7.3高斯型求积公式

ωn +1 ( x) = ∏ ( x − xk ) 与任何次数不超过 n 的多项式
k =0
n
P( x) 在积分区间上均正交， 即 ∫ ωn +1 ( x) P( x)dx = 0
a
b
Gauss求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高2n+1(针对n+1个节点而言) 2. 高斯点xk 是[a,b]上的n+1次正交多项式Pn +1 ( x )的根)
定义7-3： 若带权插值求积公式 ∫a ρ ( x ) f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) 对
b k =0 n
所有次数不超过 m 的多项式 f ( x ) 均能准确成立， 但对 m + 1 次多项式不一定准确成立， 则称该带权插值求积公式具有 m 次代数精度。
定义7-4： 若带权插值求积公式 ∫a ρ ( x ) f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
高斯高斯-勒让德求积公式
1. 勒让德(Legendre)多项式： 定义在区间 [ −1,1] 上 n 阶勒让德(Legendre)多项式 P0 ( x ) = 1 1 dn Pn ( x ) = n [( x 2 − 1) n ] 2 n ! dx n n = 1, 2,L 是正交的函数系，其 n + 1 阶勒让德多项式 Pn +1 ( x ) 与任 何次数不超过 n 的多项式 P ( x ) 在区间[-1,1]上均正交， 即
定义2 定义
最高幂项的系数为 a n ≠ 0 的 n 次多项式
ϕ j ( x ), j = 0,1,L ，若满足（两两正交） ：
0, j ≠ k (ϕ j ,ϕ k ) = ∫ ρ ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )d ( x ) = a Ak > 0, j = kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
则 {ϕ j ( x )}
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
8
±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425
0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
高斯高斯-切比雪夫求积公式
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837
6
3
7 4 0.3478548451 0.6521451549
5
±0.9061798459 ±0.5384693101 0
a
∫
b
(2) x n ρ ( x)dx
a
∫
b
存在 n = 1,2,L
则称ρ(x)是[a,b]上的一个权函数。
正交多项式
在高等数学中介绍付立叶级数时，曾提到函数系 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,… 中，由于任意两个函数乘积在区间[-π，+π]上的积分 都等于零，则说这个函数系在[-π，+π]上是正交的， 并称这个函数系为正交函数系。 定义1(a) 定义1(a)：设函数f(x),g(x)∈[a,b],且 1(a)
2 2 n +1
( x)
有
I= ∫ f ( x )dx > 0,
a n n k =0
b
而数值积分
2 I n = ∑ Ak f ( xk ) = ∑ Akω n +1 ( xk ) = 0 k =0
故最高可能代数精度为2n+1.
高斯求积公式
定义7-1：如果求积公式 ∫a f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) 对于
称为在[a,b]上带权 ρ ( x ) 正交序列，
ϕ j ( x ) 称为[a,b]上带权 ρ (x ) 的 n 次正交多项式。
高斯点与正交多项式的零点
定理7-1： 插值求积公式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) 其节点 xk 为
b a k =0 n
高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式
b k =0 n
具有 2n + 1 次代数精度， 则称该带权插值求积公式为带权高斯求积公式， 其中结点 xk 称为带权高斯点； 求积系数 Ak 称为带权高斯求积系数。
权函数
定义:设[a,b]是有限或无限区间, ρ(x)是定义在[a,b]上 定义 的非零可积函数，若其满足
(1) ρ ( x)dx > 0
b k =0
n
所有次数不超过m 的多项式均能准确成立， 但对于 m + 1 次多项式不一定准确成立， 则称该数值求积公式具有 m 次代数精度。
高斯求积公式
定义7-2： 若插值求积公式 ∫ f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
a k =0
b
n
具有 2n + 1 次代数精度，则称该插值求积公式 为高斯求积公式，其中结点 xk 称为高斯点； 求积系数 Ak 称为高斯求积系数。
n 1 2
xk 0 ±0.5773502692 ±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
Ak 2 1 0.5555555556 0.8888888889
n
xk ±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861 ±0.9491079123 ±0.7415311856 ±0.4058451514 0
高斯积分公式的数值稳定型
设lk ( x ), k = 0,1,L , n为Lagrange基函数. lk2 ( x ) ≥ 0为2n次代数多项式, 其Gauss数值积分 等于精确积分,即有 0<∫ ρ ( x )lk2 ( x )dx = ∑ Alk2 ( xi ) = Ak , i
1. 切比雪夫(Chebyshev)多项式： 定义在区间 [ −1,1] 上 n 阶切比雪夫多项式 Tn ( x ) = cos( nθ ) = cos( n arccos x ) 是关于权函数 ρ ( x ) =
1 1− x 2
正交的函数系，
其 n + 1 阶切比雪夫多项式 Tn +1 ( x ) 与任何次数不超过 n 的多项式 P( x ) 在区间上关于权函数 ρ ( x ) 均正交， 即
