2, 0,2, 4｝为闭集合；②集合A= ｛n|n= 3k, k€ Z｝为闭集合；③若集合A i ,A 为闭集合，则A 1U A 2为闭集合.其中正确结论的序号是答案：② 解析：①中，一4+ (— 2) = -6/A,所以不正确；②中设n i ,匕€ A, n i = 3k i , n 2=3k 2, k i , k ? € Z ,则 n i + 匕 € A,山一匕 € A,所以②正确; ③令 A i = {n|n = 3k, k€ Z} , A = {n|n = 2k, k€ Z}，贝J A , A 2为闭集合，但A i U A 2不是闭集合，所以③不正确.9. 已知 A={x|x 2 + mx+n = 0}, B= {y|y 2 + (m — 1)y + n-3= 0}，且 A =｛3｝，求集合B.所以，B= {y|y 2 — 7y+ 6 = 0} = {1 , 6}.10. 已知集合 A= {1 , 3, p x} , B= {2 — x, 1}.(1)记集合M = ｛1 , 4, y ｝，若集合A= M,求实数x+ y 的值;请说明理由.y=4,贝J x+ y= 19.x 使得 B? A ，贝J 2 — x= 3, 或 2 — x=依. 若2 — x= 3，则x=— 1, ^/X 没有意乂，舍去;若2 — x=应, 则x+G — 2= 0,解得x= 1,此时集合B 中元素相同，舍去.故不存在实数X,使得B?A. 解析：由题可知jm —Xj 0，解得* m= —6, n=9.(2)是否存在实数 X,使得B? A?若存在，求出x 的值；若不存在, 解析：(1)由题可知, 集合A 和集合M 中元素完全相同，则V x=4且 (2)假设存在实数11.设集合 A = {xx 2+4X =0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0,a <：R },若 B J A ,求实数a 的值. 解析：若，贝J A =4(a +1)2 —4(a 2 _1) <0,所以 a c —1 . 若 B 辺，贝J B ={0}或 B ={^}或 B ={0, -4},当B =｛0｝时，方程X 2+2(a +1)x +a 2—1 =0有两个相等的根0. 所以賈;1T 解得a=- 1.当B =｛'｝时，方程x 2+2(a +1)x +a 2—1=0有两个相等的根一4. 所以F ：1］；方程组无解. 当B =｛0, 一4｝时，方程X 2+2(a +1)x +a 2一1 =0有两个不相等的根一 4, 0. 所以解得a = 1综上所述，a<- 1或a= 1 .【提优训练】M 为非空的数集，M?｛1 , 2, 3｝，且M 中至少含有一个奇数答案:集合｛1 , 2, 3｝的所有子集共有23= 8个，集合｛2｝的所有子集共有2个，故满足要求的集合 M 共有8-2 = 6个. 2 .集合A=｛x|(a- 12x+次-N 的｝子集有且仅有两个，则实数a 答案：1或-1解析：当a=1时，A={2}，子集有两个；当aHl 时，由—0,所以，a 3 8此时，A={4}，子集有两个，综上，a= 1或」. 3 8 1.设元素，则集合M 共有 ______ 个. 解析:。

专题01 集合、集合间的关系、集合的运算(重难点突破)解析版

专题01 集合、集合间的关系、集合的运算一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2. 集合间的基本关系A B (或B A )【名师提醒】子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3. 集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母 U 表示；【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1，非空真子集n2-2个. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ； ②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU A B A B ．【名师点睛】1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.6.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．（2）．（集合的确定性）（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是( )A.中国各地最美的乡村；B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数；D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD 【变式训练1】（集合的互异性）在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2，由集合中元素的互异性知：选A ．【变式训练2】（集合的互异性）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = ) A ．1- B ．0C ．1D ．0 或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1， a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0； ②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ．考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题．例2．（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（） A ．∅∪{0} B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的；选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. （2）（元素个数问题）集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．10D ．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且12x+3是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y =12x+3∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得 x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x 共有12个，故选：D ．例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值．【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为( )R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A ．6B ．5C ．4D ．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R ，故①正确；在②中，13∈Q ，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．（2）（元素个数问题）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }，当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3；所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用．【变式训练2】（二次函数与集合）设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围；（3）求：A 中各元素之和．【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（1）.（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.（2）.（空集）如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．04a <<B ．40<≤aC ．40≤<aD ．40≤≤a【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．（3）（子集与真子集）已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N =B ．M ⊊NC ．N ⊊MD ．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论．【答案】M ＝{x |x =k4+12，k ∈Z }＝{x |x =k+24，k ∈Z }，N ＝{x |x =k2+14，k ∈Z }＝{x |x =2k+14，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．【变式训练1】．（1）（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1- 8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.（2）若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0，解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。

