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数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社
数学分析第四版十二讲课件高等教育出版社1五、Γ函数与B函数Γ函数与B函数是含参变量的反常积分所定义的非初等函数，它们在数学、物理、经济中有广泛的应用．（一）Γ函数（Gamma函数）函数10()某某ed某αα+∞--Γ=称为Γ函数．由§12.2例7（书中P270）知，()αΓ的定义域为0α>．1．()αΓ在区间(0,)+∞连续．事实上，1`111001()某某某某ed某某ed某某ed某αααα+∞+∞------Γ==+．12(0,),,ααα∈+∞使120ααα<≤≤．111(0,1],某某某某e某eαα----∈≤；211[1,),某某某某e某eαα----∈+∞≤．已知瑕积分111100某某ed某αα--<（）与无穷积分211某某ed某α+∞--都收敛，由M判别法知，无穷积分10某某ed某α+∞--在区间12[,]αα一致收敛，而被积函数1某某eα--在区域12(0,)D某ααα<<+∞≤≤连续，根据本节定理9，Γ函数在12[,]αα连续，于是，Γ函数在点α连续，从而在(0,)+∞连续．2．Γ函数在(0,)+∞内可导．用与上述相似的方法可证明Γ函数在(0,)+∞内可导，且10()ln(0)某某e某d某ααα+∞--'Γ=>．3．递推公式：0,α>有(1)()αααΓ+=Γ．0α>，有10000(1)()某某某某某ed某某de某e某ed某αααααααα+∞+∞+∞---+∞--Γ+==-=-+=Γ．设1,nnnNα+<≤+∈，逐次应用递推公式，有(1)()(1)(1)(1)()()nnααααααααααΓ+=Γ=-Γ-==--Γ-，而01nα<-≤．由此可见，只要知道Γ函数在1](0，的函数值，由递推公式就能计算任意正数α的函数值()αΓ．在数学手册（人民教育出版社，1979版）中给2出的是[1,2)上的Γ函数的值．例12(3.65)2.651.65(1.65)Γ=Γ，查表知，(1.65)0.9001Γ=，带入上式，得(3.65)2.651.65(1.65)2.651.650.90013.9357Γ=Γ=≈．若求(0.65)Γ，则(1.65)0.9001(1.65)0.65(0.65),(0.65)1.38480.650.65ΓΓ=ΓΓ==≈．当,nnNα+=∈，有(1)()(1)(1)(1)1(1)!nnnnnnnnnΓ+=Γ=-Γ-==-Γ=，即0(1)!n某nn某ed某+∞-Γ+==．（二）B函数函数1110(,)(1)pqpq某某d某--B=-称为B函数．已知(,)pqB的定义域为(0,0)Dpq<<+∞<<+∞（见§12．2中例8，P271）。
工科数学分析12
a
,则
a
0(或
a
0).
证明： 设 {xn} 从第 N1 项起, xn 0 ，反证法
若
lim
n
xn
a
0，
由定理 th.4,N2 0,当 n N2 时,有 xn 0
取 N max{ N1, N2 }，当 n N 时,矛盾!
a 0.
4. 子列收敛性 定理4 收敛数列的任意子列也收敛，且极限相同.
2
2
因此要使 n 1 n(n 1) 2，
2
就有 取N
n (1 )n
max{ 2,[1
n1
2
2
]}，当
2
2
n
N
时,|
n
n
1 |
即 lim n n 1. n
三. 数列极限的性质
1. 唯一性
定理1. 收敛数列的极限是唯一的, 即
若
lim
n
xn
a，又
lim
n
xn
b，则 a
b。
证明：设 a b，不妨设 a b，取 b a ,
2. N 与任意给定的正数 有关;
3. N 刻划了 n 充分大的程度.
极限的 N 定义 :
lim
n
xn
a
0,
N
0,使
n
N
时, 恒有
xn
a
.
几何解释:
a 2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当 n N 时, 所有的点 xn 都落在 (a , a )内,
只有有限个(至多只有 N 个)落在其外.
