材料力学第5章剪切与挤压
工程力学 材料力学 M2剪切与挤压
d
F
《材料力学》 剪切与挤压实用计算 25
挤压面
D h d
h
A dh
d
剪切面
F
《材料力学》
Abs
(D d )
4
26
2
2
挤压面
剪切与挤压实用计算
例题4
冲床的最大冲压力F=400kN，冲头材料的许用压应力
[]=440MPa，钢板的剪切强度极限u=360MPa，试求冲头能冲剪
的最小孔径d和最大的钢板厚度 .
F
F
AbS -挤压面的面积（area in bearing) F 4、强度条件 bs bs Abs [bS]-许用挤压应力(allowable bearing stress).
《材料力学》 剪切与挤压实用计算 10
四、挤压实用计算
挤压面的面积计算 当接触面为圆柱面时, 挤压面积 AbS为实际接触面在直径平面 上的投影面积 Abs d h 挤压现象的实际受力如图 所示. 当接触面为平面时, AbS 为实际接触面面积.
F
冲头
d
钢板
冲模
《材料力学》
剪切与挤压实用计算
27
例题4
F
F
冲头
d 钢板
F
冲模
剪切面
解 (1)冲头为轴向压缩变形
《材料力学》
F A
F
d 4
2
d=34mm
28
剪切与挤压实用计算
例题4
F
F
冲头
d 钢板
F
冲模
剪切面
解 (2)由钢板的剪切破坏条件
《材料力学》
Fs A
F
第五章拉伸剪切与挤压的强度计算
内力在截面上的集度称为 应力(垂直于杆 横截面的应力称为正应力，平行于横截面的 称为 切应力 ) 。应力是判断杆件是否破坏的 依据。
单位是帕斯卡，简称帕，记作 Pa ，即 l 平方米 的面积上作用1牛顿的力为1帕，1N／m2＝1Pa。
1kPa＝103Pa，1MPa＝106Pa 1GPa＝109Pa
二、拉(压)杆横截面上的正应力
平面假设
变形前的横截面，变形后仍为平面，仅其位置略作平移，这一假 设称为平面假设。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设可推 断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。 所以，横截面的正应力σ计算公式为： m n F F F
σ=
N
A
MPa
m
n
FN 表示横截面轴力（N） F A 表示横截面面积（mm2）
40KN
B C
30KN
FN1= 10KN
L
10KN
L
σ1 =
FN1 / A1 = 50 MPa FN2= -30KN σ2 = FN2 / A2 = 100 MPa 轴力图如图：
FN1 FN2
10KN
30KN
FN
x
30KN
由于AB、BC两段面积不同，变形量应分别计算。
由虎克定律
：
FN L L EA
L1 —试件拉断后的标距 A1 —试件断口处的最小横截面面积
L1 L0 伸长率: 100 % L0 A0 A1 断面收缩率 : 100% A0
L0 —是原标距 A0 —原横截面面积。
、 值越大，其塑性越好。一般把 ≥5％的材 料称为塑性材料，如钢材、铜、铝等；把 <5％的 材料称为脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。
材料力学-剪切
剪切
一、剪切强度计算及挤压强度计算
1．单剪
设两块钢板有 n 个铆钉联接，钢板两端受拉力 P 作用 （见图3-1）。
P t1
t2 P
P
P
钢板联接图 图3-1
（1）绘铆钉受力图：
t1 P/n
Q P n
P/n
t2
Pc= P/n
|d|
|d|
铆钉受力图 图3-2
（2）剪切强度条件为：
Q P 3 1
2 20 12106
104MPa
II-II截面
3P
3 200103
II II
b2
5
3d t2
5
200 3 20 12106
71.4MPa
（2）盖板：
P/5
II
P/2
盖板轴力图
II II-II截面
II-II截面内力比I-I截面大，而截面积比I-I截面小，故只 需校核II-II截面。
II II
P nAC 2
P nt2d
C1
PC 1 AC 1
P nAC 1
P 2nt1d
比较： C2 C1
C2
200 103 5 12 20106
167MPa
C2
（四）绘主板和盖板的轴力图并进行强度校核。
（1）主板：
P
I
3P
II
5
主板轴力图
I-I截面
I
II
II
b2
P
2d t2
200
200 103
Q P 3 1
AQ 2nAQ
如需求铆钉的个数，则
n
P
2AQ
3
2
挤压强度条件：
材料力学第五章剪切和挤压的实用计算
> A[s]:=Pi*d*delta:
> d:=25e-3: tao[u]:=300e6: delta:=10e-3:
> ineq:=evalf(ineq,4);
