线性代数-3向量代数平面直线

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称 M1 s
M2
（a,b） a b 为a与b的数量积 (点积，内积) .
五、向量的模、方向角、投影 模 r OM =xi y j zk
| r | x2 y2 z2 r OM =OP OQ OR | r | | OP |2 | OQ |2 | OR |2
两点间的距离 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
例3 如图:已知A 90o , 求AB, AC分别在BC上的投影.
C
45o
A
2
B
解 (1) Pr j AB | AB | cos135o 2
BC
(2) Pr j AC | AC | cos45o 2 BC
例4
解
m ＝５ ２
m ＝５ ２m０
又m０＝｛ ３ ，１ ，４ ｝ ５２ ２５２
故m 的三个方向余弦为
C
以i
,
j,
k 分别表示沿x,
z
y,
za轴正a向xi的 单a y位j 向 a量zk.
R
向向 向
• M2
量量 量
x
k M1•
o
P
j
i
Q
在
x
N
y
轴 上
的
ax x2 x1 投
在 y 轴 上 的 投
在z
轴 上 的 投
a y y2 y1 az z2 z1 影 影 影
M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
{cos, cos , cos }.
向量在轴上投影与坐标表示
(ⅰ)空间一点在轴上的投影
•A
过点A 作轴u的垂直
A
u
平面，交点A 即为点 A 在轴u 上的投影.
(ⅱ)空间一向量在轴上的投影
B A
A
u
B
已知向量的起点A 和终点B 在
轴u上的投影分别为 A, B那
么轴u 上的有向线段AB 的 值，称为向量在轴u 上的投影.
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
向量r OM称为点M关于原点O的向径 r OM =xi y j zk ( x, y, z)
M r OM =xi y j zk ( x, y, z) i (1,0,0); j (0,1,0);k (0,0,1)
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2 a y2 az2 0 时，
cos cos
ax
,
ax2 ay2 az2
ay
,
ax2 ay2 az2
cos
az
.
ax2 ay2 az2
方向余弦的特征
cos2 cos2 cos2 1
特殊地：单位向量的方向余弦为
a0 a
|a|
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标. 解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
1.向量积的定义
定义 向量a与b 的向量积
c
a
b
规定为
1)大(其小中：为c的a 与模b|
c || a ||
的夹角)
b
|
sin
向量积是一个向量
c ab
2)方 向：c 的方向 同时垂直于 a 和 b ，即垂直于 a , b 所决定的平 面, a , b 和a b 成右手系.
b
a
向量积也称为“叉积”、“外积”.
a
a
b
a
b
b
c
b
c
a
a
a b
(b) b
3.数乘
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0, (2) 0, (3) 0,
aa与a0同向，|
a
|
|
a
|
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a 2a
1 a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
1a a
(a) ( a) ()a
设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F 作用
于这杠杆上 P 点处．力 F 与 OP 的夹角为 ，
力 F 对支点 O 的力矩是一向量 M，它的模
F
| M || OQ | | F |
O
P
L
| OP | | F | sin
Q M 的方向: 垂直于OP与F 所在的平
面, 指向使OP、F与M 满足右手规则.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
方向角和方向余弦
非零向量 a的方向角： 、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
一、向量概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以 M 1为起点，M 2
向量的模： 向量的大小.
为终点的有向线段.
|
a
|
或
|M1M2|
单位向量：模长为1的向量.
a0
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
方向余弦
a
0
{cos ,cos ,cos }
回忆:
2.矢量表示方法
a
a
a0
axi ay j azk
单位矢量表示
坐标分解式(投影向 量表示)
ax , ay , az 坐标表示(投影表示)
a (cosi cosj cosk )
方向余弦表示
第三章
第二节
数量积 向量积 *混合积
（1(）i)两| 向a 量b的| 表向示量以积a的和几b何 为意邻义边:的平行四边形的面积 .
(3) 可加性
(4) 非负性 （ ,）| |2 0 （ ,） 0 0
4. 数量积的坐标表示
设 ax i ay j az k , bx i by j bz k ,
则 ( ax i ay j az k , bx i by j bz k )
( , ) axbx ayby azbz
(
(a
)a b)
a a
a b
定理1 两个向量 ，共线 存在不全为零的数，,使 0.
定理2：3个向量，， 共面 1 2 3 0 1，2，3不全为0.
