汕头市高三年级统一测试文科数学及答案汕头一模
广东省汕头市高三第一次模拟考试文数试题 Word版含解析
广东省汕头市2017届高三第一次模拟考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
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=（）.A. {1,2}B. {0,1,2}C. {1}D. {1,2,3}【答案】A【解析】错误！未找到引用源。
，∴错误！未找到引用源。
，故选A..2. 已知错误！未找到引用源。
，则在复平面内，复数错误！未找到引用源。
对应的点位于（）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A3. 一个袋中有大小相同，编号分别为1, 2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（）.A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】基本事件为(1,1),(1,2),…,(1,8),(2,1),(2,2),…,(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),∴所求概率为错误！未找到引用源。
.故选D.4. 命题“错误！未找到引用源。
恒成立”是假命题，则实数错误！未找到引用源。
的取值范围是（）.A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
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【答案】B【解析】命题“错误！未找到引用源。
恒成立”是假命题，即“错误！未找到引用源。
恒成立”是真命题①．当错误！未找到引用源。
时，①不成立；当错误！未找到引用源。
时，要使①成立，必须错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
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的图像大致是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数错误！未找到引用源。
(优辅资源)广东省汕头市高三第一次模拟考试文数试题 Word版含解析
广东省汕头市2017届高三第一次模拟考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则=（）.A. {1,2}B. {0,1,2}C. {1}D. {1,2,3}【答案】A【解析】，∴，故选A..2. 已知，则在复平面内，复数对应的点位于（）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A3. 一个袋中有大小相同，编号分别为1, 2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】基本事件为(1,1),(1,2),…,(1,8),(2,1),(2,2),…,(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),∴所求概率为.故选D.4. 命题“恒成立”是假命题，则实数的取值范围是（）.A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】命题“恒成立”是假命题，即“恒成立”是真命题①．当时，①不成立；当时，要使①成立，必须，解得或，故选B.5. 函数的图像大致是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数的表达式知，函数为奇函数，因此函数的图像关于原点对称，所以排除A,B；又因为，所以排除C，故应选D.6. 已知，，则（）.A. B. 7 C. D. -7【答案】C7. 已知向量满足、，满足，，，那么向量、的夹角为（）.A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】设向量、的夹角为；则由题意可得，解之可得，故，故选C. 点睛；此题主要考查平面向量的数量积公式和平面向量的夹角公式；设向量、的夹角为；则由题意可得，由此即可求出结果.8. 已知双曲线的方程为，过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点，且轴平分线段，则双曲线的离心率为（）.A. B. C. D.【答案】A9. 函数的周期是，将的图像向右平移个单位长度后得到函数，则具有性质（）.A. 最大值为1，图像关于直线对称B. 在上单调递增，为奇函数C. 在上单调递增，为偶函数D. 周期为，图像关于点对称【答案】B【解析】由题意可知，,所以；令，所以，可知函数在上单调递增，且为奇函数.点睛：三角函数图象变换：(1)振幅变(2)周期变换(3)相位变换(4)复合变换.10. 在四面体中，，，且平面平面，为中点，则线段的长为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，取的中点，连接，∵，∴．又平面平面，∴平面．建立空间直角坐标系．又．∴．∴，故选C.11. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点若抛物线在点处的切线斜率为1，则线段=（）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A12. 在中，分别为内角所对的边，且满足，，若点是外一点，，，，则平面四边形面积的最大值是（）.A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】试题分析：由得，由得，所以，所以，所以是等边三角形，设，则在中由余弦定理理，所以，所以．故选A．点睛：本题考查解三角形的应用，涉及余弦定理、三角形的面积、两角和与差的正弦公式、三角函数的最值问题，解题的关键是把四边形的面积用一个参数表示出来，构造一个函数，为此把四边形分成两个三角形和，由面积公式有，而是正三角形，只要把通过余弦定理用表示，则就有，由正弦函数的性质可得最值．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 如图所示的程序框图，输出的__________．【答案】88【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：故最终的输出结果为：88；故答案为88．14. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．【答案】64+4π15. 若非负实数满足：，（2,1）是目标函数取最大值的最优解，则的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示，将化成，∵，∴斜率，要使（2，1）是目标函数取最大值的最优解，则满足时，即目标函数仅在点处取得最大值，解得，故答案为．16. 若直角坐标系内两点满足：（1）点都在的图像上；（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，点对与可看作一个“姊妹点对”.已知函数，则的“姊妹点对”有__________个．【答案】2点睛：根据题意：“姊妹点”，可知，欲求的“姊妹点”，只须作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，求数列的前项和.【答案】（1）;(2) .【解析】试题分析：（1）∵∴.两式作差得：，所以：，即.又当时：，∴成立；由等比数列的定义即可证明数列是公比为2，首项为2的等比数列，由此即可求出通项公式；(2)由（1）可得：，，根据裂项相消求和法即可求出结果.试题解析：（1）∵∴.两式作差得：，所以：，即.又当时：，∴成立；所以数列是公比为2，首项为2的等比数列，∴.点睛：裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:型，通过拼凑法裂解成；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。
2019年广东省汕头市高考数学一模试卷(文科)(A卷)-含详细解析
2019年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）（A卷）副标题一、选择题（本大题共12小题，共63.0分）1.已知集合A={x|log2x＞0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A. 1，B. 2，C. 3，D.2.已知a∈R，i是虚数单位，复数，若，则a=（）A. 0B. 2C.D. 13.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 54.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（）A. B. C. D.5.已知圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为（）A. B. C. D.6.已知向量，满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.7.已知{a n}是等差数列，{b n}是正项等比数列，且b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6，则a2018+b9=（）A. 2026B. 2027C. 2274D. 25308.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）在，上的最大值为（）A. B. C. D. 19.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A. B. 平面C. D. 平面10.若函数f（x）=e x（cos x-a）在区间，上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，∠ABC=30°，△APC的面积为2，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时f（x）=，＜，＞，则函数g（x）=2f（x）-1的零点个数为（）个．A. 6B. 2C. 4D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=（bx-1）e x+a（a，b∈R）．若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，则a+b=______．14.有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，圆锥的顶点为△ABC的中心，底面为△A1B1C1的内切圆，则该工艺品的体积为______．15.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，且a n+2=3S n-S n+1+3（n∈N*），则S10=______．16.设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b sin A=a（2-cos B）．（1）求角B的大小；（2）D为AB上一点，且满足CD=2，AC=4，锐角三角形△ACD的面积为，求BC的长．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD的中点．（1）求证：平面AEM平面PAD；（2）若F是PC上的中点，且AB=AP=2，求三棱锥P-AMF的体积．19.我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．2019年某南澳牡蛎养殖基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：该基地为了预测人工投入增量为人时的年收益增量，建立了与的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则y=b•t+a，且有，，，．（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；（2）分别利用这两个回归模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量；（3）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并说明（2）中哪个附：若随机变量Z～N（μ，σ），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9987≈0.9871；样本（t i，y i）（i=1，2，…，n）的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数20.已知抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．（1）求抛物线C的标准方程；（2）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．21.已知f（x）=x2+ae x-ln x．（1）设x=是f（x）的极值点，求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：f（x）＞．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，a＞0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）设P是曲线C上的一个动点，若点P到直线l的距离的最大值为，求a的值；（2）若曲线C上任意一点（x，y）都满足y≥|x|+2，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|2x+k|+|x-2|（k∈R）．（1）若k=4，求不等式f（x）≥x2-2x-4的解集；（2）设k＜-4，当x∈[-1，2]时都有f（x）≥x2-2x+4，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|log2x＞0}={x|x＞1}，B={0，1，2，3，4}，∴A∩B={2，3，4}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵复数，且，∴，即，则a=0．故选：A．利用商的模等于模的商列式求解a的值．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3.【答案】B【解析】【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=2x+y过点A（2，-1）时，z最大是3，故选：B．【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数n==6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m==2，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p=．故选：B．先求出基本事件总数n==6，再求出乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m==2，由此能求出乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：，故选：B．根据圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，可得b，c，a，本题考查了椭圆的方程，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为•（+）=5，所以2=5，又因为||=2，||=1，设向量与的夹角为θ，所以cosθ=，又θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．由向量的数量积的运算及向量的夹角公式得：cosθ=，又θ∈[0，π]，所以θ=，得解．本题考查了向量的数量积的运算及向量的夹角，属中档题．7.【答案】C【解析】解：{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是正项等比数列，公比设为q，q＞0，由b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6，可得q2=q+2，q3=a1+2d+a1+4d，q4=a1+3d+2（a1+5d），即有q=2，a1=d=1，则a n=1+n-1=n，b n=2n-1，则a2018+b9=2018+28=2274．故选：C．{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是正项等比数列，公比设为q，q＞0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-），∵x∈，∴2x∈[-，]，则2x-∈[-，]，∴当2x-=，时，g（x）取得最大值，最大值为sin=，故选：C．根据平移关系求出g（x）的解析式，然后求出角的等价范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，以及角的范围，结合三角函数的最值性质是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO=D，B1D1∩B1C=B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故选：B．推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10.【答案】D【解析】解：f′（x）=e x（cosx-sinx-a），若f（x）在区间上单调递减，则cosx-sinx-a≤0区间上恒成立，即a≥cosx-sinx，x∈，令h（x）=cosx-sinx=sin（-x），x∈，故-x∈（-，），故sin（-x）的最大值是1，此时-x=，即x=-，故h（x）的最大值是，故a≥，故选：D．求出函数的导数，问题转化为a≥cosx-sinx，x∈，令h（x）=cosx-sinx=sin（-x），x∈，根据三角函数的性质求出a的范围即可．本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．11.【答案】A【解析】解：如图，设AC=x，由△APC的面积为2，得PA=，∵∠ABC=30°，∴三角形ABC外接圆的半径r=x，∵PA平面ABC，PA=，∴O到平面ABC的距离为d=PA=，设球O的半径为R，则R=，当且仅当时“=”成立．