1.4, 1.41, 1.414,
定义2. 在数列 { xn }中，保持原有顺序，从左到右任 取其中无穷项构成新的序列，称为 {xn}的子 序列，记作 { xnk }.
数学分析12-1
1 1 1 1 1 1 1 1 ) = (1 − ) + ( − ) + L + ( − 2 3 2 3 5 2 2n − 1 2n + 1
1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 ) ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1
1 = , 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
第十二章
数项级数
§1 级数的收敛性
一 问题的提出
有限个实数相加是实数，无限个实数相加会 有限个实数相加是实数， 是什么结果？ 是什么结果？ 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 将每天取下的长度“ 将每天取下的长度“加”起来： 起来：
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
——无限个数相加！ 无限个数相加！ 无限个数相加 直观上感觉结果（ 直观上感觉结果（和）应该是1。 应该是 。 再如： 再如： 如果 如果
1−1+1−1+1−1+L
（ 1 − 1 ） 1 − 1 ） 1 − 1） L （ + + + （ 结果是0。 结果是 。 结果是1。 结果是 。
1
1 收敛。 例6 证明级数 ∑ 2 收敛。 n =1 n
∞
证
| um +1 + um + 2 + L + um + p |
1 1 1 L+ = 2 + 2 + 2 ( m + 1) ( m + 2) (m + p) 1 1 1 < + +L+ m ( m + 1) ( m + 1)( m + 2) ( m + p − 1)( m + p ) 1 1 1 1 1 1 = − + − +L+ − m m +1 m +1 m + 2 m + p−1 m + p 1 1 1 = − → 0, ( m → ∞ ) < m m+ p m
1 1 ), = (1 − 2 2n + 1
1 1 ) ∴ lim sn = lim (1 − n→ ∞ n→ ∞ 2 2n + 1
1 = , 2
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
第十二章
数项级数
§1 级数的收敛性
一 问题的提出
有限个实数相加是实数，无限个实数相加会 有限个实数相加是实数， 是什么结果？ 是什么结果？ 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 一尺之棰，日取其半，万世不竭。 将每天取下的长度“ 将每天取下的长度“加”起来： 起来：
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
1 1 1 1 + 2 + 3 +L+ n +L 2 2 2 2
——无限个数相加！ 无限个数相加！ 无限个数相加 直观上感觉结果（ 直观上感觉结果（和）应该是1。 应该是 。 再如： 再如： 如果 如果
1−1+1−1+1−1+L
（ 1 − 1 ） 1 − 1 ） 1 − 1） L （ + + + （ 结果是0。 结果是 。 结果是1。 结果是 。
1
1 收敛。 例6 证明级数 ∑ 2 收敛。 n =1 n
∞
证
| um +1 + um + 2 + L + um + p |
1 1 1 L+ = 2 + 2 + 2 ( m + 1) ( m + 2) (m + p) 1 1 1 < + +L+ m ( m + 1) ( m + 1)( m + 2) ( m + p − 1)( m + p ) 1 1 1 1 1 1 = − + − +L+ − m m +1 m +1 m + 2 m + p−1 m + p 1 1 1 = − → 0, ( m → ∞ ) < m m+ p m
大学数学分析ppt课件
世界上最好的课堂在老人的脚下.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
➢注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
目 录 （上册）
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
第二章 数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切h,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
§1 微分中值定理 §2 L’Hospital法则 §3 Taylor公式和插值多项式 §4 函数的Taylor公式及其应用 §5 应用举例 §6 方程的近似求解
第六章 不定积分
§1 不定积分的概念和运算法则 §2 换元积分法和分部积分法 §3 有理函数的不定积分及其应用
