离散型随机变量的均值和方差
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方差定义
定义
离散型随机变量取值的方差和标准差:
一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
P
x1
p1
p2
2
x2
· · · · · ·
pi
xi
· · · xn · · · pn
( xn E )2 pn
2 D ( x E ) p1 则称 1 n
D ( xi E ) pi 为随机变量的方差. 称
（1）环数为X的可能所取的值为什么，1，2，3，4，其分布列
X P
1
4 10
2
3 10
3
2 10
4
1 10
Байду номын сангаас
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10
1111 2 2 2 3 3 4 (2) X 2 10
一、离散型随机变量取值的平均值
高二数学 选修2-3
2.3离散型随机变量 的均值和方差
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列 X
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · · · · ·
P
p1
p2
pi
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
数学期望
xn
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
P
则称
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · ·
p1
p2
pi
· · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
1、随机变量ξ的分布列是
1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下： X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4
从以数据你能否说明谁的射击水平高？
解 EX 1 9, EX 2 9
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，
3、两种特殊分布的均值 （1）若随机变量X服从两点分布，则 EX p （2）若 X ~ B(n, p) ，则
2、均值的性质
EX np
nM N
（3）若X~H(N ，M ， n)， 则E(X)＝
1．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3 个球， 以ξ表示取出球的最大号码，则Eξ值的是( ) B A．4 B．4.5 C．4.75 D．5
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 则这组数据的方差为： x
，
1 2 2 S [( x1 x ) ( x2 x ) n
2
( xn x ) ]
2
方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..
2．设ξ的分布列为：
ξ P 1 1 6 2 1 6 3 1 3 4 1 3
又设η＝2ξ＋5，则Eη＝(
)D
7 A. 6
17 B. 6
17 C. 3
32 D. 3
知识补充 1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
EX xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i 1
n
E (aX b) aEX b
P( axi b) P( xi ), i 1, 2, 3
ax1 b p1 P
ax2 b
p2
axi b
pi
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn ) aE b 即 E (a b) aE b
2.
有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1 ，你赢 10元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这 场赌博对你是否有利?
X 10
1 6
-3
1 2
0
1 3
P
1 1 1 1 E 10 3 0 . 6 2 3 6
对你不利!劝君莫参加赌博.
例题讲解
18 m 24 m 36 m 24 m 36 m 6 6 66 6 m 18 3 24 2 36 1 23元 / kg . 6 6 6
E X 18 P X 18 24 P X 24 36 P X 36
问题情景
18元/kg
24元/kg
36元/kg
按3：2：1的比例混合，混合糖果 中每一粒糖果的质量都相等. 定价为混合糖果的平均价格才合理
情景探究
按3：2：1混合以下糖果
X
18 18 24元/kg 36
24元/kg
P
3 6
2 1 平均价格为 m 千克混合糖果的总价格为 6 6 3 2 11 2
36元/kg
离散型随机变量的均值的理解 (1) 均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平 均． (2)E(X) 是一个实数，是由 X 的概率分布唯一确定的，它 描述X取值的平均状态． (3)变量Y＝aX＋b的均值．
E(aX＋b)＝aE(X)＋b说明随机变量X的线性函数Y＝aX＋b 的均值(或数学期望)等于随机变量X的均值(或数学期望)的线 性函数，此式可有以下几种特殊形式：
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分
3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚 不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性.