ineq := 235600.F
答：需要 235.6kN 的冲剪力。
#清零。 #剪切强度条件 #剪切面积。 #已知条件。 #冲孔所需要冲剪力的数值。
图5-2连接轴与轮的键的工程实例
（1）作用于构件某一截面两侧的外力，大小相等，方向相反，作用线相距很近且垂 直于轴线。
（2）处于两个平行外力之间的截面，发生相对错动变形。 把有错动变形趋势的截面为剪切面，剪切面上的内力与截面相切，称为剪力， 用 FS 表示。
图5-3钢杆剪切实例
5.2剪切的实用计算
式中 bs 为材料的许用挤压应力，一般 bs 1.7 ~ 2 。
(a)
(b) (c)
图5-4圆孔及铆钉挤压应力的分布
当连接件与被连接件的接触面为平面时，如键连接，此时挤压面的面积 就是连接与被连接件的接触面积。
对于像销钉一类的连接件，它们的承压面实际上是半个圆柱面。在实用
> SOL1:=solve({eq1},{Fs}): > Fbs:=F: > tau:=Fs/A[s]: > tau:=subs(SOL1,tau): > sigma[bs]:=F/A[bs]: > A[s]:=Pi/4*d^2: > A[bs]:=delta1*d: > delta1:=1.5*delta: > d:=20e-3: delta:=8e-3: F:=15e3: > tau:=evalf(tau,4);
计算中通常是用半个圆柱面在垂直于总挤压作用线平面上的投影作为挤压 面的计算面积。这样得到的挤压应力更接近于挤压应力的最大值，因而可 以使设计更趋于安全。
剪切与挤压的实用计算
剪切与挤压的实用计算1.基本理论剪切是指沿着平面内条线上的应力沿剪切方向相对另一平面移位的力。
材料在受到剪切力作用时，会发生剪切变形并产生剪切应力。
剪切应力τ的计算公式为：τ=F/A其中，τ表示剪切应力，F表示受力，A表示受力面积。
材料的抗剪强度表示了材料在剪切载荷下破坏的抵抗能力，通常用剪切强度σs表示，剪切强度也可以通过横截面上的最大剪切应力来计算，即σs = τmax。
2.剪切计算方法在实际工程中，剪切常常涉及到材料的剪切强度计算、剪切连接件的设计以及剪切抗力的计算等。
（1）剪切强度计算根据材料的剪切性能参数，可以计算材料的抗剪强度。
一般来说，剪切强度与材料的抗拉强度有一定的关系。
对于金属材料来说，一般有以下公式用于计算剪切强度：σs=k·σu其中，σs表示材料的剪切强度，k表示剪切系数，一般取0.6~0.8，σu表示材料的抗拉强度。
（2）剪切连接件设计在机械设计中，常常需要设计剪切连接件，如销轴连接、键连接等。
设计剪切连接件时，需要根据剪切载荷和材料的强度参数来计算连接件的尺寸。
以销轴连接为例，假设在动力传动系统中，传递的扭矩为T，需设计一个销轴连接。
根据材料的抗剪强度和材料的弹性模量，可以计算出销轴的直径d。
d=[16·T/(π·τs)]^(1/3)其中，d表示销轴的直径，T表示扭矩，τs表示材料的抗剪强度。
（3）剪切抗力计算在工程结构设计中，剪切抗力的计算是非常重要的。
常见的剪切抗力计算方法有剪切弯曲理论、剪切流动理论等。
对于简支梁的剪切抗力计算来说，可以使用剪切弯曲理论。
根据弯矩与剪力之间的关系，可以得到梁上任意一点的剪切力V和弯矩M之间的关系：V = dM / dx其中，V表示剪切力，M表示弯矩，dM表示单位长度上的弯矩的变化，dx表示单位长度。
1.基本理论挤压是指沿轴线方向作用于材料上的静态或动态力。
当材料受到挤压力作用时，会发生长度方向的变形，并产生挤压应力。
剪切及挤压应力计算
剪切及挤压应力计算剪切应力的计算公式如下：τ=F/A其中，τ表示剪切应力，F表示剪力，A表示剪切面积。
剪切面积的计算取决于物体的几何形状。
对于一个长方形截面，剪切面积为宽度乘以高度（A=b*h）；对于一个圆形截面，剪切面积为π乘以半径的平方（A=π*r²）。
挤压应力的计算公式如下：σ=F/A其中，σ表示挤压应力，F表示挤压力，A表示挤压面积。
挤压面积的计算方法与剪切应力类似，取决于物体的几何形状。
在实际应用中，剪切应力和挤压应力的计算是密切相关的。
当物体受到外部力的作用时，如果该力的方向与物体表面的切线方向垂直，则产生挤压应力；如果该力的方向与物体表面的切线方向平行，则产生剪切应力。
因此，可以通过计算剪切应力和挤压应力来评估物体在受力下的变形和稳定性。
剪切应力和挤压应力的计算在工程领域具有重要的应用，例如材料力学、结构力学以及机械设计等。
通过对剪切应力和挤压应力的分析和计算，可以确定材料的承载能力、抗变形能力、抗压能力等重要参数，从而保证工程结构的安全性、稳定性和可靠性。
总之，剪切应力和挤压应力的计算是工程领域中的重要内容，通过合理的计算和分析可以更好地了解材料和结构受力状态，从而指导工程设计与实施。