集合的基本概念元素集合之间的关系

第一章集合第一节集合的概念一、要点透析（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。

我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

1、集合的概念（1）元素：某些特定的研究对象叫做元素（2）集合：一些元素集在一起就形成一个集合（简称集）2、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A∈（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a A∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）例1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（）（2）好心的人（）（3）1，2，2，3，4，5．（）4、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N ，{}0,1,2,N = （2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，{}*1,2,3,N = （3）整数集：全体整数的集合，记作Z ，{}012Z =±± ，，，（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ，{}Q =整数与分数（5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{}R =数轴上所有点所对应的数（6）空集：不含任何元素的集合，记作∅注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集，记作*N 或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成*Z例2.用适当的符号（∈∉，）填空：(1)3_____N;(2)0_____{Φ};(3)32____Z,0.5Q Q ，；2（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程210x -=的所有解组成的集合，可以表示为{1,1}-注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51,52,53,,100} ；所有正奇数组成的集合：{1,3,5,7,}（2）a 与{}a 不同：a 表示一个元素，{}a 表示一个集合，该集合只有一个元素例3、设a,b 是非零实数，那么ba +可能取的值组成集合的元素是：练习、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{|()}x A P x ∈含义：在集合A 中满足条件()P x 的x 的集合例如，不等式32x ->的解集可以表示为：{|32}x R x ∈->或{|32}x x ->所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形例4、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,023|2；（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合2322{,32,5,}x x y x x y +-+（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合2{(,)|1}x y y x =+；集合{1000}以内的质数思考：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？（三）有限集与无限集有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合，记作∅，如：2{|10}x R x ∈+=二、题型解析（一）集合的基本概念1以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程210x -=的实数解D．周长为10cm 的三角形2方程组23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是（）A．{5,1}B．{1,5}C．{(5,1)}D．{(1,5)}3给出下列关系：①12R ∈；Q ；③3N +∈；④0Z ∈，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是（）A．{}M π=，{3.14159}N =B．{2,3}M =，{(2,3)}N =C．{|11,}M x x x N =-<≤∈，{1}N =D．{}M π=，{,1,|N π=5已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是6用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17A ；5-A ；17B 7已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为（二）集合的表示方法1用列举法表示下列集合①{|15}x N x ∈是的约数②{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈③2(,)24x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭④{|(1),}nx x n N =-∈⑤{(,)|3216,,}x y x y x N y N +=∈∈⑥{(,)|,4}x y x y 分别是的正整数约数2用描述法表示下列集合①{1,4,7,10,13}②{2,4,6,8,10}-----③{1,5,25,125,625}④12340,,,,,251017⎧⎫±±±±⎨⎬⎩⎭（三）集合的分类1关于x 的方程0ax b +=，当a ，b 满足条件_____时，解集是有限集；当a ，b 满足条件_____时，解集是无限集2下列四个集合中，是空集的是（）A．}33|{=+x x B．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C．}0|{2≤x x D．},01|{2R x x x x ∈=+-三、课下训练1、有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2}；（4）集合{|45}x x <<是有限集，其中正确的说法是（）A．只有（1）和（4）B．只有（2）和（3）C．只有（2）D．以上四种说法都不对2、试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合3、已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合4、给出下列集合：①{(,)|1,1,2,3}x y x y x y ≠≠≠≠-；②12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭且③12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎬≠≠-⎩⎩⎪⎪⎩⎭或；④{}2222(,)[(1)(1)][(2)(3)]0x y x y x y -+-⋅-++≠其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点(1,1)，(2,3)-之外的所有点的集合”的序号有5、已知集合2{|12x a A a x +==-有唯一实施解}，试用列举法表示集合A。

第一节集合的概念与集合之间的关系

【方法点拨】子集的个数是2n个，真子集的个数是2n－1个，非空真子集的个数是2n－2个．其中n表示集合中元素的个数．
典例解析
【例4】* 已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3， m2}，且满足B⊆A，求m的值．
【分析】因为B⊆A，可建立方程m2＝2m－1或m2＝－1(舍去)，解出m的值即可．
典例解析
【例2】用列举法表示下列集合． (1)A＝{不大于3的自然数}；(2)B＝{x|x2＋2x－3＝0}．【解】 (1)A＝{0，1，2，3}． (2)B＝{－3，1}．
【分析】 (1)构成集合A的元素是不大于3的自然数，也就是小于或等于3的自然数，注意要包括0，所以A＝{0，1，2， 3}；(2)构成集合B的元素是满足方程的实数，即一元二次方程x2＋2x－3＝0的两个根，所以B＝{－3，1}．
集合B的真子集；
④若M⊆N，则M N.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【提示】因为空集是任何非空集合的真子集，所以①错误，②正确；由子集和真子集的定义可知， ③④错误，故选A.
同步精练
4．下列命题中错误的是( C )
A．∅⊆{0}
B．R⊇Q
C．{正奇数}⊇{质数} D．{x|x<2}⊆{x|x<3}
解 ∵B⊆A，∴m2＝2m－1或m2＝－1(舍去)，解得m＝1， ∴m＝1.
典例解析
【变式训练4】已知集合A＝{1，3，n}，集合B＝{1， n2－n＋1}，且B⊆A，求n的值．
解：∵B⊆A， ∴n2－n＋1＝3或n2－n＋1＝n，即n2－n－2＝0或n2－2n＋1＝0，解得n＝2或n＝－1或n＝1(与元素的互异性矛盾，应舍去)．故n的值为2或－1.