∴三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为．故选：A．由题意画出图形，设AC=x，由△APC的面积为2，得PA=，再由∠ABC=30°，得三角形ABC外接圆的半径r=x，求出球心到平面ABC的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解．本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：令g（x）=0可得f（x）=，作出f（x）在（0，+∞）上的函数图象，如图所示：由图象可知f（x）=在（0，+∞）上有2解，又f（x）是偶函数，∴f（x）=在（-∞，0）上有2解，∴f（x）=有4解．故选：C．作出f（x）的函数图象，根据f（x）与y=的交点个数得出答案．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数奇偶性的性质，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：f（x）=（bx-1）e x+a得f′（x）=e x（bx+b-1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x．f′（0）=1，f（0）=0，即b-1=1，-1+a=0，解得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3．求导函数，利用曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，建立方程，可求a、b的值，进而得到所求和．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，圆锥的顶点为△ABC的中心，底面为△A1B1C1的内切圆，∴△AB1C1的高h==，1设底面为△A1B1C1的内切圆半径为r，则（r）2=r2+1，解得r=，∴该工艺品的体积为：V=-V圆锥=S△ABC×AA1-=-=2-．故答案为：2-．求出△A1B1C1的高h==，设底面为△A1B1C1的内切圆半径为r，则（r）2=r2+1，求出r=，从而该工艺品的体积为：V=-V圆锥，由此能求出结果．本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】363【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，且a n+2=3S n-S n+1+3（n∈N*），所以：S n+2-S n+1=3S n-S n+1+3，整理得：S n+2=3S n+3当n=2时，S4=3S2+3=9+3=12．当n=4时，S6=3S4+3=36+3=39，当n=6时，S8=3S6+3=117+3=120，当n=8时，S10=3S8+3=360+3=363，故答案为：363．直接利用数列的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】16【解析】解：根据双曲线，得：a=3，b=，由双曲线的定义可得：|AF2|-|AF1|=2a=6…①，|BF2|-|BF1|=2a=6…②，①+②可得：|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=12，∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，∴|AF1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．∴|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=|AF2|+|BF2|-|AB|=12．|BF2|+|AF2|=|AB|+12≥+12=+12=16．故答案为：16．根据双曲线的标准方程可得：a=3，b=，再由双曲线的定义可得：|AF2|-|AF1|=2a=6，|BF2|-|BF1|=2a=6，所以得到|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=12，再根据A、B两点的位置特征得到答案．本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用．17.【答案】解：（1）由正弦定理得sin B sin A=sin A（2-cos B）．∵sin A≠0，∴sin B=2-cos B．即sin B+cos B=2，即2sin（B+）=2，即sin（B+）=1．∵0＜B＜π，∴B+=，即B=，即角B的大小为（2）△ACD的面积为S=×2×4sin∠ACD=，即sin∠ACD=，∵△ACD是锐角三角形，∴cos∠ACD==，由余弦定理得AD2=22+42-2×2×4×=4+16-4=16，则AD=4，在△ACD中，，∴sin A=，则△ABC中，=，得BC=，法2，∵△ACD的面积为S=×AD×BC sinB=，∴BC×=，故BC=．【解析】（1）根据正弦定理结合辅助角公式进行化简求解即可；（2）根据三角形的面积公式结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及辅助角公式，余弦定理以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键．18.【答案】证明：（1）连结AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC中点，∴AE BC，又AD∥BC，∴AE AD，∵PA平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA AE，∵PA∩AD=A，∴AE平面PAD，又AE⊂平面AEM，∴平面AEM平面PAD．解：（2）∵F是PC上的中点，且AB=AP=2，∴AD=2，AE=，∴三棱锥P-AMF的体积：V P-AMF=V M-APF==△===．【解析】（1）连结AC，推导出AE BC，AE AD，PA AE，从而AE平面PAD，由此能证明平面AEM平面PAD．（2）三棱锥P-AMF的体积：V P-AMF=V M-APF=，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由，，，得=≈21.3，∴=-i=38.9-21.3×2.5=-14.4，∴模型②中y关于x的回归方程为=2.13-14.4．（2）当x=16时，模型①年收益增量预测值为=4.1×16+11.8=77.4万元，模型②年收益增量预测值为=21.3×-14.4=70.8万元，（3）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即＞，由R2的公式可知，模型①的R2的小于模型②的，这说明模型②拟合效果更好，在（2）中，用模型②预测当人工投入量x=16时，年收益增量为70.8万元，这一个预报值比模型①的77.4万精确度更高，更可靠【解析】（1）根据题意列方程组求出回归系数，模型②中y关于x的回归方程，（2）代值计算即可预测人工投入增量为16人时的年收益增量，（3）由R2的公式可知，模型①的R2的小于模型②的，这说明模型②拟合效果更好，故可得答案本题考查了线性回归方程与相关指数的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意，△ ，∴p=6，抛物线C的标准方程为y2=12x．…（5分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+a，联立得y2-12my-12a=0，△=144m2+48a＞0，y1+y2=12m，y1y2=-12a，由对称性，不妨设m＞0，（ⅰ）a＜0时，∵y1y2=-12a＞0，∴y1，y2同号，又，∴，不论a取何值，t均与m有关，即a＜0时，A不是“稳定点”；（ⅱ）a＞0时，∵y1y2=-12a＜0，∴y1，y2异号，又，∴===，∴仅当，即a=3时，t与m无关，∴所求的“稳定点”为（3，0）…（12分）【解析】（1）根据三角形的面积公式求出p的值即可；（2）设出直线MN的方程，联立方程组，得到关于y的一元二次方程，通过讨论a的符号结合二次函数的性质解出即可．本题考查了抛物线的性质，考查新定义“稳定点”问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．又，∵x=是f（x）的极值点，∴f=-2=0．∴a=．∵f′（x）在（0，+∞）上单调递增，且f．∴f′（x）＞0时，x＞，f′（x）＜0时，＜．∴f（x）的递减区间为（0，），递增区间为（，+∞）．（2）证法1，由（1）可得a＞0时，f′（x）=x+ae x-在（0，+∞）上单调递增．又因为f′（1）=1+ae-1=ae＞0，当x趋近于0时，f′（x）趋近于-∞．∴∃x0∈（0，1）使得f′（x0）=0，即．当x∈（0，x0）时，f′（x0）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x0）＞0．∴f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增．∴f（x）min=f（x0）=，（0＜x0＜1）令＜＜．，在（0，1）上g′（x）＜0，∴g′（x）单调递减，∴＞．∴当a＞0时，f（x）＞．方法2，令g（x）=，（x＞0），当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．∴，∴．∵a＞0，∴ae x＞0．∴＞．【解析】（1）求得，利用f=-2=0．求得a=．再求f（x）的单调区间．（2）证法1，由（1）可得a＞0时，∃x0∈（0，1）使得f′（x0）=0，即．f （x）min=f（x0）=，（0＜x0＜1）令．利用导数可得f（x）＞．方法2，令g（x）=，（x＞0），利用导数可得．即可得．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）依题意得曲线C的普通方程为：x2+（y-a）2=4，因为ρsin（θ-）=2，所以ρsinθ-ρcosθ=4，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以直线l的直角坐标方程为：x-y-4=0，所以圆心C（0，a）到直线的距离为，依题意得+2=2+2，因为a＞0，解得a=8．（2）因为曲线C上任意一点（x，y）都满足y≥|x|+2，所以≥2，所以|a-2|，解得a≤2-2或a≥2+2，又a＞0，所以a的取值范围为[2+2，+∞）【解析】（1）圆C上动点P到直线l的距离的最大值为圆心（0，a）到直线的距离加上半径；（2）利用圆心（0，a）到直线y=x+2的距离大于等于圆C的半径2，解不等式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）k=4时，函数f（x）=|2x+4|+|x-2|，所以f（x）=，＜，，＞，当x＜-2时，由f（x）≥x2-2x-4化为-3x-2≥x2-2x-4，解得-1≤x≤2，所以此时不等式无解；当-2≤x≤2时，由f（x）≥x2-2x-4化为x+6≥x2-2x-4，解得-2≤x≤5，所以是-2≤x≤2；当x＞2时，由f（x）≥x2-2x-4化为3x+2≥x2-2x-4，解得-1≤x≤6，所以是2＜x≤6；综上所述，不等式f（x）≥x2-2x-4的解集为{x|-2≤x≤6}；（2）设k＜-4，则-＞2，当x∈[-1，2]时，f（x）=-3x+2-k，不等式f（x）≥x2-2x+4化为-3x+2-k≥x2-2x+4，即x2+x+k+2≤0；设g（x）=x2+x+k+2，则g（x）≤0在x∈[-1，2]恒成立，即g（2）=4+2+k+2≤0，解得k≤-8，∴k的取值范围是（-∞，-8]．【解析】（1）k=4时，函数f（x）=|2x+4|+|x-2|，分类讨论去掉绝对值，求不等式f（x）≥x2-2x-4的解集；（2）由k＜-4，x∈[-1，2]，化简f（x），把不等式f（x）≥x2-2x+4转化为关于k的不等式恒成立问题，从而求出k的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。
2022年广东省汕头市高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2022年广东省汕头市高考数学一模试卷1. 集合，，则( )A. B.C. D.2. 已知，则( )A. B. 3 C. D.3. 有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务．冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率( )A. B. C. D.4.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，，，成等差数列，则( )A. B. C. D. 55. 已知，，，则以下不等式正确的是( )A. B. C. D.6. 点G在圆上运动，直线分别与x轴，y轴交于M，N两点，则面积的最大值是( )A. 10B.C.D.7. 已知，，则( )A. B. C. 3 D.8. 定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.9. 某校高一班王伟、张诚、赵磊三名同学六次数学测试的成绩及班级平均分如表，根据成绩表作出如图，则下列说法正确的是( )第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张诚907688758680赵磊686573727582班级平均分A. 王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平B. 张诚同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平C. 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但与班平均分的差距逐步缩小D. 赵磊同学的数学成绩波动上升10. 已知正实数a，b满足，则以下不等式正确的是( )A. B.C. D.11. 对于函数，下列结论正确的是.( )A. 的值域为B. 在单调递增C. 的图象关于直线对称D. 的最小正周期为12. 如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且则下列结论正确的是( )A. 当E与重合时，异面直线AE与BF所成的角为B. 三棱锥的体积为定值C. EF在平面内的射影长为D.当E向运动时，二面角的平面角保持不变13. 在党史学习教育动员大会上，习近平总书记强调全党同志要做到学史明理、学史增信、学史崇德，学史力行．某单位对200名党员进行党史知识测试，将成绩分成6组：得到如图所示的频率分布直方图，则__________.14. 已知四边形ABCD中，，，，点E是CD 的中点，则__________.15. 已知双曲线，，为C的两条渐近线，过C的右焦点F作的垂线，垂足为A，且该垂线交于点B，若，则曲线C的离心率__________. 16. 为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是将个人的样本混合在一起做第1轮检测检测一次，如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者感染者必须通过检测来确定若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为__________人．若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为__________.17.在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，___？18. 已知数列的前n项和为，证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；设，证明：19. 足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．已知小明在点球训练中射进点球的概率是在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望．现有甲、乙两校队在淘汰赛中需要分出胜负相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率．20. 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，P是线段DO上一点．是否存在点P，使得平面PBC，若存在，求出PO的值；若不存在，请说明理由；当PO为何值时，直线EP与面PBC所成的角的正弦值最大．21. 已知，两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点G满足，动点G的轨迹为求E的方程；已知不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的A、B两点，总满足，证明：直线l过定点．22. 已知函数且a为常数讨论函数的极值点个数；若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查交集、并集的运算，考查对数不等式的解法，属于基础题．求解对数不等式化简B，再由交集、并集运算得答案．【解答】解：，，，结合选项可知，A，C，D错误；B正确.故选：2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，属于基础题．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．【解答】解：，，即，故选3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．先将4人分成3组，其中一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求得每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，并结合古典概型的概率公式，即可求解．【解答】解：先将4人分成3组，其中一组有2人，另外一组各1人，共有种分法，然后将3个项目全排列，共有种排法，故每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为种，名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数种，每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率故选4.