1. Hibbeler, R. C. (2024). Mechanics of materials. Pearson Education.2. Beer, F. P., Johnston, E. R., DeWolf, J. T., & Mazurek, D.F. (2024). Mechanics of materials. McGraw-Hill Education.3. Timoshenko, S., & Gere, J. M. (2004). Theory of elastic stability. Courier Corporation.。
材料力学精选试题及答案-剪切与挤压的实用计、扭转
剪切与挤压的实用计算1.图示木接头，水平杆与斜杆成（A ）bh ；（B ）tan bh ；（C ）cos bh；（D ）cos sin bh。
答：C2.图示铆钉连接，铆钉的挤压应力bs（A ）22π Fd ；（B ）2Fd；（C ）2Fb；（D ）24πFd 。
答：B3.切应力互等定理是由单元体（A ）静力平衡关系导出的；（B ）几何关系导出的；4.5.6.7. 图示直径为d 的圆柱放在直径为3D d ，厚度为 的圆形基座上，地基对基座的支反力为均匀分布，圆柱承受轴向压力F ，则基座剪切面的剪力S F 。
答： 22S 2π 48π 49D dF F F D8. 拉杆及头部均为圆截面，已知40 mm D ，20 mm d ，15 mm h 。
材料的许用切应力[]100 MPa ，许用挤压应力bs []240 MPa ，试由拉杆头的强度确定许用拉力F 。
解：S π []94.3 kN F d h22bsbs π[]226 kN 4D d F取[]94.3 kN F 。
9. 图示在拉力F 的作用下的螺栓，已知螺栓的许用切应力[] 是拉伸许用应力的0.6倍。
试求螺栓直径d 和螺栓头高度h 的合理比值。
解：24[]πF d 因为,0.6[]πFd h所以在正应力和切应力都达到各自许用应力时，有241π0.6πFd F dh ， 2.4d h 。
10. 图示键的长度30 mm l ，键许用切应力[]80 MPa ，许用挤压应力bs []200 MPa ，试求许可载荷][F 。
解：以手柄和半个键为隔离体， S 0, 204000O M F F取半个键为隔离体，bs S 20F F F由剪切：S []sFA ，720 N F由挤压：bs bs bs bs [][], 900N FF A取[]720N F 。
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
剪切和挤压的实用计算
110106 110MPa [ ]
材料力学
4.板和铆钉的挤压强度
bs
Fbs Abs
F
2d
50103 2 0.017 0.01
147106 147MPa [ bs ]
结论：强度足够。
目录
材料力学
剪切和挤压的实用计算
图示齿轮用平键与轴连接， 已知轴的直径d=70mm，键的尺寸 为 b h l 2012100mm，
传递的扭转力偶矩Me=2kN·m，键的 许用应力[τ]=60MPa，[ bs]=
100MPa。试校核键的强度。
平键连接
例题3-2
材料力学
b h n n ｝F
dO
Me
(a)
n FS n
b
l
O Me
(b)
Fbs Abs bs
0.5h n FS n
(c)
目录
材料力学
剪切和挤压的实用计算
材料力学
解：（1）校核键的剪切强度
95.3106 Pa 95.3MPa [bs ]
平键满足强度要求。
目录
材料力学
15.7106 15.7MPa [ ]
FN F A (b 2d )
50 103
(0.15 2 0.017) 0.01
43.1106 43.1MPa [ ]
材料力学
目录
材料力学
剪切和挤压的实用计算
d
b
a
3.铆钉的剪切强度
Fs A
4F 2πd 2
2F πd 2
2 50 103 π 0.0172
F
F
F
F
F n
n F n Fs n F F n
Fs n
材料力学剪切与挤压
16
双剪(两个剪切面)试验
压头 试件
F
FS
FS
u
Fu 2A
u / n
17
• 工程中常用材料的许用剪应力，可从有关规范 中查得，也可按下面的经验公式确定。
• 一般工程规范规定，对于塑性性能较好的钢材， 剪切许用应力[τ]可由拉伸许用应力[σ]按下式 确定： [τ]=(0.6 – 0.8) [σ]
F F
挤压面积：挤压面在垂直 于挤压力的平面上的正投
22
在有些情况下，构件在
3剪生. 挤切挤压压破强破坏(坏之bs，前)max所可 以能APbbss 需首 要先bs 建发 度立条挤件压：强度条件。 （许用挤
4.挤压许用应力： 压应力） 由塑模性拟材实料验，测许定用挤压应
