专题一配方法及其应用

专题一. 配方法及其应用

一.选择题

1．（2018•临沂）一元二次方程y 2﹣y ﹣=0配方后可化为（ ）

A ．（y +）2=1

B ．（y ﹣）2=1

C ．（y +）2=

D ．（y ﹣）2=

2.（ 2016新疆）一元二次方程2650x x --=配方后可变形为（ ）

A ．2(3)14x -=

B ．2(3)4x -=

C ．2(3)14x +=

D ．2(3)4x +=

3. （2017山东威海）若1－ 3 是方程x 2－2x +c =0的一个根,则c 的值为（ ）

A ．-2

B ．4 3 －2

C ．3-

3 D ．1+ 3 4. （2017浙江舟山）用配方法解方程0122=-+x x 时，配方结果正确的是（ ）

A ． 2)2(2=+x

B ．2)1(2=+x

C ．3)2(2=+x

D ．3)1(2

=+x 5. （2017山东泰安）一元二次方程x 2﹣6x ﹣6=0配方后化为（ ）

A ．（x ﹣3）2=15

B ．（x ﹣3）2=3

C ．（x +3）2=15

D ．（x +3）2=3

二.解答题

6. （2017山东滨州）

根据要求，解答下列问题．

（1）根据要求，解答下列问题．

①方程x 2－2x ＋1＝0的解为________________________；

②方程x 2－3x ＋2＝0的解为________________________；

③方程x 2－4x ＋3＝0的解为________________________；

…… ……

（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程x 2－9x ＋8＝0的解为________________________；

②关于x 的方程________________________的解为x 1＝1，x 2＝n ．

（3）请用配方法解方程x 2－9x ＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．

7．（2017湖北鄂州）（本小题满分8分）关于x 的方程22(21)23x k x k k --+-+＝0有两个

不相等的实数根．

（1）求实数k 的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x ，存不存在这样的实数k ，使得12||||x x ？

若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由．

8. (2017湖北十堰)已知关于x 的方程x 2+(2k -1)x +k 2-1=0有两个实数根x 1，x 2．

(1)求实数k 的取值范围；

(2)若x 1，x 2满足x 12+x 22=16+x 1x 2，求实数k 的值．

9. （2017北京）关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围.

思路分析：（1）由方程的根的判别式△≥0，可求解；（2）由因式分解法可将方程化为(x －2)(x －k －1)的形式，解出两根即可．

10. （2017黑龙江绥化）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2-4=0.

(1)当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍。求m 的值.

参考答案

1B ．

2A

3A

4B ．

5A

6解：（1）①x 1＝1，x 2＝1；②x 1＝1，x 2＝2；③x 1＝1，x 2＝3．

（2）①x 1＝1，x 2＝8；

②x 2－(1＋n )x ＋n ＝0．

（3）x 2－9x ＋8＝0

x 2－9x ＝－8

x 2－9x ＋

814＝－8＋814 (x －92)2＝494

∴x －

92＝±72． ∴x 1＝1，x 2＝8．

7解：（1）根据题意，得24b ac -＞0．

∴[]22(21)41(23)k k k ---⨯⨯-+＞0．

解得k ＞114，即实数k 的取值范围是k ＞114

． （2）由根与系数关系，得12x x +＝21k -，12x x ＝223k k -+．

∵223k k -+＝2(1)2k -+＞0，即12x x ＞0，

∴1x 、2x 同号．

∵12x x +＝21k -，k ＞

114

， ∴12x x +＞0．

∴1x ＞0，2x ＞0．

∵12||||x x -，

∴12x x -．

∴212()x x -＝5，即21212()4x x x x +-＝5．

∴22(21)4(23)k k k ---+＝5．

解得k ＝4．

∵4＞114

， ∴k 的值为4．

8解：(1)因为关于x 的方程x 2+(2k -1)x +k 2-1=0有两个实数根x 1，x 2，

所以△=(2k -1)2-4(k 2-1)≥0,解得k ≤54

. (2)因为关于x 的方程x 2+(2k -1)x +k 2-1=0有两个实数根x 1，x 2，

所以x 1+x 2=-(2k -1),x 1·x 2=k 2-1，

x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=16+x 1x 2,所以(x 1+x 2)2=16+3x 1x 2,

所以[-(2k -1)] 2=16+3(k 2-1)，整理得k 2-4k +4=0,

解得k 1=k 2=2．

9解：（1）证明：∵△＝[﹣(k ＋3)]2－4(2k ＋2)＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程总有两个实数根．

（2）∵x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝(x －2)(x －k －1)＝0，∴x 1＝2，x 2＝k ＋1，∵方程总有一个小根于1，∴k ＋1＜1，∴k ＜0，即k 的取值范围为：k ＜0．

10解：（1）方程x 2+（2m +1）x +m 2-4=0.有两个不相等的实数根，

所以△=（2m +1）2-4×1×(m 2-4)>0．

解得m >417-,故当m >4

17-时，原方程有两个不相等的实数根。 （2）设方程x 2+（2m +1）x +m 2-4=0的两个根分别为x 1、x 2，因为菱形的两条对角线的长分

别为方程两根的2倍，所以x 1、x 2都应为正。且⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅+-=+4

)12(22121m x x m x x 。 又菱形的对角线互相垂直、平分，所以两条对角线的一半长分别为x 1、x 2，所以x 12+x 2=52, 所以（x 1+x 2）2-2x 1x 2=25,即（2m +1）2-2(m 2-4)=25

整理得：m 2+2m -8=0

解得：m 1=-4, m 2=2

当m 1=-4时满足m >417-

，且x 1+x 2=7>0，x 1x 2=12>0,所以符合题意. 当m 2=2时满足m >4

17-

，且x 1+x 2=-5<0，x 1x 2=0,所以不符合题意. 故m 的值为-4