高中数学—01—集合的概念与表示、集合间的关系—学生版

集合的概念与表示、集合间的关系知识梳理一、集合及其表示方法（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

（3）表示方法：1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

通常元素个数较少时用列举法。

2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

格式：{x| x 满足性质p}。

如：集合}1|),{(2+=x y y x（4）分类：1）有限集：含有有限个元素的集合。

2）无限集：含有无限个元素的集合。

3）空集：我们把不含任何元素的集合，记作φ。

注意：{0}和φ是不同的。

{0}是含有一个元素0的集合，φ是不含任何元素的集合。

（5）性质：1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

2）互异性：集合中的元素没有重复。

3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）。

（6）常用数集及记法：1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{}Λ,3,2,1*=N 3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,5）实数集：全体实数的集合记作R（7）元素对于集合的隶属关系1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉二、集合之间的关系1、子集：定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，此时我们称A 是B 的子集。

专题集合的概念与表示、集合间的关系(解析版)

专题05 集合的概念与表示、集合间的关系集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的知识梳理知识结构模块一：集合的概念整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一．比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．典例剖析【例1】下列所给对象不能构成集合的是________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1．【难度】★【答案】(1)(3)(5)集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母CBA、、…来表示，集合中的元素用c b a、、…表示，如果a是集合A的元素，就记作Aa∈，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作Aa∉，读作“a不属于A”【例2】已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．M∉0B．M∈2 C．M∉-4D．M∈4【难度】★【答案】D常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包含零的自然数组成的集合，记作*N全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R（正实数集+R）、有理数集Q（负有理数集-Q）、整数集Z（正整数集+Z）、自然数集N（包含零）、不包含零的自然数集*N；【例3】用“∈”或“∉”填空(1)－3______N；(2)3．14______Q；(3)13______Z；(4)－12______R；(5)1______N*；(6)0________N．【难度】★【答案】(1)∉(2)∈(3)∉(4)∈(5)∈(6)∈集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程012=+x的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．【例4】已知集合}=A∈x=，且A中只有ax++,0x21{2Rx一个元素，求x的值．【难度】★★【答案】0a或1==a【例5】已知},0,1{2xx∈，求实数x的值．【难度】★【答案】1-【例6】已知集合S的三个元素a．、b、c 是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【难度】★【答案】D【例7】设A为实数集，且满足条件：若a．∈A，则1∈A (a．≠1)．1a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明．【难度】★★【答案】(1)若a ．∈A ，则a -11∈A ，又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A ． ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A ，∵12∈A ，∴11－12＝2∈A ，∴A 中另外两个元素为－1，12． (2)若A 为单元素集，则a ＝a-11，即a ．2－a ．＋1＝0，方程无解．∴a ．≠a -11，∴A 不可能为单元素集【例8】设P、Q为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a ＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【难度】★★【答案】8对点精练1．下列几组对象可以构成集合的是() A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人【难度】★★【答案】D2．用符号∈或∉填空：（1）0{0}（2）0φ（3）0N（4）0Z（5（6）2-Z【难度】★【答案】(1)∈(2)∉(3)∈(4)∈(5)∉(6)∈3．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中最小数为1； ②若a ∈N ，则N a ∉-；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．3 【难度】★★ 【答案】A4．由422、、a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a ．的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D．2【难度】★★【答案】C5．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．【难度】★★【答案】①④⑤6．已知集合M ＝{－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x ．【难度】★★【答案】x ＝－3或x ＝2．7．设集合},12{},,2{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==．若B b A a ∈∈,，试判断b a +与B 、A 的关系．【难度】★★ 【答案】A b a B b a ∉+∈+,8．已知集合},032{2R m x mx R x A ∈=+-∈=，且A 中只有一个元素，求m 的值．【难度】★★ 【答案】31,0集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程0652=+-x x 的解的集合，可表示为{2,3}，也可表示为{3,2} 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程0652=+-x x 的解的集合可表示为}065{2=+-x x x ．集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限模块二：集合的表示方法集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示．典例剖析【例9】写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的集合【难度】★【答案】（1）{}2；（2）{}12,14,15,16,18【例10】用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合（3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点（4）}75,64,53,42,31{ 【难度】★★【答案】（1）},15{N k k x x ∈+=；（2）},,0),{(R y R x xy y x ∈∈>；（3）},,12),{(2R y R x x x y y x ∈∈+-=；（4）}5,,2{*≤∈+=n N n n nx x【例11】用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈- 【难度】★【答案】（1）()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0；（2）{}3,1-；（3）∅；（4）{}--7,1,1,3,4【例12】用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C【难度】★★【答案】（1）}6,4,2{；（2）}x∈+=；（3）x{N,2n3nyyxx∈>x<∈,0,0,}R)y{(R,【例13】下列表示同一个集合的是（）A．)