目 录 （上册）
第七章 定积分
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
➢通过严格的训练，具备熟练的运算能力与技巧；
➢注重微积分的应用，掌握数学模型的思想与方法， 提高应用微积分这一有力的数学工具分析问题、解 决问题的能力。
目 录 （上册）
第一章 集合与映射
§1 集合 §2 映射与函数
第二章 数列极限
§1 实数系的连续性 §2 数列极限 §3 无穷大量 §4 收敛准则
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切h,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
数学分析课件
长度的计算
利用定积分可以计算曲线的长度，以及物体的周长。
06
高阶导数与高阶积分
高阶导数的计算与性质
高阶导数的计算方法
定义法：根据导数的定义，对函数进行多次求 导，适用于简单的函数。
莱布尼茨法则：利用已知的导数公式，通过递 推关系计算高阶导数，适用于较复杂的函数。
高阶导数的计算与性质
线性性质：若$f(x)$和$g(x)$的$n$阶导数存在 ，则$(a f+b g)^{(n)}=a f^{(n)}+b g^{(n)}$ 。
数学分析课件
目录
• 数学分析概述 • 数学分析的基本性质 • 极限理论及其应用 • 微分学及其应用 • 定积分及其应用 • 高阶导数与高阶积分 • 数学分析中的重要定理与问题
01
数学分析概述
定义与意义
定义
数学分析是研究函数、序列、极限、 微积分等概念与方法的分支，是数学 的基础学科。
意义
数学分析在数学领域中占据重要地位 ，为其他数学分支提供基础理论和工 具，也是许多实际应用领域的基础。
THANKS。
积分的基本性质
积分具有可加性、可减性、可乘性和可除性 。
积分的基本公式
积分的基本公式包括求导公式、微分公式、 乘积公式、幂函数公式等。
积分的方法
积分的方法包括换元法、分部积分法、有理 函数积分法等。
积分的应用：面积、体积、长度
面积的计算
利用定积分可以计算曲线下面积，以及平面图 形面积。
体积的计算
利用定积分可以计算旋转体的体积，以及立体 的体积。
分区求和法：将积分区间划分为若干小区间，在每个小 区间上应用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，再求和得到 总积分值。
最新数学分析课件华东师大版12PPT课件
3 A、B不乱.设 aA ，bB 因a不是E的上界，
x1 (0 ,1 ), y1 E ,yM 1M
M 1
x
由无界集定义，E 为无界集。
2❖确定界义: E R, 数M若满足
❖ 1）M是E的上界
2）M是 任一上界，必有 MM则称M是
E的最小上界或上确界，记 作 MsupE
或 M supx 。
xE
❖ 命题1 MsupE 的充要条件 1）M 是E上界，
，则不妨设
supA xA 有 x
supA 对 ， x0 A
使 x0 ，矛盾。
3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原
集合. 以例1⑵为例做解释.
❖ 4.确界与最值的关系: 设 E为数集.
❖
⑴ E 的最值必属于E, 但确界未必,
确界是一种临界点.
❖
⑵ 非空有界数集必有确界(见下面
的确界原理), 但未必有最值.
❖ 证 y B, y 是A的上界,suA py.
❖ supA 是B的下界, suApinBf.
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A , y B 有 xy.
证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且 suApinBf.
证: 由假设,数集B中任一数 y都是数集A的上界, A中任一数 x都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界. yB, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
❖ 2）m ' 是E的任意下界，必有m'm .
❖ 则称m为E的下确界或最大下界。记作：infE 或 inf x .
x E
❖ 命题2 m= infE 的 充要条件
1）m是E的下 界，
2）0,xE 使得 x＜/ m .
x1 (0 ,1 ), y1 E ,yM 1M
M 1
x
由无界集定义，E 为无界集。
2❖确定界义: E R, 数M若满足
❖ 1）M是E的上界
2）M是 任一上界，必有 MM则称M是
E的最小上界或上确界，记 作 MsupE
或 M supx 。
xE
❖ 命题1 MsupE 的充要条件 1）M 是E上界，
，则不妨设
supA xA 有 x
supA 对 ， x0 A
使 x0 ，矛盾。
3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原
集合. 以例1⑵为例做解释.
❖ 4.确界与最值的关系: 设 E为数集.
❖
⑴ E 的最值必属于E, 但确界未必,
确界是一种临界点.
