(浙江专用)最新2020-2021高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第4讲 不等式学案

第4讲 不等式

[考情考向分析] 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大．

热点一 基本不等式

利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝

y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，

当x ＝y 时，xy 有最大值14

s 2

(简记为：和定，积有最大值)．

例1 (1)(2018·浙江省金丽衢十二校联考)设a >b >0，当a 2

2＋2

b (a －b )取得最小值

c 时，函数f (x )

＝|x －a |＋|x －b |＋|x －c |的最小值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．5 D ．4 2 答案 A

解析 a 2

2＋2b (a －b )＝[b ＋(a －b )]2

2＋2

b (a －b )

≥2b (a －b )＋

2

b (a －b )

≥2

2b (a －b )·

2

b (a －b )

＝4，

当且仅当a ＝2b ＝2时，上面不等式中两个等号同时成立， 所以a 2

2＋2

b (a －b )的最小值为4，此时a ＝2，b ＝1，

c ＝4，

则f (x )＝|x －1|＋|x －2|＋|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧

7－3x ，x <1，5－x ，1≤x ≤2，x ＋1，24，

所以当x ＝2时，函数f (x )取得最小值f (2)＝5－2＝3，故选A.

(2)(2018·诸暨市高考适应性考试)已知a ，b 为正实数，且(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，则3a ＋4b 的最小值为________．

答案 62－1

解析 由(a ＋b )(a ＋2b )＋a ＋b ＝9，得a ＋b ＝9

a ＋2

b ＋1

，则3a ＋4b ＝2(a ＋b )＋a ＋2b ＝

18

a ＋2

b ＋1

＋(a ＋2b ＋1)－1≥2

18a ＋2b ＋1×(a ＋2b ＋1)－1＝62－1，当且仅当18

a ＋2

b ＋1

＝a

＋2b ＋1>0时，等号成立，所以3a ＋4b 的最小值为62－1.

思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．

跟踪演练1 (1)设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9

y

的最小值为( )

A ．8

B ．9

C ．12

D ．16 答案 D

解析 ∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列， ∴2lg 2＝()x ＋y lg 2， ∴x ＋y ＝1，

∴1x ＋9y

＝()x ＋y ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y

≥10＋2

y x ·9x

y

＝10＋6＝16， 当且仅当x ＝14，y ＝3

4时取等号，

故1x ＋9

y

的最小值为16，故选D.

(2) 已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上运动，且AB →

＝(2，2)，设|CE |＝x ，|CF |＝y ，若|AF →－AE →|＝|AB →

|，则x ＋y 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．4 2 答案 C

解析 ∵|AB →|＝2＋2＝2，|AF →－AE →|＝|AB →

|， 又|AF →－AE →|＝|EF →|＝x 2＋y 2

＝2, ∴x 2

＋y 2

＝4，

∵(x ＋y )2

＝x 2

＋y 2

＋2xy ≤2(x 2

＋y 2

)＝8， 当且仅当x ＝y 时取等号，

∴x ＋y ≤22，即x ＋y 的最大值为22，故选C.

热点二 简单的线性规划问题

解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．

例 2 (1)(2018·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≥0，2x ＋y ≤6，

x ＋y ≥2，

则z ＝x ＋3y 的最小值是

________，最大值是________． 答案 －2 8

解析 由⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ≥0，2x ＋y ≤6

x ＋y ≥2

，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)．

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

2x ＋y ＝6，

x ＋y ＝2，解得A (4，－2)，

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)，

将目标函数y ＝－1

3

x 平移可知，

当目标函数的图象经过A (4，－2)时，z min ＝4＋3×(－2)＝－2； 当目标函数的图象经过B (2,2)时，z max ＝2＋3×2＝8. (2)(2018·浙江省重点中学联考)若实数x ，y 满足⎩

⎪⎨

⎪⎧

－x ＋y <1，y ≥|2x －1|，则x 2＋y 2

的取值范围是

( )

A.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，13

B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13

C.⎣⎢

⎡⎭

⎪⎫

55，13 D.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫15，13