【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式和等差中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.由等比数列的通项公式和等差中项的性质，解方程可得所求值．【解答】解：设各项均为正数的等比数列的公比为q，，由前4项和为15，，，成等差数列，可得，，即，即，解得，故选5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了利用单调性比较函数值大小，属于中档题.构造函数，对求导后结合导数与单调性关系分析的单调性，进而可比较函数值大小．【解答】解：令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，所以，，因为，所以，即，所以故选6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于中档题．求出，以及点G到直线的距离的最大值，再结合三角形面积公式，即可求解．【解答】解：直线分别与x轴，y轴交于M，N两点，，，则，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，则点G到直线的距离的最大值为，故面积的最大值是故选7.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是两角和的正切公式，同角三角函数的关系，属于中档题．利用两角和的正切公式得到，再利用同角三角函数的关系求出，，求解即可．【解答】解：，，，，或舍去，由，又，解得，故选8.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的性质，考查数形结合思想，属于中档题．根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，数形结合求解即可．【解答】解：因为，且为偶函数，所以，即，所以函数是以4为周期的周期函数，作出，在同一坐标系的图象，如图，因为方程至少有8个实数解，所以，图象至少有8个交点，根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，由图可知，当时，只需，即，当时，只需，即，当时，由图可知显然成立，综上可知，故选9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查数据的分析，注意认真分析图表，属于基础题．根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由表格可知：王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均成绩，故A正确；对于B，第二次考试中，张诚同学的数学学习成绩低于班级平均成绩，故B错误；对于C，由图表可知，赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但与班平均分的差距逐步缩小，故C正确；对于D，由图表可知，赵磊同学的数学学习成绩有波动，但总体是上升趋势，故D正确.故选10.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．先得到，再利用基本不等式依次判断各选项即可．【解答】解：正实数a，b满足，，A：，错误;B：，当且仅当，时取等号，正确;C：，，当且仅当，时取等号，，错误;D：，当且仅当时取等号，正确.故选11.【答案】AD【解析】【分析】本题主要考查了二倍角公式、三角函数的性质、二次函数的性质、诱导公式、图象变换等知识，考查分析解决问题的能力，属于中档题.利用三角函数的性质对选项ABCD逐项进行分析判断即可得.【解答】解：，因为，所以当时，，当时，，所以，故A正确；当时，，即，所以可得在时，函数单调递增，即可得在单调递增不成立，故B错误；因为，，若取，则，，即，所以不能恒成立，故C错误；因为的最小正周期为，的最小正周期为，的图象相当于把图象在x轴上方的部分保持不变，把下方的部分沿x轴翻折上去而得到，易得的最小正周期为，所以的最小正周期为，故D正确.故选12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了棱锥的体积、投影和异面直线所成角，属于中档题．根据三棱锥的底面积和高是否变化判断B，根据两半平面不变判断D，根据计算射影长判断C，在中利用余弦定理计算夹角判断【解答】解：对于A：，故当E与重合时，F为的中点，又，故为异面直线AE与BF所成的角，此时，，，，，，故A错误;对于B：B到直线的距离不变，A到平面BEF的距离不变，故三棱锥的底面积和高均不发生变化，故三棱锥的体积不变，故B正确；对于C：，在平面内的射影长为，故C正确；对于D：二面角与二面角是同一个二面角，故当E点运动时，二面角大小不变，故D正确.故选13.【答案】【解析】【分析】本题考查频率分布直方图等基础知识，属于基础题．利用频率分布直方图的性质直接求解．【解答】解：由频率分布直方图得：，解得故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．分别过点C，D 作，，垂足分别为G，F，求出，再利用平面向量的线性运算和数量积运算求解．【解答】解：如图，分别过点C，D作，，垂足分别为G，由题得四边形ABCD为等腰梯形，，，所以由题得故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线，考查双曲线的离心率公式，考查运算求解能力，属于中档题．不妨设为，为，则直线AB的方程为，可得A的坐标为，B的坐标为，由，可得，求解即可．【解答】解：不妨设为，为，过右焦点F作的垂线，垂足为A，且该垂线交于点B，，则直线AB的方程为，联立，解得A的坐标为，联立，解得B的坐标为，则，，，，，，即，，，故答案为16.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查二分检测法，考查转化能力，属于中档题．根据已知条件，结合二分检测法，即可求解．【解答】解：若待检测的总人数为8，则第1轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，则共需检测7次，此时感染者人数最多为2人；若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，若没有感染者，则只需1次检测即可，若只有1个感染者，则只需次检测，若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组，此时相当两个待检测均为组，每组感染1个感染者，此时每组需要次检测，所以此时两组共需次检测，故有2个感染者，且检测次数最多，共需次检测，所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，故n的最大值为故答案为2；17.【答案】解：若选①，则，且，因为，，由正弦定理得，则，即，所以，，因为，所以，得，所以，因为，所以角B为锐角，所以，所以，所以由正弦定理得；若选②，则由的面积为，得，所以，当C为锐角时，，此时由余弦定理得，，所以，当C为钝角时，，此时由余弦定理得，，所以，综上，或；若选③，由，得，由正弦定理得，则，所以三角形不存在．【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．若选①，则，由正弦定理列方程可求出，再求出，然后利用正弦的二倍角公式可求出，再利用正弦定理可求出c的值；若选②，则由已知条件可求出，从而可得，然后利用余弦定理可求出c 的值；若选③，则由已知可得，再由正弦定理可得，从而可得三角形不存在．18.【答案】证明：当时，，即，由，则，，两式相减可得，即，所以，即，数列为等比数列；则，所以，则，所以，所以【解析】本题考查了等比数列的证明，数列与不等式的综合，属于中档题．先求出，然后将的n换成，与原式相减可得，从而可得即可证明，求出通项公式，再分组可求和;先求出，可得出，再用裂项相消法求和，可证明．19.【答案】解：由题意可得，，X所有可能的取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为：X 0 1 23P故；记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A，由题意可知，在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数之比为：“甲VS乙：3：0”记为事件，或：“甲VS乙：3：1”记为事件，则，且与互斥，，，故【解析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，互斥事件的概率加法公式，属于中档题．由题意可得，，X所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解；记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A，由题意可知，在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数之比为：“甲VS乙：3：0”记为事件，或：“甲VS乙：3：1”记为事件，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．20.【答案】解：由题意，设，则在中，，所以，，又是底面的内接正三角形，，，，设，，过H作面ABC，则以H为坐标原点，分别以HA，HB，HQ为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，因为P是线段DO上一点，设，，，假设存在点P，使得平面PBC，此时，，，因为平面PBC，平面PBC，，则，，，，，，，因为，，且，平面PBC，存在点P，使得平面PBC，此时；设平面PBC的法向量为，则，，，即，令，，，则，又因为，设直线EP与面PBC所成的角为，，当且仅当，即时取等号，则当时，直线EP与面PBC所成的角的正弦值最大．【解析】本题考查线面垂直的向量表示，考查求解线面角的正弦值的最大值，属于较难题．假设存在点P，使得平面PBC，利用向量法可得，，判断，即可；求平面PBC的法向量，直线EP的方向向量，求得，计算可得最大值．21.【答案】解：设，因为，所以，所以，，则，又，得，即，所以动点G的轨迹方程E为：；证明：设直线l的方程为：，，，则，，联立，消去y，得，由，得，，直线AQ的斜率为，直线BQ的斜率为，又，所以，即，整理得，即，所以，由，化简得，所以，故直线l过定点【解析】本题考查了动点的轨迹方程以及直线过定点问题，属于较难题．根据平面向量的坐标运算可得、，结合和两点间距离公式可得，将、代入计算即可；设直线的方程为：、、，联立椭圆方程并消去y，根据韦达定理表示出、，利用两点间斜率公式求出，，结合题意可得，列出关于k和m的方程，化简计算即可．22.【答案】解：函数的定义域为R，则，令，则，由，可得，列表如下：x- 0+减极小值增且当时，；当时，，作出函数与函数的图象如下图所示：当时，直线与函数的图象有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，，且，由图可知，当或时，，当时，，此时，函数有2个极值点；当时，由图可知，直线与函数的图象有一个交点，设其横坐标为，且，当时，；当时，，此时函数只有1个极值点，综上所述，当时，函数无极值点，当时，函数有2个极值点，当时，函数只有1个极值点．解：不等式对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，令，其中，则，令，其中，则对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增，因为，故存在，使得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，因为，则，因为，则，第21页，共21页因为函数在上单调递增，由可得，故，可得，所以，，故【解析】本题考查了利用参变量分离法求解函数不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．求得，分、、三种情况讨论，作出函数与函数的图象，数形结合可得出函数的极值点的个数；由参变量分离法可知对任意的恒成立，利用导数结合隐零点法求出函数在其定义域上的最小值，即可得出实数a的取值范围．。
2020年广东省汕头市高考数学一模试卷(文科)
2020年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6，7}，集合{1A =，2，3，4}，{3B =，4，5，6}，则(U A B =I ð )A ．{1，2，3，4}?B ．{1，2，7}?C ．{1，2}?D ．{1，2，3}2．（5分）下列各式的运算结果虚部为1的是( ) A ．(1)i i -B ．21i+C ．22i +D ．2(1)i i +-3．（5分）从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到校门口值日，则甲和丁不在一起值日的概率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．564．（5分）若实数x ，y 满足22201y x x y y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩„„…，则2z x y =-的最大值是( )A ．9B ．12C ．3D ．65．（5分）近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是20132018-年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是( )①20132018-年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②20132018-年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ③20162018-年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 A ．①②③B ．②③C ．①②D ．③6．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于23，则椭圆C 的方程为( )A ．2214x y +=B ．22163x y +=C ．22142x y +=D ．22143x y +=7．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则()f x 的单调递减区间为( ) A ．[6k π，63]k π+，k Z ∈ B ．[63k π-，6]k π，k Z ∈ C ．[6k ，63]k +，k Z ∈D ．[63k -，6]k ，k Z ∈8．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22(*)n n S a n N +=∈，42(S a = ) A ．2B ．132C ．152 D ．1729．（5分）已知四边形ABCD 为平行四边形，||2AB =u u u r ，||3AD =u u u r ，M 为CD中点，2BN NC =u u u r u u u r ，则(AN MN =u u u r u u u u rg )A ．13B ．23C ．1D ．4310．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(x ∈-∞，0]时，2()2f x x ax =+，若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线过点(2,0)，则(a = ) A ．34-B ．1C ．2D ．3411．（5分）“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺(1丈10=尺）”，则该问题中“城”的体积等于( )A ．61.897510⨯立方尺B ．63.795010⨯立方尺C ．52.530010⨯立方尺D ．51.897510⨯立方尺12．（5分）已知函数(2)y f x =-的图象关于点(2,0)对称，函数()y f x =对于任意的(0,)x π∈；满足()cos ()sin f x x f x x '>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是()A ．()()36f ππ-B ．()()36f ππ-C ()()46ππ-> D ()()43ππ->- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数1()2,1x x f x x -=>⎪⎩…，则[(2)]f f -= ．14．（5分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11S =，525S =，则6S = ．15．（5分）已知过点(1,0)的直线l 被圆22670x y x +--=截得的弦长为l 的方程为 ．16．（5分）体积为的三棱锥A BCD -中，3BC AC BD AD ====，CD =，AB <，则该三棱锥外接球的表面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．（12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知tan (2)tan b A c b B =-． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为b c +=a 的值．18．（12分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且有//AB DC ，12AC CD DA AB ===． （1）证明：BC PA ⊥；（2）若PA PC ==Q 在线段PB 上，满足2PQ QB =，求三棱锥P ACQ -的体积．。
汕头市2020届普通高考第一次模拟考试(文数)
汕头市2020届普通高考第一次模拟考试数 学（文科）本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟 考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。