=np(p+q)n-1=np
第二课时：随机变量取值的方差和标准差
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为
ξ P
x1 p1
x2 … xk p2 … pk
… …
xn pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数 学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征 数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的 平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画．
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的数学期望？
解：X的可能取值为0，1，其分布列如下
X 1 0
P
0.7
0.3
EX 1 0.7 0 (1 0.7) 0.7
各种不同概率模型下的数学期望 若X~B(1，p) 若X~B(n，p) 若X~H(N ，M ， n) 则E(X) ＝p 则E(X)＝np
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、 2的分布列如下：
x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
x2 8 P 0.4
9 0.2
10 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成 如果其他对手的 绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？ 射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
1 4．已知ξ～B n, η ～B 2 等于( ) B
A．5 B．10
1 n, ，且 E(ξ)＝15，则E(η) 3
D．20
C．15
A
6．已知X的概率分布如下，E(X)＝7.5，则a＝________. 7
X 4 a 9 10
P
0.3
0.1
b
0.2
k· 4－k，k＝ 7．若随机变量X的分布列是P(x＝k)＝ Ck · 0.1 0.9 4 0,1，2,3,4.则EX＝________. 0.4
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
EX 2.1 3 0.7
1： 若 a b, 则
所以， 的分布列为
E aE b
①当 b ＝ 0 时， E(aX) ＝ aE(X) ，此式表明常量与随机变量 乘积的均值，等于常量与随机变量均值的乘积． ②当 a ＝ 1 时， E(X ＋ b) ＝ E(X) ＋ b ，此式表明随机变量与 常量和的均值，等于随机变量的均值与这个常量的和． ③当a＝0时，E(b)＝b，此式表明常量的均值等于这个常 量.
ξ 1 3 5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ=
2.4
.
2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2
Eξ=7.5,则a=
0.1 b=
0.4 .
归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤： ①、确定离散型随机变量可能的取值。
②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ③、求出均值(期望)。
2 件数ξ的数数学期望Eξ＝________. 3
8．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信
若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4； （1）设他所得环数为X,求X的分布列 (2)求他所得的平均环数是多少？
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4； （1）设他所得环数为X,求X的分布列 (2)求他所得的平均环数是多少？
nM 则E(X)＝ N
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其
中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满 分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 个数分别是和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)， 所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5． 由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩 的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90， E(5η)＝5Eη＝5×5＝25． 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的 均值为90分的含义是什么?
EX 的值为 2．若随机变量 X 服从二项分布 ( A )
1 B4，3 ，则
(
4 8 13 8 A. B. C. D. 3 3 3 9 3 ．若随机变量ξ ～ B(n,0.6) ，且Eξ＝ 3，则P(ξ＝ 1) 的值是 )C
A．2×0.44
B．2×0.45
C．3×0.44
D．3×0.64
定义
离散型随机变量取值的方差和标准差:
一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
P
x1
p1
p2
2
x2
· · · · · ·
pi
xi
· · · xn · · · pn
( xn E )2 pn
2 D ( x E ) p1 则称 1 n
D ( xi E ) pi 为随机变量的方差. 称
（1）环数为X的可能所取的值为什么，1，2，3，4，其分布列
X P
1
4 10
2
3 10
3
2 10
4
1 10
Байду номын сангаас
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10
1111 2 2 2 3 3 4 (2) X 2 10
一、离散型随机变量取值的平均值
高二数学 选修2-3
2.3离散型随机变量 的均值和方差
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列 X
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · · · · ·
P
p1
p2
pi
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
数学期望
xn
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X
P
则称
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · ·
p1
p2
pi
· · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。
1、随机变量ξ的分布列是
1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下： X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4
从以数据你能否说明谁的射击水平高？
解 EX 1 9, EX 2 9
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，
3、两种特殊分布的均值 （1）若随机变量X服从两点分布，则 EX p （2）若 X ~ B(n, p) ，则
2、均值的性质
EX np
nM N
（3）若X~H(N ，M ， n)， 则E(X)＝
1．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3 个球， 以ξ表示取出球的最大号码，则Eξ值的是( ) B A．4 B．4.5 C．4.75 D．5
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 则这组数据的方差为： x
，
1 2 2 S [( x1 x ) ( x2 x ) n
2
( xn x ) ]
2
方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..
2．设ξ的分布列为：
ξ P 1 1 6 2 1 6 3 1 3 4 1 3
又设η＝2ξ＋5，则Eη＝(
)D
7 A. 6
17 B. 6
17 C. 3
32 D. 3
知识补充 1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
EX xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i 1
n
E (aX b) aEX b
P( axi b) P( xi ), i 1, 2, 3
ax1 b p1 P
ax2 b
p2
axi b
pi
axn b
pn
E (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn ) aE b 即 E (a b) aE b
2.
有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1 ，你赢 10元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这 场赌博对你是否有利?
