半角模型
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半角模型
已知如图：①∠2=1
2
∠AOB；②OA=OB.
O
A
B
E
F
1
23
连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′
43
2
1
F'
F
E B
A
O
模型分析
∵△OBF≌△OAF′，
∴∠3=∠4，OF=OF′.
∴∠2=1
2
∠AOB，
∴∠1+∠3=∠2
∴∠1+∠4=∠2
又∵OE是公共边，
∴△OEF≌△OEF′.
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.
（1）求证：BM+DN=MN ．
（2）作AH ⊥MN 于点H ，求证：AH=AB ．
证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ，
∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ．
在△ADE 和△ABM 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=BM DE B ADE AB AD
∴△ADE ≌△ABM ．
∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM
∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．
∴ ∠MAN=∠EAN=45°．
在△AMN 和△AEN 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A
∴△AMN ≌△AEN ．
∴MN=EN ．
∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ．
（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ．
∴S △AMN =S △AEN ．
即EN AD 2
1MN AH 21⋅=⋅． 又∵MN=EN ，
∴AH=AD ．
即AH=AB ．
例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且
∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．
（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；
（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
图①图②
解答
（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．
（2）猜想：BM+NC=MN．
证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD与△ECD中，
∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN和△EDN中，
∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．
图③ 例3 如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD ，E 、F 分别是BC 、CD 延
长线上的点，且∠EAF=2
1∠BAD ．求证：EF=BE-FD ．
证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF ．
在△ABG 和△ADF 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=DF BG ADF B AD AB
∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．
∴∠BAG=∠DAF ，AG=AF ．
∴∠GAF=∠BAD ．
∴∠EAF=
21∠BAD=2
1∠GAF ． ∴∠GAE=∠EAF ．
在△AEG 和△AEF 中， ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG
∴△AEG ≌△AEF （SAS ）．
∴EG=EF ．
∵EG=BE-BG ，
练习：
1．已知，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，∠MAN=45°．
求证：MN=DN-BM ．
【答案】
证明：如图，在DN 上截取DE=MB ，连接AE ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°．
在△ABM 和△ADE 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=DE BM ABM D AB AD
∴△ABM ≌△ADE ．
∴AM=AE ， ∠MAB=∠EAD ．
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN ，
∴∠DAE+∠BAN=45°．
∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN ．
在△AMN 和△AEN 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN AE AM
∴△ABM ≌△ADE ．
∴MN=EN ．
∵DN-DE=EN ．