1．已知集合U ＝｝，，，，，，｛7654321，集合A ＝｝，，，｛4321，B ＝｝，，，｛6543则=B C A U I A ．｝，，，｛4321B ．｝，，｛721C ．｝，｛21D ．｝，，｛321 2． 下列各式的运算结果虚部为1的是 A ．(1)i i -B ．21i+ C ．2＋2iD ．2(1)i i +-3． 从甲、 乙、 丙、 丁 4 名同学中， 任意安排 2 名同学早上到校门口值日， 另外 2 名同学下午到校门口值日， 则甲和丁不在一起值日的概率为 A ．13B ．12C ．23D ．564． 若实数x ，y 满足y x z y y x x y -=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤-+≤2,10222则的最大值是A ．9B ．12C ．3D ．6 5． 近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一 带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图 是2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的 游客人次情况，则下列说法正确的是①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013-2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平 A ．①②③ B ．②③ C ．①② D ．③6． 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的 2 倍， 焦距等于 3， 则椭圆 C 的方程为A ．1422=+y x B ．13622=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 7． 已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象与直线y ＝a (0<a <A )的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则f (x )的单调递减区间为 A ．z k k k ∈+],36,6[ππ B ．z k k k ∈],6,3-6[ππ C ．z k k k ∈+],36,6[D ．z k k k ∈],6,3-6[8． 已知数列｝｛n a 的前n 项和为n S ，若)(22*N n a S n n ∈=+,则=24a S A ．2B ．213C ．215 D ．217 9． 已知四边形ABCD 为平行四边形，||2AB =u u u r ||3AD =u u u rM 为CD 中点，2BN NC =u u u r u u u r ，则=⋅ A ．13B ．23C ．1D ．4310．已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈(－∞,0] 时， f (x ) = x 2 + 2ax ，若曲线y = f (x )在点(1，f (1)) 处的切线过点 (2,0) ， 则 a =A ．-34B ． 1C ． 2D ．3411．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。
2020年广东省汕头市高考数学一模试卷(文科)(A卷)
高考数学一模试卷（文科）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，共63.0分）1.已知集合A={x|log2x＞0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A. {0，1，2}B. {1，2，3}C. {2，3，4}D. {3，4}2.已知a∈R，i是虚数单位，复数，若，则a=（）A. 0B. 2C. -2D. 13.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 54.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. B. C. D.5.已知圆O:x2 + y2 = 4 ( O为坐标原点)经过椭圆C:的短轴端点和两个焦点，则椭圆C的标准方程为A. B. C. D.6.已知向量，满足•（+）=5，且||=2，||=1，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.7.已知{a n}是等差数列，{b n}是正项等比数列，且b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6，则a2018+b9=（）A. 2026B. 2027C. 2274D. 25308.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）在上的最大值为（）A. B. C. D. 19.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A. A1O∥D1CB. A1O∥平面B1CD1C. A1O⊥BCD. A1O⊥平面AB1D110.若函数f（x）=e x（cos x-a）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B. （1，+∞） C. [1，+∞） D.11.三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=30°，△APC的面积为2，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为（）A. B. C. 64π D. 4π12.已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时f（x）=，则函数g（x）=2f（x）-1的零点个数为（）个．A. 6B. 2C. 4D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=（bx-1）e x+a（a，b∈R）．若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，则a+b=______．14.有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，圆锥的顶点为△ABC的中心，底面为△A1B1C1的内切圆，则该工艺品的体积为______．15.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，且a n+2=3S n-S n+1+3（n∈N*），则S10=______．16.设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若b sin A=a（2-cos B）．（1）求角B的大小；（2）D为AB上一点，且满足CD=2，AC=4，锐角三角形△ACD的面积为，求BC的长．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD的中点．（1）求证：平面AEM⊥平面PAD；（2）若F是PC上的中点，且AB=AP=2，求三棱锥P-AMF的体积．19.我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．2019年某南澳牡蛎养殖基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则y=b•t+a，且有．（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；（2）分别利用这两个回归模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量；（3）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并说明（2）中哪个模型得到的预测值精度更高、更可靠？附：若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.998710≈0.9871；样本（t i，y i）（i=1，2，…，n）的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数20.已知抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．（1）求抛物线C的标准方程；（2）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．21.已知f（x）=x2+ae x-ln x．（1）设x=是f（x）的极值点，求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，求证：f（x）＞．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，a＞0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）设P是曲线C上的一个动点，若点P到直线l的距离的最大值为，求a的值；（2）若曲线C上任意一点（x，y）都满足y≥|x|+2，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|2x+k|+|x-2|（k∈R）．（1）若k=4，求不等式f（x）≥x2-2x-4的解集；（2）设k＜-4，当x∈[-1，2]时都有f（x）≥x2-2x+4，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|log2x＞0}={x|x＞1}，B={0，1，2，3，4}，∴A∩B={2，3，4}．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】【分析】利用商的模等于模的商列式求解a的值．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．【解答】解：∵复数，且，∴，即，则a=0．故选：A．3.【答案】B【解析】【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=2x+y过点A（2，-1）时，z最大是3，故选：B．【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，基本事件，考查了运算求解能力，属于基础题.先求得基本事件的总数为6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【解析】解：由题意，甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个小组共有3种情形：{(甲、乙)，(丙、丁)}，{(甲、丙)，(乙、丁)}，{(甲、丁)，(乙、丙)}，所以分别参加两项活动有6种情况；因为乙、丙两人恰好在一起的情形只有1种：{(甲、丁)，(乙、丙)}，所以乙、丙两人参加同一项活动有2种情况；所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选：B．5.【答案】B【解析】解：∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：，故选：B．根据圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，可得b，c，a，本题考查了椭圆的方程，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为•（+）=5，所以2=5，又因为||=2，||=1，设向量与的夹角为θ，所以cosθ=，又θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．由向量的数量积的运算及向量的夹角公式得：cosθ=，又θ∈[0，π]，所以θ=，得解．本题考查了向量的数量积的运算及向量的夹角，属中档题．7.【答案】C【解析】解：{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是正项等比数列，公比设为q，q＞0，由b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6，可得q2=q+2，q3=a1+2d+a1+4d，q4=a1+3d+2（a1+5d），即有q=2，a1=d=1，则a n=1+n-1=n，b n=2n-1，则a2018+b9=2018+28=2274．故选：C．{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是正项等比数列，公比设为q，q＞0，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x-）+]=sin（2x-），∵x∈，∴2x∈[-，]，则2x-∈[-，]，∴当2x-=，时，g（x）取得最大值，最大值为sin=，故选：C．根据平移关系求出g（x）的解析式，然后求出角的等价范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，以及角的范围，结合三角函数的最值性质是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．【解答】解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO=D，B1D1∩B1C=B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故选：B．10.【答案】D求出函数的导数，问题转化为a≥cos x-sin x，x∈，令h（x）=cos x-sin x=sin（-x），x∈，根据三角函数的性质求出a的范围即可．本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．【解答】解：f′（x）=e x（cos x-sin x-a），若f（x）在区间上单调递减，则cos x-sin x-a≤0区间上恒成立，即a≥cos x-sin x，x∈，令h（x）=cos x-sin x=sin（-x），x∈，故-x∈（-，），故sin（-x）的最大值是1，此时-x=，即x=-，故h（x）的最大值是，故a≥，故选：D．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题．由题意画出图形，设AC=x，由△APC的面积为2，得PA=，再由∠ABC=30°，得三角形ABC外接圆的半径r=x，求出球心到平面ABC的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解．【解答】解：如图，设AC=x，由△APC的面积为2，得PA=，∵∠ABC=30°，∴三角形ABC外接圆的半径r=x，∵PA⊥平面ABC，PA=，∴O到平面ABC的距离为d=PA=，设球O的半径为R，则R=，当且仅当时“=”成立．∴三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为．故选：A．12.【答案】C本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数奇偶性的性质，属于中档题．作出f（x）的函数图象，根据f（x）与y=的交点个数得出答案．【解答】解：令g（x）=0可得f（x）=，作出f（x）在（0，+∞）上的函数图象，如图所示：由图象可知f（x）=在（0，+∞）上有2解，又f（x）是偶函数，∴f（x）=在（-∞，0）上有2解，∴f（x）=有4解．故选：C．13.【答案】3【解析】解：f（x）=（bx-1）e x+a得f′（x）=e x（bx+b-1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x．f′（0）=1，f（0）=0，即b-1=1，-1+a=0，解得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3．求导函数，利用曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，建立方程，可求a、b的值，进而得到所求和．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：有一种工艺品是由正三棱柱挖去一个圆锥所成，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，圆锥的顶点为△ABC的中心，底面为△A1B1C1的内切圆，∴△A1B1C1的高h==，设底面为△A1B1C1的内切圆半径为r，则（r）2=r2+1，解得r=，∴该工艺品的体积为：V=-V圆锥=S△ABC×AA1-=-=2-．故答案为：2-．求出△A1B1C1的高h==，设底面为△A1B1C1的内切圆半径为r，则（r）2=r2+1，求出r=，从而该工艺品的体积为：V=-V圆锥，由此能求出结果．本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.【答案】363【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，且a n+2=3S n-S n+1+3（n∈N*），所以：S n+2-S n+1=3S n-S n+1+3，整理得：S n+2=3S n+3当n=2时，S4=3S2+3=9+3=12．当n=4时，S6=3S4+3=36+3=39，当n=6时，S8=3S6+3=117+3=120，当n=8时，S10=3S8+3=360+3=363，故答案为：363．直接利用数列的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】16【解析】解：根据双曲线，得：a=3，b=，由双曲线的定义可得：|AF2|-|AF1|=2a=6…①，|BF2|-|BF1|=2a=6…②，①+②可得：|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=12，∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，∴|AF1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．∴|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=|AF2|+|BF2|-|AB|=12．|BF2|+|AF2|=|AB|+12≥+12=+12=16．故答案为：16．根据双曲线的标准方程可得：a=3，b=，再由双曲线的定义可得：|AF2|-|AF1|=2a=6，|BF2|-|BF1|=2a=6，所以得到|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=12，再根据A、B两点的位置特征得到答案．本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用．