X 10
1 6
-3
1 2
0
1 3
P
1 1 1 1 E 10 3 0 . 6 2 3 6
对你不利!劝君莫参加赌博.
例题讲解
18 m 24 m 36 m 24 m 36 m 6 6 66 6 m 18 3 24 2 36 1 23元 / kg . 6 6 6
E X 18 P X 18 24 P X 24 36 P X 36
问题情景
18元/kg
24元/kg
36元/kg
按3：2：1的比例混合，混合糖果 中每一粒糖果的质量都相等. 定价为混合糖果的平均价格才合理
情景探究
按3：2：1混合以下糖果
X
18 18 24元/kg 36
24元/kg
P
3 6
2 1 平均价格为 m 千克混合糖果的总价格为 6 6 3 2 11 2
36元/kg
离散型随机变量的均值的理解 (1) 均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平 均． (2)E(X) 是一个实数，是由 X 的概率分布唯一确定的，它 描述X取值的平均状态． (3)变量Y＝aX＋b的均值．
E(aX＋b)＝aE(X)＋b说明随机变量X的线性函数Y＝aX＋b 的均值(或数学期望)等于随机变量X的均值(或数学期望)的线 性函数，此式可有以下几种特殊形式：
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分
3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚 不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性.
=np(p+q)n-1=np
第二课时：随机变量取值的方差和标准差
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为
ξ P
x1 p1
x2 … xk p2 … pk
… …
xn pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数 学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征 数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的 平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画．
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的数学期望？
解：X的可能取值为0，1，其分布列如下
X 1 0
P
0.7
0.3
EX 1 0.7 0 (1 0.7) 0.7
各种不同概率模型下的数学期望 若X~B(1，p) 若X~B(n，p) 若X~H(N ，M ， n) 则E(X) ＝p 则E(X)＝np
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、 2的分布列如下：
x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
x2 8 P 0.4
9 0.2
10 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成 如果其他对手的 绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？ 射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
1 4．已知ξ～B n, η ～B 2 等于( ) B
A．5 B．10
1 n, ，且 E(ξ)＝15，则E(η) 3
D．20
C．15
A
6．已知X的概率分布如下，E(X)＝7.5，则a＝________. 7
X 4 a 9 10
P
0.3
0.1
b
0.2
k· 4－k，k＝ 7．若随机变量X的分布列是P(x＝k)＝ Ck · 0.1 0.9 4 0,1，2,3,4.则EX＝________. 0.4
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
EX 2.1 3 0.7
1： 若 a b, 则
所以， 的分布列为
E aE b
①当 b ＝ 0 时， E(aX) ＝ aE(X) ，此式表明常量与随机变量 乘积的均值，等于常量与随机变量均值的乘积． ②当 a ＝ 1 时， E(X ＋ b) ＝ E(X) ＋ b ，此式表明随机变量与 常量和的均值，等于随机变量的均值与这个常量的和． ③当a＝0时，E(b)＝b，此式表明常量的均值等于这个常 量.
ξ 1 3 5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ=
2.4
.
2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2
Eξ=7.5,则a=
0.1 b=
0.4 .
归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤： ①、确定离散型随机变量可能的取值。
②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ③、求出均值(期望)。
2 件数ξ的数数学期望Eξ＝________. 3
8．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信
若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0)
二、互动探索
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4； （1）设他所得环数为X,求X的分布列 (2)求他所得的平均环数是多少？
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4； （1）设他所得环数为X,求X的分布列 (2)求他所得的平均环数是多少？
nM 则E(X)＝ N
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其
中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满 分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 个数分别是和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)， 所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5． 由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩 的期望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90， E(5η)＝5Eη＝5×5＝25． 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的 均值为90分的含义是什么?
EX 的值为 2．若随机变量 X 服从二项分布 ( A )
1 B4，3 ，则
(
4 8 13 8 A. B. C. D. 3 3 3 9 3 ．若随机变量ξ ～ B(n,0.6) ，且Eξ＝ 3，则P(ξ＝ 1) 的值是 )C
A．2×0.44
B．2×0.45
C．3×0.44
D．3×0.64