力与材[料σbs拉]=(伸1.7-许2.0用)σ应力
平键联接的强度。已知轴的直 径d＝48mm，A型平键的尺寸 为b＝m14mm，Fh＝m 9mm，L＝ 45mm，传M递的转矩M＝l81481
N·mm，键的许用切应F力[τ]＝ 60MPa，许用挤压应力[σ]＝26
27
解：1. 以键和d 轴为研究 对用切象键m槽剪mΣFF1N—力,截联工切8)求=＝1Mm和面接作和42键o截80M(挤法的 面 挤1所面/F0压可/破间压F受4d2被m力求8坏的强=的切=得可度挤2：-力7断x5FF能必压M6或Q＝:1是须破＝＝.键77键同坏F5与6沿时。j1y键.＝7N
FF
F
F
挤压面
压溃(塑性变形)
t t
D
B︰︰︰A︰︰︰C
20
2.挤压应力
挤压应力在挤压面上的
分布规律也是比较复杂的，
d
工程上同样采用实用计算法
材料力学--剪切与挤压 ppt课件
ppt课件
9
（合力） P
n
Q n
1、剪切面--AQ ： 错动面。 剪力--Q： 剪切面上的内力
n
。
P
2、名义剪应力--：
（合力）
Q
AQ
剪切面 3、剪切强度条件（准则）：
n
P
Q
A
其中 : jx
h
2
解：键的受力分析如图
P
Q
Pjy
2m d
2 1600 0.05
64kN
m
P
h AQ L
b
d
ppt课件
17
剪应力和挤压应力的强度条件
Q Lb
[
] [ L1 ]
Q
b
64 16 80
10 3 ( m)
50 mm
2Pjy Lh
[ jy ][L2 ]
h
2
P 2m 2 2 57kN d 0.07
m
P
h
d
ppt课件
L b
15
剪应力和挤压应力的强度校核
Q Pjy P
Q P 57 103 28.6MPa
AQ bL 20 100
jy
Pjy Ajy
P Lh
2
57 103 100 6
P （合力） ②变形特点：
构件沿两组平行力系的交界面
发生相对错动。
ppt课件
6
（合力） P
n
《材料力学力学》剪切与挤压的实用计算讲解与例题
取构件B和安全销为研究对象
mO 0
QD m Pl
Q Q u 2 As d 4
，
Q
Pl 2 1.2 36.92 KN D 0.065
4 36.92 10 3 d 0.0153 m 15.3 6 u 200 10 4Q
d M F 0 2
平键受力
(3)、剪切面： 两组力的作用线交错的面；
AQ bl
平键的切应力
(4)、挤压面： 相互压紧的局部接触面；
hl Abs 2
(5) 挤压应力
Fbs bs Abs
例1 齿轮与轴由平键（b×h×L=20 ×12 ×100）连接，它传递的 扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为[]= 60M Pa ，许用挤压应力为[jy]= 100M Pa，试校核键的强度。
m
h 2
h L b
1 键的受力分析
（b×h×L=20 ×12 ×100） d=70mm， m=2KNm []= 60M Pa ， [jy]= 100M Pa
2m 2 2 P 57kN d 0.07
m P
2 剪切面与挤压面的判定 h
AQ bl
Abs l 2
d L
h
AQ
b
切应力和挤压应力的强度校核
F M 1250 N 2D
(2)取单个螺栓为研究对象进行受力分析；
FS F 1250 N
F F
(3)校核螺栓的强度
FS FS 4 1250 4 MPa 15.9MP [ ] 2 A d 2 10
练习1、P＝100KN，螺栓的直径为D＝30毫米，许 用剪应力为[τ]＝60MPａ，校核螺栓的强度。 如果强度不够，设计螺栓的直径。
材料力学第5章剪切和挤压
第5章剪切和挤压5.1 剪切的概念和实例在工程实际中，为了将构件互相连接起来，通常要用到各种各样的连接。
例如图5-1中所示的（a）为拖车挂钩的销轴连接；（b）为桥梁结构中常用的钢板之间的铆钉连接；（c）为传动轴与齿轮之间的键块连接；（d）为两块钢板间的螺栓连接；（e）为构件中的搭接焊缝连接。
这些起连接作用的销轴，铆钉，键块，螺栓及焊缝等统称为连接件。
这些连接件的体积虽然比较小，但对于保证整个结构的牢固和安全却具有重要作用。
因此，对这类零件的受力和变形特点必须进行研究、分析和计算。
（a）（b）(c) (d)图5-1 工程中的连接现以螺栓连接为例来讨论剪切变形与剪切破坏现象。
设两块钢板用螺栓连接，如图5-2（a）所示。
当钢板受到横向外力N拉伸时，螺栓两侧面便受到由两块钢板传来的两组力P 的作用。
这两组力的特点是：与螺栓轴线垂直，大小相等，方向相反，作用线相距极近。
在这两组力的作用下，螺栓将在两力间的截面m-m处发生错动，这种变形形式称为剪切。
发生相对错动的截面称为剪切面，它与作用力方向平行。
若连接件只有一个剪切面，称为单剪切，若有两个剪切面，称为双剪切。
