9.7抛物线讲义(无解析)

9.7抛物线

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

[知识拓展]．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p

2

，也称为抛物线的焦半径．

题型一 抛物线的定义及应用

例1 （2016年浙江高考理）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．

（1）(2014·上海，4)若抛物线y 2

＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 2

5

＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程

为________．

（2）(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →

，则|QF |等于( ) A.72 B.5

2 C ．

3 D ．2

题型二 抛物线的标准方程和几何性质

例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．

(2013·福建)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C

为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N . (1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径．

题型三 抛物线焦点弦的性质

例3 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .

思维升华 解决与抛物线的焦点有关的问题，常用到以下结论： ①x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2＝－p 2.

②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2θ(|AB |为弦长，θ为AB 的倾斜角)．

③

1|AF |＋1|BF |＝2p

. 恰当运用这些结论，就会带来意想不到的效果，特别是在解选择题、填空题时可以直接应用．

已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M 、N 两点，且

|MN |＝8.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)设直线l 是抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →

的最小值．

题型四 直线与抛物线的综合性问题

例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标．

(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．

(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．

(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点

为Q ，且|QF |＝5

4|PQ |.

(1)求C 的方程；

(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．