推论：向量，不共线，但，， 共面， 则存在唯一的数k1, k2使 =k1 k2
三、空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向符 合右手系.
zR
M1•
P o
• M2
d M1M2 ?
Q 在直角M1 NM 2
N 及 直 角 M1PN
y
中， 理知
使用
勾股
定
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
CH3 向量代数、平面与直线
*** 向量及其线性运算 *** 数量积、向量积、混合积 *** 平面及其方程 *** 空间直线的方程
➢用代数的知识研究空间几何图形性质
*** 向量及其线性运算
*** 向量及其线性运算
向量概念 线性运算 空间直角坐标系 利用坐标进行向量线性运算 模，方向角和投影
W (F , s) F s
注1
b
在
a
上的投影为
b
记作 Pr ja b
故
a b a Pr ja b
同理,当 b 0 时,
注2
cos
ab
2. 性质
(1)（a, a）
(2) (a,b) 0
称
零向量和任意向量正交
a 0,b 0 则 ab 0
3. 运算律
(1) 交换性 (2) 齐次性
注 (1)两向量的夹角公式
当 为非零向量时, 由于
a b cos , 得
cos
axbx ayby azbz
ab
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
(2) axbx ayby azbz 0
例1
解:
(1)
已 求： 知 （ ((123)a） )aaa与 在 b(1;bb,1的 上 ,夹 4的),角 投 b； 影(1. ,2,2)
负向量：大小相等但方向相反的向量.
a
a
a
向量平行： 方向相同或相反的向量. / /
共线
注：零向量和任意向量平行.
共面：把3个及以上向量的起点放在同一个点，
如果终点和公共起点在一个平面上。则称它们 共面。
思考：平面向量的位置关系有几种？
二、线性运算
1. 加法：ab源自c（平行四边形法则）
三角形法则
四、利用坐标进行向量的线性运算
(x1, y1, z1), ( x2, y2, z2), ( x1 x2)i ( y1 y2) j (z1 z2)k
x1i y1 j z1k
由坐标的唯一性有：
( x1 x2, y1 y2, z1 z2)
( x1, y1,z1)
z
0 ,
• M2
M1•
0 , 0 .
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
ax ay az
| a
|
a
| a
| | |
cos cos cos
向 量 的 方 向
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
余 弦
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2
| a |
ax2 a y2 az2 向量模长的坐标表示式
111 (2) (4) 2 9
(2)
cos
axbx ayby azbz
ab
ax2 a2y az2 bx2 by2 bz2
1 2
3
4
例1
已知a
(1,1,4),b
(1,2,2)
求：（3）a在b上的投影 .
(3) Pr j a a b 3
b
b
例2 利用向量证明三角形的余弦定理
３ ，１ ，４ ． ５２ ２５２
例p 5
5i设 mj 43ki，求5 j向量8ka，
n4m
2i3n4j p在7kx，轴
上的投影及在 y 轴上的分向量.
解
a
4m
3n
p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
多边形法则
b
c
c
a b
a
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3） a 0 .
（4）
a
(a)
0.
2. 减法
a
b
a
(b)
b
向量AB在轴u 上的投影记为 Pr ju AB AB.
(ⅲ)关于向量的投影定理（1）
向量 AB在轴u上的投影等于向量的模乘
以轴与向量的夹角的余弦：Pr ju AB | AB | cos
证
A B B
A
B
Pr ju AB Pr ju AB
u
u
| AB | cos
定理1的说明：
(1)
0 ,
2
投影为正；
(2)
2
,
投影为负；
(3) ,
2
投影为零；
c
a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
(ⅳ)关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量
在该轴上的投影之和.（可推广到有限多个）
Pr
j(a1
a2 )
Pr
ja1
Pr
ja2 .
Pr ja Pr ja .
A
a1
B
a2
C
u
A
B
在x 轴上的投影为ax
13,
在 y 轴上的分向量为7 j .
小结:
a
a
a0
单位矢量表示
axi ay j azk
坐标分解式(投影向 量表示)
ax , ay , az 坐标表示(投影表示)
a (cosi cosj cosk )
方向余弦表示
回忆: 1.两个新概念
向量在轴上投影 Pr jb a
c2 a2 b2 2ab cos .
证
由于
c
a
b
,
c
2
cc
(a b) (a b)
b
a
c
a a b b 2a b
a
2
b
2
2a
b
cos
，
c2 a2 b2 2ab cos .
二、两向量的向量积 (VECTOR PRODUCT)
先研究物体转动时产生的力矩