❖
⑵ 非空有界数集必有确界(见下面
的确界原理), 但未必有最值.
❖ 证 y B, y 是A的上界,suA py.
❖ supA 是B的下界, suApinBf.
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A , y B 有 xy.
证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且 suApinBf.
证: 由假设,数集B中任一数 y都是数集A的上界, A中任一数 x都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界. yB, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
❖ 2）m ' 是E的任意下界，必有m'm .
❖ 则称m为E的下确界或最大下界。记作：infE 或 inf x .
x E
❖ 命题2 m= infE 的 充要条件
1）m是E的下 界，
2）0,xE 使得 x＜/ m .
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
数学分析课件
算一些复杂的极限表达式。
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
数学分析课件华东师大版
202X-01-04
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
《数学分析》课件 12-4收敛定理的证明
第十二章 习题课
傅里叶级数
(1).三角函数系
1正,co交s 性x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
任意两个不同函数在[, ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
(其中n 1,2,)
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
mn mn
f
(x)
a0 2
n1
an
cos nx
(0 x )
(6) 周期为2l 的周期函数的傅氏展开式
设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理 的条件,则它的傅里叶级数展开式为
f
(
x)
a0 2
n1
(an
cos
nx l
bn
sin
nx ), l
an
1 l
l l
f ( x)cos nxdx, l
(n 0,1,2,)
bn
1 l
l l
f ( x)sin nxdx, l
(n 1,2,)
例1 将 cos x 在 0 x 内展开成以 2 为周期
的正弦级数并在 2 x 2 写出该级数的和 函数，同时画出它的图形．
解 要将 f ( x) cos x 在 (0, )内展开成以2 为
周期的正弦级数cos x bn sin nx , 必须在(, )
n1
内对 cos x 进行奇开拓,
cos x x (0, ),
令
F
(
x)
0
x 0,
cos x x (,0),
an 0,
(n 0,1,2,)
bn
2
cos x sin nxdx
傅里叶级数
(1).三角函数系
1正,co交s 性x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
任意两个不同函数在[, ]上的积分等于零.
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
(其中n 1,2,)
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
mn mn
f
(x)
a0 2
n1
an
cos nx
(0 x )
(6) 周期为2l 的周期函数的傅氏展开式
设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理 的条件,则它的傅里叶级数展开式为
f
(
x)
a0 2
n1
(an
cos
nx l
bn
sin
nx ), l
an
1 l
l l
f ( x)cos nxdx, l
(n 0,1,2,)
bn
1 l
l l
f ( x)sin nxdx, l
(n 1,2,)
例1 将 cos x 在 0 x 内展开成以 2 为周期
的正弦级数并在 2 x 2 写出该级数的和 函数，同时画出它的图形．
解 要将 f ( x) cos x 在 (0, )内展开成以2 为
周期的正弦级数cos x bn sin nx , 必须在(, )
n1
内对 cos x 进行奇开拓,
cos x x (0, ),
令
F
(
x)
0
x 0,
cos x x (,0),
an 0,
(n 0,1,2,)
bn
2
cos x sin nxdx
数学分析级数PPT课件
若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极
限来判别收敛性.
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*推论2设 un 为正项级数.
(i)若 lim u n 1q1,则 级 数 收 敛 ; u n
n
(ii)若 lim u n1q1,则 级 数 发 散 ; u n n
*例8 研究级数 1 b b c b 2 c b 2 c 2 b n c n 1 b n c n ( 8 )
( i ) 若 对 一 切 n N 0 , 成 立 不 等 式
un1q, un
(5)
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则级数 un 收敛.
( i i ) 若 对 一 切 n N 0 , 成 立 不 等 式
un11, un
(6)
则 级 数 u n 发 散 .
证 ( i ) 不 妨 设 不 等 式 ( 5 ) 对 一 切 n 1 成 立 , 于 是 有
则 级 数 u n发 散 .
