第二章 线性规划问题解的性质

b) 约束为≥形式的情形。如
3x1+2x2-x4≥18 则减去一个非负变量x5≥0，改为 3x1+2x2-x4-x5=18
变量x5称为剩余变量。 c) 若对某变量xj没有非负限制，
自由变量
则引进两个非负变量xj’≥0，xj’’≥0， 令xj=xj’ -xj’’ 代入约束条件和目标函数中， 化为对全部变量都有非负限制。
第二章 线性规划问题解的性质
§ 2.1 两个变量的线性规划问题的图解法 § 2.2 线性规划问题的标准形式 § 2.3 线性规划问题解的性质
§ 2.1 两个变量的线性规划问题 的图解法
§2.1 两个变量的线性规划问题的图解法
1. 二元一次不等式表示平面区域
问题1：以二元一次方程x + y-1=0 的 解为坐标点的集合 表示什么图形？
§2.3 线性规划问题解的性质
（一）几个概念
1. 可行解、基础可行解、最优解、基础最优解 我们把满足约束条件的 设线性规划问题 ( 0) x min s = cx 1 ( 0) x2 ( 0) x Ax b x ( 0) x 0 n 称为LP问题的可行解。 使目标函数取最小值的可行解，称为最优解。
①画直线x-y+5=0，确定不等式x-y+5≥0表示的区域； ②画直线x+y=0，确定不等式x+y≥0表示的区域； ③画直线x=3，确定不等式x≤3表示的区域； ④取公共区域部分。
y x+y=0 A
-4 -2 4 2
x-y+5=0 C
o
2 4
B
x
x=3
基本概念： (1) z= 2x+y
x 4 y 3 (2). 3 x 5 y 25 x 1
LP问题
min s = cx
min s = cx
Ax b s.t . x 0
向量表示
n Байду номын сангаас x j Pj b s.t . j 1 x 0
A ( P1 , P2 ,, Pn )
a1 j a Pj 2 j 是约束条件中 x j的系数, ( j 1,2,, n) a mj Pj也称为 x j 对应的向量.
解 (1). 确定可行域 先作: x1≥0 x2≥0 再作： x1 ≤4 x2 ≤3 x2 A B C
O x1 +2 x2 ≤8
D
x1
得可行域(见上图)
(2). 作目标函数的等值线 目标函数s=2x1+5x2 它代表是以 s 为参数 的一族平行线 由小到大给s 赋值，可得一 组平行线，而 位于同一直线 上的点具有相 同的目标函数 值，因而称为 等值线。
若 x(0)=0，或 x (0)的非零分量所对应的系数列向 量组线性无关时，称可行解x (0)为基础可行解。使目 标函数取最小值的基础可行解，称为基础最优解。
2. 凸集 点集中任意两点的连线段整个均是该点集的点， 称该点集为凸集。
连接 n 维点集合S中任意两点 x (1) ，x (2)的线段 仍在S内，则称S为凸集 。
定理2 x是基础可行解 x是可行域S中的极点. Ax b 证 设LP问题: min s = cx s.t . x0 S是其可行域， “” 即若x是可行域S中的极点，则x是基础可行解. ; (1). 当x 0时, 显然x是基础可行解
(2). 当x 0且为极点时,
设x的所有非零分量为xi1 , xi2 ,, xik (k m), 其所对应的列向量为Pi1 , Pi2 ,, Pik (k m), 问题转化为说明向量组Pi1 , Pi2 ,, Pik 线性无关.
例2.3、若目标函数为 min s = 2x1+2x2
x2
⑵作目标函数 的等值线
⑶确定最优点 因此，最优解 为 x1=1, x2=0
O C B
x1 x2 1 s.t . x1 2 x2 0 x1 0, x2 0
2x1+2x2=10
A
D x1
相应的目标函数 最小值为 s=2。
目标函数，也叫线性目标函数。 线性约束条件。
(3). 象此问题一样，求线性目标函数在线性约束条件下的最值 的问题统称为线性规划问题。 (4). 满足约束条件的解(x，y) 叫做可行解。
y
x=1
2x+y=t
可行域
x-4y+3=0
(5). 可行解组成的集合 叫做可行域。（阴影部分） (6).使目标函数取得最值的 o 可行解叫做最优解。
(2) 约束条件也有多种形式
这种多样性不仅给研究带来不便，而且使你难以寻 找一种通用解法。
人们发现：线性规划问题的各种不同形式可以相互 转化。因此，只需给出一种形式的解法。
线性规划问题的标准形式如下： min s = c1x1+c2x2+…+cnxn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 一般有 m n, m, n 0 a x a x a x b 2n n 2 21 1 22 2 s.t . am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 矩阵表示 x1 0, x2 0, , xn 0 min s = cx
x2 B 2x1+5x2=19
A
C
O
D
2x1+5x2=0
x1
(3). 确定最优点
先确定目标函数值增大的方向，沿着这个方向平 行移动直线 s= 2x1+5x2，当移动到 B点时，s值就在可 行域上达到最大,从而确定B点就是最优点，
x2 3 x1 2 x 2 8
得最优解为x1=2，x2=3。 相应的目标函数的最大值为 S=2×2+5×3=19.
