不等式与线性规划 (2)

第6练 处理好“线性规划问题”的规划

题型一 不等式组所确定的区域问题

例1 已知点M (x ，y )的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －2≤0，y －1≤0，

x ＋2y －2≥0，则此不等式组确定的平面区域

的面积S 的大小是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题 例2 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤2，x ≥1，

y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的和为________．

题型三 利用线性规划求解实际应用题

例3 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900人旅行，A ，B 两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )

A ．31200元

B ．36000元

C ．36800元

D ．38400元 题型四 简单线性规划与其他知识的综合性问题 例4 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，

2x ＋y ≤8，

则lg(y ＋1)－lg x 的取值范围为( )

A ．[0,1－2lg 2]

B ．[1，52]

C ．[1

2

，lg2] D ．[－lg 2,1－2lg 2]

1．实数x ，y 满足⎩

⎪⎨⎪⎧

y ≥|x －1|，

y ≤1，则不等式组所围成图形的面积为( )

A ．4

B ．2 C.1

2

D ．1

2．已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≥2，x ≤1，

y ≤2

上的一个动点，

则OA →·OM →的取值范围是( )

A ．[－1,0]

B ．[0,1]

C ．[0,2]

D ．[－1,2] 3．(2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧

y ≤x ，x ＋y ≤1，

y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为

m 和n ，则m －n 等于( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

4．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≥x ，y ≤mx ，

x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范

围为( )

A ．(1,1＋2)

B ．(1＋2，＋∞)

C ．(1,3)

D ．(3，＋∞)

5．若P 是满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

y ≤x ，x ＋y －2≤0，y >0表示的平面区域内的任意一点，点P 到直线3x ＋4y

－12＝0的距离为d ，则d 的取值范围是( )

A ．[1，125]

B ．[1，125)

C ．(1，65)

D ．(3

4，1]

6．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

2x －y ＋1>0，x ＋m <0，

y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－

2y 0＝2，则m 的取值范围是( )

A ．(－∞，－43)

B ．(－∞，13)

C ．(－∞，－23)

D ．(－∞，－5

3

)

7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，

x ＋y －8≤0，

则目标函数z ＝3x －4y 的最大值为________．

8．已知不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ≤1，x ＋y ＋2≥0，

kx －y ≥0表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最

小值时，k 的值为________．

9．4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元． 10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧

2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，

x ≥0，

y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，

则a ＋b 的最小值为________． 11．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，

x ≥0.

令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D

上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 12．已知t 是正实数，如果不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤t ，x －y ≤0，

x ≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则

t 的最小值为________．

第6练 处理好“线性规划问题”的规划

题型一 不等式组所确定的区域问题

例1 已知点M (x ，y )的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －2≤0，y －1≤0，

x ＋2y －2≥0，则此不等式组确定的平面区域

的面积S 的大小是( ) A ．1B ．2 C ．3D ．4

破题切入点 先画出点M (x ，y )的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积． 答案 A

解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域，

如图所示，

则此平面区域为△ABC 及其内部， 且点A (2,0)，B (0,1)，C (2,1)， 于是，S ＝1

2

×2×1＝1.故选A.

题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题 例2 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y ≤2，x ≥1，

y ≥0，

则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的和为________．

破题切入点 先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义，即可