最新复合函数的单调性专题讲座PPT课件

复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。
其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域；
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；
(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是 增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)] 为增函数；
解：函f数 (x)的定义域R。 是 令 ux2x6 x1 21,3 则 y3 u 2 2
y 3u在定义域内是增函数。
又 ux1 2212在 3 ,1 2上是减1 2 函 , 上 数是 ，增 在
y3x2x6在 ,1 2上是减函 1 2,数 上， 是在 增函数
y3x2x6的单调递减区 ， 间 12。 为
.
[5/4,3]
类型2：外层函数为指数函数的复合函数
解 ： 例 3 x .求 2 函 4 数 x y3 1 2 0 , 即 x24 xx 23的 单 4x调 递 3减 区 0间 , 。 1x3
即 函 数 的 定 义 域 为 1 ,3
令 u x24x3,则 y1 2u,
y
1
u
在定义域内是减函数。
例 3 . 求 函 数 y 3 x 2 2 x 6 的 单 调 区 间 。
解：函f数 (x)的定义域R。 是
令 u x 2 2 x 6 x 1 2 7 ,则 y 3 u
y 3u在定义域内是增函数。
又 u x 1 2 7 在 ,1 上是减 1 ,上 函是 数增 ，
y3x2 2x 6在 ,1 上是减 1 ,函 上 数 是， 增在 函
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增 函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)] 为减函数。
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
例 2 ： 求 函 数 f(x ) 11 9 x 2 的 单 调 区 间 。 2
解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3 当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小 当0<x≤1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大 ∴函数的单调区间是 [-1/3，0]，[0，1/ห้องสมุดไป่ตู้]。
令 ux22-x 3,则 yu
y u在 ［ 0， ＋ ） 为 增 函 数 ， 而ux22x-3在 （－ ， － 3］ 为 减 函 数 在 ［ 1， ＋ ） 上 为 增 函 数
函 数 y x 2 2 x -3 的 单 调 递 增 区 间 为 ［ 1 ， ＋ ） ， 单 调 递 减 区 间 为 （ － ， － 3 ］
（5）、已知函数 f(x)2x24ax2在（1，4）上是减函数，
求实数a的取值。
类型3：外层函数为对数函数的复合函数
例 4 . 求 f ( x ) l o g x 2 4 x 3 的 单 调 区 间 。 0 . 4 解 ： x 2 4 x 3 0
1 x 3 ,即 定 义 域 为 1 ,3
内函数
以x为自变量
则 y=f(u)
外函数
以u为自变量
y=f[g(x)] 原函数
以x为自变量
类型1：外层函数为幂函数的复合函数
例 1 、 求 函 数 y x 2 2 x - 3 的 单 调 区 间 。
解 x 2 ： 2-3 x0 x-， 3x 或 1
函数的定 ， 义 3］ － ［ 域 1 ， 为 ＋ ） （
故 函 数 y x 2 4 x 3 的 单 调 递 减 区 间 为 2 ,3 。
(问：函y数 x24x3的单调递增区间？是）什么
变式练习
（1）、y= x2 6x5的单调减区间为 (-∞,1]， 单调增区间为 [5,+∞.)
（2）、y= -2x2 5x3的增区间为[-1/2,5/4] ，
间区间为
y 3 x 2 2 x 6 的 单 调 递 增 区 间 为 1 ， +
y3x22x6的单调递减 区 ， 1 间为
变式练习
（ 3 ） 、 求 函 数 y 2 x 2 2 x 的 单 调 递 减 区 间 .
（ 4 ） 、 求 函 数 y (1 )x 2 2 x 的 单 调 递 增 区 间 . 2
令 u x 2 4 x 3 x 2 2 1 ,
故 单 调 递 增 区 间 为 1 , 2 ， 单 调 递 减 区 间 为 2 , 3
0 0 .4 1 ylog0.4t是减区间。
f(x ) lo g x2 4 x 3的 单 调 递 增 区 间 为 2 ,3 , 0 .4
单 调 递 减 区 间 为 1 ,2 。
拓 展 1 ： 判 断 函 数 f ( x ) l o g x 2 4 x 3 的 单 调 性 。 2
拓 展 2 ： 判 断 函 数 f ( x ) l o g x 2 4 x 3 的 单 调 性 。 a
拓3 ： 展求 yl函 o6 g 数 xx2的单调 2
2
又 ux24x3x221 在 1 ,2上 是 增 函 数 ，
在 2 ， 3上 是 减 函 数 。 y1 2x24x3的 单 调 递 减 区 间 为 1,2。
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定 义域，在定义域范围内求函数的单调性。
练 习 2 ： 求 函 数 y 3 x 2 x 6 的 单 调 递 减 区 间 。
复合函数的单调性专题讲座
复合函数的概念的 如果y是定u义的：函数,u又是x的函数， 即ｙ=f(ｕ) ,ｕ=g(ｘ),那么ｙ 关于ｘ的函数ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］ 叫做函数y=f(ｕ)和u=g(x)的复 合函数，u叫做中间变量，x叫自 变量，y叫函数值。
复合函数的结构
复合函数： y=f[g(x)]
令 u=g(x)
练习 1.求函y数 x2 4x3的单调递减区间。 解 ：x2 4x30，即 x2 4x30，
1x3，即函数的定 1,3。 义域为
令 ux24x3，y故 u，
y u是定义域内是增 的函 单数 调。 递
又 u x 2 2 1 在 2 ,3 上 是 减 函 数 。
y x 2 4 x 3 在 2 ,3 上 是 减 函 数 。