第二节偏导数与全微分

,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0.
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
注：Z=f(x,y)的偏导数存在与连续性没有必然的联系
性质 z f (x, y)在（x0, y0)处关于x(或y)的偏导数 存在，则f (x, y0 )(或f (x0, y))在x x0(或y y0)处连续。
y0
y
lim 0 0 y0 y
0
f (x,y)在（0，0）偏导数存在
(
x
lim
,y )(0,0)
x
2
xy y
2
不存在，
f
(x,
y
)在(0,0)不连续
(３)、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
且函数z f ( x, y)在点( x, y)的全微分为 dz z x z y ． x y
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在
微分存在． 全微分存在．
说明：1)多元函数的各偏导数存在并不能保证 全 微分存在;
2)不连续一定不可微
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x
的偏导数，记为
z x
(
x
0
,
y0
，
)
f x
(
x0
,
y0
)
，
z
x
(
x0
,
y0
)
或
f
x
(
x0
,
y0
)
.
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对 y
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
zБайду номын сангаас
' y
cos(x
y )e xy
sin(x
y)exyx (将x看成常数）
z
' y
(1,1)
e1
解2： z(x,1) sin(x 1)ex
dz(x,1) cos(x 1)ex sin(x 1)ex dx
z
' x
(1,1)
cos(x 1)ex
sin(x 1)ex
x1
e1
例2：f (x, y) x2 ( y 1) arcsin
y0
y
记为 z y
(
x0
,
y0
)
，f y
( x0
,
y0
)
，z
y
(
x0
,
y0
)
或
f y ( x0 , y0 ).
如果函数z f ( x, y)在区域D 内任一点
( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量x 的偏导数，
记作z x
z Ax By o( )，其中A, B 不依赖于 x,y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
则称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By 称为函数z f ( x , y ) 在点( x, y) 的 全微分，记为dz ，即 dz = Ax By .
(2)偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有 增量x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
f (x x, y y) f (x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y 的全增 量，记为z ， 即 z = f (x x, y y) f (x, y)
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
由对称性知r y , r z y r z r
xy
例5：讨论f
(x,
y)
x2
y2
x2
y2
0 在（0，0）点的偏导数
0
x2 y2＝0
与连续性之间关系。
解：f
' x
(0,0)
lim
x0
f
(x,0) x
f
(0,0)
lim 0 0 0 x0 x
f
' y
(0,0)
lim f (0,y) f (0,0)
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f (x, y)对自变量 y 的
偏导数，记作 z y
，f y
，z
y
或
f
y
(
x,
y)
.
例1：求z sin(x y)exy在（1，－1）处的偏导数
解1：z
' x
cos(x
y)exy
sin(x
y)exy y
(将y看成常数）
z
' x
(1,1)
e 1
第三节 偏导数与全微分
• 偏导数 • 全微分 • 可微与偏导数存在之间的关系
一.偏导数
（1）偏增量 xz f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 );
y z f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
全增量 z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y)y
二元函数
对x 和对y 的偏增量
二元函数
对x 和对y 的偏微分
全增量的概念
如果函数 z f ( x, y)在点 P( x, y) 的某邻域 内有定义，并设 P( x x, y y)为这邻域内
的任意一点，则称这两点的函数值之差
y x
,求f
x
'
(2,1)
解：f (x,1) x2
f
' x
(2,1)
2x
x2
4
例3：z x y (x 0, x 1，y R），求 z , z x y
解：z yx y1 x
z xy ln x y
例4：求r x2 y2 z2的偏导数。
解： r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
按某一方向连续
(4)、偏导数的几何意义
设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
全微分
一、全微分的定义 二、可微的条件 三、小结
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y) f ( x, y) fx ( x, y)x
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
二、可微的条件
定理 1（必要条件） 如果函数z f ( x, y)在点( x, y)
可微分，则 (1) f ( x, y)在点( x, y)处连续 ;
(2)z f ( x, y)在点( x, y)处的 偏导数z 、z 必存在， x y