为了进一步说明剪切变形的特点，我们可以在剪切面处取出一矩形簿层来观察，发现在这两组力作用下，原来的矩形将歪斜成平行四边形，如图5-2b所示。
即矩形薄层发生了剪切变形。
若沿剪切面m-m截开，并取出如图5-2c所示的脱离体，根据静力平衡方程，则在受剪面m-m上必然存在一个与力P大小相等、方向相反的内力Q，此内力称为剪力。
若使推力P逐渐增大，则剪力也会不断增大。
当其剪应力达到材料的极限剪应力时，螺栓就会沿受剪面发生剪断破坏。
(a) (b) (c)图5-2 螺栓连接的剪切破坏5.2剪切和挤压的实用计算5.2.1剪切的实用计算受剪切的连接件一般大多为短粗杆，且剪切变形均发生在某一局部，要从理论上计算它们的工作应力往往非常复杂，有时甚至是不可能的。
即使用精确理论进行分析，所得结果也会与实际情况有较大的出入。
材料力学习题综合
剪切与挤压的实用计算判断剪切与挤压1、“挤压发生在局部表面，是连接件在接触面上的相互压紧；而压缩是发生在杆件的内部“答案此说法正确答疑构件在相互接触才发生挤压变形；而外力的合力作用下位于构件的轴线上时，构件发生压缩变形。
2、“两块钢板用两个铆钉连接形成接头，虽然两个铆钉的直径不同，但因塑性材料具有屈服阶段的特点，最终使两个铆钉趋于均衡。
因此，在计算铆接强度时，两个铆钉的受力仍可按平均分配“答案此说法错误答疑只有当铆钉的直径相同，且外力的作用线通过铆钉群的形心，铆钉的受力才可以按平均分配。
3、“剪断钢板时，所用外力使钢板产生的应力大于材料的屈服极限。
”答案此说法错误答疑钢板内产生的应力应大于材料的剪切强度极限才能将钢板剪断。
4、“对于圆柱形连接件的挤压强度问题，应该直接用受挤压的半圆柱面来计算挤压应力。
”答案此说法错误答疑计算圆柱连接件的挤压强度时，采用直径平面代替圆柱侧面。
选择剪切与挤压1、在轴、键、轮传动机构中，键埋入轴、轮的深度相等，若轮、键、轴三种材料的许用挤压应力分别为：[ζbs1]，[ζbs2]，[ζbs3]，三者之间的合理关系是。
A：[ζbs1]>[ζbs2]>[ζbs3] B：[ζbs1]<[ζbs2]<[ζbs3]C：[ζbs2]>[ζbs1]>[ζbs3] D：[ζbs1]=[ζbs2]=[ζbs3]答案正确选择：D答疑只有当三者许用挤压应力相等的情况下轴、键、轮传动机构才有足够的强度。
否则，总在许用压应力较小的构件上发生挤压破坏。
2、在平板与螺栓之间加一垫片，可以提高的强度。
A：螺栓拉伸；B：螺栓挤压；C：螺栓的剪切；D：平板的挤压；答案正确选择：D答疑加一垫片增大了平板的挤压面的面积，固可以提高平板的挤压强度。
螺栓的拉伸强度、剪切强度、挤压强度均没有发生变化。
3、在冲床上将钢板冲出直径为d的圆孔，冲力F与。
A：与直径d成正比；B：与直径d2成正比；C：与直径d3成正比；D：与直径d的平方根成正比答案正确选择：A 答疑将钢板冲出直径为d的圆孔时钢板的剪切面的面积为πdｔ，固冲力F与直径d成正比、方形销将两块等厚度的板连接在一起，上面的板中同时存在拉应力ζ、剪应力η、挤压应力ζbs，比较其数值大小可得：A：拉应力ζ最大； B：剪应力η最大； C：挤压应力ζbs最大； D：ζ=η=ζbs；答案正确选择：D答疑钢板的拉伸应力为ζ＝P/A=P/(2a-a)t=P/at ，剪应力为η=Q/A=P/2/(at/2)=P/at ，挤压应力为：ζbs=F/A bs=P/at（图示中：红线代表剪切面、蓝线代表挤压面。
材料力学-11剪切与挤压的实用计算
剪切形变量与剪切应力成正比，与粘度成反比。
挤压计算
挤压应力与挤压应变关系
挤压应力与挤压应变呈线性关 系，在弹性阶段内符合胡克定 律。
挤压力的计挤压变形的影响因素
挤压变形量与压缩应力成正比， 与孔隙度、含水量成反比。
实例与案例分析
1
剪切实用计算的典型案例
材料力学-11剪切与挤压 的实用计算
本次演示将会带您领略剪切与挤压在实际应用中的魅力，以及如何进行实用 计算来帮助您应对各种挑战。
什么是剪切与挤压
剪切
剪切是介观尺度固体内部原子、离子、分子或晶 粒的相对移动和相对方位发生改变。
挤压
挤压是在应力的作用下，物体中的一部分发生塑 性变形、位移甚至破裂的现象，类似于榨出橙汁 的过程。
通过实用计算，可以控 制加工程序，精通加工 参数，从而降低加工成 本。
3 提高工件质量
应用实用计算，可避免 很多由于生产生产原因 造成的工件质量问题。
剪切计算
1
剪切应力与剪切应变关系
剪切应力与剪切应变之比就是材料的剪切模量。
2
剪切力的计算方法和公式
剪切力等于剪切面积乘以剪切应力。
3
剪切形变的影响因素
2
针对人力运输车辆零部件制造中的剪
切，通过实用计算提高加工效率，降
低成本。
3
挤压实用计算的典型案例
以汽车制造中铝合金油泵挤压加工中 的计算为例，通过实用计算提高挤压 率和工件质量。
