配方法”的应用
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初三数学期末复习专题提优《“配方法”的应用》
配方法就是把一个代数式配成正整数次幂的形式,初中阶段用得最多的是配平方,故该专题所讨论的是使数学式子出现完全平方式的恒等变形,即2222()a ab b a b ±+=±中,左端缺少某些项时需要配上缺项,使它成为一个完全平方式.主要有两种表现形式:配中项2ab 或配一个平方项2b (或2a ),配中项时要根据22,a b 找出,a b ,决定2ab ,配平方项2b ,则要从,2a ab 的具体表现形式分析出,a b ,添上 2b .
它的推广形式较多,如: 222a b c ab bc ca ++---=2221()()()2
a b b c c a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ 一元二次三项式的配方:2
224()24b ac b ax bx c a x a a
-++=++. 配方后如何使用配方结果,归纳起来有如下几种常见情况:
(1)在实数范围内产生非负数。
配方是一种出现平方式的恒等变形,因而具有在实数范围内产生非负数的特殊功能,这也是配方法最为基本的应用形式.
(2)配方后使用公式22()()a b a b a b -=+-.
(3)配方后应用根与系数的关系或求对称多项式的值.
(4)配方后求函数的极值或完成对判别式的判断等.
1.关于多项式2285x x -++的说法正确的是( )
A .有最大值13 B.有最小值-3
C.有最大值37 D.有最小值1
2.已知2781,1515
P m Q m m =-=- (m 为任意实数),则P 、Q 的大小关系为( ) A. P Q > B. P Q = C . P Q < D. 不能确定
3.若实数m 、n 满足224122100m m n n ++-+=,则函数242m n y x n +=++是( )
A.正比例函数
B.一次函数
C.反比例函数
D.二次函数
4.将263x x ++配方成2
()x m n ++的形式,则m = . 5.若代数式26x x b -+可化为2
()1x a --,则a b +的值是 .
6.已知实数,m n 满足21m n -=,则代数式22
241m n m ++-的最小值等于 .
7.已知2246130,,x y x y x y ++-+=均为实数,求y x 的值.
8.已知22124x y x y xy +-+-=-
,求y x -.
9.因式分解:
(1) 4
4x +;
(2) 22(1)(1)4m n mn --+.
10.当,a b 为何值时,方程2222(1)(3442)0x a x a ab b ++++++=有实根.
11.“20a ≥”这个结论在数学中非常有用,有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如: 22245441(2)1x x x x x ++=+++=++
222(2)0,(2)11,451x x x x +≥∴++≥++≥.
试利用“配方法”解决下列问题:
(1)已知22
4250x x y y -+++=,求x y +的值;
(2)比较代数式:21x -与23x -的大小.
12.设,,x y z 为实数,求证: 222x y z xy xz yz ++≥++.
13.阅读材料:把形如2ax bx c ++的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即222a ab b ±+
2()a b =±.例如:2(1)3x -+、2(2)2x x -+、221
3(2)24
x x -+是224x x -+的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出2
49x x -+三种不同形式的配方;
(2)将22a ab b ++配方(至少两种不同形式);
(3)已知2223240a b c ab b c ++---+=,求a b c ++的值.
14.已知x >0,证明: 642314x x x x +++≥ .
参考答案
1. A
2. C
3. B
4. 3
5. 11
6. 4
7.8y x =- 8.12y x -=-
9.(1)4224(22)(22)x x x x x +=+++-
(2)22(1)(1)4(1)(1)m n mn mn n m mn n m --+=++-+-+ 10.11,2
a b ==- 11.(1)1x y +=
(2)2123x x ->-
12. 222()x y z xy xz yz ++-++222111()()()0222
x y x z y z =
-+-+-≥ 13.(1)2249(2)5x x x -+=-+,
2249(3)10x x x x -+=+-, 2222549(3)39
x x x x -+=-+ (2)222
()a ab b a b ab ++=+-, 222()3a ab b a b ab ++=-+
(3)4a b c ++=
14.4220,120,120.x x x x x >∴+-≥+-≥
422(1)(1)22x x x x ∴++≥⋅
642314x x x x ∴+++≥