( 1 0 )
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证 由(9)式有un l n , 因为等比级数 ln当 1l1 时收敛, 故由比较原则, 这时级数 un 也收敛, 对
于情形(ii), 由(10)式可得 un 1n 1.
显 然 当 n 时 ,u n 不可能以零为极限, 因而由级数
§2 正项级数
收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将 对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.
一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 三、积分判别法
*四、拉贝判别法
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一、正项级数收敛性的一般判别原则
若数项级数各项的符号都相同, 则称它为同号级数.
对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级 数(称正项级数).若级数的各项都是负数,则它乘以
《数学分析》课件 (完整版)
第十一章 广义积分
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
数学分析12-2(1)
un+1 即q−ε < < q+ε un
(n > N )
则ε + q < 1,
(1) 当q < 1时, 取0 < ε < 1 − q ,
由比式判别法，得原级数收敛。 由比式判别法，得原级数收敛。
( 2) 当q > 1时, 取0 < ε < q − 1, 则q − ε > 1,
由比式判别法，得原级数发散。 由比式判别法，得原级数发散。
∴ 级数 ∑
n =1 ∞
∞
1 发散 . n( n + 1)
4.比较原则的极限形式: 4.比较原则的极限形式: 比较原则的极限形式
un = l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n→ ∞ v n n =1 n =1
则(1) 当 0 < l < +∞ 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l = 0 时，若
lim a 2 n
n→ ∞
1 = , 6
lim a 2 n+1
n→ ∞
3 = , 2
un+1 ∴ lim = lim an 不存在. n→ ∞ u n→ ∞ n
定 ： 式 别 (柯 判 法 理 根 判 法 西 别 )
为正项级数， 设 ∑ un为正项级数，且 ∃ N 0 > 0 及常数 l , 使 收敛； （1）∀n > N 0 , n un ≤ l < 1, 则∑ un收敛； （2）∀n > N 0 , n un ≥ 1, 则∑ un发散。 发散。
收敛。 由比较原则的注1, 由比较原则的注 得： vn收敛时，有 ∑ un收敛。 ∑ 收敛时，
（3）l = +∞时： ） 时 un 由 lim = +∞ ， ∀G > 0，∃ N , 当n > N时, n→ ∞ v n un > G , ∴ un > Gvn , 由比较原则的注 得： 由比较原则的注1, vn 发散时， 发散。 ∑ vn发散时，有 ∑ un发散。
数学分析ppt课件
有限覆盖定理
总结词
有限覆盖定理是实数完备性定理中的另一个 重要结论，它涉及到实数集的覆盖问题。
详细描述
有限覆盖定理说明，任意一个开覆盖${(a_n, b_n)}$的实数集都可以被有限个开区间覆盖 。换句话说，对于任意一个实数集$S$，都 存在有限的开区间${(a_1, b_1), (a_2, b_2), ldots, (a_n, b_n)}$，使得$S subseteq cup_{i=1}^{n} (a_i, b_i)$。这个定理在证 明紧空间的性质和实数完备性中起到了关键 作用。
3
实数系中的基本运算
实数系中可以进行加法、减法、乘法和 除法等基本运算，这些运算具有交换律 、结合律、分配律等性质。此外，实数 系中还可以定义绝对值、最大值、最小 值等概念。
极限理论
01
极限的定义
极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了当自变量趋向某一值时，
函数值的变化趋势。极限的定义包括数列极限和函数极限两种形式。
详细描述
介绍向量值函数和空间曲线的定义，通过实例说明向量值函 数和空间曲线的性质，并解释其在数学分析中的重要性和应 用。
06
实数完备性定理
区间套定理
总结词
区间套定理是实数完备性定理中的一个 重要组成部分，它描述了闭区间套的性 质。
VS
详细描述
区间套定理指出，如果存在一个闭区间套 ，即一列闭区间${[a_n, b_n]}$，满足 $a_n < b_n$且$a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n$（对任意$n$），则该区 间套中至少存在一个实数。这个定理在数 学分析中有着广泛的应用，例如在证明连 续函数的性质和极限理论中。
数学分析12-课件
由1 n
1, 100
只n 要 10 时 ,0有xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只n 要 10时 0,有 0 xn
1 1 , 1000
给定101000, 只要 n100时 0,有 0xn
1 1 , 10000
给定 0,只要 nN([1]时 ) ,有xn1成.立
10
数列的极限
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
N定义 0, N0,当nN时,
有xna.