17.【答案】解：（1）由正弦定理得sin B sin A=sin A（2-cos B）．∵sin A≠0，∴sin B=2-cos B．即sin B+cos B=2，即2sin（B+）=2，即sin（B+）=1．∵0＜B＜π，∴B+=，即B=，即角B的大小为（2）△ACD的面积为S=×2×4sin∠ACD=，即sin∠ACD=，∵△ACD是锐角三角形，∴cos∠ACD==，由余弦定理得AD2=22+42-2×2×4×=4+16-4=16，则AD=4，在△ACD中，，∴sin A=，则△ABC中，=，得BC=，法2，∵△ACD的面积为S=×AD×BC sinB=，∴BC×=，故BC=．【解析】（1）根据正弦定理结合辅助角公式进行化简求解即可；（2）根据三角形的面积公式结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及辅助角公式，余弦定理以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键．18.【答案】证明：（1）连结AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，又AE⊂平面AEM，∴平面AEM⊥平面PAD．解：（2）∵F是PC上的中点，且AB=AP=2，∴AD=2，AE=，∴三棱锥P-AMF的体积：V P-AMF=V M-APF=====．【解析】（1）连结AC，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，从而AE⊥平面PAD，由此能证明平面AEM⊥平面PAD．（2）三棱锥P-AMF的体积：V P-AMF=V M-APF=，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由得=≈21.3，∴=-i=38.9-21.3×2.5=-14.4，∴模型②中y关于x的回归方程为=2.13-14.4．（2）当x=16时，模型①年收益增量预测值为=4.1×16+11.8=77.4万元，模型②年收益增量预测值为=21.3×-14.4=70.8万元，（3）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即＞，由R2的公式可知，模型①的R2的小于模型②的，这说明模型②拟合效果更好，在（2）中，用模型②预测当人工投入量x=16时，年收益增量为70.8万元，这一个预报值比模型①的77.4万精确度更高，更可靠【解析】（1）根据题意列方程组求出回归系数，模型②中y关于x的回归方程，（2）代值计算即可预测人工投入增量为16人时的年收益增量，（3）由R2的公式可知，模型①的R2的小于模型②的，这说明模型②拟合效果更好，故可得答案本题考查了线性回归方程与相关指数的应用问题，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意，，∴p=6，抛物线C的标准方程为y2=12x．…（5分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN的方程为x=my+a，联立得y2-12my-12a=0，△=144m2+48a＞0，y1+y2=12m，y1y2=-12a，由对称性，不妨设m＞0，（ⅰ）a＜0时，∵y1y2=-12a＞0，∴y1，y2同号，又，∴，不论a取何值，t均与m有关，即a＜0时，A不是“稳定点”；（ⅱ）a＞0时，∵y1y2=-12a＜0，∴y1，y2异号，又，∴===，∴仅当，即a=3时，t与m无关，∴所求的“稳定点”为（3，0）…（12分）【解析】（1）根据三角形的面积公式求出p的值即可；（2）设出直线MN的方程，联立方程组，得到关于y的一元二次方程，通过讨论a的符号结合二次函数的性质解出即可．本题考查了抛物线的性质，考查新定义“稳定点”问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．又，∵x=是f（x）的极值点，∴f=-2=0．∴a=．∵f′（x）在（0，+∞）上单调递增，且f．∴f′（x）＞0时，x，f′（x）＜0时，．∴f（x）的递减区间为（0，），递增区间为（，+∞）．（2）证法1，由（1）可得a＞0时，f′（x）=x+ae x-在（0，+∞）上单调递增．又因为f′（1）=1+ae-1=ae＞0，当x趋近于0时，f′（x）趋近于-∞．∴∃x0∈（0，1）使得f′（x0）=0，即．当x∈（0，x0）时，f′（x0）＜0，x∈（x0，+∞）时，f′（x0）＞0．∴f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增．∴f（x）min=f（x0）=，（0＜x0＜1）令．，在（0，1）上g′（x）＜0，∴g′（x）单调递减，∴．∴当a＞0时，f（x）＞．方法2，令g（x）=，（x＞0），当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．∴，∴．∵a＞0，∴ae x＞0．∴．【解析】（1）求得，利用f=-2=0．求得a=．再求f（x）的单调区间．（2）证法1，由（1）可得a＞0时，∃x0∈（0，1）使得f′（x0）=0，即．f（x）min=f（x0）=，（0＜x0＜1）令．利用导数可得f（x）＞．方法2，令g（x）=，（x＞0），利用导数可得．即可得．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）依题意得曲线C的普通方程为：x2+（y-a）2=4，因为ρsin（θ-）=2，所以ρsinθ-ρcosθ=4，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以直线l的直角坐标方程为：x-y-4=0，所以圆心C（0，a）到直线的距离为，依题意得+2=2+2，因为a＞0，解得a=8．（2）因为曲线C上任意一点（x，y）都满足y≥|x|+2，所以≥2，所以|a-2|，解得a≤2-2或a≥2+2，又a＞0，所以a的取值范围为[2+2，+∞）【解析】（1）圆C上动点P到直线l的距离的最大值为圆心（0，a）到直线的距离加上半径；（2）利用圆心（0，a）到直线y=x+2的距离大于等于圆C的半径2，解不等式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）k=4时，函数f（x）=|2x+4|+|x-2|，所以f（x）=，当x＜-2时，由f（x）≥x2-2x-4化为-3x-2≥x2-2x-4，解得-1≤x≤2，所以此时不等式无解；当-2≤x≤2时，由f（x）≥x2-2x-4化为x+6≥x2-2x-4，解得-2≤x≤5，所以是-2≤x≤2；当x＞2时，由f（x）≥x2-2x-4化为3x+2≥x2-2x-4，解得-1≤x≤6，所以是2＜x≤6；综上所述，不等式f（x）≥x2-2x-4的解集为{x|-2≤x≤6}；（2）设k＜-4，则-＞2，当x∈[-1，2]时，f（x）=-3x+2-k，不等式f（x）≥x2-2x+4化为-3x+2-k≥x2-2x+4，即x2+x+k+2≤0；设g（x）=x2+x+k+2，则g（x）≤0在x∈[-1，2]恒成立，即g（2）=4+2+k+2≤0，解得k≤-8，∴k的取值范围是（-∞，-8]．【解析】（1）k=4时，函数f（x）=|2x+4|+|x-2|，分类讨论去掉绝对值，求不等式f（x）≥x2-2x-4的解集；（2）由k＜-4，x∈[-1，2]，化简f（x），把不等式f（x）≥x2-2x+4转化为关于k的不等式恒成立问题，从而求出k的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。
2020年广东省汕头市高考数学一模试卷(文科)(含解析)
2020年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1.已知集合U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{3, 4, 5, 6}，则A∩∁U B＝（）A.{1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 7}C.{1, 2}D.{1, 2, 3}2.下列各式的运算结果虚部为1的是（）A.i(i−1)B.21+iC.2+i2D.(1+i)2−i3.从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到校门口值日，则甲和丁不在一起值日的概率为（）A.13B.12C.23D.564.若实数x，y满足{y≤2xx+2y−2≤0y≥−1，则z＝2x−y的最大值是（）A.9B.12C.3D.65.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013−2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）①2013−2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013−2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016−2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A.①②③B.②③C.①②D.③6.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于2√3，则椭圆C 的方程为（ ） A.x 24+y 2＝1 B.x 26+y 23=1C.x 24+y 22=1D.x 24+y 23=17.已知函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的图象与直线y ＝a(0<a <A)的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则f(x)的单调递减区间为（ ）A.[6kπ, 6kπ+3]，k ∈ZB.[6kπ−3, 6kπ]，k ∈ZC.[6k, 6k +3]，k ∈ZD.[6k −3, 6k]，k ∈Z8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +2＝2a n (n ∈N ∗)，S4a 2=()A.2B.132C.152D.1729.已知四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|=√2，|AD →|=√3，M 为CD 中点，BN →=2NC →，则AN →⋅MN →=() A.13 B.23C.1D.4310.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(−∞, 0]时，f(x)＝x 2+2ax ，若曲线y ＝f(x)在点（1, f (1)）处的切线过点(2, 0)，则a ＝（ ） A.−34 B.1 C.2D.3411.“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ）A.1.8975×106立方尺B.3.7950×106立方尺C.2.5300×105立方尺D.1.8975×105立方尺12.已知函数y＝f(x−2)的图象关于点(2, 0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0, π)；满足f(x)cosx>f′(x)sinx（其中f′(x)是函数f(x)的导函数），则下列不等式成立的是（）A.f(−π3)>√3f(π6) B.f(−π3)<√3f(π6)C.√2f(−π4)>√3f(π6) D.√2f(−π4)>√3f(−π3)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)={√2−x,x≤12−x,x>1，则f[f(−2)]＝________．14.记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S1＝1，S5＝25，则S6＝________．15.已知过点(1, 0)的直线l被圆x2+y2−6x−7＝0截得的弦长为2√13，则直线l的方程为________√3x−y−√3=0或√3x+y−√3=0．16.体积为2√153的三棱锥A−BCD中，BC＝AC＝BD＝AD＝3，CD＝2√5，AB<2√2，则该三棱锥外接球的表面积为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知btanA＝(2c−b)tanB．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为3√3，b+c＝5√2，求a的值．18.在四棱锥P−ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB // DC，AC＝CDAB．＝DA=12（1）证明：BC⊥PA；AC=√2，Q在线段PB上，满足PQ＝2QB，求三棱锥（2）若PA＝PC=√22P−ACQ的体积．19.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图1．（1）求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50, 150)内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250, 350)内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图如图2：①从B类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”？附表及公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．20.已知函数f(x)＝lnx +ax (a ∈R)． （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）若f(x)≥a ，求a 的取值范围．21.已知抛物线C:y =14x 2，过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 的准线上的投影分别P 、Q ．（1）已知D(−1, 0)，若(OA →+OB →+OD →)⋅OD →=0，求直线l 的方程； （2）设P 、Q 的中点为M ，请判断PF 与MB 的位置关系并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：{x =3+3cosαy =3sinα（α为参数），已知直线l 1:x −√3y ＝0，直线l 2:√3x −y ＝0以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C 以及直线l 1，l 2的极坐标方程；（2）若直线l 1与曲线C 分别交于O 、A 两点，直线l 2与曲线C 分别交于O 、B 两点，求△AOB 的面积．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23.设函数f(x)＝|x +a|．（1）当a ＝−2时，求不等式14≤f(x)<13的解集；（2）若ɛ>0，f(−1)<e3，f(b −a −2)<e3，证明|2a +b −4|<ɛ．2020年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1.已知集合U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，集合A＝{1, 2, 3, 4}，B＝{3, 4, 5, 6}，则A∩∁U B＝（）A.{1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 7}C.{1, 2}D.{1, 2, 3}【解答】由已知：∁U B＝{1, 2, 7}，A＝{1, 2, 3, 4}∴A∩∁U B＝{1, 2}2.下列各式的运算结果虚部为1的是（）A.i(i−1)B.21+iC.2+i2D.(1+i)2−i【解答】A．i(i−1)＝−1−i，虚部为−1．B.21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，虚部为−1．C.2+i2＝1，虚部为0．D．(1+i)2−i＝2i−i＝i，虚部为1．3.从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到校门口值日，则甲和丁不在一起值日的概率为（）A.13B.12C.23D.56【解答】从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到校门口值日，基本事件总数n=C42C22A22⋅A22=6，甲和丁不在一起值日的对立事件是甲和丁在一起值日，则甲和丁不在一起值日的概率为P＝1−26=23．4.若实数x，y满足{y≤2xx+2y−2≤0y≥−1，则z＝2x−y的最大值是（）A.9B.12C.3D.6【解答】由实数x，y满足{y≤2xx+2y−2≤0y≥−1，作出可行域：联立{y=−1x+2y−2=0，解得A(4, −1)，化z＝2x−y为y＝2x−z，由图可知，当直线y＝2x−z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为：9．5.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013−2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）①2013−2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013−2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016−2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A.①②③B.②③C.①②D.③【解答】由2013−2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况和折线图，得：在①中，2013−2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加，故①正确；在②中，2013−2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小，故②正确；在③中，2016−2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平，故③正确．6.