专题六 第二讲 战考场

一、选择题
1．(2011·合肥模拟)某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽取2道题，当2道题都是理科题时获奖，则获奖的概率为( )
A.925
B.625
C.3
10
D.12
解析：从5道题中抽取2道有A 25种抽法，都是理科题有
A 2
3种抽法，故所求概率为A 23A 25
＝
310
. 答案：C
2．[理](2011·东北三校)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，a 、b 、c ∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )
A.1
48 B.124 C.1
12
D.16
解析：依题意得3a ＋2b ＋0×c ＝1，∵a >0，b >0， ∴3a ＋2b ≥26ab ，即26ab ≤1，∴ab ≤124
. 答案：B
[文] (2011·郑州质量检测)一个盒子内部有如图所示的六个小格
子，现有桔子、苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机地放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是( )
A.2
15 B.29 C.15
D.13
解析：依题意，将这六个不同的水果分别放入这六个格子里，每个格子放入一个，共有A 66＝720种不同的放法，其中满足放好之后每行、每列的水果种类各不相同的放法共有
96种(此类放法进行分步计数：第一步，确定第一行的两个格子的水果放法，共有C 23·C 12·C 12·A 22＝24种放法；第二步，确定第二行的两个格子的水果放法，有C 12·C 12＝4种放法，剩余的两
个水果放入第三行的两个格子)，因此所求的概率等于96720＝2
15
.
答案：A
3．[理](2011·广州模拟)设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )
A.73
B.53 C ．5
D ．3
解析：∵ξ～N (3,4)，P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)， ∴2a －3与a ＋2关于μ＝3对称， ∴
2a －3＋a ＋22＝3，解得a ＝7
3
. 答案：A
[文](2011·重庆高考)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4
D ．0.5
解析：依题意得，样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为4
10＝0.4.
答案：C
4．(2011·陕西高考)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )
A.1
36 B.19 C.5
36
D.16
解析：若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率值为16
.
答案：D 二、填空题
5．(2011·重庆高考)将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
解析：依题意得所求的概率为
C 46(12)6＋C 56(12)6＋C 66·(12)6＝1132. 答案：
11
32
6．已知函数f (x )＝6x －4(x ＝1,2,3,4,5,6)的值域为集合A ，函数g (x )＝2x －
1(x ＝1,2,3,4,5,6)的值域为集合B ，任意x ∈A ∪B ，则x ∈A ∩B 的概率是________．
解析：根据已知条件可得A ＝{2,8,14,20,26,32}， B ＝{1,2,4,8,16,32}．
∴A ∪B ＝{1,2,4,8,14,16,20,26,32}，A ∩B ＝{2,8,32}． 所以任取x ∈A ∪B ，则x ∈A ∩B 的概率是39＝13.
答案：1
3
7．(2011·江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.
解析：5个数据的平均数x －＝10＋6＋8＋5＋65＝7，所以s 2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋
(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.
答案：3.2 三、解答题
8．[理]有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5.若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面．
(1)求恰好有两个面需要维修的概率； (2)求至少三个面需要更换的概率． 解：(1)因为一个面不需要维修的概率为
P 5(3)＋P 5(4)＋P 5(5)＝C 35＋C 45＋C 5
5
25
＝12
， 所以一个面需要维修的概率为1
2.因此，六个面中恰好有两个面需要维修的概率为P 6(2)
＝C 26
26＝1564
. (2)设需要更换的面为ξ个， 则ξ～B (6，1
2
)，
又P 6(0)＝C 0626＝164，P 6(1)＝C 16
26＝332，P 6(2)＝C 2
626＝1564
，
故至少有三个面需要更换的概率是
1－P 6(0)－P 6(1)－P 6(2) ＝1－164－332－1564
＝2132
. 至少三个面需要更换的概率是21
32
.
[文](2011·全国大纲卷)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；
D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ， P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8. (2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，
P (E )＝C 13×0.2×0.82＝0.384.
9．[理]某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知这个技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为23，被乙小组攻克的概率为34
.