12
数列的极限
数列极限的几何意义 a 2
xna
a x n a
(nN)
即 xn U (a,)
a
(nN)
x 2 x 1 xN 1 a xN2 x 3 x
当 nN时,所有 x n 都 ( 的 a 落 ,a 点 ) 在 内 ,
只 有 有 (至限 多个 N 只 个 )落 有在.其 外
3
数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A 2
正62n1形的面积 A n A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A n , S
R
4
数列的极限
二、数列 (sequence of number) 的概念
定义 按照自然数的顺序排列的一列数
x1,x2, xn,
简记为{ x n }, 其中 xn称为数 {xn列 }的通项(general
17
数列的极限
例 证li明 q m n0 ,其0 中 q1 . n
证 0(不妨 0设 1),
为了使 xn0qn,只需使 nlnqln,
2
数列的极限
刘徽(三世纪)的“割圆术”中说: “割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可
2019数学分析教学课件—12-1.ppt
Sn a aq aq
n 1
1 qn a . 1q
因此
1 qn a (i) 当 q 1 时, lim Sn lim a . 此时级 n n 1q 1q a 数(3)收敛,其和为 1 q .
(ii) 当 q 1 时, lim Sn , 此时级数(3)发散.
n
项级数(1)的和,记作
S u1 u2 un , 或 S un .
n 1
若 { Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散. 例1 讨论等比级数(也称几何级数)
a aq aq2
的收敛性(a≠0).
aqn
(3)
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解 q≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为
{an } , 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则
这个数项级数就是
u
n1
n
a1 ( a2 a1 ) ( a3 a2 )
( an an1 )
. (5)
这时数列 {an }与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当
{an }收敛时,其极限值就是级数(5)的和.
第 n 个余项(简称余项), 它表示以部分和 Sn 代替S 时所产生的误差.
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定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变 级数的收敛性,也不改变它的和. 证设
u
n
为收敛级数, 其和为 S . 下面证明 un 加
k 1
括号后的级数 ( unk 1 1
S . 为此，记v1 u1
n
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(iii) 当 q 1 时, Sn na, 级数发散. 当q 1 时,
n 1
1 qn a . 1q
因此
1 qn a (i) 当 q 1 时, lim Sn lim a . 此时级 n n 1q 1q a 数(3)收敛,其和为 1 q .
(ii) 当 q 1 时, lim Sn , 此时级数(3)发散.
n
项级数(1)的和,记作
S u1 u2 un , 或 S un .
n 1
若 { Sn }是发散数列,则称数项级数(1)发散. 例1 讨论等比级数(也称几何级数)
a aq aq2
的收敛性(a≠0).
aqn
(3)
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解 q≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为
{an } , 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则
这个数项级数就是
u
n1
n
a1 ( a2 a1 ) ( a3 a2 )
( an an1 )
. (5)
这时数列 {an }与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当
{an }收敛时,其极限值就是级数(5)的和.
第 n 个余项(简称余项), 它表示以部分和 Sn 代替S 时所产生的误差.
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定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变 级数的收敛性,也不改变它的和. 证设
u
n
为收敛级数, 其和为 S . 下面证明 un 加
k 1
括号后的级数 ( unk 1 1
S . 为此，记v1 u1
n
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(iii) 当 q 1 时, Sn na, 级数发散. 当q 1 时,
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0, 要 xn 1 ,
只要
1 n
,
或n
1
所以, 取N
1,
则当n
N时,
有 n (1)n1 1 n
即lim n (1)n1 1.
n
n
15
数列的极限
例 证 极用 定明 限定数.义0列,证寻x数找n 列N,n极1但c限o不s存n必2在要(时求n ,最关1、小键2、的是3N任）.意以给0为
7
数列的极限
三、数列极限的概念
问题 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值? 如果是, 如何确定?