}3,2{(2,3{==NM},M B．}3,2{2,3{(==N)},C．)}3,2{(=N0{M},M D．φ==N},2,3{=【难度】★【答案】B【例14】已知集合}A∈xxxZ=≤∈==，用-,2},,1B{2A{yxyx列举法分别表示集合BA、【难度】★★【答案】}3,0,1{-=BA-2,1,0,1=,2},{-【例15】设∇是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意A b a∈,，有A∇，则称Aba∈对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A．自然数集B．整数集C ．有理数集D ．无理数集【难度】★★ 【答案】C【例16】设cb a ,,为实数，)1)(1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f ，记集合},0)({},,0)({R x x g x T R x x f x S ∈==∈==，若T S ,分别为集合T S ,的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ．0,1==T S 且B ．1,1==T S 且C ．2,2==T S 且D ．3,2==T S 且【难度】★★★ 【答案】D 【解析】【例17】设集合},,{22Z b a b a x x M ∈-==，求证：（1）奇数属于M （2）偶数)(24Z k k ∈-不属于M（3）属于M 的两个整数，其积属于M 【难度】★★★【答案】（1）M k Z k k k k ∈+∴∈-+=+12),()1(1222；（2）假设M k ∈-24，则可设),,(2422Z b a b a k ∈-=-即ba b a b a b a k +--+=-与 ))((24的奇偶性相同，))((b a b a -+∴是奇数或者是4的倍数，这与24-k 是偶数且不是4的倍数矛盾，故假设不成立，即M k ∉-24 （3）设,,,,22222121d c x b a x M x x -=-=∈且则2222222222222221)()())((bc ad bd ac d b c b d a c a d c b a x x +-+=+--=--=，M x x ∈211．用适当的方法表示下列集合．对点精练(1)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(2)由所有非负偶数组成的集合；(3)直角坐标系内第三象限的点组成的集合．【难度】★★【答案】(1){3，5，7，11，13，17，19};(2){x|x ＝2n，n★N};(3){(x，y)|x<0且y<0}2．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y ＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？【难度】★★【答案】(1)不是；(2)①表示的是函数的定义域，x的取值范围；②表示的是函数的值域y的取值范围；③表示的是点集，是坐标平面内的点},{y x构成的集合，且这些点的坐标满足12+=xy3．用列举法表示下列集合：（1）}yxx∈∈+=yx),3,{(NNy,（2）}yyxx∈-≤={(2Z,1,2),xx（3）}xyy∈∈=+x,,3{NyN【难度】★★【答案】（1）)}0,3(),1,2(),2,1(),3,0{(；（2）)}3,2(),3,2(),0,1(),0,1(),1,0{(--；-（3）{0,1,2,3}4．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集．（1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合；（3）所有被5除余2的奇数组成的集合．【难度】★★【答案】（1）{(,)|0,0}<<，它是无限集；（2）x y x y-，共有5个元素，是有限集；（3）{2,2,4,6,8}{|107,}=+∈，它是无限集．x x k k Z5．集合{}2=+中实数m的取值集合M=4,3A m m【难度】★★【答案】{}≠-≠且m m m|416．给出下列四种说法①任意一个集合的表示方法都是唯一的；②集合{}-是同一个集合2,1,0,1-与集合{}1,0,1,2③集合{}|21,x x k k Z =-∈与集合{}|21,y y s s Z =+∈表示的是同一个集合；④集合{}|01x x <<是一个无限集．其中正确说法的序号是．（填上所有正确说法的序号）【难度】★★ 【答案】②③④7．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求【难度】★★【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=91,31M8．用列举法表示集合：},110{Z m Z m m M ∈∈+== 【难度】★★ 【答案】{}9,4,1,0,2,3,6,11----9．已知集合},2{},,2{22R x x x y y B R x x x y x A ∈-==∈-==，描述集合B A 与之间的区别【难度】★★【答案】集合A 表示的是函数的定义域，集合B 表示函数值的取值范围子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”．模块三：集合之间的关系典例剖析【例17】已知A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B的关系正确的是()A．A⊆B B．A B=C．B A⊆D．A∈B【难度】★【答案】D相等的集合：对于两个集合A和B，若A B⊆且B A⊆则称集合A 与集合B 相等，记作A B =．也就是说，集合A 和集合B 含有完全相同的元素．【例18】已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值【难度】★★ 【答案】21-=c真子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A叫做集合B 的真子集，记作B ≠⊂A 或A ≠⊃B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”．【例19】已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．【难度】★★【答案】21,31,0-子集的个数：若集合A 中有n 个元素，则有2n个子集，21n-个非空子集，21n-个真子集．【例20】定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为【难度】★★ 【答案】4空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．图示法（文氏图）：用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图．（1）A B ⊆有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素；②A 与B 是中的所有元素都相同；（2）空集∅是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；（3）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈”；（4）判定A B =，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且任意x B x A ∈⇒∈”；（5）判定B ≠⊂A ，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且存在0x B x A ∈⇒∉”；（6）易混符号：①“∈”与“⊆”②{}0与∅；（7）R Q Z N ≠≠≠⊂⊂⊂．【例21】已知集合A Z k k x x B Z k k x x A 则},,21{},,21{∈==∈+==________B ．【难度】★★【答案】A B ⊆【解析】方法一 (列举法)对于集合A ，取k ＝…，0，1，2，3，…，得A ＝},27,25,23,21{⋯⋯ 对于集合B ，取k ＝…，0，1，2，3，4，5，…，得B ＝},252,231,21{⋯⋯，，，故A B ⊆．方法二 (通分法)集合A ：x ＝2k ＋12 (k ∈Z )，分子为奇数．集合B ：x ＝k 2 (k ∈Z )，分子为整数，∴A B ⊆．【例22】设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆ 【难度】★★【答案】}4,2,1{}3,2,1{}2,1{===C C C 或或【例23】设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【难度】★★【答案】1≤aa或-,1=【例24】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．【难度】★★【答案】{m|m≤3}【例25】若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．