计算步骤和方法
实用计算的步骤和方法，需要根据具 体案例中的材质、工艺、尺寸等条件 进一步分析和论证。
剪切与挤压的应用领域
金属工艺
在金属冷加工、锻造和铸造过程中常用到剪切与挤压。
地质工程
材料力学第五章
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0
材料力学知识点总结
材料力学知识点总结材料力学是一门研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科，它是工程力学的重要组成部分，对于机械、土木、航空航天等工程领域都有着至关重要的作用。
以下是对材料力学主要知识点的总结。
一、拉伸与压缩拉伸和压缩是材料力学中最基本的受力形式。
在拉伸或压缩时，杆件横截面上的内力称为轴力。
轴力的正负规定为：拉伸时轴力为正，压缩时轴力为负。
通过实验可以得到材料在拉伸和压缩时的应力应变曲线。
低碳钢的拉伸应力应变曲线具有明显的四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形阶段。
弹性阶段内应力与应变成正比，遵循胡克定律；屈服阶段材料出现明显的塑性变形；强化阶段材料抵抗变形的能力增强；局部变形阶段试件在某一局部区域产生显著的收缩，直至断裂。
对于拉伸和压缩杆件，其横截面上的正应力计算公式为：＄＼sigma ＝＼frac{N}｛A}＄，其中$N$为轴力，＄A$为横截面面积。
而纵向变形量$＼Delta L$可以通过公式$＼Delta L ＝＼frac{NL}｛EA}＄计算，其中$E$为材料的弹性模量，＄L$为杆件长度。
二、剪切与挤压剪切是指在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面沿外力作用方向发生相对错动的变形。
在剪切面上的内力称为剪力。
剪切面上的平均切应力计算公式为：＄＼tau ＝＼frac{Q}｛A}＄，其中$Q$为剪力，＄A$为剪切面面积。
挤压是在连接件与被连接件之间，在接触面上相互压紧而产生的局部受压现象。
挤压面上的应力称为挤压应力，其计算公式为：＄＼sigma_{jy} ＝＼frac{F_{jy}｝｛A_{jy}｝＄，其中$F_{jy}＄为挤压力，＄A_{jy}＄为挤压面面积。
三、扭转扭转是指杆件受到一对大小相等、方向相反且作用面垂直于杆件轴线的力偶作用时，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动。
圆轴扭转时，横截面上的内力是扭矩。
扭矩的正负规定：右手螺旋法则，拇指指向截面外法线方向为正，反之为负。
材料力学(5)
A
Iz
∫ ∫∫ z dydz = ∫ y dA = ∫∫ z dydz
2 2 2 A
则分别定义为图形对 y 轴和 z 轴的惯性矩（也称为 二次矩） 惯性矩性质： 惯性矩性质：当一个平面图形是由若干个简单图 形组成时，可以先算出每一个简单图形对某一轴 的惯性矩，然后求其总和，即等于整个图形对同 一轴的惯性矩。
z o y x
5-1 梁纯弯曲时的正应力
正应力计算公式的使用条件和范围
正应力公式是在纯弯曲情况下导出的。但是按弹性力 学理论与工程实践表明：在有些情况下，横力弯曲的 正应力分布规律与纯弯曲的完全相同；在有些情况下 虽略有差异，但是当梁跨度与截面高度之比大于5时， 误差是非常小的。所以，该公式应用于横力弯曲的正 应力计算有足够的精度，完全可以应用于横力弯曲时 的正应力计算。 对于具有纵向对称截面的梁，包括不对称于中性轴的 截面（即无横向对称面，如T字型截面），正应力公式 都可以使用。 正应力公式不适用于非对称弯曲的情况。 当梁的材料不服从胡克定律时，正应力公式不适用。 正应力公式只适用于直梁。但可近似地用于曲率半径 较梁高大得多的曲梁。对变截面梁也可近似地应用。
平行移轴公式:截面对任一轴的惯性矩， 平行移轴公式 等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩， 加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
5-2 惯性矩计算
T字型截面对其形心轴(z轴)的惯性矩为：
I z = I zI + I zII
y
矩形Ⅰ和矩形Ⅱ对 z 轴的惯性矩 可以通过平行移轴公式写成如下形式：
z1
a
b
E
5-1 梁纯弯曲时的正应力
（三）静力学关系(续3)
Mz = ∫A yσdA = ML(e)
剪切和挤压实用计算
剪切和挤压实用计算剪切和挤压是材料力学中常见的载荷形式，广泛应用于工程实践中。
剪切是指在材料中施加垂直于表面的切力，而挤压是指在材料中施加平行于表面的压力。