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于2√3，则椭圆C的方程为（）A.x 24+y2＝1 B.x26+y23=1 C.x24+y22=1 D.x24+y23=1【解答】根据条件可得a ＝2b ，c =√3，又因为a 2−b 2＝c 2， 则有4b 2−b 2＝3，解得b 2＝1，所以a 2＝4， 则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．7.已知函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的图象与直线y ＝a(0<a <A)的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则f(x)的单调递减区间为（ ）A.[6kπ, 6kπ+3]，k ∈ZB.[6kπ−3, 6kπ]，k ∈ZC.[6k, 6k +3]，k ∈ZD.[6k −3, 6k]，k ∈Z【解答】∵函数f(x)＝Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的图象与直线y ＝a(0<a <A)的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，2+42=3，4+82=6，∴T2=6−3＝3，∴T ＝6，故函数的减区间为[6k +3, 6k +6]，即[6k −3, 6k]，k ∈Z ， 8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +2＝2a n (n ∈N ∗)，S4a 2=()A.2B.132C.152D.172【解答】根据题意，数列{a n }中，S n +2＝2a n ① 则有S n−1+2＝2a n−1②，①-②可得：(S n −S n−1)＝2a n −2a n−1，即a n ＝2a n −2a n−1，变形可得a n ＝2a n−1，对于S n +2＝2a n ，令n ＝1可得：S 1+2＝2a 1，即a 1+2＝2a 1，解可得a 1＝2，故数列{a n }是首项为a 1＝2，公比为2的等比数列， 则S 4=2(1−24)1−2=30，a 2＝4， 则S4a 2=304=152；9.已知四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|=√2，|AD →|=√3，M 为CD 中点，BN →=2NC →，则AN →⋅MN →=()A.13 B.23C.1D.43【解答】∵|AB →|=√2，|AD →|=√3，M 为CD 中点，BN →=2NC →， ∴|BN →|=2√33,|CN →|=√33,|CM →|=√22， ∴AN →⋅MN →=(AB →+BN →)⋅(CN →−CM →)=AB →⋅CN →−AB →⋅CM →+BN →⋅CN →−BN →⋅CM →=√2×√33cosB −√2×√22×(−1)+2√33×√33×(−1)−2√33×√22cosB =13，10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(−∞, 0]时，f(x)＝x 2+2ax ，若曲线y ＝f(x)在点（1, f (1)）处的切线过点(2, 0)，则a ＝（ ） A.−34 B.1 C.2D.34【解答】∵f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(−∞, 0]时，f(x)＝x 2+2ax ， ∴当x >0时，f(x)＝−x 2+2ax ，此时f ′(x)＝−2x +2a ，∴f(x)在（1, f(1)）处的斜率k ＝f ′(1)＝−2+2a ，又f(1)＝−1+2a ， ∴f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y +1−2a ＝(−2+2a)(x −1)． ∵曲线y ＝f(x)在点（1, f (1)）处的切线过点(2, 0)， ∴1−2a ＝(−2+2a)(2−1)，∴a =34． 故选：D ．11.“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ）A.1.8975×106立方尺B.3.7950×106立方尺C.2.5300×105立方尺D.1.8975×105立方尺【解答】由题意，直四棱柱的底面积S=12(20+40)×50=1500平方尺；又直四棱柱的高为1265尺，∴该问题中“城”的体积等于1500×1265＝1.8975×106立方尺．12.已知函数y＝f(x−2)的图象关于点(2, 0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0, π)；满足f(x)cosx>f′(x)sinx（其中f′(x)是函数f(x)的导函数），则下列不等式成立的是（）A.f(−π3)>√3f(π6) B.f(−π3)<√3f(π6)C.√2f(−π4)>√3f(π6) D.√2f(−π4)>√3f(−π3)【解答】由题意得，函数y＝f(x−2)的图象关于点(2, 0)对称，故f(x)的图象关于原点对称，故f(x)是奇函数，由函数y＝f(x)对于任意的x∈(0, π)满足f′(x)sinx>f(x)cosx，令g(x)=f(x)sinx，故g′(x)=f ′(x)sinx−f(x)cosxsin x<0，故g(x)在(0, π)递减，故g(π6)>g(π3)>g(π2)>g(3π4)>g(5π6)，故√3f(π6)>f(π3)，2f(π3)>√3f(π2)，f(π2)>√2f(3π4)，f(3π4)>√3f(5π6)，∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，g(π6)>g(−π3)∴√3f(π6)>f(−π3)，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)={√2−x,x≤12−x,x>1，则f[f(−2)]＝________．【解答】因为f(x)={√2−x,x≤12−x,x>1，∴f(−2)=√2−(−2)=2；∴f[f(−2)]＝2−2=14．14.记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S1＝1，S5＝25，则S6＝________．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，∵S1＝1，S5＝25，∴5+10d＝25，解得d＝（2）则S6＝6+6×52×2=(36)15.已知过点(1, 0)的直线l被圆x2+y2−6x−7＝0截得的弦长为2√13，则直线l的方程为________√3x−y−√3=0或√3x+y−√3=0．【解答】由圆x2+y2−6x−7＝0，得(x−3)2+y2＝16，则圆心坐标为(3, 0)，半径为4．由弦长为2√13，半径为4，可得圆心到直线的距离为d=√16−13=√3．当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x−1)，即kx−y−k＝0．由√2=√3，解得k=±√3．∴直线l的方程为：√3x−y−√3=0或√3x+y−√3=0．16.体积为2√153的三棱锥A−BCD中，BC＝AC＝BD＝AD＝3，CD＝2√5，AB<2√2，则该三棱锥外接球的表面积为________．【解答】取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC＝AC＝BD＝AD＝3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE＝E，所以AB⊥面CDE，且DE＝CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，所以V A−BCD=13AB⋅S CDE=13⋅AB⋅12CD⋅EP=16⋅AB⋅2√5⋅√DE2−(DC2)2=√53⋅AB⋅√AD2−(AB2)2−5=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为V A−BCD=2√153，所以2√153=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为AB<2√2，所以解得AB ＝2；AE ＝1，DE ＝CE =√AC 2−(AB2)2=√32−1=2√2， 所以sin∠ACE =AEAC =13，所以sin∠ACB ＝2sin∠ACE ⋅cos∠ACE ＝2⋅13⋅2√23=4√29， 由题意可得D 在底面的投影在中线CE 所在的直线上，设为F ，设DF ＝ℎ， 设底面ABC 的外接圆的半径为r ，设圆心为O ′，2r =ABsic∠ACB =4√29，所以r =9√28， O ′E ＝CE −r ＝2√2−9√28=7√28， V A−BCD =2√153=13S ABC ⋅ℎ=13⋅12AC 2⋅sin∠ACB ⋅ℎ=16⋅9⋅2√2⋅ℎ，解得ℎ=√302， 所以EF =√DE 2−DF 2=√8−304=√22， 所以O ′F ＝EF +O ′E =√22+7√28=11√28， 过O ′作OO ′⊥面ABC 的垂线，作OH ⊥DF 于H ，则四边形HFO ′O 为矩形， 设外接球的半径为R ，取OA ＝OB ＝OD ＝R ，在三角形OHD 中，OD 2＝OH 2+(DF −FH)2，即R 2＝O ′F 2+(√302−OO ′)2＝(11√28)2+(√302−OO ′)2，①在三角形OO ′中，OC 2＝CO ′2+OO ′2＝r 2+OO ′2即R 2＝(9√28)2+OO ′2，②，由①②可得R 2=6112，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π⋅6112=613π，三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知btanA ＝(2c −b)tanB ．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为3√3，b +c ＝5√2，求a 的值． 【解答】△ABC中，btanA＝(2c−b)tanB，由正弦定理得sinB⋅sinAcosA =(2sinC−sinB)⋅sinBcosB，因为sinB≠0，所以sinAcosB＝2sinCcosA−cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB＝2sinCcosA，所以sin(A+B)＝2sinCcosB，即sinC＝2sinCcosA；又C∈(0, π)，所以sinC≠0，所以cosA=12；又A∈(0, π)，所以A=π3；因为△ABC的面积为：S△ABC=12bcsinA=12bcsinπ3=√34bc＝3√3，所以bc＝12；又b+c＝5√2，所以b2+2bc+c2＝50，所以b2+c2＝26；由余弦定理得a2＝b2+c2−2bccosA＝26−12＝14，所以a=√14．18.在四棱锥P−ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB // DC，AC＝CD ＝DA=12AB．（1）证明：BC⊥PA；（2）若PA＝PC=√22AC=√2，Q在线段PB上，满足PQ＝2QB，求三棱锥P−ACQ的体积．【解答】证明：不妨设AB＝2a，则AC＝CD＝DA＝a，由△ACD是等边三角形，可得∠ACD=π3，∵AB // DC，∴∠CAB=π3．由余弦定理可得BC2=AC2+AB2−2AC⋅AB⋅cosπ3=3a2，即BC=√3a，∴BC2+AC2＝AB2．∴∠ACB＝90∘，即BC⊥AC．又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAC，∵PA⊂平面PAC，∴BC⊥PA；依题意得，PA⊥PC，V P−ACQ=V Q−PAC=23V B−PAC=23×13S△PAC×BC=23×13×12×√2×√2×2√3=4√39．19.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图1．（1）求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50, 150)内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250, 350)内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图如图2：①从B类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”？附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．【解答】x=150−(0.006+0.0036+0.0024×2+0.0012)＝0.0044，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以平均用电量为6×75+9×125+15×175+11×225+6×275+3×32550=186．①B类用户共9人，打分超过8的有6人，所以打分超过8的概率为69=23．②k2=24×(6×9−6×3)212×12×9×15=1.6<3.841，所以没有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”．20.已知函数f(x)＝lnx+ax(a∈R)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若f(x)≥a，求a的取值范围．【解答】函数的定义域为(0, +∞)，f′(x)=1x −ax2=x−ax2，①当a ≤0时，在(0, +∞)上，f′(x)>0，f(x)是增函数； ②当a >0时，令f′(x)＝0，解得x ＝a ， 在(0, a)上，f′(x)<0，f(x)是减函数， 在(a, +∞)上，f′(x)>0，f(x)是增函数； 由（1）知，①当a ≤0时，f(12)=−ln2+2a ≥a ，即a ≥ln2不成立； ②当a >0时，f(x)>a ，即f(x)max ≥a ，因为a >0，由（1）知，当x ＝a 时，f(x)取得极小值也是最小值， 所以f(x)min ＝f(a)＝lna +1≥a ，即lna −a +1≥0成立， 设ℎ(a)＝lna −a +1(a >0)，令ℎ(a)=1a −1=1−a a=0，解得a ＝1，在(0, 1)上，ℎ′(a)>0，ℎ(a)是增函数， 在(1, +∞)上，ℎ′(a)<0，ℎ(a)是减函数， ∴当a ＝1时，ℎ(a)有最大值ℎ(1)＝0，要使得ℎ(a)≥0，即a ＝1，故实数a 的取值范围为{1}．21.已知抛物线C:y =14x 2，过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 的准线上的投影分别P 、Q ．（1）已知D(−1, 0)，若(OA →+OB →+OD →)⋅OD →=0，求直线l 的方程； （2）设P 、Q 的中点为M ，请判断PF 与MB 的位置关系并说明理由． 【解答】由抛物线的方程y =14x 2，可得标准方程x 2＝4y ，所以焦点坐标为：(0, 1)． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，所以OA →=(x 1, y 1)，OB →=(x 2, y 2)，OD →=(−1, 0)，因为(OA →+OB →+OD →)⋅OD →=0可得：x 1+x 2＝1，又x 12＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减(x 1−x 2)(x 1+x 2)＝4(y 1+y 2)， 所以y 1−y 2x 1−x 2=14，所以直线l 的方程：y =14x +1； PF // MB ，理由如下： 由题意可得准线方程为y ＝−1， 由题意设直线l 的方程为：y ＝kx +1，流量直线与抛物线的方程{y =kx +1x 2=4y整理可得：x 2−4kx −4＝0，x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝−4由题意可得P(x 1, −1)，Q(x 2, −1)，M(x 1+x 22, −1)，所以PF 1→=(x 1, 2)，MB →=(x 2−x 1+x 22, y 2+1)＝(x 2−x 12, y 2+1)，因为2⋅x 2−x 12−(−x 1)(y 2+1)＝x 2−x 1+x 1y 2+x 1 ＝x 2+x 1y 2 ＝x 2+x 1(kx 2+1) ＝x 1+x 2+kx 1x 2 ＝4k −4k ＝0， 所以PF // MB ．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：{x =3+3cosαy =3sinα （α为参数），已知直线l 1:x −√3y ＝0，直线l 2:√3x −y ＝0以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C 以及直线l 1，l 2的极坐标方程；（2）若直线l 1与曲线C 分别交于O 、A 两点，直线l 2与曲线C 分别交于O 、B 两点，求△AOB 的面积． 【解答】曲线C 的参数方程为：{x =3+3cosαy =3sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为(x −3)2+y 2＝9．已知直线l 1:x −√3y ＝0，转换为极坐标方程为θ=π6，直线l 2:√3x −y ＝0转换为直角坐标方程为θ=π3． 曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cosθ，所以{ρ=6cosθθ=π6 ，解得{ρ=3√3θ=π6，所以A(3√3,π6)． 同理{ρ=6cosθθ=π3 ，解得{ρ=3θ=π3，所以B(3, π3)，所以S △AOB =12×3√3×3×sin π6=9√34． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23.设函数f(x)＝|x +a|．（1）当a ＝−2时，求不等式14≤f(x)<13的解集；（2）若ɛ>0，f(−1)<e3，f(b −a −2)<e3，证明|2a +b −4|<ɛ． 【解答】当a ＝−2时，f(x)＝|x −2|，则14≤f(x)<13即为14≤|x −2|<13， 等价于{|x −2|<13|x −2|≥14 ，解得{53<x <73x ≤74x ≥94 ，∴不等式的解集为{x|53<x ≤7494≤x <73}；证明：由已知，ɛ>0，f(−1)＝|a −1|<e3，f(b −a −2)＝|b −2|<e3， 则|2a +b −4|＝|2a −2+b −2|≤2|a −1|+|b −2|<2e 3+e3=e ，∴|2a +b −4|<ɛ．。
广东省汕头市高三数学教学质量测评试题(汕头一模) 文 新人教A版
文科数学本试卷共4页，共21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上，并粘贴好条形码。