【难度】★★【答案】32-，【例26】已知(){}(){}1,||1|0,,|1y A x y y B x y x =-=+===或，则A 与B 之间的包含关系为；【难度】★★【答案】B ≠⊂A【例27】已知()2f x x px q =++，集合(){}|,A x f x x x R ==∈，(){}|B x f f x x ==⎡⎤⎣⎦，（1）求证：A B ⊆；（2）如果{}3,1A =-，用列举法表示集合B ．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）{1,B =-【例28】已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m的取值范围是【难度】★★【答案】4m;4≤>m对点精练1．下列五个关系式：（1）{}∅=0；（2）0=∅；（3）0；（4）{}∅⊇0；（5）{}0≠∅；其中正确的个数∈∅是（）A．2 B．3 C．4 D．5【难度】★【答案】A2．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值【难度】★★【答案】x＝y＝－13．若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A 有________个．【难度】★★【答案】164．若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________【难度】★★【答案】{0，1，2，3，4，5}5．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值．【难度】★★【答案】26．已知，（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围【难度】★★【答案】（1）空集；（2）7．已知集合B A,,},=若{,},,1{2，则实数b a,分别baab=aBA=a是【难度】★★【答案】0,1-8．设集合},421{},,412{Z k k x x N Z k kx x M ∈+==∈+==，则 (A 与B 的包含关系)【难度】★★【答案】N M ≠⊂9．设集合}0,,{},,,{2222y x y x Q xy y x y x P -+=+-=，若Q P =，求y x ,的值及集合Q P ,【难度】★★【答案】}0,1,1{-10．已知}0{},21{<-=<<=a x x B x x A ，若B A ≠⊂，求实数a 的取值范围【难度】★★【答案】}2{≥a a模块四：集合的概念和集合间的关系的能力拓展典例剖析【例29】集合，且、、恰有一个成立，若且，则下列选项正确的是( )A ．，B ．，C ．，D ．，【难度】★★★【答案】B【解析】【例30】若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符()*{,,S x y z x y z N =∈、、x y z <<y z x <<z x y <<}(),,x y z S ∈(),,z w x S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∉(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∉合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．【难度】★★【答案】6【解析】【例31】设P 是一个数集，且至少含两个数，若对任意,a b P ∈，都有)0(,,,≠∈-+b P b a ab b a b a ，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集Q},|2{∈+=b a b a F 也是数域．给出下列命题：①整数集是数域；②若有理数集M Q ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题是．(填序号) 【难度】★★★ 【答案】③④【例32】已知},2{},,,3614{Z k k x x B Z n m n m x x A ∈==∈+==，求证BA =【难度】★★★【答案】（1）先证B A ⊆，设A a ∈，则存在Z m m ∈21,，满足)187(236141111n m n m a +=+=，B A B a Z n m ⊆∈∴∈+即,,18711（2）再证A B ⊆，设B b ∈，则存在Z k ∈1，满足)2(36)5(142111k k k a +-==，A B A b Z k k ⊆∈∴∈-即,,2,511【例33】已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体，对任意R x ∈，存在非零的常数t 使)()(x f t t x f ⋅≥+成立，其中非零常数t 叫做函数)(x f 的一个特征参数（1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由（2）试证明：函数2)(x x f =是集合M 中的一个元素，并求出2)(x x f =的所有特征参数组成的集合【难度】★★★ 【答案】（1）1=t 即可；（2）,02)1(,)(2222<≥++-≥+t t tx x t tx t x 可求得即1．已知},64{},,2{*2*2N b b b x x P N a a x x M ∈+-==∈+==，确定M与P 的关系【难度】★★★ 【答案】P M ≠⊂2．已知集合},,14{},,12{Z m m x x B Z n n x x A ∈±==∈+==求证B A =对点精练【难度】★★★ 【答案】略 3．集合{}12|,,,M x x m m n Z x x M ==+∈∈、、下列元素中哪些一定属于M ?（1）12x x +；（2）12x x ⋅；（3）122(0)x x x ≠【难度】★★ 【答案】（1），（2）4．设集合{}1,2,3,...,10,A =求集合A 的所有非空子集元素和的和【难度】★★★【答案】含有1的子集有92个；含有2的子集有92个；含有3的子集有92个；…，含有10的子集有92个，∴9(123...10)228160++++⨯=集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性；确定性用来判断符合什么条件的研究对象可组成集合；互异性是相同元素只写一次，在解决集合的关系或运算时，要注意验证互异性；无序性，即只要元素完全相同的两个集合是相等集合，与元素的顺序无关；集合中的元素的确定性和互异性，一是可以作为解题的依据;二可以检验所求结果是否正确．用描述法表示集合时，一定要明确研究的代表元素是什么，如；表示的是由二次函数的自变量组成的集合，即的定义域；表示的是由二次函数的{}4|2-=x y x 42-=x y 42-=x y {}4|2-=xy y 42-=xy 反思总结函数值组成的集合，即的值域；表示的是由二次函数的图像上的点组成的集合，即的图像．要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为n2，真子集个数为12-n，非空真子集有．22-n．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关42-=x y {}4|),(2-=x y y x 42-=x y 42-=x y系．在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示．1．选择适当的方法表示下列集合． (1)Welcome 中的所有字母组成的集合； (2)所有正偶数组成的集合；(3)二元二次方程组⎩⎨⎧==2xy xy 的解集； (4)所有正三角形组成的集合．【知识点】集合的表示【难度】★★ 【题型】填空题【答案】(1)列举法：},,,,,{m o c l e W ．课后练习(2)描述法：}xx∈=．kk,{*2N(3)列举法：)}1,1(),0,0{((4)描述法：}xx{是正三角形2．由实数x x x、、-所组成的集合，其元素最多有几个？【知识点】集合的概念【难度】★【题型】填空题【答案】23．若集合}01xA是空集，则实数a的值为=ax+{=【知识点】集合的概念【难度】★【题型】填空题【答案】04．已知集合}14{2有唯一解=+-=a x x a A ，用列举法表示集合A【知识点】集合的表示【难度】★★ 【题型】解答题【答案】}2,2,417{--=A5．集合},023{2R a x ax x A ∈=+-=（1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 中只有一个元素，求a 的值并把这个元素写出来（3）若A 中至多一个元素，求a 的范围【知识点】集合的概念【难度】★★ 【题型】解答题【答案】（1）89>a ；（2）890==a a 或；（3）890≥=a a 或6．已知集合}044{2<+-=a x x x M ，且M ∉2，则实数a 的取值范围是【知识点】集合的概念【难度】★★ 【题型】填空题【答案】}1{≥a a7．用适当的符号填空：（1）∅}01{2=-x x ；（2）{1，2，3} N ；（3）{1}}{2x x x =；（4）0}2{2x x x =．【知识点】集合间的关系【难度】★【题型】填空题【答案】，，，8．定义集合运算：，，．设集合，则集合的所有元素之和为_______________【知识点】集合的概念【难度】★★【题型】填空题【答案】189．已知{25}=+≤≤-，B A⊆，求m的B x m x mA x x=-≤≤，{121}取值范围。