在工程设计和材料选择过程中，必须对剪切和挤压的载荷进行合理的计算，以确保结构和材料的安全性和可靠性。
本文将介绍剪切和挤压的实用计算方法，并提供一些实际应用案例，以帮助读者更好地理解和应用这些计算方法。
一、剪切的实用计算1.剪切力的计算剪切力是指作用在材料上的垂直于断面的力，可通过以下公式进行计算：剪切力=剪切应力×断面积其中，剪切应力是材料上的剪切应力，可以通过以下公式进行计算：剪切应力=剪切力/断面积2.剪切应力的计算剪切应力是剪切力对应的应力，即单位面积上的剪切力。
对于不同的材料，剪切应力的计算方法略有不同。
对于均匀材料，可以使用以下公式计算剪切应力：剪切应力=剪切力/断面积对于层合材料，由于材料的不同层之间可能存在剪切位移，剪切应力的计算较为复杂。
通常使用剪切力与剪切位移之间的关系来计算剪切应力。
3.剪切应变的计算剪切应变是指材料在受到剪切应力作用时产生的变形。
剪切应变的计算可以使用以下公式：剪切应变=切变角/材料长度其中，切变角可以通过材料变形前后标记点的位移计算得到。
二、挤压的实用计算1.挤压压力的计算挤压压力是指作用在材料上的平行于表面的压力，可以通过以下公式进行计算：挤压压力=挤压应力×断面积其中，挤压应力是指单位面积上的挤压力，可以通过以下公式进行计算：挤压应力=挤压压力/断面积2.挤压应力的计算挤压应力是指挤压压力对应的应力，即单位面积上的挤压力。
对于不同的材料，挤压应力的计算方法略有不同。
对于均匀材料，可以使用以下公式计算挤压应力：挤压应力=挤压压力/断面积对于复杂的材料结构，可以将材料分解为多个小单元，分别计算其挤压应力，再根据应力平衡原理计算整个结构的挤压应力。
3.挤压应变的计算挤压应变是指材料在受到挤压应力作用时产生的变形。
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第5章剪切和挤压
5.1 剪切的概念和实例
在工程实际中，为了将构件互相连接起来，通常要用到各种各样的连接。
例如图5-1中所示的（a）为拖车挂钩的销轴连接；（b）为桥梁结构中常用的钢板之间的铆钉连接；（c）为传动轴与齿轮之间的键块连接；（d）为两块钢板间的螺栓连接；（e）为构件中的搭接焊缝连接。
这些起连接作用的销轴，铆钉，键块，螺栓及焊缝等统称为连接件。
这些连接件的体积虽然比较小，但对于保证整个结构的牢固和安全却具有重要作用。
因此，对这类零件的受力和变形特点必须进行研究、分析和计算。
（a）（b）
(c) (d)
图5-1 工程中的连接
现以螺栓连接为例来讨论剪切变形与剪切破坏现象。
设两块钢板用螺栓连接，如图5-2（a）所示。
当钢板受到横向外力N拉伸时，螺栓两侧面便受到由两块钢板传来的两组力P 的作用。
这两组力的特点是：与螺栓轴线垂直，大小相等，方向相反，作用线相距极近。
在这两组力的作用下，螺栓将在两力间的截面m-m处发生错动，这种变形形式称为剪切。
发生相对错动的截面称为剪切面，它与作用力方向平行。
若连接件只有一个剪切面，称为单剪切，若有两个剪切面，称为双剪切。
为了进一步说明剪切变形的特点，我们可以在剪切面处取出一矩形簿层来观察，发现在这两组力作用下，原来的矩形将歪斜成平行四边形，如图
5-2b所示。
即矩形薄层发生了剪切变形。
若沿剪切面m-m截开，并取出如图5-2c所示的脱离体，根据静力平衡方程，则在受剪面m-m上必然存在一个与力P大小相等、方向相反的
内力Q，此内力称为剪力。
若使推力P逐渐增大，则剪力也会不断增大。
当其剪应力达到
材料的极限剪应力时，螺栓就会沿受剪面发生剪断破坏。
(a) (b) (c)
图5-2 螺栓连接的剪切破坏
5.2剪切和挤压的实用计算
受剪切的连接件一般大多为短粗杆，且剪切变形均发生在某一局部，要从理论上计算它们的工作应力往往非常复杂，有时甚至是不可能的。
即使用精确理论进行分析，所得结果也会与实际情况有较大的出入。
因此为了简单有效，对于连接件的强度计算，通常使用实用计算法或称假定计算法。
所谓实用计算，一般包括两层含意：其一是假定连接件剪切面上的应力分布均等，从而算出截面上的平均剪应力，或称“名义剪应力”。
即
其中：τ—剪切面上的剪应力（MPa）；
Q—剪切面上的剪力（N）；
A—剪切面面积（m2）。
其二是用与受剪构件相同的材料制成试件，在试件与受剪构件受力尽可能相似的条件下进行
τ,将此直接剪切实验，用所得到的破坏荷载按照同样的名义应力公式算出材料的极限应力
b
极限应力除以适当的安全系数即得到材料的许用剪切应力[τ]。
这样求出的平均剪应力虽然只是近似地表达出材料的抗剪强度，但因工程实际中的受剪构件的受力情况与试件在实验中的受力情况极为相似，所以其计算结果是完全可以满足工程要求的。
由此可得出其剪切强度的条件为
τ =A
