【三维设计】高考数学 第八章第三节圆的方程课后练习 人教A版

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一、选择题

1．(2012·合肥模拟)以抛物线y 2

＝4x 的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( ) A ．x 2

＋y 2

－2x －1＝0 B ．x 2＋y 2

－2x －3＝0

C ．x 2

＋y 2

＋2x －1＝0

D ．x 2

＋y 2

＋2x －3＝0

解析：∵抛物线y 2

＝4x 的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x －1)2

＋y 2

＝4.展开得x 2

＋y 2

－2x －3＝0.

答案：B

2．(2011·安徽高考)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2

＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为

( )

A ．－1

B ．1

C ．3

D ．－3

解析：圆的方程可变为(x ＋1)2

＋(y －2)2

＝5，因为直线经过圆的圆心，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，即a ＝1.

答案：B

3．圆x 2

＋y 2

－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围 是

( )

A ．(－∞，4)

B ．(－∞，0)

C ．(－4，＋∞)

D ．(4，＋∞)

解析：由题得圆心(1，－3)，且(－2)2

＋62

－4·5a >0， 即a <2.由圆心在直线上，可得b ＝－2，∴a －b <4. 答案：A

4．圆心在曲线y ＝3

x

(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为

( )

A ．(x －1)2＋(y －3)2

＝(185)2

B ．(x －3)2＋(y －1)2

＝(165)2

C ．(x －2)2

＋(y －32)2＝9

D ．(x －3)2

＋(y －3)2

＝9

解析：设圆心坐标为(a ，3

a

)(a >0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d (a )＝

|3a ＋12a ＋3|

5＝35(a ＋4a ＋1)≥3

5(4＋1)＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．此时圆心坐标为(2，3

2

)，圆的半径为3.

答案：C

5．(2012·石家庄模拟)已知两点A (0，－3)、B (4,0)，若点P 是圆x 2

＋y 2

－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( )

A ．6 B.112 C ．8

D.212

解析：如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，

这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y

－3＝1，

即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为

d ＝

|3×0－4×1－12|32＋－4

2

＝16

5， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝11

2.

答案：B 二、填空题

6．圆x 2

－2x ＋y 2

－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________． 解析：∵圆心(1,0)， ∴d ＝|1－3|

2＝1.

答案：1

7．(2012·杭州模拟)设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．

解析：由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22

＋22

＝2a 2

，解得a ＝±2，

r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝

8.

答案：(x ＋2)2

＋(y ＋2)2

＝8或(x －2)2

＋(y －2)2

＝8. 三、解答题

8．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点

C 和

D ，且|CD |＝410.

(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．

解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)． 即x ＋y －3＝0.

(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210. ∴(a ＋1)2

＋b 2

＝40.②

由①②解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＝－3

b ＝6或⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＝5，

b ＝－2.

∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．

∴圆P 的方程为(x ＋3)2

＋(y －6)2

＝40或(x －5)2

＋(y ＋2)2

＝40.

9．(2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.

(1)求AB 的坐标；

(2)求圆x 2

－6x ＋y 2

＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解：(1)设AB ＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，

AB ·OA ＝0，

得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 2

＋y 2

＝100，

4x －3y ＝0，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝6，

y ＝8，或⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－6，

y ＝－8，

若AB ＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾，所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－6，

y ＝－8舍去．

即AB ＝(6,8)．

(2)圆x 2

－6x ＋y 2

＋2y ＝0，即(x －3)2

＋(y ＋1)2

＝(10)2

，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，∵OB ＝OA ＋AB ＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，

∴直线OB 的方程为y ＝1

2

x .