认真核准条形码上的姓名、考生号、试室号和座位号。
2. 选择題每小题选出答案后，用2B 铅笔把答題卡上对应題目选项的答案信息点涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择題必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答題卡各题目指定区域内相 应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按 以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做題时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
潙涂、错涂、 多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答題卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式： 锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
样本数据：x1,x2,…，xn 的方差，其中为x1,x2,…，xn 的平均数。
一、选择題:本大题共10小题毎小题5分，满分50分，在毎小题給出的四个选項中，只有 一項是符合要求的.1. 设集合U =R ，A = {x ｜x2 - 4 < 0}, B = {x|x < 0},则=B C A U =( )A. {x|0< x< 2}B. {x|0 ≤x <2}C. {x|-2 <x<0}D. {x|- 2< jx ≤0} 2. 设复数i z +=11 (其中i 是虚数单位），则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，βα⊂⊂n m ,,有两个命题： P ：若α//β、则m//n; q:若n 丄α,则α丄β;那么（)A. “p 或q 是假命题B. “ P 且q ”是真命题C. “非p 或q 是假命题D. “非p 且q 是真命题4. 某种动物繁殖数量少（只）与时间x(第x 年）的关系式为y = alog2(x+1),设这种动物 第一年繁殖的数量为100只，则第15年它们繁殖的数量为（）A. 300 只B. 400 只C. 500 只D. 600 只5. 在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d ≠0，若 ak =a1+a2+a3+…+a10，则k=( )A. 45B. 46C. 47D. 486. k=4是直线l1：(k-2)x+ (3-k)y+ 1 = 0与l2：2(k-2)x — 2y + 4 = 0平行的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 阅读如右图的框图，若输入m= 4,则输出i 的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 78. 在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c,若2sin sin =A C , b2-a2 =23ac,则cosB=( ) A. 21 B. 31 C. 41 D. 519. 如果实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+103233x y x y x ，目标函数z = kx-y 的最大值为6，最小值为O ，那么实数的值为（) A. 1L B. —2 C. 21 D. 21-10.已知函数f(x)=-|x| + 1,若关于x 的方程f2(x) + (2m-l)f(x)+ 4-2m = 0有 4 个不同 的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A. 23≥m B. 23>m C. 21->m D. 25-<m二、填空题： (本大题共5小題，考生作答4小题，毎小题5分，满分20分.）(一）必做题 (11-13 题）11.函数 x x x f 21)(-=的定义域是________12.己知b a ,均为单位向量，且它们的夹角为120°,则=_______13.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积等于_______(二）选做题（ 14、15題，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做雇）已知直线/的参数方程是⎩⎨⎧-=+=22t y t x （t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为 参数），则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值是________.15.(几何证明选讲选傚厘）如图，半径是的0中，AB 是直径，MN 是过点A 的O 的切线，AC,BD 相交于点P ，且 = 300 CP = 2,PA = 6, PD > PB,则线段PD 的长为______.三、解答《:本大*共6小遁，满分80分.解答須写出文字说 明、证明过程和演算步驟.16.(本小题满分12分）从甲、乙两名学生的若干次数学成绩中随机抽取6次，分别 为获得成绩数据的茎叶图如图所示.(1) 根据萃叶图，求甲、乙两名学生的数学成绩的方差；(2) 现从甲学生这6次数学成绩中随机抽取2次成绩，求这2 次成绩至少有一个高于90分的概率.17. (本小题满分12分）已知函数. 20,0,),3sin()(πϕϕπ<<>∈+=A R x x A x f ，y=f(x)的部分图像如图所示，点是该图象上的一点，P,Q 分别为该图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，且=1. (1) 求ϕ和A 的值；(2)若，求的値.18 (本小题满分14分）已知函数f(x) =x2—lnx.(1)求曲线f(x)在点（1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调递减区间：(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax, a>0，若x ∈ (O ，e]时，g(x)的最小值是3,求实数a 的值.(e 是为自然对数的底数）19.(本小题满分14分）如图所示的几何体为一简单组合体，其底面ABCD 为矩形，PD 丄平面ABCD, EC//PD,且 PD = 2EC.(1)若N 为线段PB 的中点，求证：NE PD(2)若矩形ABCD 的周长为10,PD = 2,求该简单组合体的 体积的最大值.19. (本小题满分14分）已知椭圆C1: )0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为F1、F2 ,右顶点为A ,离心率21=e(1)设抛物线C2:y2=4x 的准线与x 轴交于F1,求椭圆的方程；(2)设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b 是双曲线C3在第一象限上任意—点，问是否存在常数)0(>λλ,使恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分14分）数列{an}的前Sn 项和为存在常数A,B,C,使得an+Sn=A2 +Bn + C 对任意正整数 n 都成立.(1)若，C = 1，设bn=an+n,求证：数列{bn}是等比数列；(2)在（1)的条件下，cn=(2n+1)bn ，数列{cn}的前n 项和为Tn ；,证明：Tn <5;(3)若C= 0, {an}是首项为1的等差数列，若对任意的正整数n 都成立，求实数λ的取值范围.（注：）。
广东省汕头市2019届高三第一次模拟考试文科数学试题(解析版)
广东省2019年汕头市普通高考第一次模拟考试试题文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合，由此能求出，得到答案.【详解】由题意，集合，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及集合的交集运算问题，其中解答中正确求解集合A，再根据集合的交集运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.已知是虚数单位，复数，若，则（）A.0 B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】【分析】通过复数的除法运算得到，再由模的求法得到方程，求解即可.【详解】，因为，，即，解得：0故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.设满足约束条件，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意，画出约束条件画出可行域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件画出可行域，如图所示，目标函数可化为，当直线过点A时，此时在轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4.现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.已知圆O:x2+y2=4 ( O为坐标原点)经过椭圆C:的短轴端点和两个焦点，则椭圆C 的标准方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设可得，故，应选答案B。
2020年广东汕头高三一模文科数学试卷-学生用卷
2020年广东汕头高三一模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第1题5分已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}则A∩∁U B=（）．A. {1,2,3,4}B. {1,2,7}C. {1,2}D. {1,2,3}2、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第2题5分下列各式的运算结果虚部为1的是（）．A. i(i−1)B. 21+iC. 2+i2D. (1+i)2−i3、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第3题5分从甲、乙、丙、丁4名同学中，任意安排2名同学早上到校门口值日，另外2名同学下午到校门口值日，则甲和丁不在一起值日的概率为（）．A. 13B. 12C. 23D. 564、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第4题5分若实数x，y满足{y⩽2xx+2y−2⩽0y⩾−1，则z=2x−y的最大值是（）．A. 9B. 12C. 3D. 65、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第5题5分2020年广东汕头高三一模理科第4题5分2019~2020学年重庆渝中区重庆市巴蜀中学高二下学期期中第8题5分近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切．中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013∼2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）．①2013∼2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013∼2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016∼2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. ①②③B. ②③C. ①②D. ③6、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第6题5分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴是短轴长的2倍，焦距等于2√3，则椭圆C的方程为（）．A. x 24+y2=1B. x 26+y23=1C. x 24+y22=1D. x 24+y23=17、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第7题5分已知函数f (x )=Asin(ωx +2φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象与直线y =a (0<a <A )的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8，则f (x )的单调递减区间为（ ）． A. [6kπ,6kπ+3],k ∈Z B. [6kπ−3,6kπ],k ∈Z C. [6k,6k +3],k ∈Z D. [6k −3,6k ],k ∈Z8、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第8题5分已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +2=2a n (n ∈N ∗)，则S4a 2=（ ）．A. 2B. 132C. 152D. 1729、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第9题5分 2020年广东汕头高三一模理科第8题5分已知四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|=√2，|AD →|=√3，M 为CD 中点，BN →=2NC →，则AN →⋅MN →=（ ）．A. 13B. 23C. 1D. 4310、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第10题5分已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(−∞,0]时，f (x )=x 2+2ax ．若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线过点(2,0)，则a =（ ）．A. −34B. 1C. 2D. 3411、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第11题5分 2020年广东汕头高三一模理科第7题5分“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺（1丈=10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（）．A. 1.8975×106立方尺B. 3.7950×106立方尺C. 2.5300×105立方尺D. 1.8975×105立方尺12、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第12题5分已知函数y=f(x−2)的图象关于点(2,0)对称，函数y=f(x)对于任意的x∈(0,π)满足f(x)cosx>f′(x)sinx (其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是（）．A. f(−π3)>√3f(−π6)B. f(−π3)<√3f(−π6)C. √2f(−π4)>√3f(−π6)D. √2f(−π4)<f(−π3)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第13题5分已知函数f(x)={√2−x,x⩽12−x,x>1，则f[f(−2)]=．14、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第14题5分记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S1=1，S5=25，则S6=．15、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第15题5分已知过点(1,0)的直线l被圆x2+y2−6x−7=0截得的弦长为2√13，则直线l的方程为．16、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第16题5分三棱锥A−BCD中，BC=AC=BD=AD=3，CD=AB=2√5，则该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第17题12分设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知btanA=(2c−b)tanB．(1) 求角A的大小．(2) 若△ABC的面积为3√3，b+c=5√2，求a的值．18、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第18题12分2020年广东深圳龙华区深圳市第二外国语学校高三下学期高考模拟文科第18题12分AB．在四棱锥P−ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB//DC，AC=CD=DA=12(1) 证明：BC⊥PA．(2) 若PA=PC=√2AC=√2，Q在线段PB上，满足PQ=2QB，求三棱锥P−ACQ的体积．219、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第19题12分从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如下：(1) 求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量．(2) 若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图．①从B类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率．②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”?附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．20、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第20题12分已知函数f(x)=lnx+ax（a∈R）．