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
1 1, 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 2345
即 2, 1 , 4 , 3 , 6 2 345
xn
1
成立.
10
数列的极限
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正整数N,使得对于n N 时的一切 xn ,
不等式
xn a
成立. 那末就称常数a是数列 xn的极限(limit), 或称数列 xn收敛于a (converge to a) .
记为 或
lim
n
xn
a,
xn a (n ).
term), 或者一般项.
如 2,4,8,,2n ,;
{2n }
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{
1 2n
}
5
数列的极限
1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
23
n
数列的(两种)几何表示法:
n (1)n1{} Nhomakorabean
(1)数列对应着数轴上一个点列.
如果数列没有极限, 就说数列发散(diverge).
11
数列的极限
注
(1) 不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
(2) 正数是任意给定的 , 但是一旦给出之后,
它就是确定了;
(3) N与给定的有关, 一般地说,越小, N将越大;
(4) {xn}有没有极限, “前面” 的有限项不起作用, 主要看“后面”的无穷多项.
可看作一动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x1 x3 x2 x4 xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数: xn f (n) 整标函数或下标函数
6
数列的极限
(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是平面上一串分离的点. xn
o ·1 2·3·4
n
注 不可将这串点·连成曲线.
第一节 数列的极限
概念的引入 数列的概念 数列极限的概念 收敛数列的性质 小结 思考题 作业
第三章 极限与函数的连续性
1
数列的极限
一、概念的引入
极限概念是从常量到变量, 从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长. 庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》 中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭
例
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
证
0, 要使 xn 0
1 cos n 0 n2
.
由于 1 cos n 0 1 cos n 1
n2
n 2n
只为要了n1简 化,或解不n 等1式, 的取运N 算 [,常1 ], 则当n N时,
常把 有
x1n
a
cos
作适当地放大.
n 0 . 即lim
1
cos
n
0
n2
n n
2
16
数列的极限
3
数列的极限
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An A1 , A2 , A3 ,, An , S
R
4
数列的极限
二、数列 (sequence of number) 的概念
定义 按照自然数的顺序排列的一列数
x1 , x2 , xn , 简记为{ xn }, 其中xn称为数列{ xn }的通项(general
a;
（1） {xn a}
（2）
为无穷{小n }量, ；
xn a n .
（3） 存在无穷小量 使
14
数列的极限
例 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证时个,对找虽于x出n然给使是定1不可的等n以式,任总成(意n暂立1小时)n的的认1N正为. 1解数它不,是但n1等固使式定用的定,义按证照题这
当n无限增大时, xn 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大, 则要看 xn 1小到什么要求.
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注 数列极限的定义通常是用来进行推理
和证明极限,而不是用来求极限, 因为这里
需要预先知道极限值是多少.
13
无穷小量
• Def 3.3 极限为0的数列称为无穷小
量．
•
Proplnim3.x1n
以下三个命题等价：
采用逻辑符号将 lim n
xn
a的定义可缩写为:
N 定义 0, N 0, 当n N时,
有 xn a .
12
数列的极限
数列极限的几何意义 a 2
xn a
a xn a
(n N )
即 xn U(a , )
a
(n N )
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
意思是:一”尺. 长的棍子, 第一天取其一半, 第二
天取其剩下的一半, 以后每天都取其剩下的一 半, 这样永远也取不完.
2
数列的极限
刘徽(三世纪)的“割圆术”中说: “割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不
可割,则与圆周合体,而无所失矣.”
意思是: 设给定半径为1尺的圆, 从圆内接正6边
形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出 正12边形、正24边形. ……等等正多边形的边长, 边数越多, 圆内接正多边形越与圆接近, 最后与 圆周重合, 则正多边形周长与圆周长就没有误 差了.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时, 有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定
0, 只要 n
N ( [1])时,有