(1)设ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，求ξ的分布列及Eξ；
(2)设η为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数f (x )＝⎪⎪⎪
⎪η－7
2x 在定义域内单调递减”为事件C ，求事件C 的概率． 解：记“甲攻关小组获奖”为事件A ，则P (A )＝2
3，记“乙攻关小组获奖”为事件B ，
则P (B )＝3
4
.
(1)由题意，ξ的所有可能取值为0,1,2， P (ξ＝0)＝P (A ·B )＝(1－23)×(1－34)＝1
12
，
P (ξ＝1)＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝(1－23)×34＋23×(1－34)＝5
12
，
P (ξ＝2)＝P (A ·B )＝23×34＝1
2，
∴ξ的分布列为
Eξ＝0×112＋1×512＋2×12＝17
12
.
(2)∵获奖攻关小组数的可能取值为0、1、2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为2、1、0，
∴η的可能取值为0、4.
当η＝0时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪η－72x ＝(7
2)x ， 在定义域内是增函数；
当η＝4时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪η－72x ＝(12)x ， 在定义域内是减函数，
∴P (C )＝P (η＝4)＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝12＋1
12
＝712
. [文]有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5.若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面．
(1)求恰好有两个面需要维修的概率； (2)求至少三个面需要更换的概率．
解：(1)因为一个面不需要维修的概率为P 5(3)＋P 5(4)＋P 5(5)＝C 35＋C 45＋C 5
5
25
＝12
， 所以一个面需要维修的概率为1
2.因此，六个面中恰好有两个面需要维修的概率为P 6(2)
＝C 26
26＝1564
. (2)P 6(0)＝C 0626＝164，P 6(1)＝C 1626＝332，P 6(2)＝C 26
26＝1564，
故至少有三个面需要更换的概率是 1－P 6(0)－P 6(1)－P 6(2) ＝1－164－332－15
64
＝2132
. 至少三个面需要更换的概率是
2132
. 10．[理]某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T (单位：年)有关．若T ≤1，则销售利润为0元；若1＜T ≤3，则销售利润为100元；若T ＞3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T ≤1,1＜T ≤3及T ＞3这三种情况发生的概率分别为p 1，p 2，p 3，又知p 1，p 2是方程25x 2－15x ＋a ＝0的两个根，且p 2＝p 3.
(1)求p 1，p 2，p 3的值；
(2)记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列； (3)求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值． 解：(1)由已知得p 1＋p 2＋p 3＝1. ∵p 2＝p 3，∴p 1＋2p 2＝1.
p 1，p 2是方程25x 2－15x ＋a ＝0的两个根， ∴p 1＋p 2＝35.∴p 1＝15，p 2＝p 3＝25.
(2)ξ的可能取值为0,100,200,300,400. p (ξ＝0)＝15×15＝1
25，
p (ξ＝100)＝2×15×25＝4
25，
p (ξ＝200)＝2×15×25＋25×25＝8
25，
p (ξ＝300)＝2×25×25＝8
25，
p (ξ＝400)＝25×25＝4
25.
随机变量ξ的分布列为
(3)销售利润总和的平均值为
Eξ＝0×125＋100×425＋200×825＋300×825＋400×4
25＝240.
∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元．
[文]每进行一次游戏，赢的话可领取1 000元，输的话则要罚300元，在这种游戏中某
人赢的概率是13，输的概率是2
3
，如果这个人连续8次进行这种游戏．
(1)在这8次游戏中，求赢了多少次才能保证在扣除罚款后至少可得6 000元； (2)试求在这8次游戏中，扣除罚款后至少可得到6 000元的概率． 解：(1)设在这8次游戏中赢了x 次，则输了8－x 次， 依题意1 000x －300(8－x )≥6 000，x ≥66
13，
故x ＝7或8，
因此在这8次游戏中赢7次或8次，才能保证在扣除罚款后至少可得6 000元． (2)在这8次游戏中，至少要赢7次，才能使扣除罚款后至少可得到6 000元，即必须在这8次游戏中赢7次或8次，
由于这两个事件互不相容，因此所求的概率为 P ＝C 88(13)8
＋C 78(13)7(23)1＝176 561
.。