2.集合的概念及元素与集合间关系(学生版)

集合的概念及元素、集合与集合间关系（讲案）【教学目标】一、集合的概念、表示【知识点】1.定义：一般地，把确定的，不同的对象看成一个整体，这个整体叫做集合，这些对象称为元素。

集合通常用大写英文字母来表示，例如集合A，集合B、集合C，元素常用小写英文字母来表示，例如a b c。

,,2.常用数集：①非负整数集（自然数集），记作N②正整数集，记作*N或N+③整数集，记作Z④有理数集，记作Q⑤全体实数集，记作R3.集合的分类：①有限集：含有有限个元素的集合②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合，记作∅4.集合的表示方法：① 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在“{}”内表示集合的方法。

使用列举法时元素间用分隔号“,”隔开，不重复，无顺序，对于含较多元素的集合，如果元素间有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表达清楚后才能用省略号。

② 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写成“(){}|x p x ”，x 为该集合的代表元素，()p x 是元素具有的性质③ venn 图示法：为了形象的描述集合，我们常常画一条封闭的曲线，用他的内部来表示集合。

【例题讲解】★☆☆例题1．下列语句是否能确定一个集合．（1）所有质数全体；（2）某校高一性格开朗的学生全体；（3）与1接近的实数的全体；（4）平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的圆内所有的点（不包括圆上的点）；★☆☆练习1．A.接近于0的数的全体； B.比较小的正整数全体；C.平面上到点O 的距离等于1的点的全体；D.正三角形的全体；.其中能构成集合的是（）★☆☆例题2：用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内所有的质数组成的集合★☆☆练习1．用列举法表示下列集合：（1）我国古代四大发明组成的集合；（2）大于2且小于15的所有素数组成的集合；（3）方程22x =的所有实数根组成的集合.★☆☆练习2.用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1- 且小于5的整数组成的集合A ；（2）方程290x -＝的实数根组成的集合B ；（3）小于8 的质数组成的集合.C★☆☆例题3.用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A 、B 两点距离相等的点的集合（2）满足不等式21x >的x 的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈ （7）方程()0,x x a a R -=∈的解集★☆☆练习1.用描述法表示下列集合.（1）方程22x =的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