Q ≤[τ] 式中的[τ]是材料的许用切应力，它的具体数值可从有关设计规范中查找。
实验表明，许用剪应力[τ]与拉伸许用应力[σ]L 之间大约具有以下关系：对于塑性材料， [τ]=（0.6～0.8）[σ]L ；对于脆性材料， [τ]=（0.8～1.0）[σ]L 。
连接件在受到剪切的同时，往往还伴随着局部受压现象。
现仍以螺栓连接为例，当螺栓受到剪切的同时，在螺柱的半个圆柱面与钢板圆孔表面相接触的表面上也因承受压力而发生局部压缩变形。
若压力过大，就可能导致螺栓或钢板产生明显的局部塑性变形而被压溃。
这种局部接触面受压的现象称为挤压，受压的局部表面称为挤压面。
如图5-3所示为钢板孔壁受挤压破坏的情形：孔被挤压成为长圆孔，导致连接松动，使构件丧失工作能力。
同理，螺栓本身也有类似问题。
因此，对受剪构件除进行剪切强度计算外，还必须要进行挤压强度计算。
图5—3 螺栓连接的挤压破坏
挤压面上承受的总压力称为挤压力。
它们的压强称为挤压应力，其方向垂直于挤压面。
在通常情况下，挤压应力只局限于接触面的附近区域，其分布情况也是非常复杂的，它与连接件的几何形状及材料的性质有很大关系。
为简化计算，工程上亦采用实用计算法，即假设挤压力jy P 是均匀分布在挤压面jy A 上。
由此得出挤压面上的名义挤压应力为 其中，jy σ—挤压面上的挤压应力（MPa ）；
jy P —挤压面上的挤压力(N) ；
jy A —挤压面积（m 2）。
挤压面的计算面积jy A 为实际挤压面的正投影面的面积，其大小应根据接触面的具体情况而定。
对于图5-1所表示的键块连接，其接触面是平面，就以接触面的实际面积为挤压计算面积，故L h A jy ⨯=2
，即图5-4所示的阴影部分的面积；对于像螺栓、铆钉等一类圆柱形连接件，实际挤压面为半个圆柱面，挤压面的计算面积为接触面在直径平面上的投影面积，即图5-5所示的阴影部分的面积，故
dh A jy =,并假定挤压应力jy σ是均匀分布在这个直径投影平面上的。
图5-4 平面的挤压面积
图5-5 曲面的挤压面积
为了确定连接件的许用挤压应力，我们也是按照连接件的实际工作情况，通过实验来确定其半圆柱表面被压溃的挤压极限荷载，然后按照名义应力公式算出其在直径正投影面上的平均极限应力，再除以适当的安全系数，就得到连接件材料的许用挤压应力[σ]jy 。
由此可建立连接件的挤压强度条件为
σjy =jy jy
A P ≤[σ]j y ×
必须指出的是：如果两个接触构件的材料不同，[σ]jy 应按抗挤压能力较弱者选取。
各种常用材料的[σ]jy 可在有关设计规范中查得。
根据实验，对于塑性材料，许用挤压应力
[σ]jy 与材料许用拉应力[σ]L 有如下关系：
[σ]jy =(1.7～2) [σ]L
由于剪切和挤压同时存在，为保证连接件的强度，材料的剪切强度条件和挤压强度条件必须同时满足。
运用强度条件公式，可解决受剪构件的强度校核、截面设计、确定许可载荷三类强度计算问题。
5.2计算实例
例5-1 如图5-6表示齿轮用平键与轴连接在一起。
已知轴的直径=d 70mm ，键的尺寸为1001220⨯⨯=⨯⨯l h b mm ,传递的力偶矩M =2KN ,键的材料许用切应力
[τ]=60MPa ,许用挤压应力[]100=jy σMPa 。
试校核键的强度。
(a) (b) (c)
图5-6
解：1）校核键的剪切强度。
将平键沿剪切面m-m 假想地分成两部分，以键的下部分和轴一起为研究对象,如图5-6（b ）所示 。
因为假设在m-m 截面上剪应力均匀分布，故m-m 截面上的剪力Q 为
对轴心取矩，由平衡条件∑00=M ，得
故有
6.2870
1002020022=⨯⨯⨯==bld M τ MPa []60=<τMPa 可见平键满足剪切强度条件。
2）校核键的挤压强度。
将键的下半部分取出,如图5-6 (c ）所示，由剪切面上的剪力Q 与挤压面上的挤压力jy P 的平衡条件，可得
jy P Q = 即
由此求得
3.9512
6.282022=⨯⨯==h b jy τσ MPa []100=<jy σMPa 故平键也符合挤压强度要求。
例5-2 电瓶车挂钩用插销连接，如图5-7所示。
已知挂钩部分的钢板厚度8=δmm .。
插销的材料为20钢，其许用切应力[τ]=60MPa 许用挤压应力[σ]jy =100MPa ，又知电瓶车的拖力15=F KN 。
试选定插销的直径d 。
(a) (b) (c)
图5-7
解：1）先按剪切强度条件进行设计。
⑴求剪切面上的剪力。
插销有两个剪切面，按截面法将插销沿剪切面截开，见图5-7（c ）.以插销的中间段为研究对象，根据静力平衡条件可得每一剪切面上的剪力
5.72
==F Q KN ⑵求插销受剪切面的面积。
⑶求插销的直径。
根据[]τπτ≤==
42d Q A Q 得插销的直径。