求离心率的取值范围解题策略精编

求离心率的取值范围解

题策略精编

Document number：WTT-LKK-GBB-08921-EIGG-22986

求离心率的取值范围策略

圆锥曲线共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L（F不在定直线L上）的距离之比是一个常数e。椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。

一、利用曲线的范围，建立不等关系

例1．设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。

解：设因为，所以

将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

例2．双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率e的取值范围。解：设在双曲线右支上，它到右焦点的距离等于它到左准线的距离，即=

二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系

例3．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。

解：如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若，则

L与双曲线的两交点均在右支上，

例4. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。

解：如图2，因为△ABF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是锐

角即可，即∠AF2F1<45°。则

三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系

例5．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P 在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e的取值范围。

解：因为P在右支上，所以又得

所以又所以

例6．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。

解：由题意得因为，所以，从而

，。又因为P在右支上，所以。

。

。

四、利用判断式确定不等关系

例7．例1的解法一：解：由椭圆定义知

例8．设双曲线与直线相交于不同的点A 、B 。求

双曲线的离心率e 的取值范围。解：

通过以上各例可以看出，在解决“求圆锥曲线离心率的取值范围”的问题，若能根据题意建立关于a 、b 、c 的不等式，即可转化为关于e 的不等式进行求解。 练习

1、设椭圆122

2

2=+b y a x （a>b>0）的两焦点为

F1、F2，长轴两端点为A 、

B ，若椭圆上存在一点Q ，使 ∠AQB=120o ，求椭圆离心率e 的取值范围。（

e ≤23

<1）.

2、设椭圆122

2

2=+b y a x （a>b>0）的两焦点为

F1、F2，若椭圆上存在一点

Q ，

使∠F1QF2=120o ，求椭圆离心率e 的取值范围。(

13

6

<≤e ) 3、椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F1的直线交

椭圆于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，求椭圆的离心率e 的取值范围。（

121

5<≤-e ）。

4、（2000年全国高考题）已知梯形ABCD 中，，点E 分有

向线段所成的比为，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦

点，当

时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标

系，设双曲线方程为

，设

其中是梯形的高，由定比分点公式得

，把C 、E 两点坐标分别代入双曲线方程得

，

，两式整理得

，从而建立函数关系式

，由已知

得，

，解得

。

5、已知双曲线上存在P 、Q 两点关于直线

对称，

求双曲线离心率的取值范围。PQ 中点为M ，由点差法求得

，当点M 在双曲线内部时

，整理得：

无解；当点M 在双曲线外部时，点M 应在两渐近线相交所

形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。