集合的概念ppt课件

04
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用于描述各种数学对象及其性质，如数、点、线、面等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排序问题、经济学中的偏好关系等。
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感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有子集（包括空集和A本身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质

集合的概念、集合之间的基本关系

本题主要考查集合的表示方法：列举法、描述法及其转化，注意集合中元素的形式及元素符合的特征性质．
【变式练习1】有下列说法： ①所有著名的数学家可以组成一个集合； ②0与0的意义相同； 1 ③集合A＝{x | x＝，n N*}是有限集； n ④方程x 2＋2x＋1＝0的解集中只有一个元素．其中正确的有_____________
【例3】已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0，x∈R}， S ＝ {x|ax ＋ 1 ＝ 0 ， x∈R} ，满足 S P ，求实数a的取值组成的集合．
【解析】P＝{－3, 2}，当a＝0时，S＝，满足S P，即a＝0适合题意； 1 当a 0时，S＝{－ }，要满足S P， a 1 1 1 1 则有－＝－3或－＝2，解得a＝或－ . a a 3 2 1 1 所以所求集合为{0，，－ }． 3 2
灌云县陡沟高级中学李成艳
考纲泛读
①理解集合、子集，集合交、并、补的概念及集合运算的性质． ②了解空集的概念和意义． ③掌握集合的相关术语和符号．
高考展望 2012年的高考会在继承与创新的命题思想下把握好本章内容的命题，一是保持以基本概念和运算为主，以命题的真假判断为切入点，在知识的选择上关注相关性和逻辑性，在背景的选择上更关注教材和课程；
1 5.已知集合M＝{x | x＝m＋，m Z}， 6 n 1 N＝{x | x＝－，n Z}， 2 3 p 1 P＝{x | x＝＋，p Z}， 2 6 试确定集合M 、N、P之间满足的关系．
1 【解析】M＝{x | x＝m＋，m Z}＝ 6 6m 1 3 2m 1 {x | x＝，m Z}＝{x | x＝，m Z} 6 6 n 1 3n 2 N＝{x | x＝－，n Z}＝{x | x＝，n Z}； 2 3 6 p 1 3p 1 P＝{x | x＝＋，p Z}＝{x | x＝，p Z} 2 6 6 3n 2 ＝{x | x＝，n Z}＝N . 6 所以M N＝P.

集合的概念与集合间的关系

§1.1.1 集合的含义与表示1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问※ 探索新知探究1：观察下列实例：① 1～20以内所有的质数； ②2014年参加世界杯的国家； ③ 所有的锐角三角形； ④2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 淄博市实验高一级的全体学生； ⑥方程230x x +=的所有实数根； ⑦ 张店区2014年参加中考的所有同学； ⑧ 中华人民共和国境内的四大高原试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的三大特征①确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何对象或者是该集合的元素，或者不是该集合的元素。

如：“地球上的四大洋”（太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋）可以构成集合。

“数学必修1课本上的所有难题”就不能构成集合，因为“难题”的标准不确定。

②互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.相同的元素归入一个集合尽算一个元素。

如：student 中的字母构成的集合中两个“t ”只写一次。

③无序性：集合中的元素没有顺序限制。

集合｛1，2｝与｛2，1｝是一样的。

定义：只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 . 【练习】1.下列对象能否组成集合并说明理由：(1)数字1、2、5、7；(2)到定点的距离等于定长的所有点； (3)满足323x x ->+的全体实数； (4)未来世界的高科技产品；(5)所有绝对值小于3的整数； (6)中国男子足球队中技术很差的队员；(7)2014年参加山东夏季高考的学生；2.由12，0.5，0.5-，-0.5组成的集合有_______个元素。

3.由1，2a ，b 组成的集合与由1,2,a 组成的集合相等，求,a b新知3：元素与集合的关系：集合通常用大写的拉丁字母,,A B C ,…表示，集合的元素用小写的拉丁字母,,a b c ,…表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作：a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作：a ∉A .注：①符号“∈”和“∉”只用于表示元素与集合之间的关系；②“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合。