例2.6 将下面的线性规划问题化为标准形： max s = x1+2x2-3x3
x1 2 x2 x3 5 2 x1 3 x2 x3 6 x1 x2 x3 2 3 x2 12 x1 , x2 , x3 0
解 引进非负变量x4，x5，x6，min s x 2 x 3 x 1 2 3 则原问题的标准形为： x1 2 x2 x3 x4 5 2 x1 3 x2 x3 x5 6 松弛变量 x1 x2 x3 2 3 x2 x6 12 x1 , , x6 0 剩余变量
1 o
y
x, y
问题2：
x y 1 0
1
x
l：x+y-1=0 y 1 x+y-1＜0 o x+y-1＞0 1 x
以二元一次不等式 x + y-1 ＞0的 解为坐标点的集合 表示什么图形？
l：x+y -1=0
练习
x y50 画出不等式组 x y 0 表示的平面区域。 x 3 解：
A（5，2） B（1，1） 3x+5y-25=0
1 x
2. 两个变量的线性规划问题的图解法一般过程
对于仅具有两个变量的线性规划问题，利用 作图的方法求最优解，简单、直观。 例2.1 max s = 2x1+5x2 x1 4 x 3 约束条件 2 x1 2 x2 8 x1 , x2 0
[0,1] x x(1) (1 ) x(2) 0,
Ax A[x (1) (1 ) x ( 2) ] Ax (1) (1 ) Ax ( 2) b
x x(1) (1 ) x(2) S
（二）线性规划问题解的性质
2x1+2x2=10
A B D O C x1
2x1+2x2=6
2x1+2x2=2
例2.5、min s =2x1+2x2
x1 x2 1 s.t . x1 x2 2 x1 0, x2 0
x2
如图，
没有可行解， 故没有最优解。
O x1
-x1+x2=1
x1+x2= -2
（二）线性规划问题解的性质 定理1 线性规划问题的可行解集（可行域）为凸集。 Ax b 证 设LP问题: min s = cx s.t . x 0 S是其可行域， 对于x (1) x (2) ∈S, α [0,1]
考查 x=α x (1) +(1-α) x (2) ∈S
由于x (1) , x ( 2) S , x (1) 0, x ( 2) 0, Ax (1) Ax ( 2) b
2x1+2x2=6
2x1+2x2=2
例2.4、若将例2.3改为使目标函数的值最大， x1 x2 1 即 max s=2x1+2x2 s.t . x1 2 x2 0 x2 x1 0, x2 0
从图中可以看出， 因为凸域ABCD无 界，当平行直线族 的直线无限远离原 点时，都可以与 ABCD相交，所以 目标函数无上界， 因此无最优解。
即 若对于x (1) ，x (2) ∈S，x=α x (1) +(1-α) x (2) ∈S （0≤α≤1），则称S为凸集。 例如： (2) x (2) x (2) x (1) x (1) x (2) x (2) x (1) x x
(1)
x (1)
3. 极点 (顶点)
若凸集S中的点x，不能成为S中的内点，则称x为S的 极点（顶点）。 即， 若对于x (1) x (2) ∈S, 不存在α (0<α<1), 使 x=α x (1) +(1-α) x (2) 则称x为S的极点（顶点）。
反证法 若向量组 Pi1 , Pi2 ,, Pik 线性相关 则一组不全为零的数 1 , , k , 使得 1 Pi1 2 Pi2 k Pik 0
定理2 x是基础可行解 x是可行域S中的极点.
其中
Ax b s.t . x 0 c=(c1，c2，…，cn)
a1n a2 n amn
价值向量
约束矩阵
a11 a12 a a A 21 22 a m1 am 2
资源向量 b1 x1 待定决策向量 b x 2 b x 2 b x m n
x2 A B 2x1+5x2=19 C
O
D x1 2x1+5x2=0
例2.2 若将例2.1中的目标函数改为S=x1+2x2
x1 4 x2 3 s.t . x1 2 x2 8 x1 , x2 0
x2
A B
x1+2x2=8
C
BC边上每一 点的坐标都 是最优解
O D
a1 j a Pj 2 j a mj
( j 1,2,, n)
•
非标准形问题的标准化
下面举例说明如何将非标准形线性规划问题 化为标准形。
（1）目标函数 若问题的目标函数为最大化 max s = cx， 则 可化为求 min s’ = －cx，即可。 （2）约束条件 a) 约束为≤形式的情形。如 2x1-x2+3x3≤18 则加入一个非负变量x4≥0，改为： 2x1-x2+3x3+x4=18 变量x4称为松弛变量。
x1
因此，最优解有无穷多个。
例2.3、若目标函数为 min s = 2x1+2x2
约束条件为
x1 x2 1 s.t . x1 2 x2 0 x1 0, x2 0
解 ⑴确定可行域
x2
A B C
x1 2 x2 0
D x1
x1 x2 1
O
线性规划问题解的四种情况：
有唯一最优解 有无穷多最优解 有可行解但没有最优解 无可行解
两个重要结论： ★线性规划问题的任意两个可行解连线上的 点都是可行解； ★线性规划问题的最优值如果存在，必然可 在某个“顶点”达到。
以后证明.
§2.2 线性规划问题的标准形式
LP问题有许多不同形式： (1) 目标函数，有的要求最大化，有的要求最小化；