定理7-2： 带权插值求积公式 ∫a ρ ( x ) f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) 其结点 xk
b k =0 n
为带权高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式
ωn +1 ( x) = ∏ ( x − xk ) 与任何次数不超过 n 的多项式
k =0
n
Pn ( x) 在积分区间上关于权函数 ρ ( x) 均正交， 即
T1 ( x ) = x, T0 ( x ) = 1, Tn +1 ( x ) + Tn −1 ( x ) = 2 xTn ( x )
(3) 所有根都是单根, 在( − 1,1)上与原点对称分布,且Tn ( x )的n个根为 x k = cos (2k − 1)π ,( k = 1, 2,L , n ) 2n
∫
1 −1 1− x 2
1
Tn +1 ( x ) P ( x )dx = 0
2. Chebyshev多项式的性质 多项式的性质: 多项式的性质
(1) Chebyshev多项式{Tn }∞=0 是[ −1,1]上带权ρ ( x ) = n 的正交多项式组,即 0, m ≠ n π 1 T ( x )T ( x ) n (Tm , Tn ) = ∫ m dx = , m = n ≠ 0 −1 1 − x2 2 π , m = n = 0 (2)递推公式
2 2
称为带权高斯-切比雪夫求积公式，具有 2n + 1 次代数精度。
一般积分区间[a,b]的处理
b−a b+a 先令x = t+ , 使得: 2 2
[a , b]
→ [−1,1]
再利用标准区间 [a, b] 上的求积公式:
n b−a 1 b−a b+a ∫a f ( x )dx = 2 ∫−1 f ( 2 t + 2 )dt ≈ ∑ Ak f ( xk ) k =0 b − a ( n +1) Ak = 2 Ak xk = b − a tk( n +1) + b + a 2 2 tk( n +1) , Ak( n +1) 为[a,b]上高斯求积公式的高斯点及求积系数. b
∫
1
−1
Pn +1 ( x ) P ( x )dx = 0
2. Legendre多项式的性质 多项式的性质: 多项式的性质
(1) 正交性 : {Pn }∞=0 是[−1,1]上的正交多项式序列,即 n 0, m ≠ n 1 ( Pn , Pm ) = ∫ Pn ( x ) Pm ( x )dx = 2 −1 2n + 1 , m = n
问 题 : 寻 找 最高 代 数 精 度 的 求 积 公 式
对于任意的求积节点a ≤ x0 < x 1 < L < xn ≤ b, 及求积系数, 求积公式∫ f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( xk )的代数精度必小于2n + 2!
a k =0 b n
这是因为 对于2n+2次代数多项式 f ( x ) = [( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn )] = ω
第七章 微积分的数值计算方法
7.3 高斯型求积公式
7.3 高斯型求积公式
代数精度的概念：一个求积公式的准确程度
问题: 是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式 问题 是否有比等距节点的 型求积公式 更高代数精度的求积公式? 最高能达到多大? 更高代数精度的求积公式 最高能达到多大
注：对于一般的插值求积公式
∫
b
a
ρ ( x)ωn +1 ( x) Pn ( x)dx = 0。
(即高斯点xk 是[a,b]上关于权函数ρ ( x )的n+1次 正交多项式Pn +1 ( x )的根)
常见的正交多项式及高斯求积公式
•勒让德多项式(Legendre) •切比雪夫多项式(Chebyshev) •拉盖尔多项式(Laguerre) •埃尔米特多项式 (Hermite )
3. Gauss − Legendre求积公式 以Legendre多项式 Pn +1 ( x ) 的 n + 1 个零点作为区间 [ −1,1] 上的高斯点 xk， 则其插值求积公式
∫
1
−1
f ( x )dx ≈
∑ A f (x )
k k k =0
n
称为高斯-勒让德求积公式，具有 2n + 1 次代数精度。 其中Gauss点 xk , 及求积系数Ak 可查表求得.
∫
b
a
f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
来说，不管在积分区间上的 n + 1 个插值结点 xk 如 何选取，其代数精度至少为 n ；而只要选取合适的 xk 与 Ak，此插值求积公式的代数精度达到最大。
对于给定的求积节点,代数精度最高的求积公式 是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的 代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目 固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同.
( f , g ) =
∫
b a
f ( x ) g ( x )d x = 0
则称f(x)与g(x)在[a,b]上正交.
正交多项式
定义1(b)：设函数f(x),g(x)∈[a,b],且 定义
( f , g ) =
∫
b a
ρ ( x ) f ( x ) g ( x ) dx
= 0
称为权函数 称为权函数 则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权ρ(x)正交.
1 1− x 2
3. Gauss - Chebyshev求积公式 以 Tn +1 ( x ) 的 n + 1 个零点作为区间 [ −1,1] 上的带权高斯点， 其带权插值求积公式
n 1 1 ∫−1 1− x f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) k =0 (2k + 1)π 为Tn +1的零点, xk = cos 2n + 2 1 π 1 Ak = ∫−1 1− x lk ( x )dx = n + 1
(2) 递推公式 P ( x) = x P0 ( x ) = 1, 1 (n + 1) Pn +1 ( x ) = (2n + 1) xPn ( x ) − nPn −1 ( x ) n = 1, 2,L
(3)
Pn ( − x ) = ( −1) n Pn ( x )
(4) 所有根都是单根, 并在( −1,1)上关于原点对称分布.