1.1.2 集合间的基本关系

1．1.2 集合间的基本关系一、子集1、定义：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含包含关系，称集合A 为集合B 的子集2、记法与读法：记作B A ⊆(或A B ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)3、结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.(2)对于集合A ，B ，C ，若A ⊆B ，且B ⊆C ，则C A ⊆4、对子集概念的理解(1)集合A 是集合B 的子集的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A 能推出x ∈B .例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A .此时记作A B 或B ⊉A .(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N ，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N ，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、集合相等的概念如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作B A =.2、对两集合相等的认识(1)若A ⊆B ，又B ⊆A ，则A ＝B ；反之，如果A ＝B ，则A ⊆B ，且B ⊆A .这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A ＝B ，只需证A ⊆B 与B ⊆A 同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A ⊆B ，但存在元素A x ∈，且B x ∈，我们称集合A 是集合B 的真子集2、记法与表示：3、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B 首先要满足A ⊆B ，其次至少有一个x ∈B ，但x ∉A .(2)若A 不是B 的子集，则A 一定不是B 的真子集.四、空集1、定义：我们把不含任何元素的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A ≠∅，则∅真包含A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}．题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是( B )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4题型二、有限集合子集的确定例2(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1,2}{1,3}和{2,3}，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则()集合S中含有1个元素：{3}；集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}；集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合S共有7个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.[活学活用]1、已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}且A ⊆B ，如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2. (3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a } ∵A ⊆B ，如图所示， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥2或a ≤－2}．2、已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}，∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．(1)当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实根，则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0.∴a <－1.(2)当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.(3)当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解． (4)当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得a ＝1.综上所述，a ＝1或a ≤－1.课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．已知A ＝{x |x 是菱形}，B ＝{x |x 是正方形}，C ＝{x |x 是平行四边形}，那么A ，B ，C 之间的关系是 ( B )A ．A ⊆B ⊆C B ．B ⊆A ⊆C C ．A B ⊆CD ．A ＝B ⊆C3．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.解析：∵B ⊆A ，B ＝{3,4}，A ＝{－1,3，m}∴m ∈A ，∴m ＝4.答案：44．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈N}的真子集的个数为________．解析：由题意得A ＝{0,1,2}，故集合A 有7个真子集．答案：75．已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)若A 是B 的真子集，即A B ，故a>2.(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2.(3)若A ＝B ，则必有a ＝2.课时跟踪检测(三) 集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k ，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A BD ．A B2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答案课时跟踪检测(三)1．选D 显然B 是A 的真子集，因为A 中元素是3的整数倍，而B 的元素是3的偶数倍．2．选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴N M .答案：N M7．解析：由Venn 图可得AB ，CD B ，A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说文学作品叙事散文散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。

集合的概念与相互关系

分配律
定义
分配律是指集合运算中，一个集合与括号内另一个集合的运算结果与该集合分别与括号内每个集合的运算结果相同。
例子
设A、B和C是三个集合，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)都是分配律的例子。
04
集合的基数
定义与性质
集合的基数
确定性
集合中元素的个数称为该集合的基数。
性质
空集是任何集合的子集，任何集合都包含空集作为其子集。
02
集合之间的关系
子集
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，但不要求所有元素都相同。
子集关系不具有对称性，即如果集合 A是集合B的子集，则集合B不一定是集合A的子集。
子集关系具有传递性，即如果集合A 是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A也是集合C的子集。
集合的元素
确定性
集合中的元素是确定的，没有模糊性。例如，“大于3的实数”是
一个模糊的描述，而“{4,5,6}” 是一个确定的集合。
无序性
集合中的元素没有顺序，即集合 {1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合。
互异性
集合中的元素互不相同，即集合中不会有重复的元素。
空集
定义
不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
子集关系不具有排他性，即一个集合可以同时是多个不同集合的子集。
超集
超集是指一个集合的所有元素都属于另一个集合，包括相同
的元素。
超集关系具有传递性，即如果集合A是集合B的超集，且集合 B是集合C的超集，则集合A也
是集合C的超集。
超集关系不具有对称性，即如果集合A是集合B的超集，则集合B不一定是集合A的超集。

Ch 1.2 集合概念及集合之间的关系

第一编集合论
2
集合结构
离散数学的大部分内容是研究离散结构，表现离散对象。
很多重要的离散结构是用集合来构造的，即对象的联合。
例如自然数集:｛0, 1, 2, …｝关系：序偶集合，用来表现元素间关系；图：结点和联结结点的边的集合。
第一编集合论
3
集合论的起源
集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究．
成A的子集B 。
这样 B 与该二进制数 b 一一对应，有多少个不同 n 位二进制就有多少个不同的子集。
例如：S={a,b,c},
P(S)={Si | i∈J}, J={i | i是二进制数且00…0≤i≤11…1}
例如 S3=S011={b,c}, S6=S110={a,b}等。
一般地 P(S ) {S0 , S1,
子集、相等、真子集空集、全集幂集、n元集、有限集集族
第一编集合论
18
子集(Subset)
定义1.1 集合B的每个元素都是集合A中的元素，称B是A的子集，也称 B包含于A, A包含B: B⊆A ⇔ ∀x(x∈B x∈A)
B不是A的子集: B A ⇔ ∃x(x∈B∧x ∉A)
Ch 1.2 集合概念与集合间关系
集合的概念集合之间的关系
第一编集合论
1
集合论(Set Theory)
十九世纪数学最伟大成就之一集合论体系
朴素(naive)集合论公理(axiomatic)集合论
创始人康托(Cantor) Georg Ferdinand Philip Cantor (1845 ~ 1918) 德国数学家, 集合论创始人.

集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系

集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

非负整数集（或自然数集），记作N；；N内排除0的集.正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人⑷倒数等于它本身的数⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。

练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.巩固练习分析：练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。

练2下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是( )3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?4若t 1t 1+-∈{t},求t 的值.⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示2．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。