(1) 讨论f (x )的单调性．(2) 若f (x )⩾a ，求a 的取值范围．21、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第21题12分已知抛物线C ：y =14x 2，过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 的准线上的投影分别P 、Q ．(1) 已知D(−1,0)，若(OA →+OB →+OD →)⋅OD →=0，求直线l 的方程． (2) 设P 、Q 的中点为M ，请判断PF 与MB 的位置关系并说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第22题10分 2020年广东汕头高三一模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：{x =3+3cosαy =3sinα（α为参数），已知直线l 1:x −√3y =0，直线l 2:√3x −y =0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1) 求曲线C 以及直线l 1，l 2的极坐标方程．(2) 若直线l 1与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 分别交于O ，B 两点，求△AOB 的面积．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东汕头高三一模文科第23题10分 2020年广东汕头高三一模理科第23题10分 设函数f (x )=|x +a |．(1) 当a =−2时，求不等式14⩽f (x )<13的解集．(2) 若ε>0，f (−1)<ε3，f (b −a −2)<ε3，证明：|2a +b −4|<ε．1 、【答案】 C;2 、【答案】 D;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 A;6 、【答案】 A;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 D;11 、【答案】 A;12 、【答案】 A;13 、【答案】1;414 、【答案】36;15 、【答案】√3x−y−√3=0或√3x+y−√3=0;16 、【答案】19π;17 、【答案】 (1) π．3;(2) √14．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 4√2．9;19 、【答案】 (1) 0.0044，186度．;(2)①23．②没有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”．;20 、【答案】 (1) ①当a⩽0时，在(0,+∞)上，f(x)是增函数；②当a>0时，在(0,a)上，f(x)是减函数；在(a,+∞)上，f(x)是增函数．;(2) a=1．;21 、【答案】 (1) y=14x+1．;(2) PF//MB，证明见解析．;22 、【答案】 (1) ρ=6cosθ；l1:θ=π6(ρ∈R)，l2:θ=π3(ρ∈R)．;(2) 9√34．;23 、【答案】 (1) {x|53<x⩽74或94⩽x<73}．;(2) 证明见解析．;。
广东省汕头市2024届高三第一次模拟考试数学试卷含答案
试卷类型：A2024年汕头市普通高考第一次模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名､准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号､姓名和科目.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第I 卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.“12a >”是“12a<”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件2.在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为（ ）A.21B.24C.27D.303.已知ABC 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，若60,10A b == ，则下列a 的取值中，使得该三角形有两解的是（ ）A.8a =B.9a =C.10a =D.11a = 4.7311(1)x x++展开式中3x 项的系数为（ ） A.42 B.35 C.7 D.1 5.已知函数()ln (0,0)1m x f x m n n x +=>>−−是奇函数，则12m n +的最小值为（ ） A.3 B.5 C.3+ D.3+6.在复数范围内，下列命题是真命题的为（ ）A.若0z ≠，则z z −是纯虚数B.若22||z z =−，则z 是纯虚数C.若22120z z +=，则10z =且20z = D.若12z z ､为虚数，则1212R z z z z +∈7.已知圆锥的顶点为,S O 为底面圆心，母线SA 与SB 互相垂直，SAB 的面积为8，SA 与圆锥底面所成的角为30 ，则（ ）A.圆锥的高为1B.圆锥的体积为24πC. D.二面角S AB O −−的大小为458.如图，设12F F ､是椭圆的左､右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为（ ）A.12− B.-1 C.-2 D.-3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[)80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于[)90,100内的同学成绩方差为10.则（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：2212,,;,,m x s n y s .记样本平均数为ω，样本方差为2s ，2222212()()m n s s x s y m n m n ωω =+−++− ++。
2020年广东汕头高三一模数学试卷(文科)
中，平面
平面
，且有
，
．
（ 1 ） 证明：
．
（2）
4
若
， 在线段 上，满足
，求三棱锥
的体积．
19. 从某小区抽取 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 到 下：
度之间，频率分布直方图如
频率 组距
类用户
类用户
图（ ）
月用电量 度
图（ ）
（ 1 ） 求频率分布直方图中 的值并估计这 户用户的平均用电量．
满意
不满意
类用户
类用户
合计
所以没有
， 的把握认为“满意度与用电量高低有关”．
20.（ 1 ）①当
时，在
上， 是增函数；
②当
时，在
上， 是减函数；在
上，
（2）
．
解析:
（ 1 ） 的定义域为
，
又
，
①当
时，在
上，
， 是增函数；
②当
时，
，得
，
在 上，
， 是减函数；
在
上，
， 是增函数．
是增函数．
合计
14
（ 2 ）由（ ）知
B. C. D.
，则
10. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当
点
处的切线过点 ，则 （ ）．
A.
B.
C.
D.
时，
．若曲线
在
11. “今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章 算术》卷第五中“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长 丈，上 底长 丈，高 丈，纵长 丈 尺（ 丈 尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ）．
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汕头市2010——2011学年高中毕业班教学质量监测文 科 数 学 试 卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，20题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分． 4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．第Ⅰ卷 (选择题 满分50分)一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1 2．设{}{}(,),()()cos2sin 2M a b N f x f x a x b x ==|=+平面内的点，给出M 到N 的映射:(,)()cos 2sin 2f a b f x a x b x →=+，则点的像()f x 的最小正周期为（ ）A ．2πB ．4πC ．πD ．2π3．在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =（ ）A ．45B ．50C ．55D ．604．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A 72B 66C 60D 30 5．在边长为1的等边ABC ∆中，设侧视图俯视图,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=u u u r r u u u r r u u u r r r r r r r r，则（ ）A ．32-B ．0C ．32 D ．36．已知函数1()x f x a =，2()a f x x =，3()log a f x x =（其中0a >且1a ≠），在同一坐标系中画出其中两个函数在x ≥0且y ≥0的范围内的大致图像，其中正确的是（ ）ABCD7．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ） A ．6万元 B ．8万元 C ．10万元 D ．12万元8．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是（ ）①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线； ③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ；④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直； A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.以上都不对10．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则22++a b 的取值范围是（ ） A ．)21,31( B ．),3()21,(+∞⋃-∞ C ．)3,21(D ．)3,(-∞第II 卷(非选择题 满分110分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．高三（1）班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 。
12．已知向量a r =),2,1(-x b r =),4(y ,若a r ⊥b r，则y x 39+的最小值为 。
13．曲线3141,33y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 。
14．观察以下等式：11= 123+= 1236++=123410+++= 1234515++++=311=33129+= 33312336++= 33331234100+++= 3333312345225++++=可以推测3333123...n ++++= （用含有n 的式子表示，其中n 为自然数）。
三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本题满分12分）已知不等式()221,(0)x a a -≤>的解集为A ，函数22lg )(+-=x x x f 的定义域为B.（Ⅰ）若φ=⋂B A ，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明函数22lg)(+-=x x x f 的图象关于原点对称。
16．（本题满分12分）已知向量(sin ,cos ),(cos )3333x x x x a b ==r r，函数()f x a b =v v g ，（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域。
17．(本题满分14分)甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张（Ⅰ）设(,)i j 表示甲乙抽到的牌的数字，（如甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为（2，3）），请写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；（Ⅱ）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（Ⅲ）甲乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由。
18．(本题满分14分)如图，三角形ABC 中，AC=BC=AB 22，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点。
（Ⅰ）求证：GF//底面ABC ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面EBC ；（Ⅲ）求几何体ADEBC 的体积V 。
19．（本题满分14分）某品牌电视生产厂家有A 、B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A 、B 两种型号的电视机的投放金额分别为p 、q 万元，农民购买A 、B 两种电视机获得的补贴分别为12,ln 105p q 万元，已知A 、B 两种A型号的电视机的投放总额为10万元，且A 、B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值（精确到0.1，参考数据：ln 4 1.4≈）。
20．（本题满分14分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈.（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若数列{}n a 满足111()n nf a a +'=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）记n b ={}n b 的前n 项和n T ,求证：423n T ≤<. 汕头市2010——2011学年高中毕业班教学质量监测文科数学参考答案及评分参考意见11．20； 12．6 ； 13．19； 14.．22(1)4n n +。
解答提示：1.由2320a a -+=且01≠-a 得2a =，选B ；2.由题意 得()cos 222sin(2),6f x x x x T ππ=+=+∴=，选C. 3.57111111011111155222a a a a S ++=⨯=⨯=⨯=，选C.4.解析：由所给三视图可知该几何体为一个直三棱柱，且底面为直角三角形，直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，所以表面积为34(345)572⨯+++⨯=，选A5.0003cos120cos120cos1202a b b c a c a b b c a c ⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅=-r r r r r r r r r r r r 选A6.由函数的图像可知选B7.设11时到12时的销售额为x 万元，依设有2.50.10100.40x x =⇒=，选C8.①为假命题，②为真命题，在③中n 可以平行于β，也可以在β内，为假命题，④中，m 、n 也可以不互相垂直，为假命题；故选A 。
9.因为tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，所以tan A =2；又因为tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比。
所以tan B =3，()tan tan tan tan 11tan tan A BC A B A B+=-+=-=-，可见A ，B ，C 都是锐角，这个三角形是锐角三角形，选B10.观察图像，可知)(x f 在]0,(-∞上是减函数，在),0[+∞上是增函数，由)4(1)2(f b a f =<+，可得⎪⎩⎪⎨⎧>><+0042b a b a ，画出以),(b a 为坐标的可行域（如图所示阴影部分，不含边界），而22++a b 可看成),(b a 与)2,2(--连线的斜率，可求得C 为所求，故选C 。
11.将高三（1）班56人用系统抽样抽取4人，每部分应为14人，故所选编号均间隔14，故还有一位同学编号20。
12.由已知a r ⊥b r⇒a b =r r g0⇒220),4()2,1(=+⇒=⋅-y x y x 则y x 39+,63232332332222===⋅≥+=+y x y x y x当且仅当,332y x =即1,21==y x 时取得等号. 13.241,2(1)3y x y x '=+-=⋅-切线方程,与两两坐标轴的交点是12(,0),(0,)33-，所求三角形面积为11212339⨯⨯-=。
14. 可推测(1)123 (2)n n n +++++=， 2233332(1)(1)123...()24n n n n n ++++++==，故填22(1)4n n +。
三、解答题：(本大题共6小题，满分80分)15．解：（Ⅰ）由()221,(0)x a a -≤>，得,11a x a +≤≤-},11|{a x a x A +≤≤-= 由22+-x x 0>得,22>-<x x 或},22|{>-<=x x x B 或 KK KK 4分 Θφ=⋂B A ，),0(2112>≤+-≤-∴a a a 且 10≤<∴a KK KK 6分（Ⅱ）证明：Θ22lg)(+-=x x x f 且,22>-<x x 或， KK 7分 ∴01lg )2222lg(22lg 22lg )()(==-+⨯+-=+---++-=-+x x x x x x x x x f x f KK KK 9分)(),()(x f x f x f ∴-=-∴为奇函数， KK KK 10分 )(x f ∴的图象关于原点对称。